Equações de Cônicas

Prévia do material em texto

CÔNICAS 
 
PARÁBOLA 
➢ Foco da parábola: é o ponto 𝐹 
➢ Reta diretriz: é reta 𝑟 
➢ Eixo de simetria: é a reta que passa pelo foco 𝐹 e é perpendicular à diretriz 
➢ Vértice da parábola: é o ponto 𝑉, ponto médio do segmento 𝐹𝐷̅̅ ̅̅ , isto é, 𝑉𝐹 = 𝑉𝐷 
➢ 𝑑𝑃,𝐹 = 𝑑𝑃,𝑟 
 
EQUAÇÕES DA PARÁBOLA 
Equação reduzida da parábola 
• Eixo de simetria 𝑦. 
Concavidade voltada para cima Concavidade voltada para baixo 
𝑥2 = 4𝑐𝑦 𝑥2 = −4𝑐𝑦 
▪ 𝑉 (0, 0) 
▪ 𝐹 (0, 𝑐) 
▪ 𝑟: 𝑦 = −𝑐 
▪ 𝑉 (0, 0) 
▪ 𝐹 (0, −𝑐) 
▪ 𝑟: 𝑦 = 𝑐 
 
• Eixo de simetria 𝑥. 
Concavidade voltada para direita Concavidade voltada para esquerda 
𝑦2 = 4𝑐𝑥 𝑦2 = −4𝑐𝑥 
▪ 𝑉 (0, 0) 
▪ 𝐹 (𝑐, 0) 
▪ 𝑟: 𝑥 = −𝑐 
▪ 𝑉 (0, 0) 
▪ 𝐹 (−𝑐, 0) 
▪ 𝑟: 𝑥 = 𝑐 
 
Equação da parábola 
• Eixo de simetria 𝑦. 
Concavidade voltada para cima Concavidade voltada para baixo 
(𝑥 − 𝑥0)
2 = 4𝑐(𝑦 − 𝑦0) (𝑥 − 𝑥0)
2 = −4𝑐(𝑦 − 𝑦0) 
▪ 𝑉 (𝑥0, 𝑦0) 
▪ 𝐹 (𝑥0, 𝑦0 + 𝑐) 
▪ 𝑟: 𝑦 = 𝑦0 − 𝑐 
▪ 𝑉 (𝑥0, 𝑦0) 
▪ 𝐹 (𝑥0, 𝑦0 − 𝑐) 
▪ 𝑟: 𝑦 = 𝑦0 + 𝑐 
 
• Eixo de simetria 𝑥. 
Concavidade voltada para direita Concavidade voltada para esquerda 
(𝑦 − 𝑦0)
2 = 4𝑐(𝑥 − 𝑥0) (𝑦 − 𝑦0)
2 = −4𝑐(𝑥 − 𝑥0) 
▪ 𝑉 (𝑥0, 𝑦0) 
▪ 𝐹 (𝑥0 + 𝑐, 𝑦0) 
▪ 𝑟: 𝑥 = 𝑥0 − 𝑐 
▪ 𝑉 (𝑥0, 𝑦0) 
▪ 𝐹 (𝑥0 − 𝑐, 𝑦0) 
▪ 𝑟: 𝑥 = 𝑥0 + 𝑐 
 
ELIPSE 
➢ Focos da elipse: são os pontos fixos 𝐹1 e 𝐹2 
➢ Distância focal: é a distância 𝐹1𝐹2 = 2𝑐 
➢ Centro da elipse: é o ponto 𝐶, ponto médio do segmento 𝐹1𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ 
➢ Vértices da elipse: são os pontos 𝐴1 e 𝐴2 
➢ Eixo maior da elipse: é o segmento 𝐴1𝐴2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, com 𝐴1𝐴2 = 2𝑎 
➢ Eixo menor da elipse: é o segmento 𝐵1𝐵2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, com 𝐵1𝐵2 = 2𝑏 
➢ Excentricidade: é a razão 𝑒 = 𝑐 𝑎⁄ , em que 0 < 𝑒 < 1 
➢ 2𝑎 > 2𝑐 → 𝑎 > 𝑐 → 𝑎2 > 𝑐2 → 𝑎2 − 𝑐2 > 0 → 𝑎2 − 𝑐2 = 𝑏2 → 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 
 
EQUAÇÕES DA ELIPSE 
Equação reduzida da elipse 
Eixo maior está contido no eixo 𝑥 Eixo maior está contido no eixo 𝑦 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
𝑦2
𝑎2
+
𝑥2
𝑏2
= 1 
▪ 𝐶 (0, 0) 
▪ 𝐴1 (−𝑎, 0) 
▪ 𝐴2 (𝑎, 0) 
▪ 𝐹1 (−𝑐, 0) 
▪ 𝐹2 (𝑐, 0) 
▪ 𝐶 (0, 0) 
▪ 𝐴1 (0, −𝑎) 
▪ 𝐴2 (0, 𝑎) 
▪ 𝐹1 (0, −𝑐) 
▪ 𝐹2 (0, 𝑐) 
 
Equação da elipse 
Eixo maior está contido no eixo 𝑥 Eixo maior está contido no eixo 𝑦 
(𝑥 − 𝑥0)
2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑦0)
2
𝑏2
= 1 
(𝑦 − 𝑦0)
2
𝑎2
+
(𝑥 − 𝑥0)
2
𝑏2
= 1 
▪ 𝐶 (𝑥0, 𝑦0) 
▪ 𝐴1 (𝑥0 − 𝑎, 𝑦0) 
▪ 𝐴2 (𝑥0 + 𝑎, 𝑦0) 
▪ 𝐹1 (𝑥0 − 𝑐, 𝑦0) 
▪ 𝐹2 (𝑥0 + 𝑐, 𝑦0) 
▪ 𝐶 (𝑥0, 𝑦0) 
▪ 𝐴1 (𝑥0, 𝑦0 − 𝑎) 
▪ 𝐴2 (𝑥0, 𝑦0 + 𝑎) 
▪ 𝐹1 (𝑥0, 𝑦0 − 𝑐) 
▪ 𝐹2 (𝑥0, 𝑦0 + 𝑐) 
 
HIPÉRBOLE 
➢ Focos da hipérbole: são os pontos fixos 𝐹1 e 𝐹2 
➢ Distância focal: é a distância 𝐹1𝐹2 = 2𝑐 
➢ Centro da hipérbole: é o ponto 𝐶, ponto médio do segmento 𝐹1𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ 
➢ Vértices da hipérbole: são os pontos 𝐴1 e 𝐴2 
➢ Eixo real ou transverso: é o segmento 𝐴1𝐴2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, com 𝐴1𝐴2 = 2𝑎 
➢ Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento 𝐵1𝐵2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, com 𝐵1𝐵2 = 2𝑏 
➢ Excentricidade: é a razão 𝑒 = 𝑐 𝑎⁄ , em que 𝑒 > 1, pois 𝑎 < 𝑐 
➢ 2𝑐 > 2𝑎 → 𝑐 > 𝑎 → 𝑐2 > 𝑎2 → 𝑐2 − 𝑎2 > 0 → 𝑐2 − 𝑎2 = 𝑏2 → 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 
 
EQUAÇÕES DA HIPÉRBOLE 
Equação reduzida da hipérbole 
Eixo real está contido no eixo 𝑥 Eixo real está contido no eixo 𝑦 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 
𝑦2
𝑎2
−
𝑥2
𝑏2
= 1 
▪ 𝐶 (0, 0) 
▪ 𝐴1 (−𝑎, 0) 
▪ 𝐴2 (𝑎, 0) 
▪ 𝐹1 (−𝑐, 0) 
▪ 𝐹2 (𝑐, 0) 
▪ 𝐶 (0, 0) 
▪ 𝐴1 (0, −𝑎) 
▪ 𝐴2 (0, 𝑎) 
▪ 𝐹1 (0, −𝑐) 
▪ 𝐹2 (0, 𝑐) 
 
Equação da hipérbole 
Eixo real está contido no eixo 𝑥 Eixo real está contido no eixo 𝑦 
(𝑥 − 𝑥0)
2
𝑎2
−
(𝑦 − 𝑦0)
2
𝑏2
= 1 
(𝑦 − 𝑦0)
2
𝑎2
−
(𝑥 − 𝑥0)
2
𝑏2
= 1 
▪ 𝐶 (𝑥0, 𝑦0) 
▪ 𝐴1 (𝑥0 − 𝑎, 𝑦0) 
▪ 𝐴2 (𝑥0 + 𝑎, 𝑦0) 
▪ 𝐹1 (𝑥0 − 𝑐, 𝑦0) 
▪ 𝐹2 (𝑥0 + 𝑐, 𝑦0) 
▪ 𝐶 (𝑥0, 𝑦0) 
▪ 𝐴1 (𝑥0, 𝑦0 − 𝑎) 
▪ 𝐴2 (𝑥0, 𝑦0 + 𝑎) 
▪ 𝐹1 (𝑥0, 𝑦0 − 𝑐) 
▪ 𝐹2 (𝑥0, 𝑦0 + 𝑐)