Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
1 1a Avaliac¸a˜o Parcial – Equac¸o˜es Diferenciais “A”. Prof. Charles R. P. Szinvelski 1os/2012 - Data: 23/04/2012 Nome: Nota: Assunto: EDO’s 1. 1) ( (1,0 ponto) ) PVI. Resolva o PVI abaixo:{ 2yy′ = ex−y 2 y(4) = 2 , (1) 2) ( (2,0 pontos) ) Equac¸o˜es de Bernoulli. As vezes e´ poss´ıvel resolver uma equac¸a˜o na˜o-linear por meio de uma mudanc¸a de varia´vel dependente que a transforma numa equac¸a˜o linear. A classe mais importante destas equac¸o˜es tem a forma y′ + p(x)y = g(x)yn (2) Para a resoluc¸a˜o da Equac¸a˜o (2), quando n 6= 0 ou n 6= 1, utiliza-se de uma substituic¸a˜o v = y1−n, permitindo a reduc¸a˜o da Equac¸a˜o (2) numa ED Linear, ie y 6= 0, divida a ED acima por yn y−ny′ + p(x)y1−n = g(x), utilizando a mudanc¸a de varia´vel indicada e v′ = (1− n)y−n dy dx , obtendo 1 1− n v′ + p(x)v = g(x). (3) Fac¸a o que se pede, para o PVI dado: { x2y′ + 2xy = y3; x > 0 y(1) = 1 , (4) 2a) ( (0,5)) Informe n para o PVI dado. 2b) ( (0,5)) Informe v = y1−n, neste caso. 2c) ( (1,0)) Resolva o PVI. 3) ( (4,0 pontos) ) Dada a EDO: ( x2 − 2x ) y′′ + 2 (1− x) y′ + 2y = 6 ( x2 − 2x )2 , fac¸a o que se pede: 3a) ( (0,2)) Classifique esta EDO: . 3b) ( (0,2)) Monte a EDO Homogeˆnea associada a EDO dada. 3c) ( (2,0)) Mostre que as func¸o˜es y1(x) = x 2 e y2(x) = x− 1 (para x 6= 0 e x 6= 2) sa˜o duas soluc¸o˜es linearmente independentes da EDO Homogeˆnea. 3d) ( (0,5)) Pode-se aplicar o Me´todo dos Coeficientes Indeterminados para determinar uma soluc¸a˜o particular da ED original? Justifique e mostre a forma geral dessa soluc¸a˜o particular. 3e) ( (0,5)) Pode-se aplicar o Me´todo da Variac¸a˜o de Paraˆmetros para determinar uma soluc¸a˜o parti- cular? Justifique e mostre a forma geral dessa soluc¸a˜o particular. 3f) ( (0,6)) Determine a soluc¸a˜o geral. 4) ( (4,0 pontos) ) Ache a soluc¸a˜o geral de: y′′′ + y′′ = ex cosx. 1Apresente as contas e o material permitido para consulta sa˜o as tabelas de derivac¸a˜o, integrac¸a˜o e material relacionado ao Me´todo dos Coeficientes Indeterminados e Me´todo da Variac¸a˜o dos Paraˆmetros (disposta no xerox e no s´ıtio eletroˆnico: http://sites.google.com/site/charlessz45). ���������� � ��� �� ����� ��� ������� �������������� ����� ������������ ������������ �� ���!�� �����!�"� �� �#�$% & '$($� � �������� � ����� ������� � ���� ����� � ��� � ��� �� � � • ����� ����� ������������ �������������� ����� ����� �� �!����"����� � ��� �� ���� � ������ � � ���� � ��� � ��� �� � �� � ��� ���� � �� � ��� �� � ���� �� � • �#��$� �� ��������� ����# ���� �����%�"����� �� � ��� ��� �� � �� ���� � �� � �� � ������ ��� �� � ������� �� � �� � �� � �� ��� � • ����# ��&�� ��!������#��� ������������# ���� �����'�"��� � �� � �� � �� �� � � �� � �� � �� � �� �� � ! � � �� � ! ��� � • ����( ��"#���� ��������� ����# ���� �����)�"�� � �� � !�� $%�� � � $% �� �!��� �� � � � "#!� & � "#!�� �� � � � &�� '�� � √� � &�� � � √� � &�� � � √� � ) *�� � • ��������������� � � ���� �����*���#(�#�� +���)"�� � √� � )� ���������� � �� � � ��� � � √� � )�� � � � � )�� � � � )�� ) � + ,�� Parsec Textbox • �����������,��# ���� �����*�����+��� ���������� � � ��-."�� � √� � )� ) � +�� � � √� � +�� � � √�� � ��������%� / � ��������������0�� � �������� ��"� � -���� � ��� � �./ � 0 + ��� �� � � � � • -������� ���� ����� ��������"������� � ����� � �.���� �� � ����� � �.��� ��� � • -������� ���� �����%�������."����. � ������. � �.����. �� ����. � ������� � ��� ��� � • �#�����������$� �� "�- � � 1 � ��� ���� � �1 � ���. ��1 � ���.�� �1 � � ��. � 1� � � ��. *�� � • �����������)�����*��# ���� �����'�"�����. � ������� � ����� 1� � � ����1 � ���� � % ���#1�����#�� � �������� ��2��� # 1� � ��1��� �1�1� � � � #� � � � � � # � � � � � # � # � �� � %����#1�����1 � ���20�#�����( ��2�1 � ���2� # � ��1 � ���. � 1 � ���� � %(�� ����� ������2� • � ������ ���� �����%������������ ��������� ���������."� �� � �� � � �.���� ���. � �� ��. � �.�.���� ���. � �� ��� � ����� ����. � �� ��� � ��� � 345 ����. � ��1� � ��� � 1�� ��1� � �� 1 � ��� � 345 �� 1� � �� # 1��� �� # 1� � �� 1 � ��� � # � ��� �� �1� � �� 1 � ����� ��1� � �� 1 � ��� � 5�"678"739: 84: ���� 1� �� 1 � ��� � &;�9<=4 >7#�9: ,�� � • 3 ���� �����,�0�1 �����#��$� #��"�? �� � �@A ��B�� 8 �� � ���� ? �� � �@�C�B� � ��C@��B� � ��CDE �� � �DE �FG� � ��C � ��C H�� � • 4�������( �� ���� �����,������������� �������5�"�1� �� 1 � ����� ��C 1� � ��C I ��J 1 � ��C I ���J � ��C1�� � ��K L�� � • �#��$� �� ��������� ����# ���� �����6�"� ��C1�� � ��K�� � ��C1�� � � ��K ���� ��C1 � ����K��� � ��C1 � �M��N * � )O�� ��C 1 � �* ��N �)� � � �)�� ��C 1 � �* ��N � �� � 1 � �* ��N � ���C � � 1 � �* ��N �C � ��C�� 1 � �*�� � ��C P�� � • ����������1 � ��� ���# ���� �����7�"�1 � �*�� � ��C�� ��� �� � �*�� � ��C�� ��� �� � �*�� � ��C�� ��*�� � ��C � �� ���� '�� �� � Q ��*�� � ��C�� � �� � RQ ��*�� � ��C �+�� � • ����( ���������� �� � ���# ���� ����� 8��� � ��#(�#�� ����� ����� � (�#�� #����"�� �� � Q ��*�� � ��C ���� � � � S ��* � �� � � ��C� � � � Q ��* � �� � ��� � TQ ��* � �U � � � � � ��* � � � �* � � � � � � � � �* � � � �*� � • ������������# ���� ����� �����#(�#�� +��� ��������"�� �� � Q ��*�� � ��C�� � �� � Q ��*� � �*�C� ��������'� - � � ��-."� �� ������ � � � ���� � �� � , �� ���V0�1 � ��������������"� ' ��9� ���1�������� ��-."� �-.����%:�.����0�;�#� �0�3���<���$=#� 0�(���(��1�(��#���� � '���4�#��� ��-.�<���$=#� � ���(� � � ��-.�� � 2� �� ������ � � � ���� � �� � +������� �� � '(��4���������� �� 1�#������� �� � �V � ���� �� � � �� �� � �� W +� ��� W ��� ���� �� ������������ ��� � ��� ���� �� ����� ��-.�<���$=#� 2� • -���� ���� ����>����� �� � �V"���X �� � ���������%����XX �� � ���������'�� � ����������� �����%��# ���� ����� �"� �� ������ � � � ���� � �� � +�� �� ���� � � � ���� � � �� � +�� ��V �� � �� ��V � ��V � +�� + � +� ;�$�0��� �� � �V0������������ �?���$=#� � ���(� � 2� � • -���� ���� ����>����� �� � � ��"���X �� � ��������)����XX �� � +������*�� � �����������)�����*��# ���� ����� �"� �� ������ � � � ���� � �� � +�� �� ���+ � � � ��� � � � �� � +�� � �� � �� � � +�� + � +� � ;�$�0��� �� � � ��0������������ �?���$=#� � ���(� � 2� � • � � ��������# �������(�#@�#���1��� ��������� �� � �� ����;�0�( �(�� ���� A��#�B� #�"�YZ��� ��[ � \�V � ���� � \�YZ��� ��[ � �� ��� ���YZ��� ��[ � �V � ��� � � .�A��#�B� #�����!�;���� #���� W + � � W �0� ��������� ����� ������������� �� � �� �������;���� #���� W + � � W �2� � '�������+��� ���( ������������������� � � ����� ����� ������ � ��������# ���� � �������� � ���(�� �� � � �-� ���$�# �C� D����1����� �� ������� � 1��� � $�� �� ���� � ��������� ���(�� �2� ��2� .�������#���?���$=#���� ��-.���� �1��� "�,�C ���] � ���V� 9?����� � � ���������� ���(�� �"��A �� � �^ _�C � `�. � ��� � !� � &�� � '��� ����+��� ���( �� �� ������� ��� ��� ����� ��� ���� ������ � � � �������# �� �� � ��������� ���(�� �C�D����1�������������� �1��� �$�� ������ ���������� ���(�� �2� ��2� .�������� ���( +���� � ��� ������a ��0���#��� ��-.�� �1��� "���� � 8 ���� � ; ��� � a ��� 9?����� � � ���������� ���(�� �"��A�� � �� ���� �� � �� ���� ��� � '1��-������#�� ��������������2� • 4������� �� �� ��������� �E������"� �� ������ � � � ���� � �� � , �� ���V��b �� � 3��V � 3� � ����A �� � �� ���V � �� �� � ����A� �� � Z��� ���� � �� �� � ��[ � �� ���� � �� ��� � • �����"�Z��� ���� � �� �� � ��[ � +������� ���A� �� � �� ���� � �� ����XA� �� � Z��� ���� � ��� ��[ � �X� ��� � • ����������A ��� �XA ��� �XXA ���# ��-."� �� ������ � � � ���� � �� � , �� ���V�� c �� �����X� ���� � ��� �� � ��� ���d � c � ������ ���� � �� ���d� e��V�� �� � ��� �� � ��f � , �� ���V� �� ��]��� �� � ����� �� � ����� �� ������ �� ���� �� ����� �� ������ �� � ��� �� ����� �� ����� �� � ����� �� � ���� �� ���� �� � , �� ���V� �� ��.��� �� ������ �� � ����� �� � ����� �� � , �� ���V� �� ��� �� ��� �� ��� � ��� �� �� ��� � , �� ��� �� ���� �� ����� �� � ��� �� � , �� ����������%�� � • 4�#� ���������� �(���� �����%��-�V��� �� � �� �� � �� � + ����� �� � ��� �� � , �� ���� � • ���������������� "���� �� � ,� ,������ �� � ,�V� � • �#��$� �"��� �� � ���� �� � �,� , � ,��� ,� ���V ,���� �� � ���� �� � � ��V � ,�]� � ��]� � • ��������������A �� � �� ���� �� � �� ���� ��"��A �� � ��� ,���� � ��.� � ���� �A �� � ��C ,�] ��C � ��]�� �A �� � �C ��]� � • ����� �# ���������$�� ��� ��-."�� �� � �b �� � �A ���� �� � 3��V � 3� � �� � �C ��]� � ��������)� �(?�� ���������$�� ����"����� � ��� � ��ghi ��2� • ���2-2.2���#��+?���$=#� � ���������$�� ���"�� �� � �j �� � �k ��� • �j ��l� �#(�#�� �� ���� ����( � (���F���( "�:. � :� � + � :� : � �� � +� ;�$�0� ��� F>��������"�:��� � +���:. � �2� ��?���$=#� ������ ��"��j �� � 3� � 3�� � 3.���� � • �k ��l� ������#��1�( �� �� ����#��+?���$=#� �� ��2-2.2����$�# �"�m �� � �� ghi � � � ������� �� ��� �����(��1�(��#���� ��������# ��0 ���������� ���(�� �����(�� � � �"� �k �� � �� 9 ghi � � n io% ��������� �� � �����-���� �� ���� ����� �"���k �� � �� 9 ghi � � n io% �� � �� 9 io% � � n ghi ��� � ���k �� � �� 9 ghi � � n io% � 9 io% � � n ghi ��� �� 9 io% � � n ghi � 9 ghi � n io% ���� ���k �� � �� 9 ghi � � n io% � 9 io% � � n ghi � 9 io% � � n ghi � 9 ghi � n io% ���� ���k �� � �� �9 io% � � �n ghi ��� �����k �� � �� �9 io% � � �n ghi �� � �� �9 ghi � �n io% ���� ����k �� � ��� 9 io% � � n ghi � 9 ghi � n io% ��� � ���� ����������# ��2-2.2"����� � ��� � �� ghi ������ 9 io% � � n ghi � 9 ghi � n io% �� � ��� 9 io% � � n ghi ��� �� ghi ���� �9 io% � � �n ghi � 9 ghi � n io% �� � ghi �� � ��� ������ � P+���� � +2�.��=�+��������$��#���������� ���"��pqrsttu �Z �9 �� � �n +� 9 +� n ��[ � +� �9 �n � + �prstu �Z �9 +� � �n �� 9 �� n +�[ � � � �9 � �n � �� �vo� wh%xyz h ioix{|yl } �9 � �n � + �9 � �n � � � } �9 � n � + �9 � �n � � �voo� ���������������� "�n � �N�����9 � ���r� ;�$�� ���������� ���(�� ���"���k �� � �� ghi ��+ � �� io% �* �� �~ yiio|� y ih$<=h {zy$ l�� �� � 3� � 3�� � 3.��� �� ghi ��+ � �� io% �* � �
Compartilhar