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Álgebra Linear – Vetores em Rn

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Álgebra Linear – Vetores em Rn 81 
Profª(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira 
UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
ÁLGEBRA LINEAR 
 CCCAAAPPPÍÍÍTTTUUULLLOOO IIIIII 
VVEETTOORREESS EEMM RRNN 
esta unidade, vamos abordar a álgebra dos vetores no enfoque algébrico e 
geométrico. Como afirma Winterle1 (2000), a grande vantagem da abordagem 
geométrica é possibilitar a visualização dos conceitos, o que favorece seu entendimento. 
Essencialmente, toda a geometria pode ser desenvolvida em linguagem algébrica. Como 
afirmam Kaplan2 e Lewis (1975, p.57) “em vez de combinar pontos e retas na maneira 
geométrica usual, nós realizamos operações algébricas em certos objetos denominados 
vetores”. As leis algébricas que os orientam são similares às aplicadas aos números. Por 
exemplo, se u e v são vetores então u+v = v+u. De forma similar, os teoremas da 
geometria, tornam-se teoremas da álgebra dos vetores com ênfase nas equações, identidades 
e desigualdades ao invés de ênfase nos conceitos geométricos como congruência, semelhança 
e interseção de linhas. 
Os temas abordados neste capítulo são: 
 
1 Introdução: Retas e Segmentos Orientados ................................................................. 82 
2 Vetores: Definições ................................................................................................... 84 
2.1 Grandezas Escalares e Vetoriais ........................................................................... 84 
2.2 Proposições: Vetores opostos, nulos, iguais, colineares e livres ................................ 86 
Lista 1 de Atividades ............................................................................................. 88 
3 Vetores no Plano e Vetores no Espaço ......................................................................... 88 
3.1 Expressão analítica de um vetor no plano (R2)........................................................ 88 
3.2 Vetor Definido por Dois Pontos: Vetor Livre............................................................ 89 
3.3 Expressão analítica de um vetor no espaço (R3) ..................................................... 90 
Lista 2 de Atividades ............................................................................................. 93 
4 Operações com Vetores ............................................................................................. 93 
4.1 Adição e Subtração de Vetores ............................................................................. 93 
4.2 Multiplicação de escalar por um vetor.................................................................... 94 
4.3 Análise Geométrica da Adição de Vetores e Multiplicação por Escalar ........................ 95 
4.4 Aplicações de Adição de Vetores e Multiplicação por Escalar ....................................101 
4.4.1: Combinação Linear de vetores .....................................................................101 
4.4.2: Dependência e Independência Linear de Vetores ............................................102 
4.4.3: Bases do Plano de do Espaço .......................................................................103 
Lista 3 de Atividades ............................................................................................104 
5 Produto Interno (ou Produto Escalar), Vetorial e Misto..................................................106 
5.1 Produto Interno (ou escalar) ...............................................................................106 
5.2 Produto Vetorial ................................................................................................107 
5.2.1 Propriedades...............................................................................................108 
5.3 Produto Misto....................................................................................................108 
5.3.1 Propriedades...............................................................................................109 
5.4 Aplicações de Produto de Vetores: Interpretação Geométrica ..................................110 
5.4.1 Produto Vetorial e Área de Paralelogramo.......................................................110 
5.4.2 Produto Misto e Volume do Paralelepípedo ......................................................111 
5.4.3 Produto Misto e Vetores Coplanares ...............................................................112 
6 Módulo ou Norma de um Vetor ..................................................................................113 
6.1 Definição de módulo do vetor:.............................................................................113 
6.2 Proposições: .....................................................................................................114 
 
1 WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. SP: Makron Books, 2000. 
2 KAPLAN, Wilfred; LEWIS, Donald J. Cálculo e Álgebra Linear. RJ: LTC, 1975. 
 
N 
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6.3 Vetor Unitário e Versor de um Vetor: ...................................................................115 
6.4 Módulo de Vetor Livre ........................................................................................116 
Lista 4 de Atividades ............................................................................................118 
7 Ângulos e Vetores: Paralelismo e Ortogonalidade.........................................................119 
7.1 Ângulo de dois vetores:......................................................................................119 
7.2 Decomposição de um vetor v = P(x,y) .................................................................122 
7.3 Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor .............................................122 
7.4 Paralelismo de dois vetores.................................................................................123 
7.5 Ortogonalidade de dois vetores ...........................................................................125 
Lista 5 de Atividades ............................................................................................125 
Atividade Complementar.......................................................................................126 
Bibliografia ................................................................................................................127 
1 Introdução: Retas e Segmentos Orientados 
ara compreender o conceito de vetores vamos rever alguns conceitos básicos de reta 
orientada e segmentos: 
 
1.1 Reta Orientada: Eixo 
 
 Uma reta r é orientada quando fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e 
indicado por uma seta. 
 r 
 
 
 
 
O sentido oposto é negativo. Uma reta orientada é denominada de eixo. 
 
1.2 Segmento Orientado 
 
Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos. O primeiro é 
chamado origem do segmento, o segundo chamado extremidade. O segmento orientado 
de origem A e extremidade B é representado por AB e, é geometricamente, indicado 
por uma seta que caracteriza visualmente o sentido do segmento. 
 
 
 1.3 Medida de um Segmento 
 
Fixada uma unidade de comprimento, cada segmento orientado pode-se associar um 
número real, não negativo, que é a medida do segmento em relação aquela unidade. A 
medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O comprimento do 
segmento AB é indicado por AB . 
Assim, o comprimento do segmento AB representado na figura abaixo é de 5 unidades de 
comprimento (u.c.): 
AB = 5 u.c.Observe que: Os segmentos podem ser também, nulos ou opostos: 
 
• Segmento Nulo: Quando a extremidade do segmento coincide com a origem. Os 
segmentos nulos têm comprimento igual a zero. 
 
P 
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• Segmentos Opostos: Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é 
oposto de AB. Note que, a medida dos segmentos opostos é a mesma, AB = BA . 
 
 
1.4 Direção e Sentido do segmento orientado 
 
Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se, as retas 
suportes desses segmentos, são paralelas ou coincidentes. 
 
Retas paralelas: segmentos com mesma 
direção e sentido 
Retas paralelas: segmentos com mesma 
direção e sentido contrário 
 
 
 
Retas coincidentes: segmentos com mesma 
direção e sentido 
Retas coincidentes: segmentos com mesma 
direção e sentido contrário 
 
Observações: 
 
• Podemos comparar os sentidos de dois segmentos orientados somente quando 
eles têm mesma direção. 
• Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários. 
 
1.5 Segmentos Eqüipolentes 
 
Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando têm a mesma direção, o 
mesmo sentido e o mesmo comprimento. 
 
Se os segmentos orientados AB e CD não pertencem à mesma reta. Para que AB seja 
eqüipolente a CD é necessário que AB//CD (// significa paralelos) e AC//BD, isto é, 
ABCD deve ser um paralelogramo. 
 
 
 
 Observações: 
• Dois segmentos nulos são sempre eqüipolentes. 
• A eqüipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB ~ CD. 
 
Propriedades da Eqüipolência 
(1) AB ~ AB (reflexiva). 
(2) Se AB ~ CD, CD ~ AB (simétrica). 
(3) Se AB ~ CD e CD ~ EF, AB ~ EF (transitiva). 
(4) Dado o segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que 
AB~CD. 
 
 
 
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Fig.1 
2 Vetores: Definições 
 
2.1 Grandezas Escalares e Vetoriais 
 
xistem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. 
As grandezas escalares são determinadas por um valor (número) e uma unidade. 
Exemplo: comprimento, área, volume, etc. Quando afirmamos que a altura de um 
quadro é de 1,5 m ou que o volume da caixa é de 20 dm3 estamos determinando a grandeza 
escalar. Em várias aplicações físicas, por exemplo, existem determinadas grandezas, como 
temperatura e pressão, que possuem somente “magnitude” e podem ser representadas por 
números reais (grandezas escalares). 
Entretanto, existem outras grandezas, como força, velocidade, aceleração, deslocamento 
e impulso que, para serem completamente identificadas, precisam, além da “magnitude” 
(módulo), da “direção” e do “sentido”. Estes são exemplos grandezas vetoriais ou vetores. 
 
Definição 1: Vetores são grandezas que, para serem identificadas, precisam da 
magnitude, da direção e do sentido. 
Assim, um vetor tem três características: módulo (ou magnitude), direção e sentido. 
• A direção é dada pela reta que contém o segmento. 
• O sentido é dado pelo sentido do movimento do segmento. 
• A magnitude (ou módulo) é o comprimento do segmento. Indicamos por duas 
barras verticais: |v| (Lê-se: módulo de v) 
 
A representação geométrica de um vetor é um segmento orientado de reta: AB, CD, ... 
 
 
Definição 2: Vetor é um conjunto de todos os segmentos orientados 
eqüipolentes3 a um segmento AB ou seja, com mesma direção, comprimento e 
sentido. 
 
Note que neste conceito, desconsideramos a idéia de grandezas 
vetoriais e o vetor é compreendido a partir de um segmento 
orientado4. Onde, dois ou mais segmentos orientados de mesmo 
comprimento, mesma direção (são paralelos ou colineares) e mesmo 
sentido são representantes de um mesmo vetor v. (Fig.1) 
 
Na Figura 2, os vetores u e v são iguais (eqüipolentes) e 
representam um mesmo vetor. Idem para os vetores x e w. O mesmo 
não ocorre com os vetores s, t e m, n. Todos têm o mesmo comprimento, 
mas não tem a mesma direção e sentido. 
 
3
 Equivalentes. 
4
 Um segmento está orientado quando nele se escolhe um sentido de percurso, considerado positivo. 
E 
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 Fig.2 
Note que: 
• Os vetores u e v têm a mesma direção e o mesmo sentido. 
• Os vetores w e x têm a mesma direção e o mesmo sentido. 
• Os vetores s e t têm a mesma direção e sentidos contrários. 
• Os vetores m e n têm diferente direção. 
Observe que, vetores paralelos têm a mesma direção e que cada direção pode ser associada a 
dois sentidos: sentidos iguais ou sentidos contrários. 
 
Definição 3: Um vetor é um conjunto de números que pode ser escrito como v = (v1, 
v2,..., vn). O vetor v é um vetor de dimensão n, ou seja, têm n elementos (escalares). 
 
Esta lista ordenada de n escalares pode ser representada na forma de linha 
v = (v1, v2, v3,.... vn) ou em forma de coluna (matriz): 
v =












nv
v
v
...
2
1
 
O termo escalar é usado com o significado de um número real. Os escalares v1, v2, 
v3,..., vn são chamados de coordenadas ou componentes do vetor v. 
Vetores são geralmente representados por letras minúsculas em negrito (v), e seus 
elementos são geralmente representados em letras minúsculas com um subscrito (vi). A 
letra usada para os elementos é normalmente a mesma letra utilizada para o vetor. O 
subscrito representa o índice do elemento do vetor. Por exemplo, v2 é o segundo 
elemento do vetor. A notação vi indica o i-ésimo elemento do vetor. 
 
Note que: Podemos representar um vetor de duas formas: 
(1) Geometricamente: vetor é um segmento de reta orientada. 
 
 
 
(2) Algebricamente: vetor é um par ordenado (plano) ou uma terna ordenada 
(espaço tridimensional) ou ainda uma n-úpla ordenada (espaço n-dimensional) 
de números reais. 
2
21 ),( IRxxv ∈= 
3
321 ),,( IRxxxv ∈= 
4
4321 ),,,( IRxxxxv ∈= 
..................................... 
n
n IRxxxxxv ∈= ),...,,,( 4321 
 
• Somente os vetores em R2 e R3 podem ser representados geometricamente. 
• Em geral, consideramos apenas os segmentos orientados como ponto inicial na 
origem (0,0) ou (0,0,0), denominados “vetores do plano” e “vetores no espaço”. 
É importante notar que os vetores no plano e no espaço são determinados 
exclusivamente pelo seu ponto final, pois o ponto inicial é fixo na origem. 
B 
A Indica-se por v = AB 
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Exemplo 1: Uma fábrica produz 4 tipos diferentes de artigos. Numa semana são vendidas 300 
unidades do artigo A, 400 unidades do artigo B, 200 unidades do artigo C e 250 unidades do 
artigo D. Os preços de venda por unidade de artigo são, respectivamente, R$ 25,00, R$ 32,00, 
R$ 12,00 e R$ 41,00. 
A quantidade total dos artigos, na ordem A, B, C e D, vendidos numa semana, pode ser 
representada pelo vetor q = (300, 400, 200, 250) e, o vetor p = (25, 32, 12, 41) indica o 
preço (em reais, R$) de venda por unidade de artigos, na ordem dada. 
 
Exemplo 2: O vetor u = (2,3,4) tem dimensão 3, então dizemos que v ∈ R3; Ovetor v = 
(2,3,4,-3,5) tem dimensão 5, então dizemos que v ∈ R5; Os vetores w = ( 1, 3, 3 , -4) e z = 
( -3, 5, -1, 0) têm quatro componentes e portanto são vetores do R4. 
 
2.2 Proposições: Vetores opostos, nulos, iguais, colineares e livres 
 
Proposição 1: Dado um vetor v= AB , o vetor BA é o 
oposto de AB e indicamos por (- AB ) ou (-v). Todo vetor v não nulo, 
tem um vetor oposto (-v)=(-v1,-v2) com mesmo módulo e mesma 
direção, porém com sentido contrário. 
Exemplo: Se u=(2,-4), então –u=(-2,4) 
 
Proposição 2: Se todas as componentes do vetor são nulas, o vetor é dito nulo5 
ou vetor zero indicado por 0 = (0,0,0,...,0). 
Proposição 3: Dois ou mais segmentos orientados 
representam o mesmo vetor (vetores iguais) se têm o mesmo 
comprimento, mesma direção e mesmo sentido, independente de ter 
ou não, origens em pontos diferentes. 
Por exemplo, num paralelogramo ABCD, os segmentos orientados AB e CD determinam o 
mesmo vetor v, onde v CDAB == 
O ponto A é denominado ponto inicial ou origem do vetor 
v e o ponto B é denominado ponto final ou extremidade 
do vetor. Idem para os pontos C e D. Assim, cada ponto 
do espaço pode ser considerado como origem de um 
segmento orientado que é representante do vetor v. 
O vetor v é chamado vetor livre porque o segmento que o representa pode ter sua origem 
colocada em qualquer ponto do plano. 
 
Algebricamente, dois vetores são iguais (ou eqüipolentes), se todas as componentes do 
vetor são iguais. Assim, u = (x1, y1) e v = (x2, y2) são iguais se, e somente se x1 = x2 e y1 = y2 
e escreve-se u=v. 
 
Exemplo 1: Os vetores u= (3,5) e v = (a, 5) são iguais se a = 3. 
 
Exemplo 2: Determinar o valor de x e y para u=v, com u=(x+1, 4) e v=(5, 3y-8). 
Resolução: Devemos fazer x+1 = 5 e 3y – 8 = 4 e obtemos x = 4 e y = 4. 
 
5 Vetor nulo: Os segmentos nulos, por serem eqüipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor 
nulo ou vetor zero, e que é indicado por 0 ou v=0 = (0,0,0,...,0). É o vetor cuja origem coincide com a 
extremidade, não tem direção e sentido definidos. Segundo Winterle (2000) o vetor nulo é considerado paralelo a 
qualquer vetor. Em IR2 e IR3, o vetor nulo indica a origem do sistema plano e espacial, respectivamente. 
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A B 
C 
F E 
H G 
D 
Proposição 4: Dois vetores 
→
u e 
→
v com a mesma direção são chamados de 
vetores colineares ou paralelos. Assim, 
→
u e 
→
v são colineares se tiverem representantes 
AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou em retas paralelas. 
 
Proposição 5: Dois vetores 
→
u e 
→
v ou mais, são vetores coplanares se 
pertencerem a um mesmo plano pi. 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig.(a): 
→
v ,
→
u e 
→
w são coplanares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.(b): 
→
v ,
→
u e 
→
w são coplanares Fig.(c):
→
v , 
→
u e 
→
w não são coplanares 
 
 
Exemplo6 
Observe o paralelepípedo retângulo: 
Podemos afirmar que: 
(a) BFDH = 
(b) FGAB, e EG são coplanares 
(c) AE e BF são colineares 
(d) AB é ortogonal ao plano BCG 
(e) DC é paralelo ao plano HEF 
 
 
 
 
WINTERLE, 2000, p.6 
Importante: dois vetores 
→
v e 
→
u quaisquer são 
sempre coplanares, pois podemos sempre tomar 
um ponto no espaço e, com origem nele, imaginar os 
dois representantes de 
→
v e 
→
u pertencendo a um 
plano pi que passa por esse ponto. 
Três vetores poderão ser coplanares ou não (Fig c). 
pi 
α 
→
u
 
→
v
 
 
→
w 
→
w
→
u
→
v
pi 
pi 
→
v
→
w
→
u
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AAAgggooorrraaa,,, ttteeennnttteee vvvooocccêêê!!! Resolva as atividades 
Lista 1 de Atividades7 
 
1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (do mesmo tamanho). 
Verifique se as igualdades são verdadeiras. Analise e justifique. 
 
a) AB = OF 
b) AM = PH 
c) BC = OP 
d) BL = - MC 
e) DE = - ED 
f) AO = MG 
g) KN = FI 
h) AC // HI 
i) JO // LD 
j) AJ // FG 
k) AB ⊥ EG 
l) AM ⊥ BL 
m) PE ⊥ EC 
n) PN ⊥ NB 
o) PN ⊥ AM 
p) AC = FP 
 
 
2. A partir do paralelepípedo retângulo podemos afirmar que: 
 
 
 
 
a) AB = -HG 
b) AB ⊥ CG 
c) AF ⊥ BC 
d) AC=HF 
e) AG=DF 
f) BG // ED 
 
g) AB, BC e CG são coplanares. 
h) AB, BG e CF são coplanares. 
i) AB é ortogonal ao plano BCG 
j) DC é paralelo ao plano HEF 
k) AC, DB e FG são coplanares. 
 
3) Encontre se possível os valores de x e y tais que: 
a) (2,x,1,3) = (2,5,y,3) c) (1,x,-3) = (2,3) 
b) (1,2x-12) = (1,-5) d) (x,x+y) = (y-2,6) 
 
4) Determine os valores de x e y, de forma que os vetores sejam iguais. 
(a) (4x-5, 7) = (2x – 4, y+ 2
13 ) (b) (x
2 – 5x + 4, 2x – 2) = (0, 6) 
(c) ( x , 7) = (2, 3y-5) (d) ( x , 2x+5) = (4, 5x-1) 
 
Respostas: 
1) São verdadeiros: a, b, d, e, f, h, j, k, l, n, o e p. São falsos, c, g, i, m; 2) As afirmações são verdadeiras, exceto (a), 
(c), (g) e (h); 3a) x=5 e y=1; b) x = 7/2; c) Não ∃ solução pois os vetores pertencem a dimensões diferentes; d) x=2 
e y=4; 4a) x = y= 0,5; b) x = 4; c) x = 4 = y; d) não existe x 
 
 
3 Vetores no Plano e Vetores no Espaço 
 
 
 estudo dos vetores em geral é relacionado a sua representação geométrica que se 
caracteriza num segmento de reta orientado como vimos até aqui. Mas, há outra forma 
de representá-los. Assim, vamos estudar os segmentos orientados relacionados com os 
sistemas de eixos cartesianos do plano (R2) e do espaço (R3). 
3.1 Expressão analítica de um vetor no plano (R2) 
 
O conjunto R2 = R x R = {(x,y), ∀ x, y ∈ R} é interpretado 
geometricamente como sendo o plano xOy do sistema cartesiano 
ortogonal. É o conjunto formado por todos os vetores com duas 
coordenadas reais x e y. Vetores que pertencem ao R² são conhecidos 
como pares ordenados de números reais. Geometricamente, todo 
 
7
 (WINTERLE, 2000, p.6) 
O 
A B 
C 
F E 
H G 
D 
paralelos 
perpendiculares 
módulo 
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vetor v= AB desse plano, tem sempre um representante equivalente OP , cuja origem é a 
origem do sistema cartesiano (0,0). 
 
No estudo algébrico dos vetores, utiliza-se em geral, os vetores v=OP , ditos vetores no 
plano e que são vetores definidos por um ponto extremo do segmento com origem no 
ponto (0,0). 
 
 Exemplo 1: Representação no plano do vetor ve do ponto P(x,y). Todo ponto P(x,y) do 
plano, está associado a um único vetor v = OP com v = (x, y) 
sendo x e y as coordenadas de P e as componentes do vetor v, 
também denominadas de coordenadas do vetor. 
 
Exemplo 2: Representação no plano cartesiano do vetor v = (3,2) ∈ 
R2. Note que, v = (3, 2) ou v = 





2
3
∈ R², são formas de 
representação do vetor v. 
 
OBS: Na Geometria Analítica analisa-se o vetor e sua representação a partir de uma base 
},{ ji = {(1,0), (0,1)} onde é estabelecida a correspondência biunívoca entre vetores no plano 
e os pares ordenados (x, y) de números reais. 
 
Nestas condições, a cada vetor v do plano pode-se associar um par (x, y) de números reais 
que são suas componentes na base dada, razão porque se define: 
 
Vetor no plano é um par ordenado (x,y) de números reais e se representam por 
),( yxv = que é a expressão analítica de v. A primeira componente x é chamada 
abscissa e a segunda y, ordenada. 
 
Exemplo 3: Podemos escrever v = (3,-5) ou v = 3i-5j. Veja outros exemplos: 
 
)0,0(0
)1,0(
)0,1(
)0,10(10
)3,0(3
)1,1(
=
=
=






−=→−=
=→=
−=→+−=
j
i
menteParticular
viv
vjv
vjiv
 
Desta forma, o plano pode ser compreendido como um conjunto de pontos ou um conjunto de 
vetores. 
3.2 Vetor Definido por Dois Pontos: Vetor Livre 
 
númeras vezes um vetor é representado por um segmento orientado que não parte da 
origem do sistema. Nestes casos, temos os vetores livres. 
Por exemplo, consideramos o vetor AB de origem no ponto A(x1, y1) e extremidade em 
B(x2,y2). O vetor AB é um vetor livre. 
 
Como, já se afirmou anteriormente, no estudo algébrico dos vetores, utiliza-se em geral, os 
vetores definidos por um ponto que é o extremo do segmento com origem no ponto (0,0). 
 
A partir de um vetor livre v = AB podemos encontrar o seu vetor equivalente, definido por um 
ponto, que parte da origem do sistema (0,0). Para isso, fazemos: 
ABAB −= 
),(),( 1122 yxyxAB −= 
I 
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),( 1212 yyxxAB −−= = v (vetor definido por um ponto) 
 
Representação Geométrica 
Vetor Livre Vetor definido por um ponto extremo com 
origem em (0,0). 
 
Exemplo 1: Para A = (-3,2) e B = (-1,4). O 
segmento AB é um vetor livre. 
Fazendo AB = B-A 
= (-3,2)-(-1,4) 
= (-3+1,2-4) 
= (-1, -2) = v 
O vetor v = (-1,-2) é equivalente ao vetor livre 
AB e parte da origem (0,0) do sistema. 
 
 
Assim, obtemos um vetor v a partir do vetor livre AB, subtraindo as coordenadas do ponto B 
das coordenadas do ponto A, ou seja, v = B-A. O vetor v encontrado representa o mesmo 
vetor AB. É importante lembrar que um vetor tem infinitas representações que são os 
segmentos orientadores com mesmo comprimento, direção e sentido. Entretanto, dentre estas 
infinitas representações, o que melhor caracteriza o vetor é aquele que 
tem sua origem no ponto O (0,0) e extremidade em P(x,y). 
 
Exemplo 2: Dados os pontos A=(0,1) e B=(1,2), determine o vetor v que 
parte da origem e é equivalente ao vetor livre AB . 
Resolução: v = AB = B – A = (1,2) – (0,1) = (1, 1) 
 
3.3 Expressão analítica de um vetor no espaço (R3) 
 
a Geometria Analítica analisa-se o vetor e sua representação a partir de uma base8 
},{
→→
ji = {(1,0), (0,1)} quando os vetores são vetores do plano e a partir de uma base 
canônica representada por },,{
→→→
kji = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}quando os vetores são 
vetores do espaço, onde é estabelecida a correspondência biunívoca entre vetores no espaço 
com o vetor (x, y,z) de números reais. 
 
8
 Você sabia que: No plano R2 qualquer conjunto {v1, v2} de dois vetores, não colineares, é uma base. E, todo vetor v 
deste plano é combinação linear dos vetores da base, isto é, sempre existem os números a1 e a2 reais tais que v = a1 
v1 + a2 v2. No espaço R3 qualquer conjunto {v1, v2, v3} de vetores não coplanares é uma base. Assim, sempre existem 
números reais a1, a2 e a3 tais que: v = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 onde a1, a2 e a3 são componentes de v em relação à base 
considerada. Todo espaço tem infinitas bases e uma base canônica. Por exemplo, em R3 a base canônica é {(1,0,0), 
(0,1,0), (0,0,1)}. 
N 
 Álgebra Linear – Vetores em Rn 91 
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Consideremos estes três vetores representados com 
origem no mesmo ponto O e por este ponto três retas 
como mostra a figura abaixo. 
A reta com a direção do vetor i é o eixo dos x 
(abscissa), a reta com direção do vetor j é o eixo do 
y (ordenada) e a reta com a direção do vetor K é o 
eixo dos z (das cotas: significa altura no espaço). As 
setas indicam o sentido positivo de cada eixo, que são 
chamados eixos coordenados. 
 
Cada dupla de eixos determina um plano coordenado. Portanto, temos três planos 
coordenados: o plano xy, xz ou yz. As figuras abaixo dão uma idéia dos planos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estes três planos se interceptam segundo os três eixos dividindo o espaço em oito regiões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A cada ponto do espaço vai correspondendo uma terna (a,b,c) de números reais, chamadas 
coordenadas de P. Exemplo 1: Observe a projeção do ponto P(2,4,3) no espaço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escrevemos v=xi+yj+zk, onde x, y, z são os componentes de v na base canônica 
{i, j, k} e v = (x, y, z) é a expressão analítica de v. 
Assim, se v = 2i+4j+3k indicamos v = (2, 4, 3) 
 
y 
 
z 
0 
z 
x 
y 
0 
z 
x 
y 
V
0 
A B 
C 
DE 
F P 
Com base nesta figura, temos: 
A (2,0,0) → x = 2, y = 0, z = 0 
B (2,4,0) → x = 2, y = 4, z = 0 
C (0,4,0) → x = 0, y = 4, z = 0 
D (0,4,3) → x = 0, y = 4, z = 3 
E (0,0,3) → x = 0, y = 0, z = 3 
F (2,0,3) → x = 2, y = 0, z = 3 
P (2,4,3) → x = 2, y = 4, z = 3 
XZ 
z 
x 
y 
 x 
YZ 
 
y 
y 
z 
XY 
y 
x 
z 
 Álgebra Linear – Vetores em Rn 92 
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Portanto: 
O conjunto R3 = R x R x R = {(x, y, z) ∀ x, y, z ∈ R} é interpretado geometricamente como 
sendo o espaço tridimensional 0xyz, onde P(x,y,z) é o ponto associado ao único vetor v = 
OP = (x,y,z) e as coordenadas x, y e z, de P são as componentes de v. A Fig.(a) representa 
o ponto P = (x,y,z) ∈ R3 e a Fig. (b) representa o vetor v = (x,y,z) ∈ R3. 
 
 
Fig.(a): Representação 
geométrica do ponto P, no plano 
tri-dimensional 
Fig.(a): Representação 
geométrica do ponto P, no plano 
tri-dimensional 
Fig.(b): Representação 
geométrica do vetor v, no plano 
tri-dimensional 
 
Exemplo 2: Representação geometricamente o vetor v = (1,2,3) e P = (4,-2,3) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Representação dos vetores no espaço, sendo: 
u =
→
A (-1,4,3), v = 
→
B (5,-2,3) e w =
→
C (-3,-5,4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→
C (-3,-5,4) 
 
→
A
 
y 
z 
0 
- x 
z 
-y 
B 
x 
- z 
yz 
xz 
- y 
xy - x 
c 
C 
y 
x 
z 
v = (1,2,3 ) = OP 
(0,2,0) 
(0,0,3) 
(1,0,0) 
v 
0 
u=
→
A (-1,4,3) 
v=
→
B (5,-2,3) 
0 
0Álgebra Linear – Vetores em Rn 93 
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AAAgggooorrraaa,,, ttteeennnttteee vvvooocccêêê!!! Resolva as atividades 
Lista 2 de Atividades9 
 
1) Dê as coordenadas dos pontos: 
 
(a) A = _______________ 
(b) B = _______________ 
(c) C = _______________ 
(d) D = _______________ 
(e) E = _______________ 
(f) F = _______________ 
(g) O = _______________ 
(h) P = _______________ 
 
 
2) Represente no plano e/ou no espaço tridimensional os vetores: 
 (a) u = -i-2j (b) w = (5, -3) (c) s = (-2, 4) 
 (d) v = i+2j+5k (e) t = (1, 4, 3) (f) r = (-3, 2, 5) 
 (g) m = (3, -2, 6) (h) n = (1, 3,-4) (i) j = -2i+3j-4k 
 
3) Inúmeras vezes um vetor é representado por um segmento orientando AB que não parte da 
origem do sistema cartesiano. Considere os segmentos orientados AB e CD com A = (-1,2) e B 
= (2,-3), C = (1, 3, 5) e D = (-1, 2, -4). Assim: 
(a) Encontre o vetor u, definido por um ponto, eqüipolente ao segmento orientado AB; 
(b) Encontre o vetor v, definido por um ponto, eqüipolente ao segmento orientado CD; 
(c) Represente geometricamente o segmento AB e o vetor u. Analise o resultado e 
comente o que você observou. 
Respostas parciais: (1a) A=(4,0,0); © C = (0,0,3); (e) E (4,-2,0); (g) O=(0,0,0); 3) a) u=(3,-5); b) v=(-2,-1,-9); c) 
AB é equivalente ao vetor u. São eqüipolentes porque tem a mesma direção, sentido e magnitude (módulo). AB é 
vetor livre e u tem origem no sistema (xOy). 
 
4 Operações com Vetores 
 
4.1 Adição e Subtração de Vetores 
 
lgebricamente a adição de dois vetores se define pela adição de seus componentes 
(coordenadas), um a um. Por sua vez, a diferença de dois vetores se define pela 
adição do primeiro vetor pelo oposto do segundo vetor. 
 
Observe que: Dois vetores podem ser adicionados se e somente se eles tiverem a mesma 
dimensão. Para somar dois vetores, basta somar individualmente cada elemento deles. O vetor 
resultante será da mesma dimensão dos vetores originais. Simbolicamente, temos que, se v = 
u+ w, então vi = ui + wi, para todo i. 
 
Assim, para os vetores u e v de R2 com u = (x1,y1), v = (x2,y2) temos: 
 
u + v = (x1 + x2, y1 + y2) e u + (-v) = (x1 - x2, y1 - y2) 
 
Se u e v são vetores de Rn com u = (x1,x2,x3, ....,xn), v = (y1,y2,y3, ....,yn) temos: 
 
u + v = (x1 + y1, x2 + y2, ... , xn + yn) 
 
Exemplo 1: Se u = (1, 7) e v = (2, 5) então: 
(a) u + v = (1+2, 7+5) = (3, 12) e 
(b) u – v = u + (-v) = (1,7) + (-2,-5) = (1-2, 7-5) = (-1,2). 
 
9
 (WINTERLE, 2000, p.6) 
A 
 Álgebra Linear – Vetores em Rn 94 
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Exemplo 2: Se u = (1, 7, 3), v = (-1,4,6) e w = (2, 5, 4, -1) então: 
(a) u + v = (1-1, 7+4, 3+6) = (0, 11, 9) 
(b) u – v = u + (-v) = (1,7,3) + (1, -4, -6) = (2, 3, -3) 
(c) u + w? Não é possível computar u + w, nem v + w porque u e v são de 3ª 
dimensão e w é de 4ª dimensão. 
 
4.2 Multiplicação de escalar por um vetor 
 
A multiplicação de um escalar por um vetor se define pelo produto do escalar (número) por 
cada componente do vetor. Ou seja, um vetor pode ser multiplicado por um escalar, 
multiplicando-se cada elementos do vetor por este escalar. Assim, para o vetor u de Rn com u 
= (x1,x2, ..., xn) e k ∈ R (k escalar) temos: 
 
ku = k(x1,x2, ..., xn) = (kx1,kx2, ..., kxn) 
 
Exemplo 1: Se u = (1, 7) e v = (2, 5), vetores de R2 então para k = 5, temos: 
(a) ku = 5(1, 7) = (5.1, 5.7) = (5, 35) e 
(b) kv = 5(2, 5) = (5.2, 5.5) = (10, 25). 
 
Exemplo 2: Se u = (1, 7, 8,-1) e v = (2, 5, 0, 0), vetores de R4 então para k = -2, temos: 
(a) ku = -2(1, 7, 8, -1) = (-2, -14, -16, 2) 
(b) kv = -2(2, 5, 0, 0) = (-4, -10, 0, 0) 
(c) ku + kv = k(u+v) = -2(u+v) = -2(3,12,8,-1) = (-6, -24, -16, 2) 
 
Exemplo 3: Sejam u = (2,3,4,5) e v = (2,1,0,2) vetores de R4 então, temos que: 
(a) u + v = (4, 4, 4, 7) 
(b) u – v = (0, 2, 4, 3) 
(c) 3u – 2v = (6, 9, 12, 15) – (4, 2, 0, 4) = (2, 7, 12, 11) 
 
Exemplo 4: Dados os pontos A(0,1,-1) e B(1,2,-1) e os vetores u = (-2,-1,1), v= (3,0,-1) e w 
= (-2,2, 2). Verificar se existe números a1, a2 e a3 tais que w=a1AB+a2u+a3 v. 
Resolução: 
AB = B – A ⇒⇒⇒⇒ (1, 2, -1) – (0, 1, -1) = (1, 1, 0) 
w = a1 AB + a2 u + a3 v. 
(-2,2,2) = a1 (1, 1, 0) + a2 (-2,-1,1)+ a3 (3,0,-1) 
Aplicando as operações de produto de escalar por vetor, soma de vetores e 
igualdade de vetores, encontramos como resposta: 
a1= 3; a2 = 1; a3 = -1 
Portanto, w = a1 AB + a2 u + a3 v para a1 = 3, a2 = 1 e a3 = -1 
 
Propriedades dos vetores 
 
Para qualquer vetor u, v e w vetores de R2 (podemos generalizar para Rn) e k, k′∈ R (k é um 
escalar = número real), temos: 
 
(i) u + v = v + u (comutativa) (ii) (k + k′ ) u = k u + k′ u 
(iii) (u+v )+w = u+(v+w) (associativa) (iv) k (u + v ) = k u + k v 
(v) u + 0 = 0 + u = u (elemento neutro) (vi) k (k′ .u) = (k k′ ) .u 
(vii) u + (-u) = 0 (elemento simétrico) (viii) 1.u = u; -1.u = -u e 0.u = 0. 
 
Obs A igualdade de vetores é definida igualmente para R2, R2, ..., como já vimos: Assim, 
por exemplo, os vetores u = (8,b,-2) e v= (8,5,a) são iguais se a=-2 e b= 5. 
Se u = ( x – y, x + y, z – 1) e v = ( 4, 2, 3 ), podemos afirmar que: 
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 u = v ⇔ 





=
−=
=
≅





+=
=−
=−
≅





=−
=+
=−
4
1
3
13
220
4
31
2
4
z
y
x
z
yx
yx
z
yx
yx
⇔ Portanto, u = v se x = 3, y = -1 e z =4. 
 
Importante: Quando o vetor v estiver representado por v = a1 v1 + a2 v2, dizemos 
que v é combinação linear v1 e v2. O par de vetores v1 e v2 não 
colineares são chamados de base do plano. Veja mais sobre isso, nas 
aplicações de adição de vetores e multiplicação por escalar. 
4.3 Análise Geométrica da Adição de Vetores e Multiplicação por Escalar 
A adição de dois vetores 
→
v e 
→
u é analisada, geometricamente, a partir dos segmentos que 
contém os vetores. Este movimento se caracteriza por decomposição de vetores no plano. 
 
ecomposição de vetores no plano: Dados dois vetores v1 e v2 não 
colineares, qualquer vetor v (coplanar com v1 e v2) pode ser decomposto 
segundo as direções de v1 e v2. O problema consiste em determinar dois 
vetores cujas direções sejam as de v1 e v2 e cuja soma seja v. Em outras palavras, 
buscam-se determinar dois números reais a1 e a2 tais que: 
2211 vavav += 
1º caso A ADIÇÃO DOS DOIS VETORES 
→
v e 
→
u representados pelos segmentos 
orientados AB e BC se definem pelo vetor resultante 
→
s representado pelo segmento 
AC . 
Regra do polígono ou triangulação: Ligam-se os vetores, origem com extremidade 
por deslocamento. O vetor soma (ou vetor resultante) é aquele que tem origem, na 
origem do 1º vetor e extremidade, na extremidade do último vetor. 
Assim, os pontos A e C determinam um vetor que é a soma dos vetores 
→
u e 
→
v onde: 
 B 
 
→
v 
→
u 
 
→
s 
 
 A C 
Exemplo 1: 
→
s = 
→
u + 
→
v ou 
→
u + 
→
v = AC ou 
AB + BC = AC 
 
Exemplo 2: 
→
s = 
→
u + 
→
v 
 
Exemplo3: 
→
s = 
→
u + 
→
v ou 
→
u + 
→
v = AC ou 
AB + BC = AC 
Na SUBTRAÇÃO DE VETORES, adicionamos um deles ao oposto do outro: 
→
s = 
→
u - 
→
v . 
Vetores u e v Adição de vetores u+v Subtração u+(-v) 
D 
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2º caso A adição dos dois vetores 
→
v e 
→
u paralelos (
→
v ⁄ ⁄ 
→
u): 
 
 A adição de vetores representados por segmentos paralelos10 orientados AB e BC se 
define da mesma forma anterior, pelo vetor resultante 
→
s, representado pelo segmento 
AC . 
Assim, os pontos A e C determinam um vetor que é, por definição, a soma dos vetores 
→
u e 
→
v onde, para 
→
s = 
→
u + 
→
v . 
 
Exemplo 1: Na figura (a), temos a resultante 
→
s de vetores 
→
u e 
→
v com o mesmo 
sentido e na figura (b), temos a resultante 
→
s de vetores 
→
u e 
→
v com o sentido 
contrário (equivale a s = u - v). 
 
Vetores 
→
u e 
→
v Adição de vetores 
→
s = 
→
u + 
→
v Subtração 
→
s = 
→
u + (- 
→
v ) 
 
 
 Fig.(a) Fig.(b) 
3º caso A adição dos dois vetores 
→
v e 
→
u não paralelos pode ocorrer a partir do 
deslocamento dos vetores para uma mesma origem A. Assim, representa-se o vetor 
→
v 
= AB e o vetor 
→
u = AD . 
 
Regra do paralelogramo: A partir da origem A, projetamos um vetor no extremo do 
outro (mesma direção e mesmo sentido). Assim, construímos o paralelogramo ABCD. 
 
Exemplo 1: (Figuras c, d) O segmento orientado de origem em A que equivale à 
diagonal do paralelogramo, é o vetor resultante 
→
s= 
→
u +
→
v . A diagonal secundária do 
paralelogramo equivale a resultante da diferença entre os vetores, ou seja, 
→
s=
→
u -
→
v . 
 
Adição de vetores 
→
s = 
→
u + 
→
v Subtração 
→
s = 
→
u + (- 
→
v ) 
 
10
 Quando os segmentos têm a mesma direção – sobre as mesmas retas ou paralelas 
 Álgebra Linear – Vetores em Rn 97 
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Fig (c) 
u+v é a diagonal principal do 
paralelogramo ABCD. 
Fig (d) 
u+v →diagonal principal do paralelogramo 
u-v →diagonal secundária 
 
 
Exemplo 2 
 
Vetores 
→
u e 
→
v Adição 
→
s = 
→
u + 
→
v Subtração 
→
s = 
→
u -
→
v 
 
 
4º caso A adição dos três vetores ou mais ocorre de forma análoga aos casos 
anteriores. No caso particular da extremidade do representante do último vetor 
coincidir com a origem do representante do primeiro a soma deles será o vetor zero 
ou nulo. 
 
Exemplo de adição de três ou mais vetores livres 
 
 
 
Exemplo 1 
 
→
s = 
→
u + 
→
v + 
→
w 
 
 
 
Exemplo 2 
 
→
s = 
→
u + 
→
v + 
→
w 
 
 
Exemplo 3 
 
→
s = 
→
u + 
→
v + 
→
w +
→
t =
→
0 
 
Exemplo de adição de vetores que partem de uma origem: Situação comparativa de 
soma com dois e com três vetores 
 
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Exemplo 1 
 
→
s = 
→
u + 
→
v 
 
 
Exemplo 2 
 
→
s = 
→
u + 
→
v + 
→
w 
 
 
eometricamente, o PRODUTO DE UM ESCALAR POR UM VETOR, é 
representado por um novo vetor que se expande, contrai ou inverte o sentido, 
conforme o valor de k. O produto de um número real k por um vetor v, resulta em 
um vetor s com sentido igual ao de v se k for positivo ou sentido oposto ao de v se k for 
negativo. O módulo do vetor s é igual a k x |v|. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º caso Se k = 0 ou v = 0, então o vetor kv = 0. 
Exemplo: Para u = (1,2) e k = 0 temos ku = 0.u= (0.1,0.2) = (0,0). 
 
2º caso Se k= -1, o vetor (-1)v é o oposto de v. 
 Exemplo: Para u=(1,2) e k=-1 temos ku=(-1).u=(-1.1, -1.2) 
= (-1, -2) 
 
3º caso Se k > 0, então (k.v) permanece com o mesmo sentido de v, se 
k < 0, kv tem sentido contrário de v. 
 
Exemplos: 
Para u = (1,2) e k = 2 temos 
ku = 2u = (2.1, 2.2) = (2, 4) 
Para u = (1,2) e k = -2 temos 
ku = -2u= (-2,-4). 
 
 
 
Exemplos Complementares 
Exemplo 1: Dados os vetores u=(4,1) e v = (2, 3). Determinar geometricamente e 
algebricamente as resultantes de u+v e 2u. 
 
G 
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Resolvendo: 
• u+v = (4,1) + (2,3) = (6, 4) e • 2 u = 2 (4,1) = (8,2). 
 
Representação geométrica de u+v Representação geométrica de 2u 
 
Exemplo 2: Consideremos os vetores de R2 definidos em u = (1,2) e v = (3,-3). Determine, 
algébrica e geometricamente, as resultantes: 
(a) 
→
s = 
→
u + 
→
v ; (b) 
→
s = 
→
u - 
→
v ; (c) 
→
s = 
→
v - 
→
u 
 
Resolução: Algebricamente 
(a) 
→
s = 
→
u + 
→
v 
= (1,2) + (3,-3) 
= (1+3, 2-3) 
= (4, -1). 
(b) 
→
s = 
→
u - 
→
v 
= (1,2) - (3,-3) 
= (1-3, 2+3) 
= (-2, 5) 
 
(c) 
→
s = 
→
v - 
→
u 
= (3,-3) - (1,2) 
= (3-1,-3-2) 
= (2, -5) 
 
Geometricamente (a) 
 
Geometricamente (b) 
 
Geometricamente (c) 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Dados os vetores u, v e w, de acordo com a figura, construir graficamente o vetor 
→
s = 2u - 3v+ 1/2w 
 
Resolução: Vetores Resultante s = 2u - 3v+ 1/2w 
 Álgebra Linear – Vetores em Rn 100 
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Exemplo 4: Efetuar as operações com os vetores sabendo que u = (
5
3
,
3
1
− ) e v= (
5
2
,
3
1
). 
� u+v = (
5
2
5
3
,
3
1
3
1
+−+ ) = (
5
1
,
3
2
− ) 
� 15u = 15 (
5
3
,
3
1
− ) = (5, -9) 
� 
4
3
− v - 
3
1
 u = 
4
3
− (
5
2
,
3
1
) - 
3
1
(
5
3
,
3
1
− ) =(
10
3
,
4
1
−− ) + (
5
1
,
9
1
− ) =(
10
1
,
36
13
−− ) 
 
 
Exemplo 5: Para u = (-2,2) e v = (3,2) represente no plano u+v, 2u e u + (-v). 
 
 
 
u + v = (-2,2) + (3,2) = (-2+3, 2+2) = (1,4) 2u = 2(-2,2) = (-4,4) 
 
 
 
 
 
 
u +(-v) = (-2,2) – (3,2) = (-5,0) 
 
Exemplo 6: Determinar o vetor w na igualdade 3w+2u=
2
1
v+w, sendo u=(3,-1) e v=(-2,4). 
 Resolvendo: 3w+2(3,-1)=
2
1
(-2,4)+w ⇔ 3w + (6,-2) = (-1,2) + w 
3w –w = (-1,2) - (6,-2) ⇔ 2w = (-7, 4) ⇔ w = ( 2,
2
7−
). 
Exemplo 7: Encontrar os números a1 e a2 tais que VaUaW 21 += sendo 
)2,4(...)..2,1(),8,1( −==−= VeUW 
 Álgebra Linear – Vetores em Rn 101 
Profª(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira 
)22,4()8,1(
)2,4()2,()8,1(
)2,4()2,1()8,1(
2121
2211
21
aaaa
aaaa
aa
−+=−
−+=−
−+=−
 
 
822
14
21
21
=−
−=+
aa
aa
 
1
3
2
1
21
−=
=
a
a
⇒ logo VUW −= 3 
 
Note que: Ao trabalharmos geometricamente com a soma de vetores e a 
multiplicação de escalarpor vetores, operamos pela decomposição de vetores. 
Em outras palavras, buscam-se determinar dois números reais a1 e a2 tais que: 
2211 vavav += 
Exemplo 1: Dados dois vetores v1 e v2 não colineares e v (arbitrário), a figura 
mostra como é possível formar um paralelogramo em que os lados são 
determinados pelos vetores 11va e 22va e, portanto, a soma deles é o vetor v, que 
corresponde à diagonal desse paralelogramo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 2: Na figura seguinte os vetores v1 e v2 são 22va mantidos e 
consideramos um outro vetor v. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4 Aplicações de Adição de Vetores e Multiplicação por Escalar 
 
4.4.1: Combinação Linear de vetores 
 
ejam u1, u2, ...,un vetores do espaço vetorial V e a1, a2, ..., an escalares de IR ou C. 
Qualquer vetor u de V, escrito na forma u = a1u1 + a2u2 + ... + an un é uma 
combinação linear dos vetores ui. 
Exemplo 1: A operação 2(3,-4,5) + 3(-1,1-2) = (6,-8,10)+(-3,3,-6) = (3,-5,4) se 
caracteriza como uma combinação linear. Neste caso, o vetor resultante (3,-5,4) é uma 
combinação linear dos outros vetores adicionados e multiplicados pelos respectivos escalares; 
Da mesma forma, o vetor u = (-1,-1,-3) é resultado da combinação linear dos vetores u1 = 
(3,2,-1) e u2 = (4,3,2) porque u = u1 - u2 = (3,2,-1) - (4,3,2) = (-1,-1, -3). 
Exemplo 2: Verifique se o vetor w=(1, 2) de IR2 pode ser resultado da combinação linear dos 
vetores u=(1,3) e v=(-1, 2). 
S 
v1 
-a1v1 a2v2 v 
v2 
v = - a1 v1 + a2v2 
 
2211 vavav += 
v1 
v2 
11va
22va
2v
1v
v (arbitrário) 
v 
V1 
V2 
Nesta figura 
a2 > 0 e a1 < 0 
 Álgebra Linear – Vetores em Rn 102 
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Resolução: Um vetor w é uma combinação linear de outros vetores u e v se e somente se, 
existe solução para a equação matemática w = x.u + y.v ou, se existe valores reais para x e 
y de modo que w = x.u + y.v 
Assim, fazemos w= x.u + y.v. Substituindo w, u e v pelos seus respectivos valores, temos: 
w = x (1,3) + y (-1,2) 
(1,2) = x (1,3) + y (-1,2) 
(1,2) = (x–y,3x+2y) ⇔ 



=+
=−
223
1
yx
yx
 ⇔ 



−=+
=−
150
1
yx
yx
⇔ 



=
=
−
5
1
5
4
y
x
. 
Resposta: O sistema resultante da equação matemática w=x.u+y.v é consistente e 
determinado. Assim, w é uma combinação linear de u e v e pode ser escrito como: w = 
5
4 u + 51− v. 
Exemplo 3: Verifique se os vetores u = (1,2,-1), v = (1,3,1) e w = (0, 1, 2), vetores de IR3 
podem ser escritos como combinação linear do vetor t = (2,7,4). 
Resolução: Os vetores u, v e w podem ser escritos como uma combinação linear do vetor t 
se a equação xu + yv + zw = t, tem solução real. 
xu + yv + zw = t 
x(1,2,-1) + y(1,3,1) + z(0,1,2) = (2, 7, 4) 
(x, 2x, -x) + (y, 3y, y) + (0z, z, 2z) = (2, 7, 4) 
(x + y, 2x + 3y + z, -x + y + 2z) = (2, 7, 4) 
⇔ 





=++−
=++
=+
42
732
2
zyx
zyx
yx
≅ 





=++
=++
=+
6220
30
2
zyx
zyx
yx
≅ 





=++
=++
=+
0000
30
2
zyx
zyx
yx
≅ 



−=
+−=
zy
zx
3
1
. 
S={(-1+z, 3-z, z) ∀ z∈IR} 
 
O sistema é consistente e indeterminado. Portanto, tem diversas soluções. Então, t é 
combinação linear de u, v e w e pode ser escrito como: t = (-1+z)x + (3-z)y + zw para ∀ 
z∈IR. 
 
4.4.2: Dependência e Independência Linear de Vetores 
 
m conjunto de vetores u1,u2,...,un é dito linearmente independentes (LI) se escritos 
como combinação linear do vetor nulo, resultam em todos os coeficientes nulos. Caso 
contrário os vetores são linearmente dependentes (LD). 
Ou, um conjunto de vetores u1,u2,...,un é independentes (LI) se e somente se, para todo ai 
real, temos: 
0
1
=∑
=
n
i
iiua para todo 0=ia 
Onde ia são quantidades escalares. 
Se ocorrer 0
1
=∑
=
n
i
iiua para algum 0≠ia , os vetores são ditos dependentes (LD). 
Geometricamente, vetores linearmente independentes têm representação geométrica em 
direção distinta (vetores colineares). Em caso contrário, se tem a mesma direção (vetores 
paralelos) são linearmente dependentes. 
Exemplo 1: Os vetores u = (1,2) e v = (3,3) são vetores linearmente independentes (LI) 
porque existe somente 0=ia para os quais, 
v = a1u+a2v = 0 ou 0u+0v = 0(1,2)+0(3,3)=(0.0)= 0. 
E, os vetores u = (1,2) e v = (2,4) são vetores linearmente dependentes (LD) porque existe 
2=ia e 1−=ia para os quais, 
v = a1v1+a2v2 = 0 ou 2v1+(-1)v2 = (2,4)-(2,4)=(0.0)= 0. 
U 
 Álgebra Linear – Vetores em Rn 103 
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Exemplo 2: Os vetores de R3, u1 =(1,2,3), u2 =(-1,2,4) e u3 =(2,-1,5) são LI ou LD? 
 
Resolução: Os vetores são LI se existem escalares ia tais que 0332211 =++ vavava para 
0=ia . Do contrário, são vetores LD. Para facilitar o procedimento de cálculo podemos 
substituir os escalares ia por x, y e z. Assim, 
x u1 + y u2 + z u3 = 0 ⇔ 
x (1,2,3) + y (-1,2,4) + z (2,-1,5) = (0,0,0) ⇔ 
(x, 2x, 3x) + (-y, 2y, 4y) + (2z, -z, 5z) = (0,0,0) ⇔ 
[(x – y + 2z), (2x + 2y – z), (3x + 4y + 5z)] = (0,0,0) ⇔ 





=++
=−+
=+−
0543
022
02
zyx
zyx
zyx
 ≅ 





=+
=+
=+
0 z -7y 
0 5z -4y 
0 2z y - x 
 ≅ 





=
=+
=+
0 z 31 
0 5z -4y 
0 2z y - x 
 ⇔ z = y = x = 0 
Isto significa dizer que x u1 + y u2 + z u3 = 0 ⇔ 0u1 + 0u2 + 0u3 = 0. Portanto os 
vetores u1, u2 e u3 são linearmente independentes. 
Você pode verificar a linearidade de um conjunto por outro procedimento. 
Forme uma matriz A, cujas colunas são os vetores dados. Reduza a matriz a sua 
forma escalonada mais simples e analise-a. Se a quantidade de linhas não nulas for 
inferior ao número de vetores dados então os vetores correspondentes, u1, u2 e u3 
são LD. Caso contrário (quantidades iguais) são LI. 
A =










−
−
543
122
211
 ≅ 










−
−
−
170
540
211
 ≅










−
−
−
3100
540
211
 
Observe que a matriz A, na sua forma escalonada, não apresenta linhas nulas. Neste 
caso, podemos afirmar que os vetores correspondentes de A, que são os vetores u1, 
u2 e u3, são LI. 
Exemplo 3: Mostre que o vetores de R3, u1 = (1,-2,3), u2 = (-1,0,-2) e u3 = (-2,0,-4) são LD. 
Resolução: xu1 + yu2 + z u3 = 0 ⇔ 
x(1,-2,3) + y(-1,0,-2) + z(-2,0,-4) = (0,0,0) ⇔ 





=−−
=++−
=−−
0423
0002
02
zyx
zyx
zyx
 ≅ 





=++
=+
=
0 z 2 y 
0 4z--2y 
0 z 2-y - x 
 ≅ 





=
=−
=−
0 0 
0 z 42y - 
0 z 2y - x 
⇔ -2y=4z⇔y=-2z. 
Logo, para x – y – 2z = 0⇔ x–(-2z)– 2z=0 ⇔ x=0. 
A combinação dos vetores em relação ao vetor nulo, resulta em escalar y não nulo. 
Logo, os vetores são LD. 
Temos como solução do sistema, o conjunto S = {(0,-2z,z) ∀ z∈R}. Podemos 
escrever a combinação linear como: 0u1 + (-2z)u2 + zu3 = 0. 
 
4.4.3: Basesdo Plano de do Espaço 
 
Linhas não-nulas 
Vetores LI Vetores LD 
 Álgebra Linear – Vetores em Rn 104 
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 par de vetores v1 e v2 de 2ª dimensão, não colineares (linearmente independentes) é 
chamado de base do plano. Aliás, qualquer conjunto {v1 , v2} de vetores não 
colineares constitui uma base no plano. Os números a1 e a2 são chamados 
componentes v em relação a base {v1 , v2}. 
O conjunto de vetores v1, v2 e v3 de 3ª dimensão, não colineares (linearmente independentes) 
é chamado de base do espaço. 
 
Exemplo 1: Os vetores u = (1,2) e v = (3,3) são vetores linearmente independentes (LI) e, 
portanto, formam uma base B = {(1,2), (3,3)} do plano ou de R2. Os vetores u = (1,2) e v = 
(2,4) não formam uma base do plano porque são vetores linearmente dependentes (LD). 
 
Exemplo 2: Os vetores de R3, u1 =(1,2,3), u2 =(-1,2,4) e u3 =(2,-1,5) são LI, portanto 
formam uma base B = {(1,2,3), (-1,2,4), (2,-1,5)} do espaço ou de R3. 
A =










−
−
512
421
321
 ≅ 










− 250
740
321
 ≅










4300
740
321
 
 
AAAgggooorrraaa,,, ttteeennnttteee vvvooocccêêê!!! Resolva as atividades 
Lista 3 de Atividades11 
 
1. A Figura é constituída de nove quadrados congruentes (do mesmo tamanho). Determine os 
vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A. 
 
 
a) AC + CN 
b) AB + BD 
c) AC + DC 
d) AC + AK 
e) AC + EO 
f) AM + BL 
 
 
g) AK + AN 
h) AO - OE 
i) MO - NP 
j) BC - CB 
k) LP + PN 
l) LP + PN + NF 
m) BL + BN + PB 
 
2. Considere dois vetores quaisquer, u e v, não paralelos. Construa num plano as resultantes, 
s=u+v, w=u-v, t=v-u, m=(-u) e n=–v. 
3. Determine, algébrica e geometricamente o vetor resultante w, para u = (-1,2) e v = (2,-1): 
(a) u + v 
 
(b) u – v (c) v - u (d) 3u– 3u 
 
(e) u – 2v (f) 2u + v g) 0,5 u + 3v h) 0,5 u – 0,5 v 
4. Dados os vetores 
→
v , 
→
u e 
→
w , de acordo com a figura, construir graficamente o vetor 
→
s = 
3
→
u - 2
→
v + 1/2
→
w 
 
 
 
 
5. O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores 
→
AB e 
→
AB , sendo M e N pontos médios 
dos lados DC e AB, respectivamente. Completar convenientemente e fazer a representação 
geométrica. 
 D M C 
a) 
→
AD + 
→
AB = 
b) 
→
BA + 
→
DA = 
 
c) 
→
AC - 
→
BC = 
d) 
→
AN + 
→
BC = 
e) 
→
MD+ 
→
MB = 
f) 
→
BM - 
2
1 →DC = 
 
11
 (WINTERLE, 2000, p.6) 
O 
→
w 
→
v 
→
u 
Linhas não-nulas 
 Álgebra Linear – Vetores em Rn 105 
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 A N B 
6 Dados os vetores 
→
u e 
→
v da figura, mostrar, num gráfico, um representante do vetor: 
 
→
u 
 
→
v 
7 Dados os vetores 
→
a , 
→
b e 
→
c , como na figura, apresentar um representante de cada um dos 
vetores: 
 
→
a 
 
→
b 
 
 
→
c 
8) Dados os vetores 
→
u e 
→
v determinar: u
→
 
(a) 
→
u + 
→
v (b) 
→
u - 
→
v v
→
 
9. Considere os vetores livres definidos por dois pontos A e B. Em cada caso, determine o 
vetor equivalente v (não livre). 
(a) A(1,3) e B(2,-1); (b) A(-1,5) e B = (-4,-2); (c) A(8,-15) e B (-2,0) 
10. Determinar o vetor w na igualdade 3w+2u= 4v -w, sendo u=(1,-1) e v=(-3,2). 
 
11) Dados u=(1,-2), v=(2,4) efetuar (a) u+v; (b) u-v; (c) 3u+2v. 
12) Dados A=(-1,2), B=(1,-2) e C=(3,3) determinar: (a) ABAB −= ; (b) ACAC −= ; 
(c) BCBC −= ; (d) ACAB + ; (e) ACAB − . 
13) Dados )1,
3
1(),..1,
2
1( −−= VU , calcular: (a) VU 32 + ; (b) VU 64 − . 
14) Dados A = (1,-2), B = (-2,3) e C = (-1,-2), determinar x = (a,b), de forma que: 
a) ABCx = b) ABCx
3
2
−= c) AxBC = 
15. Dados os vetores u = (1,3,0,-1) e v = (3,0,2,1) encontre: 
a) u+v b) u-v c) 3u 
d) 
2
1
u - v 
e) x se x+u=0 f) 2u + 2v 
16. Encontre os valores de a e b para os quais, w seja uma combinação linear de u e v ou seja, 
w = au + bv, sendo w = (-2,7), u = (1,3) e v = (-1,4). 
17) Verifique se existem escalares x, y e z tais que (1,5,7) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1) ou 
seja, verifique se o vetor (1,5,7) é combinação linear dos demais vetores e para quais 
valores de x, y e z. 
 
18) Verifique se são combinações lineares, encontrando x, y, z: 
a) x ( 1,1,1) + y (1,2,0 ) + z ( 2,0,0 ) =( 1,-2,5 ) 
b) x (2,1,3 ) + y ( 3,-1,0 ) + z ( 6,0,0 ) =( 3,-1,4 ). 
 
19) Considere os conjuntos A = {u,v,w} e B = {v, w, s}, com u = (1,1,-1), v = (2,-1,0), w = 
(3,2,0) e s = (4, -2,0): 
(a) O conjunto A é formado por vetores LI ou LD? 
(b) O conjunto B é LD? Justifique. 
(c) Os conjuntos A e B formam bases de R3? Justifique 
20) Verifique se o conjunto S = {(0,2), (0,4)} é base de R². 
 
a) 
→
u - 
→
v 
b) 
→
v - 
→
u 
c) -
→
v -2
→
u 
d) 2
→
u - 3
→
v 
a) 4
→
a - 2
→
b - 
→
c 
b) 
→
a + 
→
b + 
→
c 
c) 2
→
b - (
→
a +
→
c ) 
 Álgebra Linear – Vetores em Rn 106 
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Respostas: 1) NA; AD; AB; AO; AM; AH; AI; AC; AC;AC; AI; BA 
2) 
 
3) Resultado 
algébrico
 
4) 
 
 
5) 
 
 
6) 
 
 
7c) 
 
9) 
 
10) w=(-7/2,5/2); 11ª) (3,2); b) (-1,-6); c) (7,2); 12ª) (2,-4); b) (4,1); © (2,5); (d) (6,-3); (e) (-2,-5). 13) (a) (2,-
1); (b) (-4,10); 14a) (-4,3); b) (1, -16/3); c) (2,-7); 15ª) (4,3,2,0); b) (-2,3,-2,-2); c) (3,9,0,-3); d) (-5/2,3/2,-2,-
3/2); e) (-1,-3,0,1); f) (8,6,4,0); 16) w=-u/7+13v/7; 17) Sim, para x = 1, y = 5 e z = 7; 18) Sim para x = 5, y=-7/2 
e z=-1/4; b) Sim para x = 4/3, y = 7/3 e z = -10/9; 19) a) LI; B) LD por os vetores de B combinados com o vetor 
nulo resulta em solução indeterminada.; c) A é base porque é LI e B não é base porque é LD; 20) S não é base porque 
é LD. 
 
5 Produto Interno (ou Produto Escalar), Vetorial e Misto 
 
5.1 Produto Interno (ou escalar) 
 
efini-se como Produto Interno (ou Escalar) entre vetores de um Espaço Vetorial V, a 
uma aplicação de V x V em R, que a todo par de vetores (u,v) ∈ V x V, associa um 
número real (u.v) ou <<<<u,v>>>> (lê-se: u escalar v) e que satisfazem os seguintes 
axiomas: 
u . v = v. u; 
u . (v + w) = u . v + u . w; 
(k.u) . v = k . (u . v) para todo número real k; 
u . v ≥ 0 e u .u = 0 se, e somente se, u = 0. 
 
Assim, para os vetores u e v de R2 com = (x1,y1), v = (x2,y2), denomina-se produto escalar o 
número real u . v ou < u, v > definido por: 
 
u . v = (x1 . x2 ) + (y1 . y2) = < u, v > (lê-se: u escalar v) 
 
De forma similar podemos operarcom vetores de Rn. 
Assim, para u = (u1, u2,..., un ) e v = (v1, v2, ..., vn) vetores de R
n temos, 
D 
 Álgebra Linear – Vetores em Rn 107 
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u . v = (u1 . v1+ u2 . v2 + ... + un . vn) 
 
 Exemplo 1: Se u=(2,3) e v=(4,-1) então o produto escalar de u com v é igual a 5 porque 
fazendo <u,v> temos u . v = 2.4 + 3.(-1) = 5 portanto, o 
 
Exemplo 2: O produto interno usual em R2 dos vetores u = (-2,6) e v = (3,-4) é: 
 < u, v > = u . v = -2.(3) + 6.(-4) = -6-24 = -30. 
 
Observe que: Se 
→
u = x1 +y1 + z1 e 
→
v = x2 + y2 + z2 então o produto escalar (ou 
produto interno) dos dois vetores que é representado por 
→
u .
→
v é o número real obtido 
multiplicando as componentes correspondentes do vetor e somando os produtos obtidos. 
Assim, 
→
u .
→
v = (x1.x2 + y1.y2 + z1.z2) 
Exemplo 3: Se 
→
u = 3x – 5y + 8z e 
→
v = 4x - 2y – z o seu produto escalar é: 
→
u .
→
v= (3,-5,8).(4,-2,-1) = (12 + 10 – 8) ⇒ 
→
u .
→
v = 14 
 
Tente você! Dados os vetores 
→
u = (4,α , -1) e 
→
v = (α , 2, 3) e os pontos A = (4. –1, 2) e B 
= (3, 2, -1), determinar o valor de α tal que 
→
u .(
→
v + 
→
BA ) = 5 
 
5.2 Produto Vetorial 
 
produto vetorial tem como resultado um vetor, por isso é nomeado de produto vetorial. 
Este produto tem aplicação, por exemplo, na Física: a força exercida sobre uma partícula 
carregada, mergulhada num campo magnético, é o vetor resultante do produto vetorial 
entre o “vetor velocidade da partícula” pelo “vetor campo magnético”, desde que a carga seja 
unitária e o campo seja constante. 
 
Definição I: Seja u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2), vetores do espaço tridimensional. 
Definimos como produto vetorial, ao vetor u x v, tal que: 
 
u x v = 













+





−





22
11
22
11
22
11 det,det,det
yx
yx
zx
zx
zy
zy
 
Definição II: Ou, dados dois vetores 
→
u e 
→
v , tomados nesta ordem, chama-se produto 
vetorial dos vetores 
→
u e 
→
v e se representa por 
→→
× vu ao vetor, 
=×
→→
vu
222
111
zyx
zyx
kyi
→→→
 
O produto vetorial de 
→
u por 
→
v é também indicada por 
→
u ^
→
v e se lê: 
→
u vetorial 
→
v . 
 
Exemplo 1: Calcular o produto vetorial dos vetores 
→
u = 5
→
i + 4
→
j + 3
→
k e 
→
v =
→
i +
→
k . 
Resolução: 
O 
 Álgebra Linear – Vetores em Rn 108 
Profª(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira 
u= ( 5,4,3 ) e 
→
v = ( 1,0,1 ) então 
→→→→→
→→→
→→
−−=×==× kjivu
kji
vu 424
101
345 = (4, -2,-4) 
 
Exemplo 2: Sejam os vetores de R3, u = (1,-1,2) e v=(0,3,4), então, 
u x v = 






 −
−
−
30
11
,
40
21
,
43
21
 = ((-4-6), -(4-0), (3-0)) = (-10, -4, 3). 
Logo, o produto vetorial de u com v é u x v = (-10, -4, 3). 
Ou u x v= 
430
211 −
kji
 = -4i+0j+3k-0k-6i-4j = -10i – 4j + 3k = (-10, -4, 3) = u x v. 
5.2.1 Propriedades 
 
s propriedades do produto vetorial se definem em: 
 
(i) 
→→
× vu =0, se um dos vetores é nulo ou se 
→→
veu são colineares. 
(ii) 
→→
× vu ≠
→→
× uv . Se trocarmos à ordem dos vetores 
→→
× vu e 
→→
× uv verifica-se que é oposto, 
o que significa que o produto vetorial não é comutativo. 
(iii) 
→→
× vu = -
→
v
→
× u 
(iv) =




 +×
→→→
wvu
→→
× vu + 
→→
× wu 
(v) (m
→
u )
→
× v =m (
→→
× vu ) 
(vi) 
→→
× vu é ortogonal simultaneamente aos vetores 
→→
veu . 
Exemplo 1: (Propriedade vi) Dados os vetores 
→
u = 3
→
i +2
→
y - 4
→
k e 
→
v = 2
→
i - 2
→
y + 
→
k , seu 
produto vetorial é kyi
kyi
vu 10116
122
423 −−=
−
−=×
→→
→→→
→→
. 
Sabemos que, se o produto escalar dos vetores 
→
u e 
→
v for zero, eles são ortogonais, 
ou seja, 
→
u .
→
v = 0 090=⇒ θ . Então: 
a) (
→→
× ).vu
→
v ( )( )1,2,2.10,11,6 −−−−⇒ = 12+22-10=0. 
b) (
→
u ×
→
v ).
→
u ( )( )4,2,3.10,11,6 −−−−⇒ = -18-22+40=0 
Logo 
→→
× vu é ortogonal simultaneamente as vetores 
→
u e 
→
v . 
 
5.3 Produto Misto 
 
A 
 Álgebra Linear – Vetores em Rn 109 
Profª(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira 
 produto misto tem como resultado um escalar, obtido a partir da utilização do produto 
escalar e do produto vetorial. Pode ser utilizado, por exemplo, para encontrar o volume 
de um paralelepípedo determinado por três vetores. 
 
Definição I: Sejam 
→
u , 
→
v e 
→
w , vetores do espaço, com 
→
u = (x1, y1, z1); 
→
v = (x2, y2, z2) e 
→
w 
= (x3, y3, z3). Defini-se como produto misto de 
→
u , 
→
v e 
→
w , indica-se por 
→
u (
→
v x
→
w ) ao escalar 
resultante de: 
→
u (
→
v x
→
w ) = det 










333
222
111
zyx
zyx
zyx
 
Definição II: Dados os vetores 
→
u , 
→
v e 
→
w , tomados nesta ordem, chama-se produto misto 
dos vetores 
→
u , 
→
v e 
→
w ao número real 
→
u (
→
v x 
→
w ). Indica-se produto misto por (
→
u , 
→
v ,
→
w ). 
 
Exemplo 1: Calcular o produto misto dos vetores u, v e w para 
→
u =2
→
i +3
→
y +5
→
k , 
→
v =-
→
i +3
→
y +3
→
k e 
→
w= 4
→
i - 3
→
y + 2
→
k 
Resolução: 
→
u (
→
v x 
→
w ) = 
234
331
532
−
− = 27 = 
→
u (
→
v x
→
w ) . 
Resposta: O produto misto dos vetores é 27. 
Ou, podemos resolver por aplicação de produto interno e produto vetorial: 
→
u (
→
v x 
→
w ) = 
→
u . 
234
331
−
−
kji
= 
→
u .(15i+14j-9k) = (2,3,5).(15,14,-9)=30+42-45=27 
 
Exemplo 2: O produto misto dos vetores u = (-1,2,3), v = (1,1,-1) e w = (2,4,-6) é 
 
→
u (
→
v x 
→
w ) = det =
−
−
−
=










−
−
−
642
111
321
642
111
321
(6-4+12)-(6+4-12) = 16 . 
Resposta: O produto misto dos vetores é 16. 
 
Ou, podemos resolver por aplicação de produto interno e produto vetorial: 
→
u (
→
v x 
→
w ) = 
→
u . 
642
111
−
−
kji
= 
→
u .(-2i+4j+2k) = (-1,2,3).(-2,4,2)=2+8+6=16 
5.3.1 Propriedades 
 
s propriedades do produto misto decorrem, em sua maioria, das propriedades dos 
determinantes. 
 
(
→
u , 
→
v ,
→
w ) = 0 → O produto misto é nulo se um dos vetores é nulo, se dois são 
colineares, ou se três são coplanares. 
(i) Se 
→
u é nulo as suas componentes são (0,0,0 ) então (
→
u , 
→
v ,
→
w ) = 0. 
Assim, (
→
u , 
→
v ,
→
w ) = 0
000
333
222 =
zyx
zyx . 
O 
A 
 Álgebra Linear – Vetores em Rn 110 
Profª(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira 
Exemplo 1: Se 
→
u = (0,0,0), 
→
v = (2,3,1) e 
→
w= (4,2,2) então, 
 (
→u , 
→
v ,
→
w ) =
224
132
000
=0+0..+0=0 
(ii) Se nem 
→
u , nem 
→
v , nem
→
w são nulos, mas 
→
u e 
→
v são colineares (ou paralelos) então (
→
u , 
→
v ,
→
w ) = 0. Note que, neste caso, 
→
u = m.
→
v 
Exemplo 1: Se 
→
u = (1,2,3), 
→
v = (2,4,6) e w = (-1,2,7) então, 
(
→
u , 
→
v ,
→
w ) ( ) 0122812121228
721
642
321
⇒++−−+−=
−
. 
Observe que 
→
u = 2.
→
v portanto, u e v são colineares. 
 
(iii) Se nenhum vetor é nulo e os vetores não são dois a dois colineares (ou paralelos) então 
os vetores são coplanares se (
→
u , 
→
v ,
→
w ) = 0. 
Exemplo 1: Se 
→
u = (-2,-2,-6), 
→
v = (-1,0,-2) e w = (-3,-1,-7) então, 
U(vxw) = 0
713
201
622
=
−−−
−−
−−−
. Logo são coplanares. 
 
Note que: 
• Produto interno (ou escalar) é o produto entre dois vetores que gera um escalar 
(escalar é um número). 
• Produto Vetorial é o produto entre dois vetores que gera um vetor. 
• Produto Misto é o produto entre três vetores que combina produto interno com 
produto vetorial e gera um escalar. 
 
5.4 Aplicações de Produto de Vetores: Interpretação Geométrica 
 
5.4.1 Produto Vetorial e Área de Paralelogramo 
 
eometricamente, o módulo (magnitude, comprimento) do vetor resultante do produto 
vetorial de dois vetores 
→
u e 
→
v equivale a medida da área do paralelogramo ABCD 
determinado pelos vetores 
→
u =
→
AC e 
→
v = 
→
AB 
 
 
 C D 
 
→
u 
 A 
→
v B 
 
 Área = 
→→
× vu (módulo do produto vetorial) 
 
 
Exemplo 1: Dados os vetores u = (1,2,4) e v = (-1,2,3). Calcular a área do paralelogramo 
determinado pelos vetores u e v. 
Resolução: 
(a) Encontrando o produto vetorial e u e v 
G 
 Álgebra Linear – Vetores em Rn 111 
Profª(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira 
→→→→→→
→→→
→→
+−−+−=
−
=× kyikji
kji
vu 238246
321
421 =
→→→
+−− kji 472 = (-2,-7,4) 
(b) Encontrar o módulo do vetor resultante (-2,-7,4). 
→→
× vu = )4,7,2( −− = 222 )4()7()2( +−+− = 16494 ++ = 69 . 
Resposta: A Área = 
→→
× vu = 69 u.a. (unidade de área) 
 
Exemplo 2: Dados os vetores u = (1,2,-1) e v = (0,-1,3). Calcular a área do paralelogramo 
determinado pelos vetores 3u e u-v. 
Resolução: 
Área = 





−×
→→→
vuu3 =? 
Temos que 3u = (3,6,-3 ) e u-v = ( 1,3,-4 ) ⇒ 
⇒ 3u x (u-v) = 
→→→
→→
++−=
−
− kji
kji
3915
431
363 = (-
15,9,3). Portanto, 
Área = ( ) ( ) ua3533153915 222 ==++− 
 
 
5.4.2 Produto Misto e Volume do Paralelepípedo 
 
eometricamente o produto misto 
→
u (
→
v × 
→
w ) é igual, em modulo, ao volume do 
paralelepípedo com arestas determinadas pelos vetores 
→
u =
→
AD , 
→
v =
→
AB e 
→
w=
→
AC . 
 
 
Assim, a área da base do paralelepípedo é |vxw|. Seja θ o ângulo entre os vetores u e v x w. 
Sendo v x w um vetor ortogonal à base, a altura será paralela a ele, e, portanto, h=|u|.|cosθ|. 
 
 
 u 
 
 v 
 w 
 
 
 
 
Portanto, 
 
v = | (u, v, w)| 
 
v= 







 →→→
wv ,,u 
v= 








×
→→→
wvu 
 
 
Exemplo 1: Qual o volume do paralelepípedo formado pelos vetores u = (3,-12, -2), v = (1, -
1, 0) e w= (2, -1, 2)? 
 
G 
 Álgebra Linear – Vetores em Rn 112 
Profª(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira 
Resolução: Sabemos que o volume do paralelepípedo é igual ao módulo do número 
resultante do produto misto dos três vetores. Assim, 
(a) vamos encontrar o produto misto dos vetores u, v e w ou 
u(vxw)=
212
011
2123
−
−
−−
=-6+0+2-(4)-(0)-(-24) = -6+2-4+24= 16. 
(b) como o volume do paralelepípedo é igual ao )(vxwu temos: 
|u(vxw)| = |16| = 16. 
Resposta: O volume procurado é 16 u.v. (unidade de volume) 
 
Exemplo 2: Sejam os vetores u = (3, m, -2), v = (1, -1, 0) e w= (2, -1, 2). Calcular o valor 
de m para que o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w seja igual a 16 
unidades de volume. 
 
Resolução: Sabemos que o volume do paralelepípedo é igual ao módulo do número 
resultante do produto misto dos três vetores, ou seja, V = |u(vxw)| e, neste caso, 
devemos ter |u(vxw)| = 16. Assim, 
(a) vamos encontrar o produto misto dos vetores u, v e w ou 
u(vxw)=
212
011
23
−
−
−m
=-6+0+2-(4)-(0)-(2m) = -2m-8. 
(b) como o volume do paralelepípedo é 16, temos: 
|u(vxw)| = 16 
|(-2m - 8)| = 16. 
Por definição de equação modular se ax = , então x = - a ou x = a. Assim, 
|(-2m - 8)| = 16 então 



−=−−
=−−
1682
1682
m
m
. 
Resolvendo o sistema encontramos m = -12 ou m = 4 que é a solução do problema. 
 
Exemplo 3: Dados os vetores 
→
u = (x,5,0) , 
→
v = (3,-2,1) e 
→
w= (1,1,-1), calcular o valor de x 
para que o volume do paralelepípedo determinados por 
→
u ,
→
v e 
→
w seja 24 u.v. (Unidades 
de Volume). 
Resolução: v=
→
u (
→
v × 
→
w ) = 24 20
111
123
05
+=
−
−⇒ x
x
 
v= (
→
u ,
→
v ,
→
w ) Então 





−=⇒−=+
=⇒=+
⇒=+
442420
42420
2420
xx
ou
xx
x . 
Portanto, os valores de x para os quais o volume do paralelepípedo seja igual a 24 u.v., é 
x = 4 ou x = -44. 
 
5.4.3 Produto Misto e Vetores Coplanares 
 
rês vetores 
→
u , 
→
v e
→
w são coplanares se o produto escalar 
→
u (
→
v x
→
w ) é nulo. Ou seja, se 
→
u , 
→
v e 
→
w são coplanares, o vetor 
→
v x
→
w por ser ortogonal aos 
T 
 Álgebra Linear – Vetores em Rn 113 
Profª(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira 
vetores 
→
v e
→
w , é ortogonal ao vetor 
→
u . Portanto se 
→
u e (
→
v x
→
w ) são ortogonais. É fácil 
identificar que reciprocamente, se nenhum dos vetores 
→
u ,
→
v ,
→
w é nulo e se dois quaisquer 
deles não são colineares, o anulamento (
→
u , 
→
v ,
→
w ) significa que 
→
u , 
→
v e
→
w são coplanares. 
Portanto, se (
→
u , 
→
v ,
→
w )= 0 os vetores 
→
u , 
→
v e 
→
w são coplanares (estão no mesmo plano). 
 
Exemplo 1: Verificar se são coplanares os vetores 
→
u = (3,-1,4), 
→
v = (1,0,-1) e 
→
w= (2,-1,0) 
Resolução: 
(
→
u , 
→
v ,
→
w )= 05
012
101
413
≠−=
−
−
−
. 
Os vetores não são coplanares porque seu produto misto é diferente de zero. 
 
Exemplo 2: Encontre o valor de m para que todos os vetores 
→
a = (m,2,-1), 
→
b = (1,-1,3) e 
→
c = (0,-2,4) sejam coplanares. 
Resolução: (
→
a ,
→
b ,
→
c ) = 0 
3
62
02864
0
420
311
12
=
=
=+−+−
⇒=
−
−
−
⇒
m
m
mmm
 
 
Exemplo 3: Verificar se os pontos A (1,2,4 ) , B (-1,0,-2 ) , C (0,2,2 ) e D (-2,1,-3) estão no 
mesmo plano. 
Resolução: Os quatro pontos dados são coplanares se os vetores 
→
AB , 
→
AC e 
→
AD 
têm produto misto nulo. (Dica: 
→
AB =B-A =(-1,0,-2)-(1,2,4)=(-2,-2,-6). Idem para 
→
AC e 
→
AD ). 
Assim, (
→
AB , 
→
AC ,
→
AD ) = 0 ⇔ 0
713
201
622
=
−−−
−−

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