Lista de calculo1 - limites

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
Departamento de Matema´tica
MAT 140 – Ca´lculo I – 2017/I
Lista 1:
Exerc´ıcio 1:
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(a) lim
x→−7
(2x+ 5)
(b) lim
x→−1
x− 2
3x− 1
(c) lim
x→5
x− 5
x2 − 25
(d) lim
x→1
1
x
− 1
x− 1
(e) lim
x→1
x4 − 1
x3 − 1
(f) lim
x→1
x− 1√
x+ 3− 2
(g) lim
x→2
√
x2 + 12− 4
x− 2
Exerc´ıcio 2:
Seja f a func¸a˜o definida por:
f(x) =

3− x se x < 2
2 se x = 2
x
2
se x > 2
(a) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f.
(b) Determine lim
x→2+
f(x), lim
x→2−
f(x) e f(2).
(c) Existe lim
x→2
f(x)? Em caso afirmativo, qual e´? Em caso negativo, por que na˜o?
Exerc´ıcio 3:
Seja f a func¸a˜o definida por:
f(x) =

x+ 2 se x < −2
1 se x = −2
−x− 2 se −2 < x ≤ −1
−1 se −1 < x < 0
0 se x = 0
1 se x > 0
(a) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f.
(b) Determine lim
x→−2+
f(x), lim
x→−2−
f(x) e f(−2).
(c) Existe lim
x→−2
f(x)? Em caso afirmativo, qual e´? Em caso negativo, por que na˜o?
Lista elaborada por: L´ılian Neves Santa Rosa Valentim. DMA - UFV.
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Exerc´ıcio 3:
(d) Determine lim
x→−1+
f(x), lim
x→−1−
f(x) e f(−1).
(e) Existe lim
x→−1
f(x)? Em caso afirmativo, qual e´? Em caso negativo, por que na˜o?
(f) Determine lim
x→0+
f(x), lim
x→0−
f(x) e f(0).
(g) Existe lim
x→0
f(x)? Em caso afirmativo, qual e´? Em caso negativo, por que na˜o?
Exerc´ıcio 4:
Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→−2−
(x+ 3)
|x+ 2|
x+ 2
(b) lim
x→1+
√
2x(x− 1)
|x− 1|
Exerc´ıcio 5:
Utilizando um dos limites fundamentais, determine:
(a) lim
x→0
sen(2x)
2x
(b) lim
x→0
1− cosx
sen(2x)
(c) lim
x→0
x cossec(2x)
cos(5x)
(d) lim
x→0
tg(3x)
sen(8x)
(e) lim
x→−∞
(
1 +
1
x
)x+5
(f) lim
x→+∞
(
1 +
3
x
)x
(g) lim
x→+∞
(
x
x+ 1
)x
Exerc´ıcio 6:
Determine:
(a) lim
x→+∞
2x+ 3
5x+ 7
(b) lim
x→+∞
x+ 1
x2 + 3
(c) lim
x→+∞
10x5 + x4 + 31
x6
(d) lim
x→+∞
x− 3√
4x2 + 25
(e) lim
x→−∞
4− 3x3√
x6 + 9
(f) lim
x→0+
1
3x
(g) lim
x→2−
3
x− 2
Exerc´ıcio 7:
Sejam c, L ∈ R tais que lim
x→1
2x3 + cx+ c
x2 − 1 = L. Determine c e L.
Lista elaborada por: L´ılian Neves Santa Rosa Valentim. DMA - UFV.
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Exerc´ıcio 8:
Seja f uma func¸a˜o tal que
√
5− 2x2 ≤ f(x) ≤ √5− x2 para −1 ≤ x ≤ 1. Determine lim
x→0
f(x).
Exerc´ıcio 9:
Seja f : R→ R uma func¸a˜o tal que |f(x)| ≤ 2|x| para qualquer x. Calcule lim
x→0
f(x3)
x
.
Exerc´ıcio 10:
Seja f : R→ R uma func¸a˜o tal que 1 + x2 + x
6
3
≤ f(x) + 1 ≤ sec(x2) + x
6
3
para qualquer x ∈
(
−
√
pi
2
,
√
pi
2
)
.
Calcule lim
x→0
f(x) e lim
x→0
(
f(x) cos
(
1
x+ x2
))
.
Exerc´ıcio 11:
Seja f a func¸a˜o definida por:
f(x) =

x2 − 1 se x ≤ 0
2x se 0 < x < 1
1 se x = 1
−2x+ 4 se 1 < x < 2
0 se x ≥ 2
(a) f e´ cont´ınua em x = 0? Justifique!
(b) f e´ cont´ınua em x = 1? Justifique!
(c) f e´ cont´ınua em x = 2? Justifique!
Exerc´ıcio 12:
Determine o conjunto dos pontos de seu domı´nio em que a func¸a˜o f e´ cont´ınua, justificando sua resposta.
(a) f(x) =

x2 − x− 6
x− 3 se x 6= 3
5 se x = 3
(b) f(x) =

|x2 − 4x+ 3|
x− 3 se x 6= 3
1 se x = 3
Exerc´ıcio 13:
Determine o valor de a para que a func¸a˜o f seja cont´ınua em R, justificando sua resposta.
(a) f(x) =

x3 − 1
x2 − 1 se x 6= 1
a se x = 1
(b) f(x) =
{
x2 − 1 se x < 3
2ax se x ≥ 3
Exerc´ıcio 14:
Mostre que a equac¸a˜o x3 − x− 1 = 0 admite uma raiz em [1, 2].
Lista elaborada por: L´ılian Neves Santa Rosa Valentim. DMA - UFV.
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Exerc´ıcio 15:
Verifique que a equac¸a˜o 2x4 − 9x2 + 4 = 0 tem pelo menos uma soluc¸a˜o no intervalo [0, 1].
Exerc´ıcio 16:
Determine a derivada de cada func¸a˜o a seguir, utilizando a definic¸a˜o de derivada.
(a) f(x) = x2 − 2x
(b) f(x) =
x
2x+ 1
(c) f(x) =
√
x− 2
Exerc´ıcio 17:
Calcule a derivada das func¸o˜es abaixo, simplificando sempre que poss´ıvel:
(a) f(x) = 17x− 65
(b) f(x) = 10
7
√
x6 − 9√
x
(c) f(x) =
3x3 − 2x2 + 4
4x3 + 5x2
(d) f(x) =
cos(x) cotg(x)
sec(x)− cos(x)
(e) f(x) = x ln x
(f) f(x) =
1
x ln x
(g) f(x) =
x tg x
ln x
(h) f(x) = 3 x e x
(i) f(x) = e x cos x
Exerc´ıcio 18:
Ache os pontos da curva y = 4x3 + 6x2 − 24x+ 10 nos quais a tangente e´ horizontal.
Exerc´ıcio 19:
Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = 2x2 + 3 que seja paralela a` reta 8x− y + 3 = 0.
Exerc´ıcio 20:
Ache uma equac¸a˜o de cada reta tangente a` curva y = x3 − 3x que e´ perpendicular a` reta 2x+ 18y − 9 = 0.
Exerc´ıcio 21:
Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f definida por f(x) =
1
x
que passa pelo ponto (0, 4).
Exerc´ıcio 22:
Mostre que g(x) =
{
2x+ 1 se x ≤ 1
−x+ 4 se x > 1 e´ cont´ınua em x = 1, mas na˜o e´ deriva´vel neste ponto.
Lista elaborada por: L´ılian Neves Santa Rosa Valentim. DMA - UFV.
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Exerc´ıcio 23:
Seja f(x) =
{
−1− x2 se x ≤ 0
x2 + 1 se x > 0
.
(a) Verifique se f e´ deriva´vel em x = 0.
(b) Determine a func¸a˜o f ′ e o seu domı´nio.
Exerc´ıcio 24:
Considere a func¸a˜o definida por
f(x) =

1
x
se 0 < x < b
1− 1
4
x se b ≤ x
(a) Determine um valor de b de tal forma que f seja cont´ınua em b.
(b) f e´ deriva´vel no valor de b encontrado na parte (a)?
Exerc´ıcio 25:
Determine os valores de a e b de modo que a func¸a˜o definida por f(x) =
{
ax+ b, se x < 2
2x2 − 1, se x ≥ 2 seja deriva´vel
em x = 2.
Exerc´ıcio 26:
Dada a func¸a˜o f(x) = x senx, calcule f ′′′
(pi
2
)
.
Exerc´ıcio 27:
Para cada item a seguir, fac¸a o que se pede:
(a) Dada a func¸a˜o f(x) =
1
x
, determine a derivada de ordem n e calcule f (n)(2).
(b) Dada a func¸a˜o f(x) = sen x, determine a derivada de ordem n e calcule f (50)(0).
Mais Exerc´ıcios:
Sugesta˜o de exerc´ıcios do livro texto CABRAL
. Cap´ıtulo 1 (Pa´ginas 39 a 44) :
(i) Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o: 1.1, 1.5, 1.7, 1.11, 1.12, 1.18, 1.19.
(ii) Problemas: 1.1, 1.3, 1.5, 1.6, 1.13.
Lista elaborada por: L´ılian Neves Santa Rosa Valentim. DMA - UFV.
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Mais Exerc´ıcios:
. Cap´ıtulo 2 (Pa´ginas 60 a 63) :
(i) Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o: 2.2, 2.3, 2.5, 2.6, 2.9.
(ii) Problemas: 2.2, 2.3, 2.4, 2.5.
. Cap´ıtulo 3 (Pa´ginas 85 a 91) :
(i) Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o: 3.1, 3.5, 3.6, 3.9.
(ii) Problemas: 3.1, 3.2, 3.3, 3.6.
Lista elaborada por: L´ılian Neves Santa Rosa Valentim. DMA - UFV.