CALCULO III LISTA EXERCICIOS 2 (Direcional, gradiente, rotacional e divergente) 20181 final

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE SALVADOR 
Disciplina: Cálculo III 
Semestre: 2018.1 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
Cálculo Vetorial 
 
Derivada Direcional e Gradiente 
1. Calcule a derivada direcional 
( )o
f
P
u



 sendo dados: 
(a) 2 2x
f(x,y)=e , 
y 
0P
(1,1) e 
u
é o versor de ( 3, 4). 
(b) 
( , )
x
f x y arctg
y

; 
0P
(3, 3) e 
2 2
,
2 2
u
  
   
 
. 
(c) 
2 2
1
( , ) ;f x y
x y


 
0P
(3, 2) e 
5 12
13 13
u i j
  
 
. 
(d) 
  f x, y xy ;
 ; 
0 (1,4)P 
 e 
u
 é o vetor que faz ângulo 
3/πθ 
 com o eixo OX. 
(e) 
   2 f x, y tg x y ; 0 ( / 6, / 3)P  

u
 é o vetor que faz ângulo 
4/7
 com o eixo OX. 
(f) 
  3 2, f x, y z x y z;
. 
0P
(1, 1, 1 ) e 
 (1, 0, -1) u


 . 
(g) 
     2 2, ln 1, 4, 1 ; 2of x, y z y x z ; P u i j k
   
    
. 
 
2. Determine o gradiente de f no ponto indicado: 
 
(a) 
     
3
2 1, 1f x, y x xy P   
. 
(b) 
     ln 3,4f x, y y x y P  
. 
 
3. Esboce a curva de nível de f que passa por P e desenhe o vetor gradiente em P. 
 
a) 
   4 2 3 1,2f x, y x y ; P  
. 
b) 
   2 24 2,0f x, y x y ; P  
. 
 
 
EAETI 
Escola de Engenharia, 
Arquitetura e 
Tecnologia da Informação 
2 
 
Aplicações de Derivada Direcional e Gradiente 
4. Uma chapa de metal está situada em um plano xy, de modo que a temperatura T em (x,y) é inversamente 
proporcional à distância da origem, e a temperatura em P(3,4) é 100o F. 
a) Ache a taxa de variação de T em P na direção de i + j. 
b) Em que direção e sentido T aumenta mais rapidamente, em P? 
c) Em que direção e sentido T decresce mais rapidamente, em P? 
d) Em que direção a taxa de variação é nula? 
5. Se um potencial elétrico em um ponto (x,y) do plano xy é V(x,y) então o vetor de intensidade elétrica em 
um ponto (x,y) é 
 ,E V x y 
. Suponha que 
   2, cos 2xV x y e y
. Determine o vetor intensidade 
elétrica em 





 
0,
4
 e verifique que, em cada ponto do plano, o potencial elétrico decresce mais rapidamente 
na direção e sentido do vetor E. 
 
6. O potencial elétrico V em um ponto P(x,y,z) num sistema de coordenadas retangulares é dado por 
2 2 24 9 .V x y z  
 Determine a taxa de variação de V em P(2, 1, 3) na direção de P para a origem, ou 
seja , na direção do vetor 
PO
. Determine a direção e sentido que produz taxa máxima de variação de V em 
P. Qual a taxa máxima de variação em P? 
 
Divergente e Rotacional 
7. Determine div F e rot F nos seguintes casos: 
 
a) 
2( , , ) 2F x y z x i j yz k
   
  
 b) 
( , , ) xy yzF x y z e i e j xz k
   
  
 
c) 
( , , )F x y z xy i z j xz k
   
  
 d) 
( , , ) ln( )F x y z x y i z j xz k
   
   
 
8. (a) Seja u um campo escalar e F um campo vetorial. Diga, justificando, se cada expressão a seguir tem 
significado. Em caso afirmativo diga se o resultado é um campo escalar ou vetorial: 
(a1) 
xu
; (a2) 
u
 (a3) 
)Fx.(


 (a4) 
( )F

 
; (a5) 
)F.(


 
(b) Calcule o valor das expressões que têm significado no item (A) para 
2u(x,y,z) x ln(y xz) 
e 
F (x,y,z) i (x yz) j (xy z) k
   
    
. 
9. Ache um campo vetorial conservativo que tenha o potencial indicado 
 
a) 
( , ) ar ( )f x y ctg xy
 b) 
2 2 2( , , ) 3 4f x y z x y z  
 c) 
2 2 2( , , ) ( )f x y z sen x y z  
 
10. Confirme que u é uma função potencial de F 
 a) 
2 2 3( , ) 2 3u x y y x y xy  
 e 
3 3 2F (x,y) (6 ) i (4y 3x -3xy ) jxy y
  
   
. 
 b) 
( , , ) ( ) ( ) ( )u x y z x sen z y sen x z sen y  
 e 
F (x,y,z) ( ( ) cos( )) i ( ( ) cos( )) j (xcos( ) ( )) ksen z y x sen x z y z sen y
   
     
. 
3 
 
11. Verifique se os campos vetoriais são conservativos e em caso afirmativo determine uma função 
potencial para os mesmos 
 
a) 
F (x,y) ( ) i ( ) jx y
  
 
 b) 
2 2F (x,y) ( ) i (5xy ) jx
  
 
 
c) 
F (x,y) cos( cos( )) i ( ( ) ( )) jy y x sen x xsen y
  
   
 d) 
2 2 2 2 2 3(2 , 3 , )F x y z x y z x y y

 
 
e) 
F (x,y) ( cos( ) ) i ( cos( ) ) j kxy xyy xy ye x xy xe
   
    
 (f) 
F (x,y) ( cos( )) i ( ( )) j kyz x xz sen y xy
   
    
 
 
Gabaritos 
 
01. (a) -2/5; b) zero; (c) -6/169; (d) 
8
3
2
1

 (e) 
22
 (f) 
2
; g) 
63
; 
02. (a) -36i-12j; (b) 4i+4j. 
03. (a) a curva de nível é a reta y = 2x e o vetor gradiente (4, -2) 
 (b) a curva de nível é a elipse x2 + 4y2 = 4 e o gradiente ( 4,0) 
04. (a) 
2/28
; (b) a direção de -12i -16j; (c) a direção de 12i +16j; (d) a direção de 4i -3j. 
05.
ie2 2
. 06. 
2996 ,54k +8j-4i ; 
14
178
; 
07. (a) div F = 2x + y; rot F = z i (b) 
( ) xy yzdiv F ye ze x

  
; 
( ) yz xyrot F ye i z j xe k
   
   
 
 
c) 
( )div F y x

 
; 
( )rot F i z j x k
   
   
; d) 
1
( )div F
x y



; 
1
( )rot F i z j k
x y
   
   

 
 
08. a) a1) e a5) não têm significado; a2) e a4) são campos vetoriais e a3) é escalar; 
b) 














 k
xzy
x
j
xzy
xy2
i
xzy
xz
)xzyln(u
2
2
22
2
; 
)Fx.(


 = 0; 
3/ 2
( ) 1
4
z
F k
  
     
 
. 
09. a) 
2 2 2 2
( , )
1 1
y x
F x y i j
x y x y
 
 
; b) F(x,y,z) = 2x i 6y j + 8z k; 
c) F(x,y,z) = 2x cos(x2 +y2 +z2) i + 2y cos(x2 +y2 +z2) j + 2z cos(x2 +y2 +z2) k 
 
10) Resposta pessoal, demonstração. 
11. a) conservativo; 2 2
( , )
2 2
x y
u x y C  
; b) e d) não conservativo; c) conservativo, u(x,y) = xcosy +ysenx + 
C; e) conservativo, u = senxy + exy +z + C; f) conservativo e u = xyz + senx + cosy + C