Curva circular simples

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CURVAS HORIZONTAIS 
CIRCULARES
Introdução
Curvas horizontais circulares 2
 β1, β2, β3 são azimutes dos alinhamentos
 θ1, θ2 são ângulos de deflexão
 𝐀𝐁, 𝐃𝐄, 𝐆𝐇 são tangentes (trechos retos entre curvas de concordância)
Introdução
Curvas horizontais circulares 3
 𝐁𝐂, 𝐂𝐃, 𝐄𝐅, 𝐅𝐆 são tangentes externas
 ෢𝐁𝐃, ෢𝐄𝐆 são os desenvolvimentos das curvas de concordância  são 
arcos de círculo concordando duas tangentes
Elementos de uma curva circular
Curvas horizontais circulares 4
 PC: ponto de curva
 PT: ponto de tangente
 PI: ponto de interseção de 
tangentes
 T: tangente externa
 D: desenvolvimento da 
curva
 Δ: ângulo de deflexão
 AC: ângulo central da curva
𝟗𝟎𝟎 + 𝟗𝟎𝟎 + 𝟏𝟖𝟎𝟎 − ∆ + 𝑨𝑪 = 𝟑𝟔𝟎𝟎
Elementos de uma curva circular
Curvas horizontais circulares 5
 R: raio da curva circular
 O: centro da curva
 E: afastamento
 G: grau da curva
 c: corda
 d: deflexão sobre a tangente
Relações entre os elementos
Curvas horizontais circulares 6
No triângulo O-PC-PI:
𝑻
𝑹
= 𝒕𝒈
𝑨𝑪
𝟐
⇒ 𝑻 = 𝑹. 𝒕𝒈
𝑨𝑪
𝟐
𝑫
𝟐. 𝝅. 𝑹
=
𝑨𝑪
𝟑𝟔𝟎
⇒ 𝑫 =
𝝅.𝑹. 𝑨𝑪
𝟏𝟖𝟎
(para AC em graus)
Ou: 𝑫 = 𝑹.𝑨𝑪
(para AC em radianos)
Relações entre os elementos
Curvas horizontais circulares 7
No triângulo O-PC-PI:
𝒄𝒐𝒔
𝑨𝑪
𝟐
=
𝑹
𝑹+ 𝑬
⇒
⇒ 𝑬 = 𝑹. (𝒔𝒆𝒄
𝑨𝑪
𝟐
− 𝟏)
Ou:
𝑬 = 𝑻. 𝒕𝒈
𝑨𝑪
𝟒
Relações entre os elementos
Curvas horizontais circulares 8
No elemento O-A-B:
෢𝑨𝑩
𝑮
=
𝟐. 𝝅. 𝑹
𝟑𝟔𝟎
⇒ 𝑮 =
𝟏𝟖𝟎. ෢𝑨𝑩
𝝅.𝑹
(para G em graus)
Quando R ↑ ⇒ ෢𝑨𝑩 ≈ corda
p/ corda de 20 m:
𝑮𝟐𝟎 =
𝟏𝟖𝟎. 𝟐𝟎
𝝅.𝑹
=
𝟏𝟏𝟒𝟓, 𝟗𝟐
𝑹
Relações entre os elementos
Curvas horizontais circulares 9
No elemento O-A-B:
(𝟗𝟎𝟎 − 𝒅) + 𝟗𝟎𝟎 + ൗ𝑮 𝟐 = 𝟏𝟖𝟎
𝟎
∴ 𝒅 =
𝑮
𝟐
𝒅𝟐𝟎 =
𝑮𝟐𝟎
𝟐
=
𝟏𝟏𝟒𝟓, 𝟗𝟐
𝟐.𝑹
Deflexão por metro:
𝒅𝒎 =
𝒅
𝒄
=
𝑮
𝟐. 𝒄
p/ 𝒄 = 𝟐𝟎𝒎: 𝒅𝒎 =
𝒅𝟐𝟎
𝟐𝟎
=
𝑮𝟐𝟎
𝟒𝟎
Importante!
Curvas horizontais circulares 10
 Estacas (estaqueamento da estrada)
 Anteprojeto: estacas a cada 50 metros
 Projeto: estacas a cada 20 metros
 Notação:
 [ A + B ]
 A: número inteiro de estacas
 B: distância em metros (fração de estaca)
 Exemplo: 335,48 m  [ 16 + 15,48 m ]
Pontos notáveis
Curvas horizontais circulares 11
Est. PC = Est. PI – T
Est. PT = Est. PC + D
Indicação em projeto
Curvas horizontais circulares 12
Indicação em projeto
Curvas horizontais circulares 13
Exercício
Verificar o raio mínimo e calcular os elementos geométricos da 
curva circular simples de um trecho da estrada.
Dados:
 AC = 35º12’
 R = 350 m
 PI = 68 + 2,38 m
 Região plana; classe III
Curvas horizontais circulares 14
Locação da curva circular
Curvas horizontais circulares 15
Locação da curva circular
Curvas horizontais circulares 16
Utilizando os dados do exercício anterior:
 Est. PC = [ 62 + 11,35m ]
 Est. PT = [ 73 + 6,37m ]
 d20 = 1,637º = 1º38’13”
 dm = 0,08185º = 0º04’55”
Pelo menos 5 casas decimais!!!
Locação da curva circular
Curvas horizontais circulares 17
Utilizando os dados do exercício anterior:
Estaca
Corda 
(m)
Deflexão parcial 
(graus)
Deflexão parcial 
(GMS)
Deflexão acumulada 
(GMS)
PC 62+11,35 -- -- -- --
63 8,65 0,70800 0° 42' 29" 0° 42' 29"
64 20 1,63700 1° 38' 13" 2° 20' 42"
65 20 1,63700 1° 38' 13" 3° 58' 55"
66 20 1,63700 1° 38' 13" 5° 37' 08"
67 20 1,63700 1° 38' 13" 7° 15' 22"
68 20 1,63700 1° 38' 13" 8° 53' 35"
69 20 1,63700 1° 38' 13" 10° 31' 48"
70 20 1,63700 1° 38' 13" 12° 10' 01"
71 20 1,63700 1° 38' 13" 13° 48' 14"
72 20 1,63700 1° 38' 13" 15° 26' 28"
73 20 1,63700 1° 38' 13" 17° 04' 41"
PT 73+6,37 6,37 0,52138 0° 31' 17" 17° 35' 58"
Locação da curva circular
Curvas horizontais circulares 18
Utilizando os dados do exercício anterior:
Estaca
Corda 
(m)
Deflexão parcial 
(graus)
Deflexão parcial 
(GMS)
Deflexão acumulada 
(GMS)
PC 62+11,35 -- -- -- --
63 8,65 0,70800 0° 42' 29" 0° 42' 29"
64 20 1,63700 1° 38' 13" 2° 20' 42"
65 20 1,63700 1° 38' 13" 3° 58' 55"
66 20 1,63700 1° 38' 13" 5° 37' 08"
67 20 1,63700 1° 38' 13" 7° 15' 22"
68 20 1,63700 1° 38' 13" 8° 53' 35"
69 20 1,63700 1° 38' 13" 10° 31' 48"
70 20 1,63700 1° 38' 13" 12° 10' 01"
71 20 1,63700 1° 38' 13" 13° 48' 14"
72 20 1,63700 1° 38' 13" 15° 26' 28"
73 20 1,63700 1° 38' 13" 17° 04' 41"
PT 73+6,37 6,37 0,52138 0° 31' 17" 17° 35' 58"
Locação da curva circular
Curvas horizontais circulares 19
Utilizando os dados do exercício anterior:
Estaca
Corda 
(m)
Deflexão parcial 
(graus)
Deflexão parcial 
(GMS)
Deflexão acumulada 
(GMS)
PC 62+11,35 -- -- -- --
63 8,65 0,70800 0° 42' 29" 0° 42' 29"
64 20 1,63700 1° 38' 13" 2° 20' 42"
65 20 1,63700 1° 38' 13" 3° 58' 55"
66 20 1,63700 1° 38' 13" 5° 37' 08"
67 20 1,63700 1° 38' 13" 7° 15' 22"
68 20 1,63700 1° 38' 13" 8° 53' 35"
69 20 1,63700 1° 38' 13" 10° 31' 48"
70 20 1,63700 1° 38' 13" 12° 10' 01"
71 20 1,63700 1° 38' 13" 13° 48' 14"
72 20 1,63700 1° 38' 13" 15° 26' 28"
73 20 1,63700 1° 38' 13" 17° 04' 41"
PT 73+6,37 6,37 0,52138 0° 31' 17" 17° 35' 58"
𝒅𝒎. 𝒄
Locação da curva circular
Curvas horizontais circulares 20
Utilizando os dados do exercício anterior:
Estaca
Corda 
(m)
Deflexão parcial 
(graus)
Deflexão parcial 
(GMS)
Deflexão acumulada 
(GMS)
PC 62+11,35 -- -- -- --
63 8,65 0,70800 0° 42' 29" 0° 42' 29"
64 20 1,63700 1° 38' 13" 2° 20' 42"
65 20 1,63700 1° 38' 13" 3° 58' 55"
66 20 1,63700 1° 38' 13" 5° 37' 08"
67 20 1,63700 1° 38' 13" 7° 15' 22"
68 20 1,63700 1° 38' 13" 8° 53' 35"
69 20 1,63700 1° 38' 13" 10° 31' 48"
70 20 1,63700 1° 38' 13" 12° 10' 01"
71 20 1,63700 1° 38' 13" 13° 48' 14"
72 20 1,63700 1° 38' 13" 15° 26' 28"
73 20 1,63700 1° 38' 13" 17° 04' 41"
PT 73+6,37 6,37 0,52138 0° 31' 17" 17° 35' 58"
Locação da curva circular
Curvas horizontais circulares 21
Utilizando os dados do exercício anterior:
Estaca
Corda 
(m)
Deflexão parcial 
(graus)
Deflexão parcial 
(GMS)
Deflexão acumulada 
(GMS)
PC 62+11,35 -- -- -- --
63 8,65 0,70800 0° 42' 29" 0° 42' 29"
64 20 1,63700 1° 38' 13" 2° 20' 42"
65 20 1,63700 1° 38' 13" 3° 58' 55"
66 20 1,63700 1° 38' 13" 5° 37' 08"
67 20 1,63700 1° 38' 13" 7° 15' 22"
68 20 1,63700 1° 38' 13" 8° 53' 35"
69 20 1,63700 1° 38' 13" 10° 31' 48"
70 20 1,63700 1° 38' 13" 12° 10' 01"
71 20 1,63700 1° 38' 13" 13° 48' 14"
72 20 1,63700 1° 38' 13" 15° 26' 28"
73 20 1,63700 1° 38' 13" 17° 04' 41"
PT 73+6,37 6,37 0,52138 0° 31' 17" 17° 35' 58"
+
=
≈ AC/2
Exercício proposto
Calcular os elementos geométricos da curva circular simples de 
um projeto e sua tabela de locação.
Dados:
 AC = 42º26’
 R = 300 m
 PI = 54 + 15,4 m
 Região plana; classe II
Curvas horizontais circulares 22
Exercício proposto
No traçado abaixo, sendo as curvas circulares simples e 
sabendo-se que o ponto A encontra-se na estaca [115+2,30m], 
determinar todas as estacas notáveis do trecho, bem como a sua 
extensão total.
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A
B