Cálculo Numérico Exercícios

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UERJ - Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica
Departamento de Matema´tica Aplicada
Disciplina: Ca´lculo Nume´rico
Professora: Zochil Gonza´lez Arenas
1a lista de exerc´ıcios
1. Converta os seguintes nu´meros bina´rios para sua representac¸a˜o decimal.
a) 100 c) 110101 e) 11001011 g) 0.1101
b) 10010 d) 111111 f) 0.110 h) 0.0011
Respostas: a) 4 b) 18 c) 53 d) 63 e) 203 f) 0.75 g) 0.8125 h) 0.2
2. Converta os seguintes nu´meros decimais para sua representac¸a˜o bina´ria.
a) 1 c) 13 e) 213 g) 3.8 b) 9 d) 143 f) 0.75 h) 10.6
Respostas:
a) 1 b) 1001 c) 1101 d) 10001111 e) 11010101 f) 0.110 g) 11.1100 h) 1010.10
3. Dado o nu´mero 12.20, que esta´ representado na base 4, represente-o na base 3.
Resposta: (12.20)4 = (20.1)3
4. Arredondando os seguintes nu´meros ate´ 3 d´ıgitos significativos, determinar os erros absoluto
EAx e relativo (em porcentagem) ERx das aproximac¸o˜es obtidas:
a) 1, 1426 b) 0, 01015 c) 0, 1245 d) 921, 55 e) 0, 002462
Respostas:
a) 1, 14; EA = 0, 026; ER = 0, 23% b) 0, 0102; EA = 0, 00005; ER = 0, 5%
c) 0, 124; EA = 0, 0005; ER = 0, 41% d) 922; EA = 0, 45; ER = 0, 049%
e) 0, 00246; EA = 0, 000002; ER = 0, 082%
5. Determine o erro absoluto EAx dos seguintes nu´meros absolutos, baseandose no conhe-
cimento do seu erro relativo ERx:
a) x = 2, 52; ERx = 0, 7% b) x = 0, 986; ERx = 10% c) x = 46, 75; ERx = 1%
d) x = 199, 1; ERx = 0, 01 e)x = 0, 86341; ERx = 0, 0004
Respostas: a) 0, 018 b) 0, 099 c) 0, 047 d) 2, 0 e) 0, 00035
6. Considerando um sistema F (β, t, L, U) = (10, 7,−95, 96), usado no formato IEEE 754 de-
cimal 32, calcule as operac¸o˜es x + y, x − y, x × y e x/y e indique o resultado final usando
arredondamento e truncamento, onde:
a) x = 1, 234567× 105 e y = 9, 876543× 10−3
b) x = 1, 234571× 105 e y = 1, 234567× 10−5
c) x = 0, 7237× 104 e y = 0, 2145× 10−3
d) x = 1234, 567 e y = 45, 67834
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7. Considere um sistema de ponto flutuante F (β, t, L, U) = (10, 4,−5, 5).
a) Qual o menor e o maior nu´mero, em valor absoluto, que podem ser representados nesse
sistema?
b) Defina as regio˜es de overflow e underflow.
c) Usando-se arredondamento, como sera´ representado nesse sistema o nu´mero 73.758? E
se fosse usado truncamento?
d) Quanto vale x+ y, onde x = 42450 e y = 3 ?
8. Um certo dispositivo eletroˆnico utiliza um sistema decimal de ponto flutuante, definido por
(β, t, l, u) = (10, 4,−64, 64). A representac¸a˜o em ponto flutuante de um nu´mero r qualquer
e´ denotada por fl(r). Nesse dispositivo, arredonda-se a parcela de r que na˜o pode ser
incorporada a` mantissa de fl(r).
a) Escreva a representac¸a˜o geral expl´ıcita fl(r) de um nu´mero qualquer r nesse sistema.
b) Como esse dispositivo representa os nu´meros r1 = 273, 85 e r2 = 21, 18?
c) Qual o resultado da operac¸a˜o fl(fl(r1) + fl(r2))?
d) Qual o valor de fl(fl(r1) × fl(r2))?
e) Se em lugar do sistema decimal, esse dispositivo utiliza´-se um sistema bina´rio de ponto
flutuante, definido por (β, t, l, u) = (2, 4,−64, 64), quais seriam o menor e o maior
nu´mero positivo representa´veis nesse sistema?
9. Considere o sistema de ponto flutuante F (β, t, L, U) = F (10, 3,−3, 4), que trunca a parcela
que no pode ser incorporada a` mantissa. Nesse sistema de ponto flutuante, qual o resultado
de 103 + 1− 103?
10. O nu´mero 0.1 tem representac¸a˜o bina´ria x = (0, 00011)2. Denote por xˆ = fl(0, 1) a versa˜o
de 0.1 representada no sistema de ponto flutuante IEEE de precisa˜o simples F (β, t, L, U) =
(2, 23,−126, 127). Calcule
ERx =
|x− xˆ|
|x| ,
o erro relativo da representac¸a˜o xˆ.
Resposta: ERx = 2
−24
11. O nu´mero 8/7 = 1, 142857 na˜o pode ser representado de maneira exata num sistema de
ponto flutuante decimal e precisa˜o finita, i.e., β = 10 e t < +∞.
a) Existe algum sistema de ponto flutuante de precisa˜o finita no qual 8/7 possa ser repre-
sentado de forma exata? Se a resposta for afirmativa, indique esse sistema.
b) Responda a mesma pergunta para o nu´mero pi.
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