Números e Funções

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1 NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS E
REAIS
O conjunto dos números naturais é formado pelos números 0, 1, 2, 3, ... Podemos representar
este conjunto da forma: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}.
Os números naturais são um subconjunto dos números inteiros. O conjunto dos números
inteiros é representado por: Z = {...,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, ....}.
Os números inteiros, por sua vez, são subconjunto dos números racionais, que são formados
tomando-se razões de inteiros (evitando-se a divisão por 0). Denotamos o conjunto dos números
racionais da forma: Q = {p
q
; p, q ∈ Z, q 6= 0}.
Alguns exemplos de números racionais:
5 = 5
1
= 60
12
; 1
2
; − 3
10
; 0, 2 = 20
100
; 1, 3333.... = 4
3
, ...
É possível escrever um número decimal na forma fracionária a
b
.
Exemplo 1. Considere os seguintes números decimais. Escreva-os na forma a
b
:
a) 1, 323232...
b) 0, 11111...
c) 2, 124124...
Os números que não podem ser expressos como a razão de dois inteiros são chamados de nú-
meros irracionais. Por exemplo:
√
2 = 1, 4142135 . . .; pi = 3, 1415926 . . .; e = 2, 718281 . . ..
Juntando os números irracionais aos racionais, obtemos o conjunto dos números reais, deno-
tado por R.
Os números reais podem ser ordenados por tamanho. Considere a e b dois números reais: se
b− a for positivo, escrevemos a < b (a é menor que b) ou b > a (b é maior que a). A notação a ≤ b
(equivalentemente b ≥ a) significa que a < b ou a = b.
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1.1 Intervalos
Dados a, b ∈ R, os subconjuntos de R que seguem, são chamados de intervalos:
Intervalos limitados
[a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}
(a, b) = {x ∈ R; a < x < b}
[a, b) = {x ∈ R; a ≤ x < b}
(a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b}
Intervalos Ilimitados
(−∞, b] = {x ∈ R;x ≤ b}
(−∞, b) = {x ∈ R; x < b}
[a,+∞) = {x ∈ R;x ≥ a}
(a,+∞) = {x ∈ R;x > a}
(−∞,+∞) = R
Observações:
a) Quando a = b, o intervalo [a, b] reduz-se a um ponto e é chamado intervalo degenerado.
b) +∞ e −∞ não são números reais. São apenas parte da notação de intervalos não limitados.
c) Todo intervalo não-degenerado contém números racionais e irracionais.
Exemplo 2.
a) [2, 3] = {x ∈ R; 2 ≤ x ≤ 3}
b) [4, 3) = {x ∈ R; 4 ≤ x < 3}
c) (−∞, 1) = {x ∈ R;x < 1}
d) [−1,+∞) = {x ∈ R;x ≥ −1}
União E Interseção De Intervalos
União: A união de dois intervalos A e B é um intervalo composto pelos números que pertecem
a A e B e indicamos por A ∪B.
Interseção: A interseção de dois intervalos A e B é um intervalo composto pelos números que
pertencem simultaneamente a A e B e indicamos por A ∩B.
Exemplo 3. Dados dos intervalos A = (−5, 2], B = [−6, 6] e C = (−∞, 2]. Calcule:
a) A ∪B ∪ C
b) A ∩B ∩ C
c) (A ∪B) ∩ C
d) A ∩ (B ∪ C)
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2 FUNÇÕES
Em muitas situações do cotidiano, o valor numérico de uma grandeza depende do valor de
outra. Crescimento do saldo em uma conta, custo para fabricar um determinado produto, cres-
cimento de uma cultura de bactérias, aumento de uma produção com relação ao número de dias,
são exemplos de situações que podem ser descritas por funções.
Em geral, dizemos que uma variável y é uma função de uma variável x se, para cada valor
de x num conjunto A, está associado um único valor de y. Neste caso, x é denominada variável
independente e y a variável dependente.
Definição: Sejam A e B subconjuntos dos números reais. Uma função é uma lei ou regra que
associa a cada elemento x em A, um único elemento y = f(x) em B.
O conjunto A é chamado domínio de f - dom(f). O conjunto de todos os valores descritos
pela função é chamado conjunto imagem de f - Im(f).
Funções cujo domínio é sempre um subconjunto de R, geralmente um intervalo, ou uma união
de intervalos, e que associam a cada elemento deste domínio um único número real, são denomi-
nadas funções reais de uma variável real.
O gráfico de uma função f é a representação no plano cartesiano xy de todos os pares (x, y)
para os quais y = f(x), com x ∈ Dom(f)
Figura 1: Representação de um gráfico de uma função e de um gráfico que não é gráfico de função,
respectivamente
Podemos representar uma função apenas pelo seu gráfico. Por exemplo, o resultado de um
eletrocardiograma é um gráfico que mostra a atividade de um coração como uma função do tempo.
O eletrocardiograma é usado para avaliar o ritmo do coração e o número de batimentos por minuto.
Tabelas também aparecem naturalmente em algumas situações. É comum encontrarmos nos
jornais tabelas apresentando, para cada dia do mês, a cotação que o dólar atingiu o fechamento
do dia. Trata-se de um exemplo de função, na qual o dia é a variável independente e a cotação do
dólar é a variável dependente.
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Exemplo 4. O preço a pagar por uma corrida de táxi é dado por uma função f(x) = ax+ b, onde
x é a distância percorrida em quilômetros, a é o preço de cada quilômetro rodado e o valor b é a
chamada bandeirada.
Exemplo 5. Um retângulo tem comprimento c, largura l e perímetro 20. Determine:
a) A fórmula que dá o valor de c em função de l.
b) A fórmula que dá o valor de l em função de c
Crescimento e Decrescimento de Funções
Definição: Seja f definida em um intervalo e sejam x1 e x2 pontos do intervalo.
a) f é crescente no intervalo, se f(x1) < f(x2), para x1 < x2.
b) f é decrescente no intervalo, se f(x1) > f(x2), para x1 < x2.
c) f é constante no intervalo, se f(x1) = f(x2), para todo x1 e x2.
Figura 2: Representações gráficas de funções crescente, decrescente e constante, respectivamente
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2.1 Função Afim
Definição: Uma função f : R 7→ R é dita afim ou função de primeiro grau quando existem
constantes a, b ∈ R, tais que f(x) = ax+ b, x ∈ R.
Se b = 0, f(x) = ax, a 6= 0 e f é chamada função linear.
Se a = 0, f(x) = b é chamada função constante.
O gráfico de uma função afim é um reta. Na figura a seguir temos alguns exemplos de gráficos
de funções afim.
O domínio da função afim são todos os números reais e a imagem também são todos os
números reais.
Em problemas aplicados que envolvem funções afim, o domínio pode pode ser um subconjunto
dos números reais e como consequência a imagem também.
2.1.1 Raiz De Uma Função Afim
Dizemos que a raiz de uma função qualquer é todo o número real x cuja a imagem é nula, ou seja,
é o x em que f(x) = 0.
Portanto, a função afim f(x) = ax+ b, a, b ∈ R e a 6= 0, possui uma única raiz:
f(x) = 0 ⇒ ax+ b = 0 ⇒ ax = −b ⇒ x = −b
a
.
Assim, a raiz da função afim x = − b
a
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A raiz − b
a
e o coeficiente linear b representam, respectivamente, a interseção com o eixo x e o
eixo y. Esses pontos são chamados de interceptos.
Exemplo 6. Construa o gráfico das seguintes funções afins:
a) f(x) = 2x+ 3.
b) g(s) = 5− s.
c) h(t) = 1
2
t+ 4.
d) g(x) = −4
5
− 5x.
Exemplo 7. Um corpo se movimenta em velocidade constante de acordo com a fórmula mate-
mática S(t) = 2t − 3, em que S representa a posição do corpo (em metros) no instante t (em
segundos).
a) Determine a posição inicial do corpo.
b) Determine a posição do corpo após 5 segundos.
c) Construa o gráfico de S(t).
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Proposição: Dada f(x) = ax+ b, a, b ∈ R e a 6= 0, temos:
a) f(x) é crescente ⇔ a > 0.
b) f(x) é decrescente ⇔ a < 0.
Observação: Se f(x) = ax+ b e
a) f(x) é uma função crescente então para x > − b
a
temos f(x) > 0 e para x < − b
a
temos
f(x) < 0.
b) f(x) é uma função decrescente então que para x > − b
a
temos f(x) < 0 e para x < − b
a
temos
f(x) > 0.
Proposição: Dados arbitrariamente dois pontos do plano cartesiano, (x1, y1) e (x2, y2), com
x1 6= x2, existe uma e somente uma função afim f(x) = ax+ b, tal que f(x1) = y1 e f(x2) = y2.
O resultado acima nos diz que: "por dois pontos passa uma reta".
Exemplo 8. Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3,−2). A função é
crescente ou decrescente?
Exemplo 9. Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A(0, 4) e B(−3,−11). A função
é crescenteou decrescente?
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2.1.2 Coeficientes Angular E Linear
Seja f(x) = ax + b, o número a é chamado de taxa de crescimento (ou decrescimento) de f , ou
taxa de variação de f , coeficiente angular ou inclinação da reta. O número b é chamado de valor
inicial de f ou coeficiente linear da reta.
Exemplo 10. Considere duas empresas A e B que fornecem leitores de cartão de chip. A empresa
A cobra do estabelecimento que contrata o serviço uma taxa de 3% nas vendas realizadas no
débito e 4% nas vendas realizadas no crédito. Já a empresa B cobra uma taxa de 2, 5% nas vendas
realizadas no débito mais um custo de R$ 0, 15 por transação e 3, 5% nas vendas realizadas no
crédito mais um custo de R$ 0, 15 por transação.
a) Determine as funções que representam o custo do estabecimento com a empresa A para vendas
a débito e crédito em função da venda.
b) Determine as funções que representam o custo do estabecimento com a empresa B para vendas
a débito e crédito em função da venda.
c) Em um mesmo plano cartesiano esboce os gráficos das funções que representam o custo do
estabelecimento com as vendas a débito utilizando as empresas A e B.
d) Em um mesmo plano cartesiano esboce os gráficos das funções que representam o custo do
estabelecimento com as vendas a crédito utilizando as empresas A e B.
e) Determine quais as vantagens e desvantagens em utilizar cada uma das empresas.
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