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Apostila_Algebra_Vetores_VETORES EM RN

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Álgebra Linear – Vetores em Rn 81 
Profª(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira 
UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
ÁLGEBRA LINEAR 
 CCCAAAPPPÍÍÍTTTUUULLLOOO IIIIII 
VVEETTOORREESS EEMM RRNN 
esta unidade, vamos abordar a álgebra dos vetores no enfoque algébrico e 
geométrico. Como afirma Winterle1 (2000), a grande vantagem da abordagem 
geométrica é possibilitar a visualização dos conceitos, o que favorece seu entendimento. 
Essencialmente, toda a geometria pode ser desenvolvida em linguagem algébrica. Como 
afirmam Kaplan2 e Lewis (1975, p.57) “em vez de combinar pontos e retas na maneira 
geométrica usual, nós realizamos operações algébricas em certos objetos denominados 
vetores”. As leis algébricas que os orientam são similares às aplicadas aos números. Por 
exemplo, se u e v são vetores então u+v = v+u. De forma similar, os teoremas da 
geometria, tornam-se teoremas da álgebra dos vetores com ênfase nas equações, identidades 
e desigualdades ao invés de ênfase nos conceitos geométricos como congruência, semelhança 
e interseção de linhas. 
Os temas abordados neste capítulo são: 
 
1 Introdução: Retas e Segmentos Orientados ................................................................. 82 
2 Vetores: Definições ................................................................................................... 84 
2.1 Grandezas Escalares e Vetoriais ........................................................................... 84 
2.2 Proposições: Vetores opostos, nulos, iguais, colineares e livres ................................ 86 
Lista 1 de Atividades ............................................................................................. 88 
3 Vetores no Plano e Vetores no Espaço ......................................................................... 88 
3.1 Expressão analítica de um vetor no plano (R2)........................................................ 88 
3.2 Vetor Definido por Dois Pontos: Vetor Livre............................................................ 89 
3.3 Expressão analítica de um vetor no espaço (R3) ..................................................... 90 
Lista 2 de Atividades ............................................................................................. 93 
4 Operações com Vetores ............................................................................................. 93 
4.1 Adição e Subtração de Vetores ............................................................................. 93 
4.2 Multiplicação de escalar por um vetor.................................................................... 94 
4.3 Análise Geométrica da Adição de Vetores e Multiplicação por Escalar ........................ 95 
4.4 Aplicações de Adição de Vetores e Multiplicação por Escalar ....................................101 
4.4.1: Combinação Linear de vetores .....................................................................101 
4.4.2: Dependência e Independência Linear de Vetores ............................................102 
4.4.3: Bases do Plano de do Espaço .......................................................................103 
Lista 3 de Atividades ............................................................................................104 
5 Produto Interno (ou Produto Escalar), Vetorial e Misto..................................................106 
5.1 Produto Interno (ou escalar) ...............................................................................106 
5.2 Produto Vetorial ................................................................................................107 
5.2.1 Propriedades...............................................................................................108 
5.3 Produto Misto....................................................................................................108 
5.3.1 Propriedades...............................................................................................109 
5.4 Aplicações de Produto de Vetores: Interpretação Geométrica ..................................110 
5.4.1 Produto Vetorial e Área de Paralelogramo.......................................................110 
5.4.2 Produto Misto e Volume do Paralelepípedo ......................................................111 
5.4.3 Produto Misto e Vetores Coplanares ...............................................................112 
6 Módulo ou Norma de um Vetor ..................................................................................113 
6.1 Definição de módulo do vetor:.............................................................................113 
6.2 Proposições: .....................................................................................................114 
 
1 WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. SP: Makron Books, 2000. 
2 KAPLAN, Wilfred; LEWIS, Donald J. Cálculo e Álgebra Linear. RJ: LTC, 1975. 
 
N 
 Álgebra Linear – Vetores em Rn 82 
Profª(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira 
6.3 Vetor Unitário e Versor de um Vetor: ...................................................................115 
6.4 Módulo de Vetor Livre ........................................................................................116 
Lista 4 de Atividades ............................................................................................118 
7 Ângulos e Vetores: Paralelismo e Ortogonalidade.........................................................119 
7.1 Ângulo de dois vetores:......................................................................................119 
7.2 Decomposição de um vetor v = P(x,y) .................................................................122 
7.3 Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor .............................................122 
7.4 Paralelismo de dois vetores.................................................................................123 
7.5 Ortogonalidade de dois vetores ...........................................................................125 
Lista 5 de Atividades ............................................................................................125 
Atividade Complementar.......................................................................................126 
Bibliografia ................................................................................................................127 
1 Introdução: Retas e Segmentos Orientados 
ara compreender o conceito de vetores vamos rever alguns conceitos básicos de reta 
orientada e segmentos: 
 
1.1 Reta Orientada: Eixo 
 
 Uma reta r é orientada quando fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e 
indicado por uma seta. 
 r 
 
 
 
 
O sentido oposto é negativo. Uma reta orientada é denominada de eixo. 
 
1.2 Segmento Orientado 
 
Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos. O primeiro é 
chamado origem do segmento, o segundo chamado extremidade. O segmento orientado 
de origem A e extremidade B é representado por AB e, é geometricamente, indicado 
por uma seta que caracteriza visualmente o sentido do segmento. 
 
 
 1.3 Medida de um Segmento 
 
Fixada uma unidade de comprimento, cada segmento orientado pode-se associar um 
número real, não negativo, que é a medida do segmento em relação aquela unidade. A 
medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O comprimento do 
segmento AB é indicado por AB . 
Assim, o comprimento do segmento AB representado na figura abaixo é de 5 unidades de 
comprimento (u.c.): 
AB = 5 u.c.