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Fundamentos da Teoria de Controle
— Exercícios para Prova 3 —
(1) Para quais controladores da família PID o sistema de controle com realimentação unitária abaixo é do tipo
1 para rastreamento, em malha fechada? Para um desses controladores, calcule o erro em regime permanente
para referência em rampa unitária R(s) = 1s2 e perturbação nula W (s) = 0, em função dos parâmetros do
controlador.
R(s) + C(s) + 3
s2 + 2s
+
W (s)
Y (s)−
Solução: O sistema é do tipo 1 para os controladores P e PD, pois a planta já possui um polo em s = 0.
Para o controlador proporcional C(s) = K,
K1 = lim
s→0
sC(s)G(s)
= lim
s→0
sK
3
s(s+ 2)
= lim
s→0
K
3
s+ 2
= 3K2 .
Como o sistema é do tipo 1,
eee =
1
K1
= 23K .
(2) Para o sistema de controle com realimentação unitária representado abaixo, encontre o menor valor para
o ganho K de forma a atender, simultaneamente, todos os requisitos abaixo:
a) a frequência natural ωn dos polos complexos conjugados seja maior ou igual a 4 rad/s;
b) o erro em regime seja menor ou igual a 0,1 para a referência em degrau unitário R(s) = 1s , sem perturbação
W (s) = 0;
c) o erro absoluto em regime seja menor ou igual a 0,1 para a perturbação em degrau unitário W (s) = 1s , com
referência nula R(s) = 0.
R(s) + K +
2
(s+ 2)(s+ 3)
+
W (s)
Y (s)−
(3) Na figura abaixo temos um sistema de controle PD com uma estrutura que minimiza um efeito chamado
chute derivativo. O sistema de controle tem dois parâmetros, Kp e Kd. Para esse sistema,
a) encontre a função de transferência de malha fechada entre a referência R(s) e a saída Y (s), para perturbação
nula.
1
b) Qual o erro em regime para referência em degrau unitário e em rampa unitária, sem perturbação? Qual o
tipo do sistema para rastreamento?
c) Encontre a função de transferência de malha fechada entre a perturbaçãoW (s) e a saída Y (s), para referência
nula.
d) Qual o erro em regime para perturbação em degrau unitário e em rampa unitária, para referência nula?
R(s) + Kp +
1
s2 + 2s+ 2
Kds
− Y (s)−
W (s)
+
2
(4) Para o sistema de controle com realimentação unitária representado abaixo, encontre o menor valor para
o ganho K de forma a atender, simultaneamente, todos os requisitos abaixo:
a) o erro em regime seja menor ou igual a 0,05 para a referência em degrau unitário R(s) = 1s , sem perturbação
W (s) = 0;
b) o erro absoluto em regime seja menor ou igual a 0,1 para a perturbação em degrau unitário W (s) = 1s , com
referência nula R(s) = 0.
R(s) + K +
2
s+ 3
+
W (s)
Y (s)−
(5) Para o sistema de controle com realimentação unitária representado abaixo,
a) para quais controladores da família PID o sistema em malha fechada é do tipo 1 para rastreamento? Para
um desses controladores, calcule o erro em regime permanente para referência em rampa unitária R(s) = 1s2
e perturbação nula W (s) = 0, em função dos parâmetros do controlador.
b) Para o controlador proporcional, C(s) = K, calcule o erro em regime permanente para perturbação em
degrau unitário W (s) = 1s e referência nula R(s) = 0, em função de K.
R(s) + C(s) + 3
s2 + 2s+ 1
+
W (s)
Y (s)−
(6) Na figura abaixo temos um sistema de controle PD de um motor com uma estrutura que utiliza tacô-
metros e encoders. O sistema de controle tem dois parâmetros, Kp e Kv. Para esse sistema,
a) encontre a função de transferência de malha fechada entre a referência R(s) e a saída Y (s), para perturbação
nula W (s) = 0.
b) Qual o erro em regime para referência em rampa unitária R(s) = 1
s2
, sem perturbação? Qual o tipo do
sistema para rastreamento?
c) Encontre a função de transferência de malha fechada entre a perturbaçãoW (s) e a saída Y (s), para referência
nula R(s) = 0.
d) Qual o erro em regime para perturbação em degrau unitário W (s) = 1
s
, para referência nula?
R(s) + Kp +
+
W (s)
2
s+ 1
1
s
Y (s)
Kv
−−
3
Formulário
Transformadas de Laplace unilateral:
L{exp(−at)} = 1
s+ a L{1} =
1
s
L{x(t)} = X(s) L{x˙(t)} = sX(s)− x(0).
Relação entre fator de amortecimento ζ e sobressinal máximo Mp para o sistema padrão de segunda ordem
G(s) = ω
2
n
s2+2ζωns+ω2n
:
ζ = 0,4 =⇒ Mp ≈ 25%, ζ = 0,5 =⇒ Mp ≈ 16%, ζ = 0,6 =⇒ Mp ≈ 10%, ζ = 0,7 =⇒ Mp ≈ 5%.
Tempo de acomodação em �: ts ≈ − ln(�)
σ
.
Tempo de subida de 10% a 90%: tr ≈ 1,8
ωn
.
Tempo de pico: tp ≈ pi
ωd
.
ln(0,05) = −3,0 ln(0,02) = −3,9 ln(0,01) = −4,6
4