Buscar

Prova de Álgebra Linear

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
Professora: Sara Regina da Rosa Pinter
A´lgebra linear
PROVA 1
Nome:
Matr´ıcula:
Instruc¸o˜es:
• A prova e´ individual e sem consulta.
• A prova pode ser respondida em qualquer ordem, desde que as questo˜es estejam devidamente identificadas.
• A prova pode ser resolvida a la´pis, desde que cada resposta final esteja a caneta.
• Respostas sem justificativas na˜o sera˜o consideradas.
1. (1,0 ponto) Seja V o conjunto de todas as func¸o˜es f : R → R. Considere em V a ”soma”definida por
(f ⊕ g)(x) = f(g(x)) e o produto por escalar usual: (αf)(x) = αf(x).
(a) Mostre que I = 0V (I : R→ R e´ a func¸a˜o identidade, definida por I(x) = x).
(b) V com estas operac¸o˜es e´ um espac¸o vetorial? Justifique sua resposta.
2. (1,0 ponto) Mostre se e´ ou na˜o subespac¸o vetorial.
(a) {(x, y, z) ∈ R3;x = y2} ⊆ R3
(b)
{[
a 1
b 0
]
, a, b ∈ R
}
⊆M2×2
3. (1,0 ponto) Sejam u = (2,−3, 2) e v = (−1, 2, 4) em R3 Escreva o vetor w = (7,−11, 2) como combinac¸a˜o
linear de u e v.
4. (1,0 ponto) Verifique se cada um dos conjuntos abaixo e´ base no espac¸o correspondente.
(a) β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} de R3
(b) γ = {x, x2} de P2.
5. Seja T : R3 → R2 definida por T (x, y, z) = (2x− y + z, 3x+ y − 2z).
(a) (1,0 ponto) Mostre que T e´ uma transformac¸a˜o linear.
(b) (1,0 ponto) Determine ker(T ).
(c) (1,0 ponto) Determine Im(T ).
(d) (0,5 pontos) T e´ injetora? T e´ sobrejetora?
(e) (0,5 pontos) Determine a matriz de T com relac¸a˜o a`s bases canoˆnicas.
(f) (1,0 ponto) Determine [T ]βα (com β da questa˜o acima e α = {(2, 1), (5, 3)}).
6. (1,0 ponto) Sejam β = {1, x}, base de P1 e α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} a base canoˆnica de R3. Seja
T : P2 → R3 a transformac¸a˜o linear tal que [T ]βα =
 1 01 1
0 1
.
(a) Quais as coordenadas de 2x com relac¸a˜o a` base β?
(b) Calcule T (2x).
1

Outros materiais