APOSTILA DE Álgebra Linear

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Sumário 
 
1. Matrizes .......................................................................................................................................................... 3 
1.1. Operações com matrizes ............................................................................................................................. 4 
1.2. Operações elementares com linhas de uma matriz...................................................................................... 5 
1.3. Questões ..................................................................................................................................................... 7 
2. Determinantes ................................................................................................................................................ 8 
2.1. Regra de Chió .............................................................................................................................................. 9 
2.2. Teorema de Laplace .................................................................................................................................... 9 
2.3. Questões ....................................................................................................................................................10 
3. Sistemas Lineares ...........................................................................................................................................11 
3.1. Método do escalonamento.........................................................................................................................12 
3.2. Regra de Cramer ........................................................................................................................................13 
3.3. Questões ....................................................................................................................................................14 
4. Vetores ...........................................................................................................................................................15 
4.1. Adição de Vetores ......................................................................................................................................15 
4.2. Multiplicação por escalar ...........................................................................................................................16 
4.3. Questões ....................................................................................................................................................16 
5. Operações com vetores ..................................................................................................................................17 
5.1. Módulo.......................................................................................................................................................17 
5.2. Produto escalar (ou produto interno) .........................................................................................................17 
5.3. Produto vetorial (ou produto externo)........................................................................................................18 
5.4. Questões ....................................................................................................................................................20 
6. Espaços vetoriais ............................................................................................................................................20 
6.1. Questões ....................................................................................................................................................22 
7. Subespaços vetoriais ......................................................................................................................................23 
7.1. Questões ....................................................................................................................................................25 
8. Interseção, união e soma de subespaços ........................................................................................................26 
8.1. Interseção ..................................................................................................................................................26 
8.2. Soma ..........................................................................................................................................................27 
8.3. União .........................................................................................................................................................28 
8.4. Questões ....................................................................................................................................................28 
9. Combinação linear ..........................................................................................................................................29 
9.1. Questões ....................................................................................................................................................29 
10. Subespaços gerados ...................................................................................................................................30 
10.1. Questões ....................................................................................................................................................31 
11. Dependência e Independência Linear .........................................................................................................32 
11.1. Questões ....................................................................................................................................................34 
12. Base de um espaço vetorial ........................................................................................................................34 
12.1. Questões ....................................................................................................................................................37 
13. Dimensão ...................................................................................................................................................37 
13.1. Questões ....................................................................................................................................................38 
14. Mudança de base .......................................................................................................................................39 
14.1. A inversa da matriz de mudança de base ...................................................................................................41 
14.2. Questões ....................................................................................................................................................41 
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1. Matrizes 
Sejam e inteiros positivos. Chama-se matriz (sobre R) qualquer lista ordenada de m-n 
números reais, dispostos em linhas e colunas. Os números que constituem uma matriz são chamados 
de termos da matriz. 
Uma matriz A, , pode ser denotada como se segue: 
 
Ou, simplesmente, , onde e . Notamos que os índices i e j indicam a 
posição que o termo ocupa na matriz. O termo está na i-ésima linha e na j-ésima coluna. 
Seja uma matriz . Chama-se diagonal principal, ou simplesmente diagonal da matriz A, 
a lista ordenada . Chama-se diagonal secundária da matriz A, a lista ordenada 
. A soma dos índices dos termos da diagonal secundária é sempreigual a n+1. 
 Igualdade de Matrizes: 
Sendo , e , matrizes, A e B são iguais, se e somente se, para quaisquer 
valores de i e de j. 
 Tipos de Matrizes: 
o Chama-se matriz linha toda matriz , ou seja, toda matriz constituída de uma só linha. 
o Chama-se matriz coluna toda matriz , ou seja, toda matriz constituída de uma só 
coluna. 
o Chama-se matriz nula aquela cujos termos são todos nulos. 
o Uma matriz chama-se quadrada se . 
o Uma matriz quadrada chama-se triangular superior se todos os termos que ficam 
abaixo da diagonal principal são iguais a zero, ou seja, sempre que . 
o Uma matriz quadrada chama-se triangular inferior se todos os termos que ficam 
acima da diagonal principal são iguais a zero, ou seja, sempre que . 
o Uma matriz quadrada chama-se diagonal se todos os termos fora da diagonal 
principal são iguais a zero, ou seja, sempre que . 
o Chama-se matriz identidade a matriz diagonal cujos termos da diagonal principal 
são todos iguais a 1. Ela é denotada por ou simplesmente por I. 
o Uma matriz quadrada chama-se simétrica se para quaisquer que sejam i 
e j, isto é, se os termos simetricamente situados em relação à diagonal principal são iguais. 
o Exemplos: , , , toda matriz diagonal. 
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o Uma matriz quadrada chama-se anti-simétrica se para quaisquer que 
sejam i e j, ou seja, se os termos simetricamente situados em relação à diagonal principal são 
números reais simétricos e os termos da diagonal são todos nulos. 
 
o Exemplos: , , matriz quadrada nula. 
1.1. Operações com matrizes 
 Adição de Matrizes: 
Sejam , e matrizes . Definimos a soma das matrizes A e B como sendo a 
matriz , em que . Ou seja, somar A com B consiste em somar termos 
correspondentes. 
Propriedades (1): Para quaisquer matrizes , , e , as seguintes 
propriedades são válidas: 
o Associatividade: A + (B + C) = (A + B) + C; 
o Comutatividade: A + B = B + A; 
o Elemento neutro: A + O = A, onde O é a matriz nula; 
o Matriz oposta: A + (-A) = O, onde . Chamamos (–A) de matriz oposta de A; 
o Multiplicação de um escalar por uma matriz: Sejam x R e uma matriz 
. Definimos o produto da matriz A pelo escalar x como . Isto é, 
multiplicar x por A consiste em multiplicar x por todos os termos de A. 
Propriedades (2): Para quaisquer que sejam as matrizes , e e os números 
reais x e y, valem as seguintes propriedades: 
o x.(A + B) = x.A + x.B (Distributiva para escalar) 
o (x + y).A = x.A + y.A (Distributiva para matrizes) 
o x.(y.A) = (xy).A (Associativa) 
o 1.A = A (1 é o escalar que representa o elemento neutro dessa operação) 
 
 Multiplicação de Matrizes: 
Seja uma matriz . Denotaremos por a i-ésima linha de A e a j-ésima coluna de A. 
Isto é: 
 
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Sejam A = ( ) uma matriz e uma matriz . Definimos o produto da matriz A pela 
matriz B como = . 
Observação 1: O produto A.B é uma matriz ; 
Observação 2: O termo de A.B que se situa na i-ésima linha e na j-ésima coluna é . 
Observação 3: Quando existe uma matriz tal que , dizemos que A é uma matriz 
invertível, e chamamos de matriz inversa de A. 
 Propriedades: 
o Se A é uma matriz , então = . Isso indica que a matriz identidade é o 
elemento neutro para a multiplicação de matrizes. 
o Se A é uma matriz e B e C são matrizes , então , ou 
seja, a multiplicação se distribui à esquerda em relação à soma de matrizes. 
o Para as mesmas matrizes A, B e C, temos , ou seja, a multiplicação 
se distribui à direita em relação à soma de matrizes. 
o Seja A uma matriz , B uma matriz e , então . 
o Se A, B e C são, respectivamente, matrizes , e , então 
 (comutatividade). 
 
 Transposição de Matrizes: 
Seja A uma matriz , definimos a transposta de A como sendo a matriz , em que 
. 
Exemplo: 
 
Propriedades: Sejam x um número real, A e B matrizes e C uma matriz . Então valem as 
seguintes propriedades: 
o 
o 
o 
o 
1.2. Operações elementares com linhas de uma matriz 
Seja A uma matriz . Chama-se operação elementar com linhas de A qualquer uma das 
operações descritas a seguir: 
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Permutação de duas linhas de A; 
Multiplicação de uma linha de A por um número real não nulo; 
Substituição de por , em que e x é um número real qualquer. 
Exemplo: 
 
A primeira operação acima consistiu em multiplicar a primeira linha por 1/3 e a segunda operação em 
substituir a segunda linha por ela mais (-2) vezes a primeira ( ). 
Sejam A e B matrizes . Dizemos que A é linha-equivalente a B se B pode ser obtida a partir de A 
através de operações elementares com linhas. (No exemplo anterior, notamos que a primeira matriz é 
linha-equivalente à terceira) 
Matriz na forma escada: 
Seja A uma matriz . Dizemos que A é uma matriz na forma escada, se as seguintes condições 
são satisfeitas: 
As possíveis linhas nulas ficam abaixo das possíveis linhas não nulas. 
O primeiro termo não nulo de cada linha não nula é igual a 1. 
Os demais termos da coluna à qual pertence o primeiro termo não nulo de uma linha não nula são 
todos nulos. 
A coluna à qual pertence primeiro termo não nulo de uma linha não nula fica à direita do primeiro 
termo não nulo da linha anterior, isto é, se p é o número de linhas não nulas e se o primeiro termo não 
nulo da i-ésima linha não nula ocorre na -ésima coluna, então . 
 
Exemplos: 
 
 
Teorema: Toda matriz é linha-equivalente a uma matriz na forma escada. 
Exemplo: 
 
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1.3. Questões 
1) Se A = e B = , calcule AB e BA. 
 
2) Se A= , ache B, de modo que 
 
3) Suponha que A 0 e AB=AC onde A,B,C são matrizes tais que a multiplicação esteja definida. 
a) B=C? 
b) Se existir uma matriz Y, tal que YA=I, onde I é a matriz identidade, então B=C? 
 
4) Diz-se que as matrizes A e B são comutativas se AB = BA. Encontre todas as matrizes que 
sejam comutativas com 
 
5) Seja A = 
a) Encontre A2 e A3 . 
b) Se , encontre 
c) Se , encontre 
 
6) Para cada uma das matrizes a seguir, encontra uma matriz na forma escada, à qual a matriz dada 
é linha equivalente. 
a) 
b) 
c) 
d) 
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e) 
f) 
 
7) Sejam A e B matrizes quadradas do mesmo tamanho, em que A é invertível. Mostre, por indução, 
que para todo inteiro positivo n. 
2. Determinantes 
Determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um escalar. Seu cálculo é feito 
somando os termos ligados pelas diagonais paralelas à diagonal principal, e subtraindo deste valor a soma 
dos produtos dos termos ligados pelas setas paralelas à diagonal secundária: 
 
Temos que: 
 
Sejam matrizes quadradas de ordem , e um escalar qualquer, essas são algumas das 
propriedades dos seus determinantes: 
o 
o 
o Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante 
desta matriz será zero. 
o Se A tem duas filas iguais, então 
o Se permutarmos duas linhas ou colunas de A, então o determinante muda de sinal. 
o Se A e B são matriz quadradas da mesma ordem, então 
Observação 1: O determinante de uma matriz triangular ou diagonal é o produto dos termos de sua 
diagonal principal. 
Observação 2: O determinante permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são 
precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0. 
, aplicando determinante dos dois lados, temos: 
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Assim, se o determinante da matriz A for nulo, a matriz inversa não pode existir. 
2.1. Regra de Chió 
Através dessa regra é possível diminuir de para a ordem de uma matriz quadrada A sem 
alterar o valor do seu determinante. 
A regra prática de Chió consiste em: 
1) Escolher um elemento (caso não exista, aplicar as propriedades para que apareça o 
elemento 1). 
2) Suprimir a linha i e a coluna j do elemento , obtendo-se o menor complementar do 
referido elemento. 
3) Subtrair de cada elemento do menor complementar obtido o produto dos elementos que ficam 
nos pés das perpendiculares traçadas do elemento considerado às filas suprimidas. 
4) Multiplicar o determinante obtido no item anterior por onde i e j designam as ordens da 
linha e da coluna às quais pertence o elemento do primeiro item. 
Exemplo: 
 
2.2. Teorema de Laplace 
Chama-se de menor complementar ( ) de um elemento de uma matriz quadrada A o determinante 
que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz. 
Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem a seguir: 
, podemos escrever: 
 = menor complementar do elemento da matriz A. Pela definição, será igual ao 
determinante que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja: 
 
Chama-se de cofator de um elemento de uma matriz o seguinte produto: 
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Assim, por exemplo, o cofator do elemento da matriz do exemplo anterior é igual a: 
 
 Observações sobre o teorema: 
o O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma 
fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. 
o Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já 
conhecemos as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só 
recorremos à este teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. Seu uso 
possibilita diminuir a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de 
4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatro determinantes de 3ª ordem. 
o Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha 
ou coluna) que contenha mais zeros, para que seu produto seja nulo. 
 
 
2.3. Questões 
1) Dadas as matrizes A = e B = , calcule 
a) 
b) 
 
2) Sejam A e B matrizes do tipo . Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas: 
a) det(AB) = det(BA) 
b) det(A’) = det A 
c) det(2A) = 2 det A 
d) det(A²) = (det A)² 
 
3) Calcule o , onde: 
a) A = 
b) A = 
 
4) Prove que 
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5) Mostre que det = . 
 
6) Verdadeiro ou falso? 
a) Se det A = 1, então A-1 = A. 
b) Se A é uma matriz triangular superior e A-1 existe, então também A-1 será uma matriz 
triangular superior. 
c) Se A é uma matriz escalar da forma , então . 
d) Se A é uma matriz triangular, então . 
 
7) Calcule . 
 
8) Mostre que . 
3. Sistemas Lineares 
 Definição 1: Seja um inteiro positivo. Chama-se equação linear a incógnitas toda equação 
do tipo em que , , ..., , são constantes reais e , , ..., 
 são incógnitas. Chamamos cada de coeficiente de e de termo independente da 
equação. 
 Definição 2: Sejam e inteiros positivos. Chama-se sistema linear a equações e 
incógnitas todo sistema com m equações lineares, todas às mesmas n incógnitas. 
Denotaremos o sistema citado como se segue: 
 
Chama-se solução do sistema toda lista ordenada de números reais que satisfaz a 
todas as equações do sistema linear e chama-se conjunto solução do sistema o conjunto constituído de 
todas as soluções. 
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Dizemos que o sistema linear é, respectivamente, impossível, possível determinado ou possível 
indeterminado conforme seu conjunto solução seja vazio, unitário ou tenha pelo menos dois elementos. 
3.1. Método do escalonamento 
O método do escalonamento consiste em transformar uma matriz qualquer em uma matriz na 
forma escada através de operações elementares com linhas. O objetivo disso é resolver sistemas lineares. 
Para tanto, devemos saber que cada sistema linear tem duas matrizes correspondentes: uma chamada 
matriz dos coeficientes ou matriz incompleta do sistema e outra chamada matriz completa do sistema. 
Listemos a seguir as matrizes referentes a um sistema genérico: 
 
Matriz incompleta 
 
Matriz completa 
 
Se A é a matriz dos coeficientes, e , então o sistema pode ser representado 
(matricialmente) pelas seguintes equações: 
 
O método do escalonamento para resolver um sistema linear cuja matriz completa é C consiste 
em encontrar uma matriz C’, tal que C’ seja linha-equivalente a C e o sistema cuja matriz é C’ já explicite o 
seu conjunto solução. Para tanto, essa matriz deverá estar na forma escada. 
Exemplo: Resolvamos o sistema , que tem a seguinte matriz completa: 
 
Devemos operar essa matriz com linhas, de maneira a deixar a matriz dos coeficientes na forma 
escada. 
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Assim, o sistema inicial é equivalente a . Portanto, está resolvido. 
Observações: 
o Um sistema linear chama-se homogêneo se . Isto é, se todos os termos 
independentes são nulos. Neste caso, uma solução óbvia é a trivial, composta apenas de 
zeros. (Por exemplo, para , a solução trivial é .) 
o Se, num sistema linear homogêneo, o número de incógnitas é maior do que o número de 
equações, ele admite solução não trivial. 
o Se , então o sistema linear tem uma única solução, então A é linha-
equivalente a . 
 
3.2. Regra de Cramer 
A regra de Cramer é utilizada para a resolução de um sistema linear a partir do cálculo de 
determinantes. Vamos considerar aqui um sistema linear , sendo uma matriz de incógnitas. 
Seja A uma matriz invertível e seja . Seja a matriz obtida substituindo a i-ésima 
coluna de A por B. Se for a única solução de , então 
 
Com variando até , é possível encontrar as matrizes-solução do sistema, e descobrir se ele é 
possível determinado (quando há somente uma matriz-solução), possível indeterminado (infinitas 
matrizes-solução) ou impossível (nenhuma solução). 
Exemplo: Considerando o sistema de equações: 
 
 
 
Solução: 
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Portanto: 
 
Então temos como solução a matriz e o sistema é possível determinado. 
3.3. Questões 
1) Determine os valores de k tais que o sistema nas incógnitas x, y e z tenha: (i) única solução, (ii) 
nenhuma solução, (iii) mais de uma solução. 
a) 
b) 
 
2) Ache as soluções dos problemas dados ou prove que não existem soluções 
c) 
d) 
e) 
f) 
 
3) Dado o sistema: 
 
 
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a) Encontre uma solução dele sem resolvê-lo (atribua valores para x, y, z e w). 
b) Resolva efetivamente o sistema, isto é, encontre sua matriz-solução. 
c) Resolva também o sistema homogêneo associado. 
d) Verifique que toda matriz-solução obtida em (b) é a soma de uma matriz-solução 
encontrada em (c) com a solução particular que você encontrou em (a). 
 
4) Dado o sistema linear: 
 
a) Discuta a solução do sistema. 
b) Acrescente a equação a este sistema, encontre um valor de que 
torne o sistema impossível. 
 
5) Dê o conjunto solução do seguinte sistema linear: 
 
4. Vetores 
Um vetor é definido por três características: intensidade, direção e sentido. Força,deslocamento 
e velocidade são representados por vetores, mas um vetor pode ser bem mais do que isso. Ao longo do 
curso de Álgebra Linear, o seu conceito será desenvolvido de forma bem mais ampla. Soluções de 
sistemas lineares poderão, por exemplo, ser representadas por vetores. 
Desenhando um vetor no plano cartesiano, ele deve apresentar uma origem e uma extremidade. 
Os segmentos orientados cuja origem é o ponto (0,0) são chamados de vetores no plano, e são muito 
mais fáceis de trabalhar. Para representá-lo, basta indicar o par ordenado que corresponda à sua 
extremidade, pois já conhecemos seu ponto inicial. A definição segue para vetores no espaço, caso em 
que a origem dos vetores é o ponto (0,0,0), e assim por diante. 
De tal forma, para representar um vetor com ponto inicial na origem, usa-se usualmente 
a notação de coordenadas , mas também existe a notação de matriz coluna e matriz 
linha . 
Com essas notações, a soma de vetores e a multiplicação do vetor por um escalar são operações 
que ficam bem mais simples. 
4.1. Adição de Vetores 
Propriedades: 
o Associatividade: 
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o Comutatividade: . 
o Elemento neutro: 
o Seja O o vetor nulo. Então para qualquer . Assim, O é o elemento neutro 
em relação à operação de adição, o qual chamaremos de elemento nulo de . 
o Elemento oposto: 
o Dado , denotaremos por o vetor . Então 
. Chamaremos de elemento oposto a . 
o Considerando que: e as quatro propriedades anteriores, teremos três 
propriedades conseqüentes: 
1. 
2. 
3. 
 
Exemplo: 
Sendo , temos: 
 
 
Do mesmo modo, . 
4.2. Multiplicação por escalar 
Sejam e . Definimos a multiplicação de por como sendo: 
 
 
A seguir as propriedades de vetores: 
1. Associativa na adição: 
2. Comutativa: 
3. Existência de elemento neutro na adição: 
4. Existência de elemento oposto: 
5. Distributiva por vetor: 
6. Distributiva por escalar: 
7. Associativa na multiplicação: 
8. Existência de elemento neutro na multiplicação: 
 
4.3. Questões 
1) Determine o vetor X, tal que , para vetores V e U dados. 
 
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2) Determine os vetores X e Y, tal que e para vetores V e U 
dados. 
5. Operações com vetores 
5.1. Módulo 
Seja , definimos o módulo ou a norma de um vetor como sendo: 
 
Observação: para , note que o módulo de um vetor é o seu comprimento. Chamaremos de vetor 
unitário todo vetor cuja norma é 1. 
5.2. Produto escalar (ou produto interno) 
Sejam e dois vetores não nulos nos reais. Considere os vetores 
A+B e A - B. 
 
Temos que se, e somente se , pois as diagonais de um paralelogramo só são 
iguais se o paralelogramo é um retângulo. Como consequência dessa condição podemos observar que: 
 
Esta condição é necessária para que dois vetores sejam perpendiculares. 
 
Sejam e dois vetores quaisquer em . O produto escalar é 
definido como a multiplicação termo a termo e a soma dos produtos: 
 
Assim, dois vetores não nulos e em são perpendiculares apenas se . 
 
Propriedades do produto escalar: 
i. para quaisquer 
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ii. , para quaisquer 
iii. para quaisquer e qualquer 
iv. para qualquer e 
 
A norma (ou módulo) de um vetor pode ser caracterizada pelo produto escalar: , como é 
provado a seguir: 
 
 
 
5.3. Produto vetorial (ou produto externo) 
Consideremos dois vetores em e . Queremos encontrar um vetor , em 
, de preferência não nulo, de tal forma que C seja simultaneamente perpendicular a A e a B. 
Devemos ter e . Se , então: 
 
Tentaremos resolver este sistema. Para isso, começaremos multiplicando a primeira equação por , a 
segunda por e, em seguida, somaremos as duas equações. 
A seguinte equação é obtida: 
 
Depois, multiplicando a primeira equação do sistema acima por , a segunda por e, em seguida, 
somando as duas equações, chegamos a: 
 
Enfim, temos as seguintes equações: 
 
Agora fica fácil visualizar os valores das variáveis. Se x assumir o valor do coeficiente de z na primeira 
equação, y assumi o valor do coeficiente de z na segunda equação, basta que z assuma o valor dos 
coeficientes de x e de y (que são iguais) para as equações serem verdadeiras. O conjunto-solução é: 
 
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Há mais soluções do sistema. Contudo, esta é especialmente chamada de produto vetorial de A por B e 
será denotado por . 
 
 
Note que é o determinante formal: 
 
em que 
Observe ainda que: , visto que cada gerador (pois temos os três 
vetores que formam a base de ) está num eixo diferente, x, y ou z. 
Nós o chamamos de determinante formal uma vez que não é um determinante formado só por números. 
A primeira linha é constituída de vetores. 
 
Como vimos, o produto vetorial de dois vetores já surgiu com uma propriedade importante: é um vetor 
simultaneamente perpendicular aos dois vetores. Vejamos a seguir mais propriedades do produto 
vetorial: 
i. 
ii. para quaisquer e qualquer 
iii. para qualquer e qualquer 
iv. e 
 para quaisquer 
v. para quaisquer 
vi. 
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vii. Se A e B são dois vetores não nulos de e θ é a medida do ângulo formado por A e B, então: 
 
viii. (Produto misto) , em que , , e 
 
 
5.4. Questões 
1) Ache dois vetores mutuamente ortogonais e ortogonais ao vetor (5, 2, -1). 
2) Calcule , onde: 
a) e 
b) e 
c) e 
 
3) Sejam , . Encontre: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
4) Ache dois vetores mutuamente ortogonais de comprimento unitário, e ambos ortogonais ao vetor (2,-
1,3). 
5) Determine o número real positivo c de maneira que os pontos e e a origem sejam 
vértices de um triângulo retângulo em . 
6) Sabendo que o ângulo entre os vetores (2, 1,-1) e (1,-1,m+2) é 60°, determine . 
7) Determine os ângulos do triângulo cujos vértices são (-1,-2,4), (-4,-2,0) e (3,-2,1). 
6. Espaços vetoriais 
Um espaço vetorial é um conjunto de vetores. As oito propriedades citadas acima devem ser satisfeitas, 
além de duas operações: soma e multiplicação por escalar. Considerando dois vetores quaisquer de um 
espaço vetorial V, a soma deles deve ser um terceiro vetor que ainda faz parte de V. Se multiplicarmos um 
vetor de V por um escalar, o resultante também deve ser elemento de V. 
Em resumo, um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações: 
 Soma:  Se 
 Produto por escalar:  Se é escalar e 
Se uma dessas duas operações não for válida para um conjunto W, então é porque o conjunto não é um 
espaço vetorial. Dizemos que um espaço vetorial é fechado em relação às duas operações (soma e 
multiplicação por escalar). Para saber se um conjunto é um espaço vetorial, verifica-se se as duas 
operações são válidas e depois se as oito propriedades dos vetores também são válidas. 
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Observação: O conjunto de todas as matrizes de ordem 2 é um espaço vetorial. Deste modo, os vetores 
desse espaço são matrizes 2x2.Tal conjunto é designado assim: 
 
Exemplo: Seja o conjunto W = . Com as duas operações de soma e multiplicação por 
escalar definidas, verifique se W é um espaço vetorial. 
Solução: Considere os elementos . 
Assim, 
i) Soma: 
ii) Produto: , assim não é válido para todo 
Logo, W não é um conjunto fechado em relação a essas duas operações e, portanto, não é um espaço 
vetorial. 
 
Exemplo: Verifique se o conjuntoé um espaço vetorial. 
Solução: Sejam vetores de . 
i) Soma: 
Multiplicação por escalar: 
ii) 
1. 
 
2. 
 
 
 
3. 
 
4. 
 
 
5. 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
 
 
7. 
 
 
 
8. 
 
Exemplo: Considere em o produto por escalar usual, mas com a adição, a operação definida por: 
. Determine se V, com essas operações, é um espaço vetorial. 
Solução: 
i) 
1. Soma: 
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2. Produto por escalar: 
Logo, V é um espaço fechado em relação a essas duas operações. Portanto, temos que verificar as oito 
propriedades. 
ii) 
1. Associativa na adição: 
 
Como já não é satisfeita, não precisamos mais testar as outras propriedades. V não é 
espaço vetorial. 
 
Exemplo: O conjunto que contém um único objeto, com as operações definidas por: 
 
Solução: 
i) Da própria definição no enunciado, o conjunto é fechado em relação às operações de soma e 
multiplicação por escalar e, portanto, não precisamos verificá-las; 
ii) Substituindo por : 
1. = 
2. 
3. Seja o vetor nulo. Logo, Assim, existe vetor nulo, que 
equivale ao próprio . 
4. Seja o vetor oposto. Logo, Assim, existe vetor oposto, que 
também equivale ao próprio O vetor oposto de é . 
5. 
6. 
7.  
8. 
 
6.1. Questões 
1. Considere em V = R2 o produto por escalar usual mas como adição a operação definida por: 
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + 2y2). 
Determine se V, com essas operações é um espaço vetorial. 
2. Determine se são ou não espaços vetoriais: 
 
 a) R2 com adição usual mas com produto por escalar dado por: 
(x, y) = (y, x) 
 
 b) R2 com adição de vetores: 
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 + 1, y1 + y2) 
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 e produto por escalar 
(x, y) = (x +  – 1, y) 
 
3. É ou não espaço vetorial considerando as operações usuais: 
 
a) O conjunto de vetores situados no 1o quadrante do R2. Represente o conjunto, 
geometricamente e verifique, primeiro o fechamento das operações + e . 
 ( Os semi eixos cartesianos fazem parte dos quadrantes que eles limitam). 
 4. Verifique que é um espaço vetorial com as operações. 
Subespaços vetoriais 
Dado um espaço vetorial V, há subconjuntos de V tais que eles próprios também são espaços vetoriais, só 
que menores. Esses subconjuntos são chamados de subespaços de V. 
Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não-vazio, será um subespaço vetorial de V se forem 
válidas as mesmas duas operações de antes: 
 Soma:  Se 
 Produto por escalar:  Se é escalar e 
Se ambas as operações forem válidas em W, não é necessário verificar as oito propriedades dos vetores 
para dizer que W é espaço vetorial, pois elas já são válidas em V, que contém W. 
 
Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (que são chamados triviais): 
1. O conjunto formado somente pelo vetor nulo (a origem). 
2. O próprio espaço vetorial: V é subconjunto de si mesmo. 
 
Todo subespaço vetorial tem como elemento o vetor nulo, pois ele é necessário à condição de 
multiplicação por escalar: quando 
 
Para conferirmos se um subconjunto W é subespaço, basta verificar que para quaisquer 
 e qualquer , em vez de checar as duas operações separadamente. 
 
Exemplo: Em , os únicos subespaços são a origem, as retas e os planos que passam pela origem e o 
próprio . 
 
Exemplo: Seja , ou seja, o conjunto das matrizes de ordem 3, e W o subconjunto das matrizes 
triangulares superiores. W é subespaço de V? 
Solução: 
Está implícito que V é um espaço vetorial. Assim, verificamos as duas operações para W: 
i) 
ii) 
Logo, W é subespaço de V. 
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Observação: as matrizes triangulares inferiores formam um conjunto que também é subespaço, o que 
também é o caso das matrizes diagonais e das simétricas. 
 
Exemplo: Verifique se o conjunto-solução do sistema linear homogêneo abaixo é um subespaço de 
. 
 
Solução: Temos o seguinte sistema: 
Desta forma, estamos procurando, dentro do espaço vetorial , os vetores que satisfazem o 
sistema, isto é, o conjunto dos vetores-solução. Depois precisamos saber se esse conjunto é subespaço de 
. 
Assim, considere os vetores-solução: 
i) 
ii) 
O resultado de (i) e (ii) ainda pertence ao conjunto dos vetores-solução e, portanto, ele é subespaço de 
. 
 
Exemplo: Seja . Verifique se W é subespaço de V. 
Solução: Se escolhermos e , temos . Logo, W não é subespaço. 
 
Exemplo: Seja e W o subconjunto de todas as matrizes em que . Verifique se W é 
subespaço de V. 
Solução: 
i) A condição de soma é satisfeita, pois ainda gera uma matriz em que . 
ii) Se fizermos , com , temos que da nova matriz será maior que zero. 
Assim, W não é subespaço. 
 
Exemplo: Verifique se o conjunto solução do sistema linear não-homogêneo abaixo é um subespaço. 
 
Solução: 
Temos o seguinte sistema: e os seguintes vetores-solução: . 
Assim, 
i) 
O vetor dos termos independentes resultante é diferente do vetor do sistema linear . 
Logo, o conjunto dos vetores-solução não é um subespaço de M(3,1). 
 
Exemplo: Seja . Sendo S subconjunto de , verifique se S é subespaço de . 
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Solução: 
i) 
ii) 
 
Exemplo: Verifique se é subespaço de . 
 Solução: 
i) . Como (0,0) ∉ , pode-se concluir que o subconjunto não é um 
subespaço vetorial de . 
 
Exemplo: Verifique se é subespaço de . 
 Solução: 
i) . Tomando e temos (6,0,0). Como (0,0,0) ∉ , 
então não é um subespaço vetorial de . 
 
 
a. Questões 
1) Mostre que os seguintes subconjuntos de são subespaços 
a) W = {(x, y, z, t) / x + y = 0 e z – t = 0} 
b) U = {(x, y, z, t) / 2x + y – t = 0 e z = 0} 
 
2) Considere o subespaço S = [(1, 1, -2, 4), (1, 1, -1, 2), (1, 4, -4, 8)] de . 
a) O vetor ( , 1, -1, 2) pertence a S? 
b) O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S? 
 
3) Nos problemas que seguem, determine se W é ou não um subespaço do espaço vetorial: 
a) , , e 
b) ; ; 
4) Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de ? 
a) (x,y,z), tais que z = x3 
b) (x,y,z), tais que z = x + y; 
c) (x,y,z), tais que z >= 0; 
d) (x,y,z), tais que z = 0 e xy >= 0; 
e) (x,y,z), tais que x = z = 0; 
f) (x,y,z), tais que x = -z; 
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g) (x,y,z), tais que y = 2x + 1; 
h) (x,y,z), tais que z2 = x2 + y2. 
5) Determine se W é subespaço de ou não, onde W consiste nos vetores para os quais: 
a) a = 2b 
b)a ≤ b ≤ c 
c)ab = 0 
d)a = b = c 
6) Seja W o conjunto de todos os vetores em de forma (x, x+y, y, 2x + 3y), onde . 
W é um subespaço de ? 
 
7) Seja W o conjunto de todos os vetores do da forma (x, y, x2 + y2), onde . 
W é um subespaço de ? 
8) Seja W o conjunto de todos os vetores da forma (x, y, x+1, 2x + y – 3), onde . 
W é um subespaço de ? 
9) Dados os conjuntos W em cada espaço vetorial V indicado proceda assim: 
i) Reescreva W apresentando seu vetor genérico; 
ii) Verifique se W é subespaço vetorial de V. 
a) sendo ; 
b) W é o conjunto de todas as matrizes identidade de ordem , sendo ; 
c) sendo ; 
d sendo . 
 
10) Considere o subespaço de gerado pelos vetores v1=(1,1,0), v2=(1,-1,1) e v3=(1,1,1). O espaço 
gerado por esses vetores é igual ao ? Por quê? 
 
4. Interseção, união e soma de subespaços 
a. Interseção 
Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V, a interseção sempre será subespaço de V. 
 
Prova: Inicialmente observamos que nunca é vazio, pois ambos contêm o vetor nulo de V. 
Assim, basta verificaras condições de soma e produto por escalar apresentadas anteriormente para os 
subespaços. Suponha então 
 W1 é subespaço ↔ 
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 W2 é subespaço ↔ , deste modo → 
 
Exemplo: Seja , é a reta de interseção dos planos . 
 
Exemplo: 
Seja e , então 
 
 
b. Soma 
Podemos construir um conjunto que contenha e ainda é subespaço de V. Este conjunto será 
formado por todos os vetores de V que forem a soma de vetores de W1 com vetores de W2. 
 
 
Prova: 
Dados: 
Temos que: 
 
 
Caso os dois subespaços sejam retas não-colineares, a soma deles equivale ao plano formado por elas. 
Se as parcelas têm interseção , a soma é dita soma direta e é denotada 
por . 
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Exemplo: Seja e , onde a, b, c, d , então . 
Esta é uma soma direta, pois . 
 
c. União 
A união de dois subespaços , diferente da soma, é um conjunto que contém exatamente todos os 
elementos de . Deste modo, nem sempre a união de subespaços é um subespaço. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
W1 e W2 são retas que passam pela origem. Assim, e é o feixe formado pelas 
duas retas, que não é subespaço vetorial de . De fato, se somarmos os dois vetores , vemos que 
 está no plano que contém , mas ∉ . 
d. Questões 
1) Sejam e 
subespaços de . 
a) Determine 
b) Exiba uma base para 
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c) Determine 
d) é soma direta? Justifique. 
e) ? 
 
5. Combinação linear 
Considere um conjunto de vetores qualquer, pertencente a um espaço vetorial V. Já foi mostrado que 
somar estes vetores entre si em qualquer combinação resultará em um vetor pertencente a V. Também 
foi mostrado que multiplicar cada vetor por um escalar também gera um resultado pertencente a V, caso 
contrário V não seria um espaço vetorial. 
De fato, sejam e sejam os escalares . Então qualquer vetor da forma 
 
é um elemento do mesmo espaço vetorial V. 
Por ter sido gerado pelos vetores primitivos , o vetor é denominado o resultado de uma 
combinação linear de . 
O conjunto de escalares é arbitrário, mas sendo um conjunto de números reais, o vetor 
sempre pertencerá a V. 
O vetor não é único, pois para cada combinação de escalares pode gerar um vetor diferente. 
 
Exemplo: O vetor é combinação linear dos vetores , já 
que pode ser escrito como . 
 
a. Questões 
1) Quais dos seguintes vetores são combinação linear de , e ? 
 e 
a) 
b) 
c) 
d) 
2) Escreva como combinação linear de , , , onde: 
a) 
b) 
3) Considere os vetores e em . 
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a) Escreva como combinação linear de e . 
b) Escreva como combinação linear de e . 
c) Para que valor de o vetor é uma combinação linear de e ? 
d) Procure uma condição para , e de modo que seja combinação linear de e . 
4) Determinar o valor de para que o vetor seja combinação linear de e 
. 
 
6. Subespaços gerados 
Um conjunto de vetores pode construir vetores por meio de combinação linear. Fazendo 
todas as combinações possíveis (isto é, fazendo cada escalar ter todos os valores reais possíveis), o 
conjunto constrói uma infinidade de vetores que compõem um conjunto expandido. Esse conjunto é um 
subespaço vetorial. O conjunto é chamado de conjunto de vetores de base, pois, em termos 
formais, ele gerou o subespaço W, definido abaixo. 
 
Definição: Um subespaço gerado por um conjunto de vetores é o conjunto de todos os 
vetores V que são combinações lineares dos vetores . 
 
Obs.: A notação de colchetes informa que o conjunto W é o conjunto gerado por . Não 
confundir com o próprio conjunto gerador . Ou seja, é um conjunto com infinitos 
vetores formados da combinação destes dois e é um conjunto com apenas dois vetores. 
 
Exemplo: Seja e , então é a reta que contém o vetor , 
pois é o conjunto de todos os vetores com a mesma direção de que tem origem em (0,0). 
 
 
Exemplo: Se são tais que qualquer que seja , então será o plano que 
passa pela origem e contém : 
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A condição é importante para garantir que os dois vetores gerem um plano. Caso ela não seja 
satisfeita, os vetores seriam colineares, e não existira nenhuma combinação deles que pudesse 
gerar um vetor que não pertencesse à reta que eles geram. 
Nota-se que um conjunto gerador de dois elementos que um é combinação linear do outro equivale a um 
conjunto gerador com apenas um desses dois elementos. 
Assim, se , então , pois todo vetor que pode ser escrito como 
combinação linear de é uma combinação linear apenas de , já que é combinação 
linear de . 
 
Exemplificando: 
Seja tal que . 
Um elemento qualquer do conjunto gerado por B é da forma: 
 
 
 
Exemplo: Seja , e . 
Assim, , pois dado , temos , ou seja, . 
Exemplo: Seja e , então 
 
Observa-se que se em um conjunto gerador existir algum vetor que é combinação linear de outros 
elementos do próprio conjunto gerador, esse elemento é inútil. Eliminá-lo do conjunto gerador não 
modifica o conjunto gerado. Tal propriedade pode ser verificada lembrando que a combinação linear é 
uma soma de vetores, e que a parcela da soma do vetor que é gerado por outros pode ser substituída 
pelos próprios vetores que o geram. 
Assim, qualquer elemento do conjunto gerado por B pode ser escrito como combinação linear de apenas 
. Surge então a necessidade de verificar quando um vetor é combinação linear de outros. 
 
a. Questões 
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1) Quais dos seguintes conjuntos de vetores é um conjunto gerador de ? 
a) 
b) 
c) 
2) Resolva o seguinte sistema, usando a Regra de Cramer: 
7. Dependência e Independência Linear 
Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (freqüentemente indicado por LI) quando 
nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros (lembrar o conceito de 
combinação linear apresentado anteriormente). Naturalmente, um conjunto de vetores é dito 
linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. 
 
Sejam V um espaço vetorial e . 
Dizemos que o conjunto ou que os vetores são linearmente independentes (LI) se a 
equação 
 
admitir apenas a solução trivial, isto é: 
Se existir algum , dizemos que ou que os vetores são linearmente 
dependentes (LD). 
Em outras palavras, o conjunto é LD se, e somente se um destes vetores for combinação linear 
dos outros. 
 
Prova: 
Sejam LD e . Suponha que (para ser LD). 
Então . 
Portanto, é combinação linear. 
Por outro lado, se tivermos tal que para algum 
 
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Então, 
Logo, e, portanto, V é LD. 
 
A Independência Linear tem uma interpretação geométrica útil: 
i) Seja e . é LD se e somente se e estiverem na mesma reta quando 
colocados com seus pontos iniciais na origem *são pararlelos: 
 
 
 
ii) Seja e e . é LD se estes 3 vetores estiverem no mesmo plano quando 
colocados com seus pontos iniciais na origem: 
 
 
Exemplo: Os vetores 
1 (2,2,0)v 
 , 
2 (0,5, 3)v  
 e 
3 (0,0,4)v 
 são LI ou LD? 
Solução: Verificando a expressão 
1 2 3(2,2,0) (0,5, 3) (0,0,4) (0,0,0)a a a   
 
 
1 1
1 2 2
2 3 3
2 0 0
2 5 0 0
3 4 0 0
a a
a a a
a a a
   
 
     
      
 
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Logo, como o sistema admite somente asolução trivial, os vetores são LI. 
a. Questões 
1) Considere dois vetores e no plano. Se , mostre que eles são LD. Se 
, mostre que eles são LI. 
2) Para quais valores de o conjunto de vetores é LD? 
3) Verifique se os polinômios seguintes são linearmente dependentes ou independentes. 
a) , e 
b) , e 
4) Ache as relações lineares não triviais satisfeitas pelos seguintes conjuntos de vetores. 
a) , e 
b) , e 
c) , e R4 
d) , e 
5) Verifique se o conjunto a seguir é LD ou LI: . 
 
 
8. Base de um espaço vetorial 
Considere um espaço vetorial V. Admita a existência de um subconjunto B desse espaço (não 
necessariamente um subespaço) tal que B gere V por combinação linear. Notar que para um espaço 
particular V, B não é único, vários conjuntos B distintos podem gerar V. De fato, o próprio V pode gerar 
ele mesmo. Porém, é mais simples trabalhar com conjuntos menores, e é de interesse resumir um grande 
conjunto V em um pequeno conjunto B. Foi verificado acima que dentro de B quaisquer elementos 
formados por combinações lineares dos outros são “inúteis”. Ou seja, se B for um conjunto LD, existe pelo 
menos um vetor “inútil”, que pode ser eliminado para tornar B menor e mais simples. O processo pode 
continuar até que B se torne LI. Se B é LI, e ainda consegue gerar V (Lembre-se que a eliminação de 
elementos LD de um conjunto gerador não modifica o conjunto gerado) é denominado base. 
 
Uma base de um espaço vetorial é um conjunto LI gerador deste espaço. É também a maneira mais 
simples de “resumir” o espaço. 
Condições: 
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i) é LI 
ii) (O conjunto gera V) Atenção! Todo conjunto LI de um vetorial V é base de um 
subespaço gerado por ele. 
 
Exemplo: Prove que 
{(1,1),( 1,0)}B  
 é base de 2R 
Solução: 
i) 
(1,1) ( 1,0) (0,0)a b    ( , ) (0,0) 0a b a a b B      
é LI 
ii) 
(1,1) ( 1,0) ( , )a b x y    
 
 
2( , ) ( , ) gera 
a b x b y x
a b a x y B R
a y
     
     
 
 
 
Exemplo: Prove que 
{(0,1),(0,2)}
 Não é base de 2
R
 
Solução: 
i) 
(0,1) (0,2) (0,0)
(0, 2 ) (0,0) 2
a b
a b a b
   
       
 
Mas como e não são necessariamente zero, o conjunto é LD. 
 
Exemplo: não é base de . É LI, mas não gera todo , isto é, 
 
 
Como o não é composto apenas de pontos com a coordenada z nula, os dois vetores não podem ser 
base. 
 
Exemplo: é uma base de . 
 
Observação: Existem espaços que não tem base finita, principalmente quando trabalhamos com espaços 
de funções. Então, precisaremos de um conjunto infinito de vetores para gerar o espaço. Isto não implica 
que estamos trabalhando com combinações lineares infinitas, mas sim, que cada vetor do espaço é uma 
combinação linear finita daquela “base infinita”. Ou seja, para cada vetor dado, podemos escolher uma 
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quantidade finita de vetores da base para escrevê-lo. Por exemplo, o conjunto de todos polinômios de 
coeficientes reais formam um espaço vetorial. Uma base naturalmente definida é , que é 
infinita, pois não há restrição para o grau do polinômio. Porém, para formar um polinômio particular é 
possível utilizar um número finito de elementos da base. 
 
Teorema: Sejam vetores não nulos que geram um espaço vetorial . Dentre estes vetores 
podemos extrair uma base de . 
Prova: 
i) Se são LI, eles cumprem as condições para uma base e não temos mais nada a fazer. 
ii) Se são LD, então existe uma combinação linear deles com algum coeficiente diferente de zero, 
dando o vetor nulo: 
 
Por exemplo, seja , então: 
. 
Ou seja, é uma combinação linear de e, portanto ainda geram . 
Se ainda for LD, podemos prosseguir da mesma forma até chegar a um subconjunto 
 com que ainda geram , ou seja, formaremos uma base. 
 
Isto é, de um espaço gerador qualquer é possível retirar elementos “inúteis” até que ele se torne uma 
base. Veremos agora uma propriedade curiosa dos espaços vetoriais: o número de elementos de 
qualquer base de um espaço vetorial particular é constante, independe da base escolhida. Este número é 
uma propriedade inerente à natureza do espaço. 
 
Teorema: Seja um espaço vetorial gerado por um conjunto de vetores . Então, qualquer 
conjunto LI tem no máximo vetores. 
Prova: Como , então podemos extrair uma base para . Seja com , esta 
base. Considere agora , vetores de , com . 
 
Então, existem constantes tais que: 
 
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Consideremos agora uma função linear de dando zero: 
 
 
Substituindo em , temos: 
 
 
 
Como são LI, então os coeficientes dessa equação devem ser nulos: 
 
 
Temos então um sistema linear homogêneo com equações e incógnitas e, como 
, ele admite uma solução não trivial, ou seja, existe uma solução com algum não nulo. 
Portanto são LD. 
a. Questões 
1) Quais são as coordenadas de x = (1,0,0) em relação à base β = {(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1)}? 
9. Dimensão 
A dimensão de um espaço vetorial é definida como o número de vetores de uma base de e é 
denotada por . Se não possui base, . 
Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos e o número de bases 
para cada espaço vetorial é infinito. 
 
Exemplo: , pois toda base do tem dois vetores, como ou . 
Exemplo: . 
Exemplo: . 
Exemplo: . 
Exemplo: (polinômios de grau n). 
Exemplo: , pois a origem é apenas um ponto. 
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Observação: Quando um espaço vetorial V admite uma base finita, dizemos que V é um espaço vetorial de 
dimensão finita. 
 
Teorema: Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser 
completado de modo a formar uma base de V. 
Prova: Seja e vetores LI, com . 
i) Se , então e o conjunto forma uma base. 
ii) Se existe 
 
tal que , isto é, não é uma combinação linear de , 
então é LI. Se , então é a base procurada. Caso 
contrário, existe e é LI. Se , 
nossa prova está concluída. Se não, prosseguimos analogamente. Como não poderemos ter mais do 
que n vetores LI em V, então após um número finito de passos teremos obtido uma base de V. 
 
Teorema: Se , qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V. 
Prova: Se não formasse uma base, poderíamos completar o conjunto até formá-la e dessa forma teríamos 
uma base com mais do que n vetores em V, o que é um absurdo. 
 
Teorema: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, então 
 Além disso: 
 
 
Para permitir uma interpretação geométrica, consideramos o espaço tridimensional . A dimensão de 
qualquer subespaço S de só poderá ser 0,1,2 ou 3. Portanto, temos os seguintes casos: 
i) , então . Ou seja, o subespaço é a origem (apenas um ponto); 
ii) , então S é uma reta que passa pela origem; 
iii) , então S é um plano que passa pela origem; 
iv) , então S é o próprio . 
 
a. Questões 
1) Ilustre com um exemplo a proposição: “se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem 
dimensão finita então ”. 
2) Escreva uma base para o espaço vetorial das matrizes . Qual a dimensão desse espaço? 
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3) Resolva a questão anterior considerando o espaço das matrizes . E qual seria a dimensão de um 
espaço de matrizes ? 
4) Seja V o espaço das matrizes , e seja W o subespaços gerado por 
 
Encontre uma base e a dimensão de W. 
5) Considere o subespaço de geradopelos vetores , , 
 e . 
a) O vetor pertence a ? Justifique. 
b) Exiba uma base para . Qual a dimensão? 
c) ? Por quê? 
10. Mudança de base 
Sejam e duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial V de 
dimensão . Dado , podemos escrevê-lo como: 
(i)
1 1
1 1
...
...
n n
n n
v x u x u
v y w y w
  

  
  
  
 
Devemos relacionar com . 
Já que é base de V, podemos escrever os vetores como combinação linear dos vetores : 
(ii)
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
n n n nn n
w a u a u a u
w a u a u a u
w a u a u a u
   

   


    
   
   
   
 
Substituindo (ii) na segunda equação de (i), temos: 
1 1 ... n nv y w y w  
  
 
 
1y
(
11 1 21 2 1... n na u a u a u  
  
) + ... + 
ny
(
1 1 2 2 ...n n nn na u a u a u  
  
) 
11 1 1 1 1 1( ... ) ... ( ... )n n n nn n na y a y u a y a y u      
 
 
Mas 
1 1 ... n nv x u x u  
  
, e, como as coordenadas em relação a uma base são únicas, temos: 
Engenharia Apostila de Álgebra Linear 
 
 
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1 11 1 1
1 1
...
...
...
n n
n n nn n
x a y a y
x a y a y
  


   
 ↔ 
A matriz dos coeficientes está atuando como uma matriz de mudança de base, pois transforma o vetor 
 em outro , numa segunda base. Assim: 
 
Esta é a matriz de mudança de base da base para a base . 
 
Uma vez obtida , podemos encontrar as coordenadas de qualquer vetor em relação à base 
multiplicando a matriz pelas coordenadas de em relação à base (ambas as bases supostamente 
conhecidas). 
 
 
Observação: Note que a matriz é obtida de (ii) transpondo a matriz dos coeficientes. 
 
Questão: Calcule de para e . 
Solução 1: 
i) Inicialmente, procurando , então colocamos em função de : 
 
 
 ; ; ; 
 
Dessa forma, 
Engenharia Apostila de Álgebra Linear 
 
 
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  11 12
21 22
4 3
11 11
1 2
11 11
a a
I
a a



 
  
    
   
  
 
ii)      
4 3
5 411 11
5, 8 5, 8
1 2 3 1
11 11
I

 


 
     
                    
  
 
Isto é, 
(5, 8) 4(2, 1) 1(3,4)   
; 
Solução 2: Basta resolver o sistema: 
(5, 8) (2, 1) (3,4)a b   
 
 
2 3 5
4 8
a b
a b
 

   
  
4
1
a
b


 
 
 
Observação: O cálculo feito da matriz de mudança de base só é vantajoso quando se trabalha com vários 
vetores, para não ter que resolver um sistema de equações a cada vetor. 
a. A inversa da matriz de mudança de base 
Um fato importante é que a matriz é invertível e . Dessa forma, podemos usá-la 
para encontrar pois . 
b. Questões 
1) Se , ache onde . 
 
2) Se α é base de um espaço vetorial, qual é a matriz de mudança de base ? 
 
3) Seja V o espaço vetorial de matrizes triangulares superiores. Sejam e duas bases de V tais 
que e . 
a) Ache . 
b) Mostre que . 
Engenharia Apostila de Álgebra Linear 
 
 
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4) Uma elipse em uma base cartesiana está rotacionada em um ângulo de 45° e sua base é formada pelos 
vetores . Ache a matriz de mudança de base para uma nova base onde os vetores sejam 
respectivamente e . 
Realização: 
Universidade Federal do Ceará.