APS - Atividade Prática SUpervisionada

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INTRODUÇÃO
	Nas ciências exatas, especialmente em áreas como matemática, física e engenharias nos deparamos com problemas que frequentemente tem como solução uma equação do tipo f(x)=0.
	Em algumas situações, determinar os valores que x assume para que a equação f(x)=0 seja verdade não é uma tarefa muito laboriosa, isso porque existem fórmulas prontas para a determinação das raízes de determinados tipos de equação, como as equações de segundo grau, por exemplo, que utilizam a fórmula de Bhaskara. Existem também situações em que a determinação das raízes é intuitiva, como é o caso de algumas equações trigonométricas.
	No entanto, em vários outros casos, a determinação das raízes da equação não se dá de forma tão fácil, pois as equações envolvem vários tipos de funções (trigonométricas, logaritmos, exponenciais, polinomiais, etc) em uma única equação do tipo f(x)=0.
	Para determinar o valor das raízes de equações mais complexas foram desenvolvidos métodos iterativos, onde se consegue obter aproximações para as raízes das funções. Os principais métodos iterativos são: método iterativo linear, método da bissecção, método de Newton-Raphson e método da secante.
	Este presente trabalho tem por objeto descrever os métodos de Newton-Raphson e secante para determinação de zeros reais de funções. Faz-se uma breve descrição de cada método, seus critérios de convergência, critérios de parada, interpretações geométricas e um exemplo resolvido de cada. Ao fim, existe a implementação em linguagem C de cada método.
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Descrição do Método
	O método de Newton-Raphson utiliza como base o método do ponto fixo (MPF), ou também, método interativo linear (MIL), no qual sabe-se que (RUGGIERO, 1996):
Uma das condições de convergência é que |φ’(x)| ≤ M < 1, para todo x ∈ I, na qual I é um intervalo centrado na raiz;
A convergência do método mais rápido quanto menor for |φ’(ξ)| (ξ é a raiz).
A diferença é que o método aqui estudado é escolher para a função de iteração a função φ (x) tal que φ’ (ξ) = 0.
Seja uma equação qualquer f (x) = 0 e pensando de forma geral para φ(x), queremos obter uma função A(x) tal que φ’ (ξ) = 0.
Logo:
φ(x) = x + A(x)f(x) (1)
Derivando a equação e lembrando que φ’ (ξ) = 0, temos:
A(x) = -1/f ’(x) (2)
φ(x) = x – (f(x)/f ‘(x)) (3)
Temos que f(ξ) = 0, φ’ (ξ) = 0 (sendo f ‘(ξ) ≠ 0), tornando a suposição válida. 	Assim, fazendo φ (x) = xk+1 podemos encontrar a raiz através de n iterações por meio da seguinte sequência:
	Que é a sequência utilizada para determinar a raiz de um função pelo método de Newton-Raphson.
Convergência do Método
	Para que se garanta a convergência do método de Newton-Raphson é necessário garantir apenas duas simples condições (RUGGIERO, 1996):
φ (x) e φ’ (x) são contínuas em um intervalo I que contenha a raiz;
|φ’ (x)| < 1. Sabe-se que φ(x) = x – (f(x)/f ‘(x)).
	Logo, temos que:
φ’(x) = ( [f(x).f ''(x)] / [f '(x)]² ) (5) 
Então φ(x) converge para uma raiz ξ de f(x) para algum ponto xn próximo de ξ. 
Observa-se que a velocidade da convergência do método de Newton-Raphson depende do valor inicial da aproximação para a raiz da função.
Pode-se afirmar que o método de Newton converge desde que a aproximação inicial seja próxima da raiz.
Critério de Parada
	Sabe-se que para aplicarmos o método de Newton devemos primeiramente escolher uma aproximação inicial que esteja próxima da raiz da função f.
	Para sabermos se o valor encontrado para a raiz é satisfatório, podemos verificar de duas maneiras diferentes:
Se |xk+1 – xk| < erro (E);
Se |f(xk+1)| < erro (E);
	onde o erro é determinado pelo usuário.
	Se o valor encontrado para a raiz satisfazer um dos dois critérios, podemos considerar que o valor xk+1 é uma boa aproximação para a raiz da função f.
Interpretação Geométrica
	A interpretação geométrica do método de Newton, pode ser feita como segue.
Figura 1 - Interpretação geométrica do método de Newton-Raphson.
	Analisando a Figura 1 podemos perceber que (SPERANDIO, 2003):
tg θ = f(x0) / (x0 – x1) (6)
	Sabemos também que tg θ = f ‘(x0), logo, desenvolvendo a equação, temos:
x1 = x0 – [f(x0) / f ‘(x0)] (7)
	Logo, através da interpretação geométrica também chegamos a equação de iteração do método.
Exemplo resolvido manualmente
	Podemos exemplificar o método de Newton-Raphson através da equação x – ex-2 = 0, onde sabe-se que o intervalo que contém ao menos uma raiz da função é (0,1), com erro 10-5.
Solução: sabe-se que f(x) = x – ex-2, f ‘(x) = 1 – ex-2;
	n (iteração)
	xn
	f(x)
	|xk+1 – xk|
	0
	0,4
	0,198103
	0,248217
	1
	0,151783
	-0,005735
	0,006807
	2
	0,158590
	-0,000004
	0,000005
	3
	0,158595
	0,000001
	0,000001
	Raiz aproximada
	0,158595
	
	
Então x4 = ξ = 0,158595, com erro de cinco casas decimais.
MÉTODO DA SECANTE
Descrição do Método
	O método da secante nada mais é, que a substituição de pelo quociente das diferenças da equação de recorrência do método Newton-Raphson (SPERANDIO, 2003).
	Onde são duas estimativas quaisquer para α, resultando:
	Observa-se que esse método carece de duas aproximações de condição inicial cada e nesse caso, , por isso, é necessário calcular o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos para descobrir o ponto em que a própria reta corta o eixo das abscissas.
Convergência do Método
	Já que o método da secante é uma estimativa do método de Newton, as condições para a convergência do método é próximo do método de Newton.
	Desse modo, os critérios para convergência do método da secante ficam restritos a:
f(xk) é contínua em um intervalo I que contenha a raiz;
Determinar duas aproximações para a raiz;
Se f(xk) estiver muito próximo de f(xk+1), o método pode divergir.
Assim, tomando como base uma função que possua ao menos uma raiz real, o método da secante convergirá desde que as duas aproximações para a raiz utilizadas inicialmente estejam próximas da raiz.
Observa-se que quando comparado ao método de Newton-Raphson, o método da secante terá velocidade de convergência menor.
Critério de parada
	A exemplo do método de Newton-Raphson, para determinar o critério de para o cálculo da raiz da função pode-se utilizar duas maneiras diferentes:	
Se |xn+1 – xn| < erro (E);
Se |f(xn+1)| < erro (E);
	onde o erro é determinado pelo usuário.
	Se o valor encontrado para a raiz satisfazer um dos dois critérios, podemos considerar que o valor xn+1 é uma boa aproximação para a raiz da função f.
	
Interpretação Geométrica
Figura 2: Interpretação geométrica para o método da secante.
	Na interpretação geométrica pelo método da secante, consideramos dois pontos conhecidos da função (xn-1, f(xn-1)) e (xn, f(xn)) (RUGGIERO, 1996).
	Assim obtemos a reta que intercepta esses dois pontos e calculamos o valor de xn+1, que é o valor de x em que a reta intercepta o eixo das abscissas.
	Realiza-se o método n vezes até encontrar um valor para xn+1 que satisfaça o critério de parada.
Exemplo resolvido manualmente
	Iteração
	
	
	1
	0,375
	-0,32226
	2
	0,33194
	0,0491
	3
	0,33763
	-0,2222.
Então e .
IMPLEMENTAÇÃO DOS MÉTODOS
	A implementação dos métodos foi realizada utilizando-se a linguagem de programação C++, sendo que os códigos foram escritos, compilados e executados com a utilização do programa Dev-C++©.
	A seguir estão apresentados os códigos utilizados para a implementação do método de Newton-Raphson e do método da secante, bem como um exemplo de execução que utiliza os métodos para determinar o valor de π.
Método de Newton-Raphson
#include<stdio.h> 
#include<conio.h> 
#include<math.h> 
#include<stdlib.h>double f(float Xi); 
double f1(float Xi); 
int main(void){ 
int SI=1; 
do{ 
system("cls"); 
float Xi=0,Ea=0,Xz=0; 
int cont=0; 
printf("\t###\t\tGRUPO n. 5\t\t###\n"); 
printf("\t###\tMetodo de Newton-Raphson\t###\n\n\n"); /* Aplicado para descobrir a raiz da função f*/
printf("Digite o valor de Xi:\n"); /* Valor da aproximação inicial da raiz*/
scanf("%f", &Xi); 
printf("\n\nN\t Xi \t\t f(Xi) \t f1(Xi) Ea \t \t X\n"); 
do{ 
Xz=Xi-(f(Xi)/f1(Xi)); 
Ea=(Xz-Xi);
printf("%d\t %f \t %.2f \t %.2f \t %f \t %f\n", cont, Xi, f(Xi), f1(Xi), Ea, Xz); 
Xi=Xz; 
cont++; 
}
while(Ea<=-0.000001 or Ea>=0.000001); /* Valor do erro: 10 ^ (-6) */
printf("\nValor aproximado: %f \n\n", Xz);
printf("\n\nRealizar a operacao com outro valor? Sim [1] ou Nao [2]:\n"); 
scanf("%d", &SI); 
printf("\n");
}
while(SI<=1);
system("PAUSE"); 
return 0; 
} 
double f(float Xi){ 
float z = (sin(Xi)); /* Função */
return z; 
} 
double f1(float Xi){ 
float n = (cos(Xi)); /* Derivada da função */
return n; 
} 
A figura mostra a utilização do código para determinar o valor de pi.
Figura 3: Método de Newton-Raphson utilizado para encontrar o valor de pi.
Método da secante
#include<conio.h> 
#include<math.h> 
#include<stdlib.h> 
#include<stdio.h> 
double f(float Xi); 
double f1(float Xr); 
int main(void){ 
int SI=1; 
do{ 
system("cls"); 
float Xi=0,Ea=0,Xz=0,Xr=0; 
int cont=0; 
printf("\t#####\t\tGRUPO n. 5\t\t#####\n"); 
printf("\t#####\t\tMetodo da Secante\t#####\n\n\n"); /* Aplicado para descobrir o valor aproximado da raiz da função */
printf("Digite o valor de Xi:\n"); /* Valor de X inicial */
scanf("%f",&Xi); 
printf("Digite o valor de Xr:\n"); /* Valor do X seguinte */
scanf("%f",&Xr); 
printf("\n\nN \tXr \t Xi \t Xi+1 \t f(Xr) f(Xi) Ea\n" ); 
do{ 
Xz= Xi-((f(Xi)*(Xr-Xi))/(f1(Xr)-f(Xi))); 
Ea=fabs((Xz-Xi)); 
printf("%d\t%f %.5f %.5f %.5f %.5f %f \n", cont, Xr, Xi, Xz, f1(Xr), f(Xi), Ea); 
cont++; 
Xi=Xr;
Xr=Xz; 
}
while(Ea>=0.001); /* Valor do erro: 10 ^ (-3) */
printf("\nValor aproximado: %f \n\n", Xz);
printf("\n\nRealizar a operacao com outro valor? Sim [1] ou Nao [2]:\n"); 
scanf("%d", &SI); 
printf("\n");
}
while(SI<=1); 
system("PAUSE"); 
} 
double f(float Xi){ 
return (sin(Xi)); /* Função aplicada em na primeira aproximação */
} 
double f1(float Xr){ 
float n = (sin(Xr)); /* Função aplicada na segunda aproximação */
return n; 
} 
A figura mostra a utilização do código para determinar o valor de pi.
Figura 4: Método da secante utilizado para encontrar o valor de pi.
CONCLUSÃO
	Com a apresentação deste presente trabalho, observa-se que os métodos de Newton-Raphson e da secante são muito importantes para a determinação de zeros de funções.
	Observa-se que os métodos conseguem determinar as raízes tanto de funções mais complexas e elaboradas quanto de funções mais simples, como mostrados nos exemplos utilizados neste presente trabalho.
	Uma grande vantagem de tais métodos é que sua implementação em programas computacionais não é uma tarefa árdua, tendo em mente que quanto executados, tais programas determinam o valor aproximado da raiz de forma quase instantânea.
	A aplicação de tais métodos em problemas relacionados à engenharia, em especial a engenharia elétrica é muito importante, sendo uma ferramenta de extrema importância para análise de "comportamentos ótimos".
REFERÊNCIAS
RUGGIERO, Márcia A. Gomes; LOPES, Vera Lúcia da Rocha. Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo: Pearson, 1996.
SPERANDIO, Décio; MENDES, João Teixeira; SILVA, Luiz Henry Monken e. Cálculo Numérico: Características Matemáticas e Computacionais dos Métodos Numéricos. São Paulo: Pearson, 2003.