Estimando o Resto

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Estimando o Resto 
 
Exemplo. 
Mostraremos que a série de Taylor gerada por f(x) = ex em x= 0 converge para f(x) para 
todo valor real de x. 
 
Chegamos a: 
𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 +
𝑥2
2!
+
𝑥3
3!
+
𝑥4
4!
+ ⋯ +
𝑥𝑛
𝑛!
+ 𝑅𝑛(𝑥) 
onde 𝑅𝑛(𝑥) =
𝑒𝑐 (𝑎)
(𝑛+1)!
𝑥𝑛+1 para algum c entre zero e x. 
 
Como ex é uma função crescente de x, ec está entre e0 = 1 e ex. Quando x é negativo, c 
também é portanto ec < ex. 
Utilizando |𝑅𝑛(𝑥)| ≤ 𝑀 
𝑟𝑛+1|𝑥−𝑎|𝑛+1
(𝑛+1)!
 temos |𝑅𝑛(𝑥)| ≤
|𝑥|𝑛+1
(𝑛+1)!
 quando x ≤ 0 e |𝑅𝑛(𝑥)| <
𝑒𝑥
𝑥𝑛+1
(𝑛+1)!
 quando x > 0. 
Como lim
𝑛→∞
𝑥𝑛+1
(𝑛+1)!
= 0 , para todo x, temos lim
𝑛→∞
𝑒𝑥
𝑥𝑛+1
(𝑛+1)!
= 𝑒𝑥 lim
𝑛→∞
𝑥𝑛+1
(𝑛+1)!
= 0 então 
lim
𝑛→∞
Rn(x) = 0 e a série converge para e
x para todo x. 
 
Exemplo. 
Encontraremos a série de Maclaurin para f(x) = sen x em a = 0 
 
 f(x) = sen x 
f(0) = sen 0 = 0. 
 
f ’(x) = cos x 
f ’’ (0) = cos 0 = 1. 
 
f ’’(x) = - sen x 
f ’’ (0) = - sen 0 = 0. 
 
 
 
 2 
 
f ’’’(x) = - cos x 
f ’’ (0) = - cos 0 = -1. 
 
f 4(x) = sen x 
f ’’ (0) = sen 0 = 0. 
 
𝑓(0) +
𝑓´(0)
1!
𝑥 +
𝑓´´(0)
2!
𝑥2 +
𝑓´´´(0)
3!
𝑥3 + ⋯ = 𝑥 −
𝑥3
3!
+
𝑥5
5!
−
𝑥7
7!
+ ⋯ = ∑(−1)𝑛
∞
𝑛=0
𝑥2𝑛+1
(2𝑛 + 1)!
 
f(n+1) (x) é ± 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ou ± cos 𝑥 e sabemos que |𝑓𝑛+1(𝑥)| ≤ 1 para todo x. 
Tomando M = 1 a desigualdade ficará: |𝑅𝑛(𝑥)| ≤ 𝑀 
𝑟𝑛+1|𝑥−𝑎|𝑛+1
(𝑛+1)!
= 
|𝑥|𝑛+1
(𝑛+1)!
. 
Como lim
𝑛→∞
𝑥𝑛+1
(𝑛+1)!
= 0 para todo x, temos então que lim
𝑛→∞
Rn(x) = 0 e a série converge.