Apostila Student 5

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO RIO GRANDE DO SUL
Prof. Éder Julio Kinast
Teste t de Student
(Teoria das Pequenas Amostras e Variância Desconhecida)
Para amostras su…cientemente grandes (n � 30) a distribuição da média poderia ser aproxi-
mada por uma distribuição normal e, quando necessário, substituir � por s. Para estabelecermos
métodos correspondentes que se apliquem também a pequenas amostras (n < 30) e o desvio
padrão da população desconhecido, é necessário supor que as populações das quais estamos
extraindo amostras tenham aproximadamente a forma de distribuições normais. Neste caso,
usaremos a variável aleatória com distribuição t. Esta distribuição é chamada distribuição “t”
de Student, porque foi desenvolvida por William Gosset (1876-1937). Gosset era empregado da
Cervejaria Guinness e precisava de uma distribuição que pudesse ser utilizada com pequenas
amostras. Como a cervejaria irlandesa para a qual ele trabalhava não permitia a publicação de
resultados de pesquisas, Gosset publicou-os com o pseudônimo de Student. Essa distribuição
possui as seguintes características:
� Para uma dada variável t, � é chamado “graus de liberdade”da distribuição que provém
do fato da variável aleatória ter parâmetros populacionais estimados no seu cálculo, onde
� = n� 1. Isto implica que o tabelamento da distribuição seja feito em função dos graus
de liberdade;
� A forma da distribuição t depende do número de graus de liberdade;
� É simétrica em relação à média;
� Tem a mesma forma de sino da normal porém mais achatada, pois
Variância(t) > Variância(z) = 1;
� É assintótica ao eixo horizontal t;
� A área sob a curva é 1;
� Quando n cresce aproxima-se da distribuição Normal.
O tamanho da amostra (n) pode ser determinado a partir do nível de con…ança (�) exigido
e do erro máximo permissível (e), pela fórmula:
n =
�
t�=2;� � s
e
�2
Já o erro máximo permissível é dado pela mesma expressão, porém com isolando e:
e =
t�=2;� � sp
n
Teste t de Student
1. Teste de Hipótese para a MÉDIA
Para testar a hipótese nula (H0) de que uma população tenha a média �0, utiliza-se a
seguinte estatística:
t0 =
x� �0
s=
p
n
com � = n� 1. A seguir, utiliza-se a tabela de comparação correspondente.
2. Teste de Hipótese para DIFERENÇA entre duas médias populacionais,
supondo desvios padrão iguais (�1 = �2)
Quando há duas médias populacionais normais com médias �1 e �2 e desvios padrão �1 e
�2 supostos iguais (ou razoavelmente iguais), utiliza-se a seguinte estatística:
t0 =
x1 � x2
sp
q
1
n1
+ 1
n2
onde sp =
s
(n1 � 1) s21 + (n2 � 1) s22
n1 + n2 � 2
com � = n1 + n2 � 2. A seguir, utiliza-se a tabela de comparação correspondente.
3. Teste de Hipótese para DIFERENÇA entre duas médias populacionais,
supondo desvios padrão diferentes (�1 6= �2)
Quando há duas médias populacionais normais com médias �1 e �2 e e desvios padrão �1 e
�2 supostos diferentes, utiliza-se a seguinte estatística:
t0 =
x1 � x2q
s21
n1
+
s22
n2
com � =
�
s21
n1
+
s22
n2
�2
�
s21
n1
�2
n1 � 1 +
�
s22
n2
�2
n2 � 1
. A seguir, utiliza-se a tabela de comparação correspondente.
4. Teste de Hipótese para DADOS PAREADOS
Os dados são considerados pareados, quando duas observações independentes são feitas sobre
um mesmo indivíduo ou objeto, com apenas uma alteração entre essas observações (testes tipo
Antes e Depois). Nesse caso obtém-se uma tabela do tipo:
Antes (xi) Depois (yi)
x1 y1
x2 y2
x3 y3
...
...
De…ni-se as diferença entre cada par de observação por di = xi � yi.
A média das diferenças é dada por d =
 
nX
i=1
di
!
=n e a estatística utilizada é
t0 =
d
sd=
p
n
onde sd =
vuuuut
nX
i=1
d2i � nd
2
n� 1 (desvio padrão das diferenças)
com � = n� 1. A seguir, utiliza-se a tabela de comparação correspondente.
Tabelas de Comparação t de Student para Médias
Hipótese 1. Média Hipótese 2/3. Médias Hipótese 4. Pareados
H0 : �x = �0 jt0j < t�2 ;� H0 : �1 = �2 jt0j < t�2 ;� H0 : d = 0 jt0j < t�=2;�
Ha : �x 6= �0 jt0j > t�2 ;� Ha : �1 6= �2 jt0j > t�2 ;� H1 : d 6= 0 jt0j > t�=2;�
H0 : �x = �0 t0 < t�;� H0 : �1 = �2 t0 < t�;� H0 : d = 0 t0 < t�;�
Ha : �x > �0 t0 > t�;� Ha : �1 > �2 t0 > t�;� H1 : d > 0 t0 > t�;�
H0 : �x = �0 t0 > �t�;� H0 : �1 = �2 t0 > �t�;� H0 : d = 0 t0 > �t�;�
Ha : �x < �0 t0 < �t�;� Ha : �1 < �2 t0 < �t�;� H1 : d < 0 t0 < �t�;�
1. � = n� 1 2. (�1 = �2)
� = n1 + n2 � 2
3. (�1 6= �2)
� =
�
s21
n1
+
s22
n2
�2
�
s21
n1
�2
n1 � 1 +
�
s22
n2
�2
n2 � 1
4. � = n� 1
Distribuição t de Student
P (t > t�) = �
� # �! 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005
1 3.0777 6.3137 12.7062 31.8210 63.6559
2 1.8856 2.9200 4.3027 6.9645 9.9250
3 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8408
4 1.5332 2.1318 2.7765 3.7469 4.6041
5 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321
6 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074
7 1.4149 1.8946 2.3646 2.9979 3.4995
8 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554
9 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498
10 1.3722 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693
11 1.3634 1.7959 2.2010 2.7181 3.1058
12 1.3562 1.7823 2.1788 2.6810 3.0545
13 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3.0123
14 1.3450 1.7613 2.1448 2.6245 2.9768
15 1.3406 1.7531 2.1315 2.6025 2.9467
16 1.3368 1.7459 2.1199 2.5835 2.9208
17 1.3334 1.7396 2.1098 2.5669 2.8982
18 1.3304 1.7341 2.1009 2.5524 2.8784
19 1.3277 1.7291 2.0930 2.5395 2.8609
20 1.3253 1.7247 2.0860 2.5280 2.8453
21 1.3232 1.7207 2.0796 2.5176 2.8314
22 1.3212 1.7171 2.0739 2.5083 2.8188
23 1.3195 1.7139 2.0687 2.4999 2.8073
24 1.3178 1.7109 2.0639 2.4922 2.7970
25 1.3163 1.7081 2.0595 2.4851 2.7874
26 1.3150 1.7056 2.0555 2.4786 2.7787
27 1.3137 1.7033 2.0518 2.4727 2.7707
28 1.3125 1.7011 2.0484 2.4671 2.7633
29 1.3114 1.6991 2.0452 2.4620 2.7564
30 1.3104 1.6973 2.0423 2.4573 2.7500
35 1.3062 1.6896 2.0301 2.4377 2.7238
40 1.3031 1.6839 2.0211 2.4233 2.7045
45 1.3007 1.6794 2.0141 2.4121 2.6896
50 1.2987 1.6759 2.0086 2.4033 2.6778
60 1.2958 1.6706 2.0003 2.3901 2.6603
70 1.2938 1.6669 1.9944 2.3808 2.6479
80 1.2922 1.6641 1.9901 2.3739 2.6387
90 1.2910 1.6620 1.9867 2.3685 2.6316
100 1.2901 1.6602 1.9840 2.3642 2.6259
1000 1.2824 1.6464 1.9623 2.3301 2.5807
Exemplos
1. Um processo deveria construir bancadas com 0:85m de altura. O engenheiro descon…a
que as bancadas que estão sendo produzidas são diferentes que o especi…cado. Uma
amostra de 8 valores foi coletada e indicou x = 0:847m e s = 0:01m. Teste a hipótese do
engenheiro, usando um nível de signi…cância � = 0:05.
2. Um engenheiro descon…a que o desgaste em pistões de um tipo de motor de combustão
pode depender da formulação da liga metálica. Há dois tipos de liga sendo usados. Testes
com 10 observações de cada tipo indicaram: x1 = 39�m, s1 = 7�m, x2 = 47�m e
s2 = 9�m. Use um nível de signi…cância � = 0:05 e teste a hipótese do engenheiro.
3. O QI de 16 estudantes de uma zona pobre de uma cidade apresenta a média de 107 pontos
com desvio padrão de 10 pontos, enquanto 14 estudantes de uma região rica da mesma
cidade apresentam média de 112 pontos com desvio padrão de 8 pontos. O QI em ambas
as regiões tem distribuição normal, porém supõe-se que as variâncias são diferentes. Pode-
se a…rmar com 95% de certeza que esses estudantes pobres têm média de QI inferior à
esses estudantes ricos?
4. Duas espécies de um certo tipo cereal estão sendo testadas quanto ao seu crescimento. O
experimento foi feito escolhendo 10 blocos de terreno e plantando em cada bloco mudas de
ambas as espécies. Os resultados a seguir são as alturas medidas ao …nal do primeiro mês.
Utilizando-se � = 0:05, é possível a…rmar que há diferença signi…cativa entre as médias
de crescimento destas duas espécies? Os dados deste experimento foram coletados aos
pares para impedir que as diferenças de fertilidade entre os blocos de terreno (que podem
ser grandes) mascarem os resultados.
Terreno 1 2 3 4 5 67 8 9 10
Espécie 1 22 27 18 33 25 21 15 33 21 24
Espécie 2 21 31 24 32 29 23 19 37 22 27