Aula.p7 ME480 1S 2013

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Varia´veis Aleato´rias Discretas - Esperanc¸a e Variaˆncia
Exemplo
Um empresa´rio pretende estabelecer uma firma para montagem de
um componente mecaˆnico. Cada pec¸a e´ composta de duas partes,
A e B, cada uma com uma chance espec´ıfica de ser defeituosa. So´
e´ poss´ıvel verificar a qualidade das pec¸as depois que elas sa˜o
montadas.
Se ambas sa˜o defeituosas, a pec¸a e´ descartada e da´ um preju´ızo de
$5. Se a pec¸a B e´ defeituosa, ainda e´ poss´ıvel reparar a pec¸a e
obter um lucro de $5. De maneira semelhante, se A e´ defeituosa, o
reparo permite vender a pec¸a inteira com um lucro de $10. Se as
duas pec¸as sa˜o boas, o lucro e´ de $15.
Organizac¸a˜o: Airton Kist, Rafael Tovar, Diego Bernardini, Heloisa Oliveira, Beatriz Cuyabano, Guilherme Ludwig
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Varia´veis Aleato´rias Discretas - Esperanc¸a e Variaˆncia
Exemplo
A` cada uma das configurac¸o˜es esta´ associada uma probabilidade:
P(A ∩ B) = 0,56, P(Ac ∩ B) = 0,23
P(A ∩ Bc ) = 0,02, P(Ac ∩ Bc) = 0,19
Qual o lucro por pec¸a produzida esperado? Qual a variaˆncia?
Como mais podemos descrever a distribuic¸a˜o do lucro? Adaptado
de: Morettin & Bussab, Estat´ıstica Ba´sica 5a edic¸a˜o, pa´g 129.
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Varia´veis Aleato´rias Discretas - Esperanc¸a e Variaˆncia
-5 5 10 15
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Figura : Func¸a˜o de probabilidade para a varia´vel aleato´ria X
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Suponha que o empresa´rio fac¸a a seguinte pergunta: “Qual o lucro
me´dio por conjunto montado que espero conseguir?”.
A definic¸a˜o de valor me´dio, ou esperanc¸a matema´tica, da varia´vel
aleato´ria X que assume valores x1, x2, . . . , xn e´ dada por
E (X ) =
n∑
i=1
xiP(X = xi ) =
n∑
i=1
xip(xi )
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Para saber o lucro me´dio do empresa´rio, basta aplicar a fo´rmula:
E (X ) = 15 ∗ P(X = 15) + 10 ∗ P(X = 10)
+ 5 ∗ P(X = 5)− 5 ∗ P(X = −5)
= 15 ∗ 0,56 + 10 ∗ 0,23 + 5 ∗ 0,02− 5 ∗ 0,19 = 9,85
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Chamamos Variaˆncia da varia´vel aleato´ria X o valor.
Var (X ) =
n∑
i=1
[xi − E (X )]2P(X = xi )
E o desvio-padra˜o de X , DP (X ), e´ a raiz quadrada da variaˆncia.
No caso do empresa´rio, temos Var (X ) = 57,23 e DP (X ) = 7,57.
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Dada a varia´vel aleato´ria X , chamaremos de func¸a˜o de distribuic¸a˜o
acumulada (f.d.a) F (x) a` func¸a˜o
F (x) = P(X ≤ x)
Observe que o dom´ınio de F e´ o conjunto dos nu´meros reais, ao
passo que o contradom´ınio e´ o intervalo [0, 1].
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No problema do empresa´rio, usando a func¸a˜o de probabilidade
obtida anteriormente, obtemos a f.d.a de X:
F (x) =

0 se x < −5
0,19 se −5 ≤ x < 5
0,21 se 5 ≤ x < 10
0,44 se 10 ≤ x < 15
1 se x ≥ 15
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Varia´veis Aleato´rias Discretas - Esperanc¸a e Variaˆncia
-10 -5 5 10 15 20 25
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura : F.d.a. para a varia´vel aleato´ria X
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Podemos considerar outras medidas de localizac¸a˜o ale´m da me´dia
para a varia´vel aleato´ria X .
A mediana de X e´ o valor de X que acumula 0,50 de
probabilidade. Observe que F (x) em -5 e´ 0,19; em 5, e´ 0,21;
e em 10, e´ 0,44. F (x) acumula 0,50 portanto em 15, e
Mediana(X ) = 15.
A moda de X e´ o valor mais prova´vel; no caso,
P(X = 15) = 0,56, portanto Moda(X ) = 15.
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Exemplo
Considere uma urna contendo treˆs bolas vermelhas e cinco pretas.
Retire treˆs bolas, sem reposic¸a˜o, e defina a varia´vel aleato´ria X
igual ao nu´mero de bolas pretas. Obtenha a distribuic¸a˜o de X .
Fonte: Morettin & Bussab, Estat´ıstica Ba´sica 5a edic¸a˜o, pa´g 135.
Repare que na˜o ha´ reposic¸a˜o: a primeira extrac¸a˜o tem 5
possibilidades em 8 de ser uma bola preta; mas, a segunda tera´ 5
em 7 se a primeira for vermelha, ou 4 em 7 se a primeira foi preta,
e assim por diante.
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A partir do gra´fico, podemos construir uma tabela com os eventos
PPP, PPV , etc.
Extrac¸o˜es Probabilidade
PPP 5/8 ∗ 4/7 ∗ 3/6 = 5/28
PPV 5/8 ∗ 4/7 ∗ 3/6 = 5/28
PVP 5/8 ∗ 3/7 ∗ 4/6 = 5/28
VPP 3/8 ∗ 5/7 ∗ 4/6 = 5/28
PVV 5/8 ∗ 3/7 ∗ 2/6 = 5/56
VPV 3/8 ∗ 5/7 ∗ 2/6 = 5/56
VVP 3/8 ∗ 2/7 ∗ 5/6 = 5/56
VVV 3/8 ∗ 2/7 ∗ 1/6 = 1/56
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Finalmente, observe que sa˜o equivalentes os eventos:
{X = 0} = {VVV }
{X = 1} = {VVP} ∪ {VPV } ∪ {PVV }
{X = 2} = {PPV } ∪ {PVP} ∪ {VPP}
{X = 3} = {PPP}
Somando as probabilidades dos eventos, encontradas
anteriormente, obtemos a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de X :
x 0 1 2 3
pX (x) 0,02 0,27 0,53 0,18
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Podemos calcular a esperanc¸a de X a partir de sua func¸a˜o de
probabilidade:
E (X ) =
4∑
x=1
x ∗ pX (x) = 0,27 + 0,53 ∗ 2 + 0,18 ∗ 3 = 1,87
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Exemplo
O tempo T , em minutos, necessa´rio para um opera´rio processar
certa pec¸a e´ uma v.a. com a seguinte distribuic¸a˜o de probabilidade:
t 2 3 4 5 6 7
p(t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1
(a) Calcule o tempo me´dio de processamento.
(b) Cada pec¸a processada paga ao operador $2,00 mas, se ele
processa a pec¸a em menos de 6 minutos, ganha $0,50 por
minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a pec¸a em 4
minutos, ganha um boˆnus de $1,00. Encontre a distribuic¸a˜o, a
me´dia e a variaˆncia da v.a. G : quantia paga por pec¸a.
Fonte: Morettin & Bussab, Estat´ıstica Ba´sica 5a edic¸a˜o, pa´g 140.
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(a) E (T ) =
7∑
t=2
tP(T = t) = 2 ∗ 0,1 + 3 ∗ 0,1 + 4 ∗ 0,3 + 5 ∗ 0,2
+6 ∗ 0,2 + 7 ∗ 0,1 = 4,6
(b) Podemos trocar os valores na tabela do tempo, pelo total
ganho por pec¸a; note, contudo, que o opera´rio recebera´ $2,00
no evento {T = 6} ∪ {T = 7}, logo somamos suas
probabilidades. Seja S a v.a. “ganho final”.
s $ 4,00 $ 3,50 $ 3,00 $ 2,50 $ 2,00
p(s) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,3
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Obtemos a me´dia e a variaˆncia de S atrave´s da definic¸a˜o:
E(S)=
∑
s
sP(S =s)=4·0,1+3,5·0,1+3·0,3+2,5·0,2+2·0,3 = 2,75
E
(
S2
)
=
∑
s
s2P(S =s)=16·0,1+12,25·0,1+9·0,3+6,25·0,2+4·0,3 =
= 7,975
Var (S)=7,975− (2,75)2 =0,4125
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Exemplo (cont.)
Obtenha a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada da v.a. T .
Fonte: Morettin & Bussab, Estat´ıstica Ba´sica 5a edic¸a˜o, pa´g 140.
A func¸a˜o e´ dada por:
F (t) =

0 se t < 2
0,1 se 2 ≤ t < 3
0,2 se 3 ≤ t < 4
0,5 se 4 ≤ t < 5
0,7 se 5 ≤ t < 6
0,9 se 6 ≤ t < 7
1 se t ≥ 7
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O gra´fico da func¸a˜o acumulada e´ dado por:
2 4 6 8
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
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Exemplo
Um inspetor de qualidade extrai uma amostra aleato´ria de 10
tubos armazenados num depo´sito onde, de acordo com os padro˜es
de produc¸a˜o, se espera um total de 20% de tubos defeituosos.
Qual e´ a probabilidade de que na˜o mais do que 2 tubos extra´ıdos
sejam defeituosos?
Se X denotar a varia´vel “nu´mero de tubos defeituosos em 10
extrac¸o˜es independentes e aleato´rias”, qual o seu valor esperado?
Qual a variaˆncia?
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Note que a varia´vel aleato´ria X = nu´mero de tubos defeituosos em
10 extrac¸o˜es tem distribuic¸a˜o binomial, com para˜metros n = 10 e
p = 0,2. Portanto, “na˜o mais do que dois tubos defeituosos” e´ o
evento {X ≤ 2}. Sabemos que, para X ∼ b(10 , 0,2)
P(X = x) =
(
10
x
)
0,2x (1− 0,2)10−x
e que
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) =
(1− 0,2)10 + 10× 0,2(1− 0,2)9 + 45× 0,22(1− 0,2)8 = 0,6778
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Se X ∼ b(n, p), enta˜o
E(X ) = np Var(X ) = np(1− p)
Basta enta˜o aplicar os valores fornecidos para vermos que o
nu´mero esperado de tubos defeituosos num experimento com 10
extrac¸o˜es e´ de 2, e que a variaˆncia e´ de 1,6.
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Exemplo (cont.)
Quando se encontram quatro ou mais tubos defeituosos, o
processo de produc¸a˜o e´ interrompido para revisa˜o. Qual e´ a
probabilidade que isto acontec¸a?
A probabilidade e´ dada por
P(X ≥ 4) = 1− P(X < 4) = 1− P(X ≤ 3) = 1− 0,879 = 0,121.
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