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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA Professora: Sara Regina da Rosa Pinter A´lgebra linear PROVA 1 Nome: Matr´ıcula: Instruc¸o˜es: • A prova e´ individual e sem consulta. • A prova pode ser respondida em qualquer ordem, desde que as questo˜es estejam devidamente identificadas. • A prova pode ser resolvida a la´pis, desde que cada resposta final esteja a caneta. • Respostas sem justificativas na˜o sera˜o consideradas. 1. (1,0 ponto) Seja V o conjunto de todas as func¸o˜es f : R → R. Considere em V a ”soma”definida por (f ⊕ g)(x) = f(g(x)) e o produto por escalar usual: (αf)(x) = αf(x). (a) Mostre que I = 0V (I : R→ R e´ a func¸a˜o identidade, definida por I(x) = x). (b) V com estas operac¸o˜es e´ um espac¸o vetorial? Justifique sua resposta. 2. (1,0 ponto) Mostre se e´ ou na˜o subespac¸o vetorial. (a) {(x, y, z) ∈ R3;x = y2} ⊆ R3 (b) {[ a 1 b 0 ] , a, b ∈ R } ⊆M2×2 3. (1,0 ponto) Sejam u = (2,−3, 2) e v = (−1, 2, 4) em R3 Escreva o vetor w = (7,−11, 2) como combinac¸a˜o linear de u e v. 4. (1,0 ponto) Verifique se cada um dos conjuntos abaixo e´ base no espac¸o correspondente. (a) β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} de R3 (b) γ = {x, x2} de P2. 5. Seja T : R3 → R2 definida por T (x, y, z) = (2x− y + z, 3x+ y − 2z). (a) (1,0 ponto) Mostre que T e´ uma transformac¸a˜o linear. (b) (1,0 ponto) Determine ker(T ). (c) (1,0 ponto) Determine Im(T ). (d) (0,5 pontos) T e´ injetora? T e´ sobrejetora? (e) (0,5 pontos) Determine a matriz de T com relac¸a˜o a`s bases canoˆnicas. (f) (1,0 ponto) Determine [T ]βα (com β da questa˜o acima e α = {(2, 1), (5, 3)}). 6. (1,0 ponto) Sejam β = {1, x}, base de P1 e α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} a base canoˆnica de R3. Seja T : P2 → R3 a transformac¸a˜o linear tal que [T ]βα = 1 01 1 0 1 . (a) Quais as coordenadas de 2x com relac¸a˜o a` base β? (b) Calcule T (2x). 1
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