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P1/P1_2009-1.pdf UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE FÍSICA FÍSICA III (FIM230) - 2009/1 PRIMEIRA PROVA UNIFICADA DATA: 08/04/2009 • Não é permitido o uso de calculadoras, telefones celulares, “iPods” ou similares. • No cabeçalho do caderno de resolução, deverão constar, legivelmente, nome do aluno, seu número de DRE, sua turma, seu horário de aulas e o nome de seu professor. • Nenhum esclarecimento individual ser prestado no perodo de realizao da prova; caso persista alguma dvida de enunciado, o aluno deve discorrer sobre a mesma no seu prprio caderno de resoluo. • Seja claro, preciso e asseado. PROBLEMA 1 (Anel semicircular) [ 2,5 ponto(s)] Um anel semicircular, de raio a, encontra-se situado no plano XY , com suas extremidades nos ângulos polares θ = 0 e θ = π, conforme mostra a figura ao lado. O tre- cho do anel contido no primeiro quadrante (π/2 > θ > 0) possui carga total +q e o contido no segundo quadrante (π > θ > π/2) carga total −q, onde q > 0. As cargas em cada trecho estão distribúıdas de modo uniforme. (a) Determine as densidades lineares de carga, respecti- vamente λ+ e λ−, em cada trecho. [0,4 ponto] Fazendo uso dos vetores unitários indicados na fi- gura: (b) Obtenha uma expressão para o vetor campo elétrico ~E+ produzido na origem (ponto P), pela carga existente no primeiro quadrante. [0,8 ponto] (c) Obtenha uma expressão para o vetor campo elétrico ~E− produzido na origem (ponto P), pela carga existente no segundo quadrante. [0,8 ponto] (d) Determine então a expressão para o vetor força elétrica resultante exercida sobre uma part́ıcula de prova com carga q0 colocada na origem (ponto P). [0,5 ponto] Resolução (a) λ+ = q/( πa 2 ) = 2q πa λ− = − 2q πa (1) 1 Figura 1: Na figura 1: −→ dE = − 1 4πǫ0 λds a2 cos θ î − 1 4πǫ0 λds a2 sin θ ĵ = λ 4πǫ0a (− cos θdθ î − sin θdθ ĵ) (2) Essa expressão vale para qualquer θ e não apenas para o primeiro quadrante. 2 Figura 2: (b) −→ dE+ = q 2π2ǫ0a2 (− cos θdθ î − sin θdθ ĵ) (3) −→ E + = q 2π2ǫ0a2 (−î ∫ π/2 0 cos θdθ − ĵ ∫ π/2 0 sin θdθ ) = q 2π2ǫ0a2 (−î − ĵ) (4) (c) −→ dE− = −q 2π2ǫ0a2 (− cos θdθ î − sin θdθ ĵ) (5) −→ E− = q 2π2ǫ0a2 (̂i ∫ π π/2 cos θdθ + ĵ ∫ π π/2 sin θdθ ) = q 2π2ǫ0a2 (−î + ĵ) (6) (d) −→ E = −→ E + + −→ E− = − q π2ǫ0a2 î (7) −→ F = q0 −→ E = − qq0 π2ǫ0a2 î (8) PROBLEMA 2 (Casca e bola esféricas) [ 2,5 ponto(s)] Uma casca esférica condutora neutra de raio interno b e raio externo c tem em seu interior, concêntrica a ela, uma bola esférica isolante de raio a e constante dielétrica igual a 1, conforme mostra a figura ao lado. Essa bola está carregada com uma densidade volumar dada pela função ρ(r) = αr (onde α é uma constante positiva e r é a distância do ponto ao centro da esfera). O sistema está em equiĺıbrio eletrostático. 3 (a) Determine a carga elétrica total contida na esfera isolante. [0,5 pontos] (b) A partir da simetria do sistema, esboce as linhas de campo elétrico e uma superf́ıcie gaussiana genérica que será usada para a determinação do vetor campo elétrico. [0,4 pontos] (c) Determine o vetor campo elétrico ~E nas quatro regiões definidas pelo sistema (r < a, a < r < b, b < r < c e c < r). [1,6 pontos] Resolução (a) A carga elétrica total Q contida na esfera será dada por Q = ∫ ρdV = ∫ a 0 αr4πr2dr = 4πα ∫ a 0 r3dr ; logo: Q = παa4 . (b) Devido à simetria esférica do problema, o campo elétrico só poderá ter componente na direção radial e só poderá depender de r, isto é, o campo elétrico será tal que ~E = E(r)r̂. As superf́ıcies gaussianas serão esféricas e concêntricas às superf́ıcies do problema de maneira que o módulo do campo elétrico será constante em cada uma delas. (c) No caso da região b ≤ r < c, como a casca esférica é condutora e estamos em equiĺıbrio eletrostático, o campo elétrico ~E será nulo. Para as outras regiões usaremos a Lei de Gauss Φ = ∮ S ~E · d~S = q/ε0 . Neste caso ~E = Er(r)r̂ e d~S = dSr̂, de modo que ~E · d~S = Er(r)dS. Como Er(r) é constante na superf́ıcie gaussiana, teremos ∮ S ~E · d~S = Er(r) ∮ S dS = 4πr2Er(r) . Precisamos, agora, determinar a carga elétrica interna a cada superf́ıcie gaussiana que descreve a região de interesse. Para r < a: q = ∫ ρdV = ∫ r 0 αr′4πr′2dr′ = παr4 , logo ~E(r) = αr2 4ε0 r̂ = Qr2 4πε0a4 r̂ . 4 Para a ≤ r < b e r ≥ c: q = Q , logo ~E(r) = Q 4πε0r2 r̂ . PROBLEMA 3 (Quadrupolo elétrico) [ 2,5 ponto(s)] A figura ao lado mostra duas part́ıculas de cargas elétricas individuais +q separadas entre si por uma distância de 2a. No ponto médio entre essas duas part́ıculas é colocada uma terceira cuja carga elétrica é −2q. (a) Obtenha a expressão exata do potencial elétrico V (x) no ponto P do eixo X , para x > a. Qual é a expressão aproximada para V (x) quando tivermos x ≫ a? [1,0 ponto] (b) A partir da expressão exata para o potencial elétrico, obtenha a expressão do vetor campo elétrico ~E no ponto P . Qual é a expressão aproximada para ~E(x) quando tivermos x ≫ a? [1,0 ponto] (c) Qual é a energia potencial eletrostática acumulada em tal sistema? [0,5 ponto] Resolução (a) Lembrando que o potencial elétrico de uma part́ıcula de carga q é dado por V (r) = q/(4πǫor), sendo r a distância em relação à part́ıcula, então no caso de uma distribuição discreta de três cargas puntiformes em que as cargas elétricas e as posições das part́ıculas em relação ao ponto P são (+q, x+a) , (−2q, x) , e (+q, x−a) , o potencial elétrico devido a elas neste ponto será fornecido por V (x) = 1 4πǫo 3 ∑ n=1 qn xn = q 4πǫo ( 1 x + a − 2 x + 1 x − a ) = 1 4πǫo [ 2a2q x(x2 − a2) ] . No caso em que o ponto P se encontre muito afastado das cargas devemos considerar que x ≫ a e assim podemos aproximar x(x2 − a2) ≈ x3 na expressão obtida acima para V (x) e com isso teremos que V (x) ≈ Q 4πǫox3 sendo Q ≡ 2a2q o momento de quadrupolo elétrico da distribuição de cargas. (b) O vetor campo elétrico ~E pode ser obtido a partir do potencial elétrico através de ~E(r) = −~∇V (r) o que, no caso do ponto P , se reduzirá a ~E(x) = − [ dV (x) dx ] x̂ = q 4πǫo ( 1 (x + a)2 − 2 x2 + 1 (x − a)2 ) x̂ = Q 4πǫo [ 3x2 − a2 x2(x2 − a2)2 ] x̂ . No caso em que x ≫ a podemos aproximar (3x2 − a2)/[x2(x2 − a2)2] ≈ 3x2/x6 = 3/x4 e assim mostrar que ~E(x) ≈ ( 3Q 4πǫox4 ) x̂ . (c) Temos um sistema de três part́ıculas; para constrúı-lo (a partir de uma separação infinita entre as part́ıculas), devemos realizar um trabalho total dado por U = 3 ∑ i=1 3 ∑ j>i qiqj 4πǫorij = q2 4πǫo ( 1 2a − 2 a − 2 a ) = − 7 2 ( q2 4πǫoa ) . 5 PROBLEMA 4 (Capacitores) [ 2,5 ponto(s)] Na figura ao lado, temos um arranjo cons- titúıdo por uma bateria de força eletromotriz V0, uma chave S e três capacitores, 1, 2 e 3, de mesma capacitância C, inicialmente descar- regados. A chave S é, primeiramente, girada para a posição a e permite-se que o capacitor 1 seja completamente carregado. A seguir, a chave é girada para a posição b. (a) Quais são as cargas finais q1, q2 e q3 nos capacitores correspondentes, expressas em função de V0 e C? [1,5 ponto] (b) Determine a energia total acumulada nos capacitores com a chave na posição a e aquela acumulada nos capacitores com a chave na posição b, expressas em função de V0 e C. [1,0 ponto] V0 S a b c d 1 3 2 Resolução (a) A carga final adquirida pelo capacitor 1, depois da chave ser girada para a posição a, é dada por: Q1 = C1V0 = CV0. Na segunda etapa, após a chave S ser girada para a posição b, observamos, primeiro que, por simetria, a carga (em módulo) em cada uma das placas dos capacitores 2 e 3 é a mesma; logo: q2 = q3 . Além disso, por conservação da carga, q1 + q2 = Q1 = CV0 . (9) Uma outra equação provirá do cálculo da ddp entre os pontos a e d de duas maneiras: via o ramo que inclui só o capacitor 1, fornecendo: Vad = q1 C ou via o ramo que inclui os capacitores 2 e 3, fornecendo: Vbcd = V2 + V3 = 2V2 = 2V3 = 2 q2 C . Obviamente, tais expressões tem de dar o mesmo valor; logo: q1 = 2q2 . (10) Resolvendo o sistema de equações (9) e (10) para q1 e q2, obtemos, finalmente: q1 = 2 3 CV0 e q2 = q3 = 1 3 CV0 . (b) Usaremos que a energia armazenada num capacitor com carga q, ddp V e capacitância C pode ser expressa em qualquer uma das três formas equivalentes U = 1 2 qV = 1 2 q2 C = 1 2 CV 2 . 6 Logo, para a chave na posição a, temos simplesmente: Ua = 1 2 CV 20 . Já para a chave na posição b, temos: Ub = U1 + 2U2 (11) = 1 2 q21 C + q22 C , (12) ou seja, Ub = 1 3 CV 20 . 7 P1/P1_2009-2.pdf Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de F́ısica F́ısica III – 2009/2 Primeira Prova (P1) – 14/10/2009 Versão: A Aluno: DRE: Professor: Turma: Seção Nota original Nota de revisão Rubrica Parte objetiva (total) Parte discursiva: Questão 1 Parte discursiva: Questão 2 INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO! 1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, DRE, Professor e Turma) do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada! 2. A prova constitui-se de duas partes: • uma parte de dez (10) questões objetivas, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, parte essa dividida, por sua vez, em duas seções: – uma seção de sete (7) questões de múltipla escolha (sem nenhum tipo de penalização), – uma seção de três (3) questões de falso ou verdadeiro (com duas questões incorretamente respon- didas anulando uma correta); • uma parte discursiva, constitúıda por duas questões discursivas (ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos. 3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta. 4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc) Formulário E = 1 4πǫ0 q r2 r̂ , ∮ S E · n̂ dA = Qint/ǫ0 , E = −∇V , uE = 1 2 ǫ0E 2 . ∫ sen2 u du = u 2 − sen (2u) 4 , ∫ cos2 u du = u 2 + sen (2u) 4 , ∫ sen u cosu du = sen2 u 2 . 1 Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta) 1. Em uma região do espaço, o potencial ele- trostático é dado por V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const , onde x, y, z são as tradicionais coordenadas carte- sianas. O vetor campo elétrico no ponto (2b, b, 2b) é dado por (a) −ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (b) −ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (c) ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (d) ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (e) 0, pois temos simetria plana. 2. Seja a associação de capacitores da figura abaixo: a b C C C C A capacitância equivalente entre os pontos a e b vale: (a) C/4 . (b) 3C/4 . (c) C/3 . (d) 4C/3 . 3. Uma superf́ıcie imaginária fechada envolve com- pletamente um dipolo elétrico e nenhuma outra part́ıcula carregada. Podemos afirmar que: (a) o campo elétrico é zero em todos os pon- tos da superf́ıcie. (b) o campo elétrico é normal à superf́ıcie em todos os pontos da mesma. (c) o fluxo do campo elétrico através da su- perf́ıcie não pode ser igual a zero, pois há cargas envolvidas pela mesma. (d) o fluxo do campo elétrico através de uma parte da superf́ıcie pode não ser igual a zero. 4. Para uma casca esférica condutora, de raio interno a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere- se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pon- tual) de carga −10q é colocada no seu centro. Qual é a expressão correta para a densidade de carga sobre a superf́ıcie externa da casca condu- tora? (a) σ = −10q/(4πb2) . (b) σ = −Q/(4πb2) . (c) σ = (Q − 10q)/(4πb2) . (d) σ = (Q + 10q)/(4πb2) . (e) σ = (10q − Q)/(4πb2) . 5. Considere as configurações A e B de part́ıculas (pontuais) carregadas representadas na figura abaixo. Efetue a ordenação da energia potencial eletrostática armazenada em cada caso, levando em conta que, nos dois casos, a separação entre a part́ıcula central e as demais tem sempre o mesmo valor. q q −q A : q −q q B : (a) UA < UB. (b) UA = UB. (c) UA > UB. (d) Os dados são insuficientes. 6. Sabe-se que o módulo do campo elétrico na região entre duas placas planas muito grandes, separa- das por uma pequena distância, e com densida- des superficiais de mesmo módulo, σ, é dado por E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que: (a) as duas placas são condutoras. (b) as duas placas são isolantes. (c) uma das placas é condutora e a outra placa é isolante. (d) as densidades superficiais de cargas nas placas têm o mesmo sinal. (e) as densidades superficiais de cargas nas placas têm sinais opostos. 2 7. Um dielétrico é inserido entre as placas de um ca- pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo completamente a região entre elas. Inicialmente, o espaço entre elas estava preenchido com ar e o capacitor estava carregado com uma carga Q e desconectado de qualquer bateria. Depois da in- serção do dielétrico, podemos afirmar que (a) a carga nas placas do capacitor aumenta. (b) a diferença de potencial entre as placas do capacitor aumenta. (c) o campo elétrico no interior do capacitor diminui. (d) a energia elétrica armazenada permanece a mesma. Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) Considere uma superf́ıcie cúbica, de aresta com comprimento R, e uma superf́ıcie esférica, de raio com comprimento também R. Dentro de cada uma dessas superf́ıcies temos uma part́ıcula de carga q. Podemos concluir que o fluxo do campo elétrico através da superf́ıcie cúbica é maior que aquele através da superf́ıcie esférica. O potencial eletrostático é o mesmo em todos os pontos na superf́ıcie de um condutor em equiĺıbrio eletrostático, logo a densidade superficial de carga será a mesma em todos os pontos dessa superf́ıcie. Uma part́ıcula (pontual) de carga Q é mantida fixa enquanto outra part́ıcula (pontual), de carga q, é trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela força eletrostática atuante sobre a part́ıcula de carga q é positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal. 3 Seção 3. Questões discursivas 1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuição estacionária de carga, cuja densidade linear é dada por λ(θ) = { λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ; 0 , se π < θ < 2π . Aqui λ0 é uma constante e θ é o usual ângulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonométrico. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico no centro do anel. [1,5 ponto] (c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto] 4 5 2. Considere uma bola esférica isolante (com constante dielétrica igual a 1), de raio R, com uma distribuição estacionária de carga esfericamente simétrica, cuja densidade volumar é dada por ρ(r) = { Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ; 0 , se R < r < ∞ . Aqui A é uma constante e r é a usual distância radial, desde o centro da bola. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto] (c) Determine o potencial eletrostático fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no infinito. [1,0 ponto] 6 7 8 Gabarito para Versão A Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta) 1. Em uma região do espaço, o potencial ele- trostático é dado por V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const , onde x, y, z são as tradicionais coordenadas carte- sianas. O vetor campo elétrico no ponto (2b, b, 2b) é dado por (a) −ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (b) −ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (c) ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (d) ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (e) 0, pois temos simetria plana. 2. Seja a associação de capacitores da figura abaixo: a b C C C C A capacitância equivalente entre os pontos a e b vale: (a) C/4 . (b) 3C/4 . (c) C/3 . (d) 4C/3 . 3. Uma superf́ıcie imaginária fechada envolve com- pletamente um dipolo elétrico e nenhuma outra part́ıcula carregada. Podemos afirmar que: (a) o campo elétrico é zero em todos os pon- tos da superf́ıcie. (b) o campo elétrico é normal à superf́ıcie em todos os pontos da mesma. (c) o fluxo do campo elétrico através da su- perf́ıcie não pode ser igual a zero, pois há cargas envolvidas pela mesma. (d) o fluxo do campo elétrico através de uma parte da superf́ıcie pode não ser igual a zero. 4. Para uma casca esférica condutora, de raio interno a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere- se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pon- tual) de carga −10q é colocada no seu centro. Qual é a expressão correta para a densidade de carga sobre a superf́ıcie externa da casca condu- tora? (a) σ = −10q/(4πb2) . (b) σ = −Q/(4πb2) . (c) σ = (Q − 10q)/(4πb2) . (d) σ = (Q + 10q)/(4πb2) . (e) σ = (10q − Q)/(4πb2) . 5. Considere as configurações A e B de part́ıculas (pontuais) carregadas representadas na figura abaixo. Efetue a ordenação da energia potencial eletrostática armazenada em cada caso, levando em conta que, nos dois casos, a separação entre a part́ıcula central e as demais tem sempre o mesmo valor. q q −q A : q −q q B : (a) UA < UB. (b) UA = UB. (c) UA > UB. (d) Os dados são insuficientes. 1 6. Sabe-se que o módulo do campo elétrico na região entre duas placas planas muito grandes, separa- das por uma pequena distância, e com densida- des superficiais de mesmo módulo, σ, é dado por E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que: (a) as duas placas são condutoras. (b) as duas placas são isolantes. (c) uma das placas é condutora e a outra placa é isolante. (d) as densidades superficiais de cargas nas placas têm o mesmo sinal. (e) as densidades superficiais de cargas nas placas têm sinais opostos. 7. Um dielétrico é inserido entre as placas de um ca- pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo completamente a região entre elas. Inicialmente, o espaço entre elas estava preenchido com ar e o capacitor estava carregado com uma carga Q e desconectado de qualquer bateria. Depois da in- serção do dielétrico, podemos afirmar que (a) a carga nas placas do capacitor aumenta. (b) a diferença de potencial entre as placas do capacitor aumenta. (c) o campo elétrico no interior do capacitor diminui. (d) a energia elétrica armazenada permanece a mesma. Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) F Considere uma superf́ıcie cúbica, de aresta com comprimento R, e uma superf́ıcie esférica, de raio com comprimento também R. Dentro de cada uma dessas superf́ıcies temos uma part́ıcula de carga q. Podemos concluir que o fluxo do campo elétrico através da superf́ıcie cúbica é maior que aquele através da superf́ıcie esférica. F O potencial eletrostático é o mesmo em todos os pontos na superf́ıcie de um condutor em equiĺıbrio eletrostático, logo a densidade superficial de carga será a mesma em todos os pontos dessa superf́ıcie. F Uma part́ıcula (pontual) de carga Q é mantida fixa enquanto outra part́ıcula (pontual), de carga q, é trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela força eletrostática atuante sobre a part́ıcula de carga q é positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal. 2 Seção 3. Questões discursivas 1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuição estacionária de carga, cuja densidade linear é dada por λ(θ) = { λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ; 0 , se π < θ < 2π . Aqui λ0 é uma constante e θ é o usual ângulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonométrico. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico no centro do anel. [1,5 ponto] (c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto] Resolução: (a) A carga total em qualquer curva C é sempre dada por Q[C] = ∫ C λ(r)dℓ . No caso, Q = ∫ π θ=0 λ0 cos θR dθ ou Q = 0 . Este resultado era de se esperar visto que a distribuição é simétrica em torno de θ = π/2: o mesmo tanto de carga positiva existe no primeiro quadrante que de carga negativa no segundo quadrante e distribúıda “igualmente”. (b) Por simetria, o campo elétrico resultante no centro do anel só terá componente x. A contribuição para tal de um elemento de carga infinitesimal, a um ângulo polar θ, é dada por dEx = k0 dq R2 (−r̂) · x̂ = −k0 λ(θ)dℓ R2 cos θ = − k0λ0 R cos2 θdθ . Logo E(0) = − k0λ0 R ∫ π θ=0 cos2 θdθ x̂ Ora, do formulário, tiramos que ∫ π θ=0 cos2 θdθ = π/2 . Portanto, finalmente, E(0) = − πk0λ0 2R x̂ = − λ0 8ǫ0R x̂ . (c) O potencial é dado por V (0) = ∫ C k0dq R ; Logo, trivialmente, V (0) = 0 . � 3 2. Considere uma bola esférica isolante (com constante dielétrica igual a 1), de raio R, com uma distribuição estacionária de carga esfericamente simétrica, cuja densidade volumar é dada por ρ(r) = { Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ; 0 , se R < r < ∞ . Aqui A é uma constante e r é a usual distância radial, desde o centro da bola. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto] (c) Determine o potencial eletrostático fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no infinito. [1,0 ponto] Resolução: (a) A carga total em qualquer região R é sempre dada por Q[R] = ∫ R ρ(r)dV . Então, no caso da bola, temos que sua carga total Q será simplesmente Q = ∫ R r=0 ρ(r)4πr2dr = 4πA ∫ R r=0 r4dr , ou Q = 4 5 πAR5 . (b) Devido à simetria esférica, o vetor campo elétrico criado pela bola só terá componente radial, componente esta dependente somente da distância r. Logo, convém calcularmos o campo pela lei de Gauss; como gaussiana, adotamos uma superf́ıcie esférica concêntrica com a bola carregada e de raio genérico r. O fluxo através dela será ΦE[S] := ∮ S E · n̂dA = ∮ S Er(r)r̂ · r̂dA = Er(r) ∮ S dA = 4πr2Er(r) . Para aplicarmos, de fato, a lei de Gauss, precisamos, agora, calcular a carga no interior da gaussiana; para tanto, temos duas possibilidades: • R ≤ r < ∞: Nesse caso, Qint = Q . Portanto, pela própria lei de Gauss, vem E = Er(r)r̂ = 1 4πǫ0 Q r2 r̂ = AR5 5ǫ0r2 r̂ . 4 • 0 ≤ r ≤ R: Nesse caso, Qint = ∫ r r′=0 Ar′24πr′2dr′ = 4 5 πAr5 . Portanto, pela própria lei de Gauss, novamente, vem E = Ar3 5ǫ0 r̂ = Q 4πǫ0 r3 R5 r̂ . (c) Calcularemos o potencial V (r), num dado ponto de coordenada radial r, por integração, a partir do infinito, do campo elétrico deduzido no item anterior. Teremos, pois, duas possibilidades: • R ≤ r < ∞: Nesse caso, V (r) − V (∞) = − ∫ r r=∞ Er(r)dr . Como V (∞) = 0, isso implica V (r) = 1 4πǫ0 Q r = AR5 5ǫ0r . • 0 ≤ r ≤ R: Nesse caso, V (r) − V (R) = − ∫ r r=R Er(r)dr . Como, da última equação, V (R) = Q/(4πǫ0R) = AR 4/(5ǫ0), isso implica V (r) − AR4 5ǫ0 = A 20ǫ0 (R4 − r4) , ou seja, V (r) = − A 20ǫ0 (r4 − 5R4) = − Q 16πǫ0R5 (r4 − 5R4) . � 5 6 Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de F́ısica F́ısica III – 2009/2 Primeira Prova (P1) – 14/10/2009 Versão: B Aluno: DRE: Professor: Turma: Seção Nota original Nota de revisão Rubrica Parte objetiva (total) Parte discursiva: Questão 1 Parte discursiva: Questão 2 INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO! 1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, DRE, Professor e Turma) do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada! 2. A prova constitui-se de duas partes: • uma parte de dez (10) questões objetivas, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, parte essa dividida, por sua vez, em duas seções: – uma seção de sete (7) questões de múltipla escolha (sem nenhum tipo de penalização), – uma seção de três (3) questões de falso ou verdadeiro (com duas questões incorretamente respon- didas anulando uma correta); • uma parte discursiva, constitúıda por duas questões discursivas (ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos. 3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta. 4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc) Formulário E = 1 4πǫ0 q r2 r̂ , ∮ S E · n̂ dA = Qint/ǫ0 , E = −∇V , uE = 1 2 ǫ0E 2 . ∫ sen2 u du = u 2 − sen (2u) 4 , ∫ cos2 u du = u 2 + sen (2u) 4 , ∫ sen u cosu du = sen2 u 2 . 1 Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta) 1. Em uma região do espaço, o potencial ele- trostático é dado por V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const , onde x, y, z são as tradicionais coordenadas carte- sianas. O vetor campo elétrico no ponto (2b, b, 2b) é dado por (a) −ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (b) −ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (c) ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (d) ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (e) 0, pois temos simetria plana. 2. Seja a associação de capacitores da figura abaixo: a b C C C C A capacitância equivalente entre os pontos a e b vale: (a) C/4 . (b) 3C/4 . (c) C/3 . (d) 4C/3 . 3. Considere as configurações A e B de part́ıculas (pontuais) carregadas representadas na figura abaixo. Efetue a ordenação da energia potencial eletrostática armazenada em cada caso, levando em conta que, nos dois casos, a separação entre a part́ıcula central e as demais tem sempre o mesmo valor. q q −q A : q −q q B : (a) UA < UB. (b) UA = UB. (c) UA > UB. (d) Os dados são insuficientes. 4. Sabe-se que o módulo do campo elétrico na região entre duas placas planas muito grandes, separa- das por uma pequena distância, e com densida- des superficiais de mesmo módulo, σ, é dado por E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que: (a) as duas placas são condutoras. (b) as duas placas são isolantes. (c) uma das placas é condutora e a outra placa é isolante. (d) as densidades superficiais de cargas nas placas têm o mesmo sinal. (e) as densidades superficiais de cargas nas placas têm sinais opostos. 5. Uma superf́ıcie imaginária fechada envolve com- pletamente um dipolo elétrico e nenhuma outra part́ıcula carregada. Podemos afirmar que: (a) o campo elétrico é zero em todos os pon- tos da superf́ıcie. (b) o campo elétrico é normal à superf́ıcie em todos os pontos da mesma. (c) o fluxo do campo elétrico através da su- perf́ıcie não pode ser igual a zero, pois há cargas envolvidas pela mesma. (d) o fluxo do campo elétrico através de uma parte da superf́ıcie pode não ser igual a zero. 2 6. Para uma casca esférica condutora, de raio interno a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere- se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pon- tual) de carga −10q é colocada no seu centro. Qual é a expressão correta para a densidade de carga sobre a superf́ıcie externa da casca condu- tora? (a) σ = −10q/(4πb2) . (b) σ = −Q/(4πb2) . (c) σ = (Q − 10q)/(4πb2) . (d) σ = (Q + 10q)/(4πb2) . (e) σ = (10q − Q)/(4πb2) . 7. Um dielétrico é inserido entre as placas de um ca- pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo completamente a região entre elas. Inicialmente, o espaço entre elas estava preenchido com ar e o capacitor estava carregado com uma carga Q e desconectado de qualquer bateria. Depois da in- serção do dielétrico, podemos afirmar que (a) a carga nas placas do capacitor aumenta. (b) a diferença de potencial entre as placas do capacitor aumenta. (c) o campo elétrico no interior do capacitor diminui. (d) a energia elétrica armazenada permanece a mesma. Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) O potencial eletrostático é o mesmo em todos os pontos na superf́ıcie de um condutor em equiĺıbrio eletrostático, logo a densidade superficial de carga será a mesma em todos os pontos dessa superf́ıcie. Uma part́ıcula (pontual) de carga Q é mantida fixa enquanto outra part́ıcula (pontual), de carga q, é trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela força eletrostática atuante sobre a part́ıcula de carga q é positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal. Considere uma superf́ıcie cúbica, de aresta com comprimento R, e uma superf́ıcie esférica, de raio com comprimento também R. Dentro de cada uma dessas superf́ıcies temos uma part́ıcula de carga q. Podemos concluir que o fluxo do campo elétrico através da superf́ıcie cúbica é maior que aquele através da superf́ıcie esférica. 3 Seção 3. Questões discursivas 1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuição estacionária de carga, cuja densidade linear é dada por λ(θ) = { λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ; 0 , se π < θ < 2π . Aqui λ0 é uma constante e θ é o usual ângulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonométrico. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico no centro do anel. [1,5 ponto] (c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto] 4 5 2. Considere uma bola esférica isolante (com constante dielétrica igual a 1), de raio R, com uma distribuição estacionária de carga esfericamente simétrica, cuja densidade volumar é dada por ρ(r) = { Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ; 0 , se R < r < ∞ . Aqui A é uma constante e r é a usual distância radial, desde o centro da bola. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto] (c) Determine o potencial eletrostático fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no infinito. [1,0 ponto] 6 7 8 Gabarito para Versão B Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta) 1. Em uma região do espaço, o potencial ele- trostático é dado por V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const , onde x, y, z são as tradicionais coordenadas carte- sianas. O vetor campo elétrico no ponto (2b, b, 2b) é dado por (a) −ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (b) −ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (c) ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (d) ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (e) 0, pois temos simetria plana. 2. Seja a associação de capacitores da figura abaixo: a b C C C C A capacitância equivalente entre os pontos a e b vale: (a) C/4 . (b) 3C/4 . (c) C/3 . (d) 4C/3 . 3. Considere as configurações A e B de part́ıculas (pontuais) carregadas representadas na figura abaixo. Efetue a ordenação da energia potencial eletrostática armazenada em cada caso, levando em conta que, nos dois casos, a separação entre a part́ıcula central e as demais tem sempre o mesmo valor. q q −q A : q −q q B : (a) UA < UB. (b) UA = UB. (c) UA > UB. (d) Os dados são insuficientes. 4. Sabe-se que o módulo do campo elétrico na região entre duas placas planas muito grandes, separa- das por uma pequena distância, e com densida- des superficiais de mesmo módulo, σ, é dado por E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que: (a) as duas placas são condutoras. (b) as duas placas são isolantes. (c) uma das placas é condutora e a outra placa é isolante. (d) as densidades superficiais de cargas nas placas têm o mesmo sinal. (e) as densidades superficiais de cargas nas placas têm sinais opostos. 1 5. Uma superf́ıcie imaginária fechada envolve com- pletamente um dipolo elétrico e nenhuma outra part́ıcula carregada. Podemos afirmar que: (a) o campo elétrico é zero em todos os pon- tos da superf́ıcie. (b) o campo elétrico é normal à superf́ıcie em todos os pontos da mesma. (c) o fluxo do campo elétrico através da su- perf́ıcie não pode ser igual a zero, pois há cargas envolvidas pela mesma. (d) o fluxo do campo elétrico através de uma parte da superf́ıcie pode não ser igual a zero. 6. Para uma casca esférica condutora, de raio interno a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere- se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pon- tual) de carga −10q é colocada no seu centro. Qual é a expressão correta para a densidade de carga sobre a superf́ıcie externa da casca condu- tora? (a) σ = −10q/(4πb2) . (b) σ = −Q/(4πb2) . (c) σ = (Q − 10q)/(4πb2) . (d) σ = (Q + 10q)/(4πb2) . (e) σ = (10q − Q)/(4πb2) . 7. Um dielétrico é inserido entre as placas de um ca- pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo completamente a região entre elas. Inicialmente, o espaço entre elas estava preenchido com ar e o capacitor estava carregado com uma carga Q e desconectado de qualquer bateria. Depois da in- serção do dielétrico, podemos afirmar que (a) a carga nas placas do capacitor aumenta. (b) a diferença de potencial entre as placas do capacitor aumenta. (c) o campo elétrico no interior do capacitor diminui. (d) a energia elétrica armazenada permanece a mesma. Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) F O potencial eletrostático é o mesmo em todos os pontos na superf́ıcie de um condutor em equiĺıbrio eletrostático, logo a densidade superficial de carga será a mesma em todos os pontos dessa superf́ıcie. F Uma part́ıcula (pontual) de carga Q é mantida fixa enquanto outra part́ıcula (pontual), de carga q, é trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela força eletrostática atuante sobre a part́ıcula de carga q é positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal. F Considere uma superf́ıcie cúbica, de aresta com comprimento R, e uma superf́ıcie esférica, de raio com comprimento também R. Dentro de cada uma dessas superf́ıcies temos uma part́ıcula de carga q. Podemos concluir que o fluxo do campo elétrico através da superf́ıcie cúbica é maior que aquele através da superf́ıcie esférica. 2 Seção 3. Questões discursivas 1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuição estacionária de carga, cuja densidade linear é dada por λ(θ) = { λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ; 0 , se π < θ < 2π . Aqui λ0 é uma constante e θ é o usual ângulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonométrico. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico no centro do anel. [1,5 ponto] (c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto] Resolução: (a) A carga total em qualquer curva C é sempre dada por Q[C] = ∫ C λ(r)dℓ . No caso, Q = ∫ π θ=0 λ0 cos θR dθ ou Q = 0 . Este resultado era de se esperar visto que a distribuição é simétrica em torno de θ = π/2: o mesmo tanto de carga positiva existe no primeiro quadrante que de carga negativa no segundo quadrante e distribúıda “igualmente”. (b) Por simetria, o campo elétrico resultante no centro do anel só terá componente x. A contribuição para tal de um elemento de carga infinitesimal, a um ângulo polar θ, é dada por dEx = k0 dq R2 (−r̂) · x̂ = −k0 λ(θ)dℓ R2 cos θ = − k0λ0 R cos2 θdθ . Logo E(0) = − k0λ0 R ∫ π θ=0 cos2 θdθ x̂ Ora, do formulário, tiramos que ∫ π θ=0 cos2 θdθ = π/2 . Portanto, finalmente, E(0) = − πk0λ0 2R x̂ = − λ0 8ǫ0R x̂ . (c) O potencial é dado por V (0) = ∫ C k0dq R ; Logo, trivialmente, V (0) = 0 . � 3 2. Considere uma bola esférica isolante (com constante dielétrica igual a 1), de raio R, com uma distribuição estacionária de carga esfericamente simétrica, cuja densidade volumar é dada por ρ(r) = { Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ; 0 , se R < r < ∞ . Aqui A é uma constante e r é a usual distância radial, desde o centro da bola. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto] (c) Determine o potencial eletrostático fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no infinito. [1,0 ponto] Resolução: (a) A carga total em qualquer região R é sempre dada por Q[R] = ∫ R ρ(r)dV . Então, no caso da bola, temos que sua carga total Q será simplesmente Q = ∫ R r=0 ρ(r)4πr2dr = 4πA ∫ R r=0 r4dr , ou Q = 4 5 πAR5 . (b) Devido à simetria esférica, o vetor campo elétrico criado pela bola só terá componente radial, componente esta dependente somente da distância r. Logo, convém calcularmos o campo pela lei de Gauss; como gaussiana, adotamos uma superf́ıcie esférica concêntrica com a bola carregada e de raio genérico r. O fluxo através dela será ΦE[S] := ∮ S E · n̂dA = ∮ S Er(r)r̂ · r̂dA = Er(r) ∮ S dA = 4πr2Er(r) . Para aplicarmos, de fato, a lei de Gauss, precisamos, agora, calcular a carga no interior da gaussiana; para tanto, temos duas possibilidades: • R ≤ r < ∞: Nesse caso, Qint = Q . Portanto, pela própria lei de Gauss, vem E = Er(r)r̂ = 1 4πǫ0 Q r2 r̂ = AR5 5ǫ0r2 r̂ . 4 • 0 ≤ r ≤ R: Nesse caso, Qint = ∫ r r′=0 Ar′24πr′2dr′ = 4 5 πAr5 . Portanto, pela própria lei de Gauss, novamente, vem E = Ar3 5ǫ0 r̂ = Q 4πǫ0 r3 R5 r̂ . (c) Calcularemos o potencial V (r), num dado ponto de coordenada radial r, por integração, a partir do infinito, do campo elétrico deduzido no item anterior. Teremos, pois, duas possibilidades: • R ≤ r < ∞: Nesse caso, V (r) − V (∞) = − ∫ r r=∞ Er(r)dr . Como V (∞) = 0, isso implica V (r) = 1 4πǫ0 Q r = AR5 5ǫ0r . • 0 ≤ r ≤ R: Nesse caso, V (r) − V (R) = − ∫ r r=R Er(r)dr . Como, da última equação, V (R) = Q/(4πǫ0R) = AR 4/(5ǫ0), isso implica V (r) − AR4 5ǫ0 = A 20ǫ0 (R4 − r4) , ou seja, V (r) = − A 20ǫ0 (r4 − 5R4) = − Q 16πǫ0R5 (r4 − 5R4) . � 5 6 Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de F́ısica F́ısica III – 2009/2 Primeira Prova (P1) – 14/10/2009 Versão: C Aluno: DRE: Professor: Turma: Seção Nota original Nota de revisão Rubrica Parte objetiva (total) Parte discursiva: Questão 1 Parte discursiva: Questão 2 INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO! 1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, DRE, Professor e Turma) do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada! 2. A prova constitui-se de duas partes: • uma parte de dez (10) questões objetivas, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, parte essa dividida, por sua vez, em duas seções: – uma seção de sete (7) questões de múltipla escolha (sem nenhum tipo de penalização), – uma seção de três (3) questões de falso ou verdadeiro (com duas questões incorretamente respon- didas anulando uma correta); • uma parte discursiva, constitúıda por duas questões discursivas (ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos. 3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta. 4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc) Formulário E = 1 4πǫ0 q r2 r̂ , ∮ S E · n̂ dA = Qint/ǫ0 , E = −∇V , uE = 1 2 ǫ0E 2 . ∫ sen2 u du = u 2 − sen (2u) 4 , ∫ cos2 u du = u 2 + sen (2u) 4 , ∫ sen u cosu du = sen2 u 2 . 1 Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta) 1. Um dielétrico é inserido entre as placas de um ca- pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo completamente a região entre elas. Inicialmente, o espaço entre elas estava preenchido com ar e o capacitor estava carregado com uma carga Q e desconectado de qualquer bateria. Depois da in- serção do dielétrico, podemos afirmar que (a) a carga nas placas do capacitor aumenta. (b) a diferença de potencial entre as placas do capacitor aumenta. (c) o campo elétrico no interior do capacitor diminui. (d) a energia elétrica armazenada permanece a mesma. 2. Para uma casca esférica condutora, de raio interno a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere- se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pon- tual) de carga −10q é colocada no seu centro. Qual é a expressão correta para a densidade de carga sobre a superf́ıcie externa da casca condu- tora? (a) σ = −10q/(4πb2) . (b) σ = −Q/(4πb2) . (c) σ = (Q − 10q)/(4πb2) . (d) σ = (Q + 10q)/(4πb2) . (e) σ = (10q − Q)/(4πb2) . 3. Considere as configurações A e B de part́ıculas (pontuais) carregadas representadas na figura abaixo. Efetue a ordenação da energia potencial eletrostática armazenada em cada caso, levando em conta que, nos dois casos, a separação entre a part́ıcula central e as demais tem sempre o mesmo valor. q q −q A : q −q q B : (a) UA < UB. (b) UA = UB. (c) UA > UB. (d) Os dados são insuficientes. 4. Em uma região do espaço, o potencial ele- trostático é dado por V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const , onde x, y, z são as tradicionais coordenadas carte- sianas. O vetor campo elétrico no ponto (2b, b, 2b) é dado por (a) −ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (b) −ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (c) ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (d) ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (e) 0, pois temos simetria plana. 5. Sabe-se que o módulo do campo elétrico na região entre duas placas planas muito grandes, separa- das por uma pequena distância, e com densida- des superficiais de mesmo módulo, σ, é dado por E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que: (a) as duas placas são condutoras. (b) as duas placas são isolantes. (c) uma das placas é condutora e a outra placa é isolante. (d) as densidades superficiais de cargas nas placas têm o mesmo sinal. (e) as densidades superficiais de cargas nas placas têm sinais opostos. 6. Seja a associação de capacitores da figura abaixo: a b C C C C A capacitância equivalente entre os pontos a e b vale: (a) C/4 . (b) 3C/4 . (c) C/3 . (d) 4C/3 . 2 7. Uma superf́ıcie imaginária fechada envolve com- pletamente um dipolo elétrico e nenhuma outra part́ıcula carregada. Podemos afirmar que: (a) o campo elétrico é zero em todos os pon- tos da superf́ıcie. (b) o campo elétrico é normal à superf́ıcie em todos os pontos da mesma. (c) o fluxo do campo elétrico através da su- perf́ıcie não pode ser igual a zero, pois há cargas envolvidas pela mesma. (d) o fluxo do campo elétrico através de uma parte da superf́ıcie pode não ser igual a zero. Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) Considere uma superf́ıcie cúbica, de aresta com comprimento R, e uma superf́ıcie esférica, de raio com comprimento também R. Dentro de cada uma dessas superf́ıcies temos uma part́ıcula de carga q. Podemos concluir que o fluxo do campo elétrico através da superf́ıcie cúbica é maior que aquele através da superf́ıcie esférica. Uma part́ıcula (pontual) de carga Q é mantida fixa enquanto outra part́ıcula (pontual), de carga q, é trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela força eletrostática atuante sobre a part́ıcula de carga q é positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal. O potencial eletrostático é o mesmo em todos os pontos na superf́ıcie de um condutor em equiĺıbrio eletrostático, logo a densidade superficial de carga será a mesma em todos os pontos dessa superf́ıcie. 3 Seção 3. Questões discursivas 1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuição estacionária de carga, cuja densidade linear é dada por λ(θ) = { λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ; 0 , se π < θ < 2π . Aqui λ0 é uma constante e θ é o usual ângulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonométrico. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico no centro do anel. [1,5 ponto] (c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto] 4 5 2. Considere uma bola esférica isolante (com constante dielétrica igual a 1), de raio R, com uma distribuição estacionária de carga esfericamente simétrica, cuja densidade volumar é dada por ρ(r) = { Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ; 0 , se R < r < ∞ . Aqui A é uma constante e r é a usual distância radial, desde o centro da bola. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto] (c) Determine o potencial eletrostático fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no infinito. [1,0 ponto] 6 7 8 Gabarito para Versão C Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta) 1. Um dielétrico é inserido entre as placas de um ca- pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo completamente a região entre elas. Inicialmente, o espaço entre elas estava preenchido com ar e o capacitor estava carregado com uma carga Q e desconectado de qualquer bateria. Depois da in- serção do dielétrico, podemos afirmar que (a) a carga nas placas do capacitor aumenta. (b) a diferença de potencial entre as placas do capacitor aumenta. (c) o campo elétrico no interior do capacitor diminui. (d) a energia elétrica armazenada permanece a mesma. 2. Para uma casca esférica condutora, de raio interno a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere- se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pon- tual) de carga −10q é colocada no seu centro. Qual é a expressão correta para a densidade de carga sobre a superf́ıcie externa da casca condu- tora? (a) σ = −10q/(4πb2) . (b) σ = −Q/(4πb2) . (c) σ = (Q − 10q)/(4πb2) . (d) σ = (Q + 10q)/(4πb2) . (e) σ = (10q − Q)/(4πb2) . 3. Considere as configurações A e B de part́ıculas (pontuais) carregadas representadas na figura abaixo. Efetue a ordenação da energia potencial eletrostática armazenada em cada caso, levando em conta que, nos dois casos, a separação entre a part́ıcula central e as demais tem sempre o mesmo valor. q q −q A : q −q q B : (a) UA < UB. (b) UA = UB. (c) UA > UB. (d) Os dados são insuficientes. 4. Em uma região do espaço, o potencial ele- trostático é dado por V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const , onde x, y, z são as tradicionais coordenadas carte- sianas. O vetor campo elétrico no ponto (2b, b, 2b) é dado por (a) −ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (b) −ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (c) ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (d) ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (e) 0, pois temos simetria plana. 1 5. Sabe-se que o módulo do campo elétrico na região entre duas placas planas muito grandes, separa- das por uma pequena distância, e com densida- des superficiais de mesmo módulo, σ, é dado por E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que: (a) as duas placas são condutoras. (b) as duas placas são isolantes. (c) uma das placas é condutora e a outra placa é isolante. (d) as densidades superficiais de cargas nas placas têm o mesmo sinal. (e) as densidades superficiais de cargas nas placas têm sinais opostos. 6. Seja a associação de capacitores da figura abaixo: a b C C C C A capacitância equivalente entre os pontos a e b vale: (a) C/4 . (b) 3C/4 . (c) C/3 . (d) 4C/3 . 7. Uma superf́ıcie imaginária fechada envolve com- pletamente um dipolo elétrico e nenhuma outra part́ıcula carregada. Podemos afirmar que: (a) o campo elétrico é zero em todos os pon- tos da superf́ıcie. (b) o campo elétrico é normal à superf́ıcie em todos os pontos da mesma. (c) o fluxo do campo elétrico através da su- perf́ıcie não pode ser igual a zero, pois há cargas envolvidas pela mesma. (d) o fluxo do campo elétrico através de uma parte da superf́ıcie pode não ser igual a zero. Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) F Considere uma superf́ıcie cúbica, de aresta com comprimento R, e uma superf́ıcie esférica, de raio com comprimento também R. Dentro de cada uma dessas superf́ıcies temos uma part́ıcula de carga q. Podemos concluir que o fluxo do campo elétrico através da superf́ıcie cúbica é maior que aquele através da superf́ıcie esférica. F Uma part́ıcula (pontual) de carga Q é mantida fixa enquanto outra part́ıcula (pontual), de carga q, é trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela força eletrostática atuante sobre a part́ıcula de carga q é positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal. F O potencial eletrostático é o mesmo em todos os pontos na superf́ıcie de um condutor em equiĺıbrio eletrostático, logo a densidade superficial de carga será a mesma em todos os pontos dessa superf́ıcie. 2 Seção 3. Questões discursivas 1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuição estacionária de carga, cuja densidade linear é dada por λ(θ) = { λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ; 0 , se π < θ < 2π . Aqui λ0 é uma constante e θ é o usual ângulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonométrico. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico no centro do anel. [1,5 ponto] (c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto] Resolução: (a) A carga total em qualquer curva C é sempre dada por Q[C] = ∫ C λ(r)dℓ . No caso, Q = ∫ π θ=0 λ0 cos θR dθ ou Q = 0 . Este resultado era de se esperar visto que a distribuição é simétrica em torno de θ = π/2: o mesmo tanto de carga positiva existe no primeiro quadrante que de carga negativa no segundo quadrante e distribúıda “igualmente”. (b) Por simetria, o campo elétrico resultante no centro do anel só terá componente x. A contribuição para tal de um elemento de carga infinitesimal, a um ângulo polar θ, é dada por dEx = k0 dq R2 (−r̂) · x̂ = −k0 λ(θ)dℓ R2 cos θ = − k0λ0 R cos2 θdθ . Logo E(0) = − k0λ0 R ∫ π θ=0 cos2 θdθ x̂ Ora, do formulário, tiramos que ∫ π θ=0 cos2 θdθ = π/2 . Portanto, finalmente, E(0) = − πk0λ0 2R x̂ = − λ0 8ǫ0R x̂ . (c) O potencial é dado por V (0) = ∫ C k0dq R ; Logo, trivialmente, V (0) = 0 . � 3 2. Considere uma bola esférica isolante (com constante dielétrica igual a 1), de raio R, com uma distribuição estacionária de carga esfericamente simétrica, cuja densidade volumar é dada por ρ(r) = { Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ; 0 , se R < r < ∞ . Aqui A é uma constante e r é a usual distância radial, desde o centro da bola. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto] (c) Determine o potencial eletrostático fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no infinito. [1,0 ponto] Resolução: (a) A carga total em qualquer região R é sempre dada por Q[R] = ∫ R ρ(r)dV . Então, no caso da bola, temos que sua carga total Q será simplesmente Q = ∫ R r=0 ρ(r)4πr2dr = 4πA ∫ R r=0 r4dr , ou Q = 4 5 πAR5 . (b) Devido à simetria esférica, o vetor campo elétrico criado pela bola só terá componente radial, componente esta dependente somente da distância r. Logo, convém calcularmos o campo pela lei de Gauss; como gaussiana, adotamos uma superf́ıcie esférica concêntrica com a bola carregada e de raio genérico r. O fluxo através dela será ΦE[S] := ∮ S E · n̂dA = ∮ S Er(r)r̂ · r̂dA = Er(r) ∮ S dA = 4πr2Er(r) . Para aplicarmos, de fato, a lei de Gauss, precisamos, agora, calcular a carga no interior da gaussiana; para tanto, temos duas possibilidades: • R ≤ r < ∞: Nesse caso, Qint = Q . Portanto, pela própria lei de Gauss, vem E = Er(r)r̂ = 1 4πǫ0 Q r2 r̂ = AR5 5ǫ0r2 r̂ . 4 • 0 ≤ r ≤ R: Nesse caso, Qint = ∫ r r′=0 Ar′24πr′2dr′ = 4 5 πAr5 . Portanto, pela própria lei de Gauss, novamente, vem E = Ar3 5ǫ0 r̂ = Q 4πǫ0 r3 R5 r̂ . (c) Calcularemos o potencial V (r), num dado ponto de coordenada radial r, por integração, a partir do infinito, do campo elétrico deduzido no item anterior. Teremos, pois, duas possibilidades: • R ≤ r < ∞: Nesse caso, V (r) − V (∞) = − ∫ r r=∞ Er(r)dr . Como V (∞) = 0, isso implica V (r) = 1 4πǫ0 Q r = AR5 5ǫ0r . • 0 ≤ r ≤ R: Nesse caso, V (r) − V (R) = − ∫ r r=R Er(r)dr . Como, da última equação, V (R) = Q/(4πǫ0R) = AR 4/(5ǫ0), isso implica V (r) − AR4 5ǫ0 = A 20ǫ0 (R4 − r4) , ou seja, V (r) = − A 20ǫ0 (r4 − 5R4) = − Q 16πǫ0R5 (r4 − 5R4) . � 5 6 Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de F́ısica F́ısica III – 2009/2 Primeira Prova (P1) – 14/10/2009 Versão: D Aluno: DRE: Professor: Turma: Seção Nota original Nota de revisão Rubrica Parte objetiva (total) Parte discursiva: Questão 1 Parte discursiva: Questão 2 INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO! 1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, DRE, Professor e Turma) do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada! 2. A prova constitui-se de duas partes: • uma parte de dez (10) questões objetivas, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, parte essa dividida, por sua vez, em duas seções: – uma seção de sete (7) questões de múltipla escolha (sem nenhum tipo de penalização), – uma seção de três (3) questões de falso ou verdadeiro (com duas questões incorretamente respon- didas anulando uma correta); • uma parte discursiva, constitúıda por duas questões discursivas (ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos. 3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta. 4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc) Formulário E = 1 4πǫ0 q r2 r̂ , ∮ S E · n̂ dA = Qint/ǫ0 , E = −∇V , uE = 1 2 ǫ0E 2 . ∫ sen2 u du = u 2 − sen (2u) 4 , ∫ cos2 u du = u 2 + sen (2u) 4 , ∫ sen u cosu du = sen2 u 2 . 1 Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta) 1. Um dielétrico é inserido entre as placas de um ca- pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo completamente a região entre elas. Inicialmente, o espaço entre elas estava preenchido com ar e o capacitor estava carregado com uma carga Q e desconectado de qualquer bateria. Depois da in- serção do dielétrico, podemos afirmar que (a) a carga nas placas do capacitor aumenta. (b) a diferença de potencial entre as placas do capacitor aumenta. (c) o campo elétrico no interior do capacitor diminui. (d) a energia elétrica armazenada permanece a mesma. 2. Seja a associação de capacitores da figura abaixo: a b C C C C A capacitância equivalente entre os pontos a e b vale: (a) C/4 . (b) 3C/4 . (c) C/3 . (d) 4C/3 . 3. Considere as configurações A e B de part́ıculas (pontuais) carregadas representadas na figura abaixo. Efetue a ordenação da energia potencial eletrostática armazenada em cada caso, levando em conta que, nos dois casos, a separação entre a part́ıcula central e as demais tem sempre o mesmo valor. q q −q A : q −q q B : (a) UA < UB. (b) UA = UB. (c) UA > UB. (d) Os dados são insuficientes. 4. Sabe-se que o módulo do campo elétrico na região entre duas placas planas muito grandes, separa- das por uma pequena distância, e com densida- des superficiais de mesmo módulo, σ, é dado por E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que: (a) as duas placas são condutoras. (b) as duas placas são isolantes. (c) uma das placas é condutora e a outra placa é isolante. (d) as densidades superficiais de cargas nas placas têm o mesmo sinal. (e) as densidades superficiais de cargas nas placas têm sinais opostos. 5. Uma superf́ıcie imaginária fechada envolve com- pletamente um dipolo elétrico e nenhuma outra part́ıcula carregada. Podemos afirmar que: (a) o campo elétrico é zero em todos os pon- tos da superf́ıcie. (b) o campo elétrico é normal à superf́ıcie em todos os pontos da mesma. (c) o fluxo do campo elétrico através da su- perf́ıcie não pode ser igual a zero, pois há cargas envolvidas pela mesma. (d) o fluxo do campo elétrico através de uma parte da superf́ıcie pode não ser igual a zero. 2 6. Em uma região do espaço, o potencial ele- trostático é dado por V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const , onde x, y, z são as tradicionais coordenadas carte- sianas. O vetor campo elétrico no ponto (2b, b, 2b) é dado por (a) −ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (b) −ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (c) ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (d) ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (e) 0, pois temos simetria plana. 7. Para uma casca esférica condutora, de raio interno a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere- se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pon- tual) de carga −10q é colocada no seu centro. Qual é a expressão correta para a densidade de carga sobre a superf́ıcie externa da casca condu- tora? (a) σ = −10q/(4πb2) . (b) σ = −Q/(4πb2) . (c) σ = (Q − 10q)/(4πb2) . (d) σ = (Q + 10q)/(4πb2) . (e) σ = (10q − Q)/(4πb2) . Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) Considere uma superf́ıcie cúbica, de aresta com comprimento R, e uma superf́ıcie esférica, de raio com comprimento também R. Dentro de cada uma dessas superf́ıcies temos uma part́ıcula de carga q. Podemos concluir que o fluxo do campo elétrico através da superf́ıcie cúbica é maior que aquele através da superf́ıcie esférica. O potencial eletrostático é o mesmo em todos os pontos na superf́ıcie de um condutor em equiĺıbrio eletrostático, logo a densidade superficial de carga será a mesma em todos os pontos dessa superf́ıcie. Uma part́ıcula (pontual) de carga Q é mantida fixa enquanto outra part́ıcula (pontual), de carga q, é trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela força eletrostática atuante sobre a part́ıcula de carga q é positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal. 3 Seção 3. Questões discursivas 1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuição estacionária de carga, cuja densidade linear é dada por λ(θ) = { λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ; 0 , se π < θ < 2π . Aqui λ0 é uma constante e θ é o usual ângulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonométrico. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico no centro do anel. [1,5 ponto] (c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto] 4 5 2. Considere uma bola esférica isolante (com constante dielétrica igual a 1), de raio R, com uma distribuição estacionária de carga esfericamente simétrica, cuja densidade volumar é dada por ρ(r) = { Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ; 0 , se R < r < ∞ . Aqui A é uma constante e r é a usual distância radial, desde o centro da bola. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto] (c) Determine o potencial eletrostático fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no infinito. [1,0 ponto] 6 7 8 Gabarito para Versão D Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta) 1. Um dielétrico é inserido entre as placas de um ca- pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo completamente a região entre elas. Inicialmente, o espaço entre elas estava preenchido com ar e o capacitor estava carregado com uma carga Q e desconectado de qualquer bateria. Depois da in- serção do dielétrico, podemos afirmar que (a) a carga nas placas do capacitor aumenta. (b) a diferença de potencial entre as placas do capacitor aumenta. (c) o campo elétrico no interior do capacitor diminui. (d) a energia elétrica armazenada permanece a mesma. 2. Seja a associação de capacitores da figura abaixo: a b C C C C A capacitância equivalente entre os pontos a e b vale: (a) C/4 . (b) 3C/4 . (c) C/3 . (d) 4C/3 . 3. Considere as configurações A e B de part́ıculas (pontuais) carregadas representadas na figura abaixo. Efetue a ordenação da energia potencial eletrostática armazenada em cada caso, levando em conta que, nos dois casos, a separação entre a part́ıcula central e as demais tem sempre o mesmo valor. q q −q A : q −q q B : (a) UA < UB. (b) UA = UB. (c) UA > UB. (d) Os dados são insuficientes. 4. Sabe-se que o módulo do campo elétrico na região entre duas placas planas muito grandes, separa- das por uma pequena distância, e com densida- des superficiais de mesmo módulo, σ, é dado por E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que: (a) as duas placas são condutoras. (b) as duas placas são isolantes. (c) uma das placas é condutora e a outra placa é isolante. (d) as densidades superficiais de cargas nas placas têm o mesmo sinal. (e) as densidades superficiais de cargas nas placas têm sinais opostos. 1 5. Uma superf́ıcie imaginária fechada envolve com- pletamente um dipolo elétrico e nenhuma outra part́ıcula carregada. Podemos afirmar que: (a) o campo elétrico é zero em todos os pon- tos da superf́ıcie. (b) o campo elétrico é normal à superf́ıcie em todos os pontos da mesma. (c) o fluxo do campo elétrico através da su- perf́ıcie não pode ser igual a zero, pois há cargas envolvidas pela mesma. (d) o fluxo do campo elétrico através de uma parte da superf́ıcie pode não ser igual a zero. 6. Em uma região do espaço, o potencial ele- trostático é dado por V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const , onde x, y, z são as tradicionais coordenadas carte- sianas. O vetor campo elétrico no ponto (2b, b, 2b) é dado por (a) −ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (b) −ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (c) ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (d) ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (e) 0, pois temos simetria plana. 7. Para uma casca esférica condutora, de raio interno a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere- se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pon- tual) de carga −10q é colocada no seu centro. Qual é a expressão correta para a densidade de carga sobre a superf́ıcie externa da casca condu- tora? (a) σ = −10q/(4πb2) . (b) σ = −Q/(4πb2) . (c) σ = (Q − 10q)/(4πb2) . (d) σ = (Q + 10q)/(4πb2) . (e) σ = (10q − Q)/(4πb2) . Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) F Considere uma superf́ıcie cúbica, de aresta com comprimento R, e uma superf́ıcie esférica, de raio com comprimento também R. Dentro de cada uma dessas superf́ıcies temos uma part́ıcula de carga q. Podemos concluir que o fluxo do campo elétrico através da superf́ıcie cúbica é maior que aquele através da superf́ıcie esférica. F O potencial eletrostático é o mesmo em todos os pontos na superf́ıcie de um condutor em equiĺıbrio eletrostático, logo a densidade superficial de carga será a mesma em todos os pontos dessa superf́ıcie. F Uma part́ıcula (pontual) de carga Q é mantida fixa enquanto outra part́ıcula (pontual), de carga q, é trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela força eletrostática atuante sobre a part́ıcula de carga q é positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal. 2 Seção 3. Questões discursivas 1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuição estacionária de carga, cuja densidade linear é dada por λ(θ) = { λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ; 0 , se π < θ < 2π . Aqui λ0 é uma constante e θ é o usual ângulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonométrico. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico no centro do anel. [1,5 ponto] (c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto] Resolução: (a) A carga total em qualquer curva C é sempre dada por Q[C] = ∫ C λ(r)dℓ . No caso, Q = ∫ π θ=0 λ0 cos θR dθ ou Q = 0 . Este resultado era de se esperar visto que a distribuição é simétrica em torno de θ = π/2: o mesmo tanto de carga positiva existe no primeiro quadrante que de carga negativa no segundo quadrante e distribúıda “igualmente”. (b) Por simetria, o campo elétrico resultante no centro do anel só terá componente x. A contribuição para tal de um elemento de carga infinitesimal, a um ângulo polar θ, é dada por dEx = k0 dq R2 (−r̂) · x̂ = −k0 λ(θ)dℓ R2 cos θ = − k0λ0 R cos2 θdθ . Logo E(0) = − k0λ0 R ∫ π θ=0 cos2 θdθ x̂ Ora, do formulário, tiramos que ∫ π θ=0 cos2 θdθ = π/2 . Portanto, finalmente, E(0) = − πk0λ0 2R x̂ = − λ0 8ǫ0R x̂ . (c) O potencial é dado por V (0) = ∫ C k0dq R ; Logo, trivialmente, V (0) = 0 . � 3 2. Considere uma bola esférica isolante (com constante dielétrica igual a 1), de raio R, com uma distribuição estacionária de carga esfericamente simétrica, cuja densidade volumar é dada por ρ(r) = { Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ; 0 , se R < r < ∞ . Aqui A é uma constante e r é a usual distância radial, desde o centro da bola. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto] (c) Determine o potencial eletrostático fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no infinito. [1,0 ponto] Resolução: (a) A carga total em qualquer região R é sempre dada por Q[R] = ∫ R ρ(r)dV . Então, no caso da bola, temos que sua carga total Q será simplesmente Q = ∫ R r=0 ρ(r)4πr2dr = 4πA ∫ R r=0 r4dr , ou Q = 4 5 πAR5 . (b) Devido à simetria esférica, o vetor campo elétrico criado pela bola só terá componente radial, componente esta dependente somente da distância r. Logo, convém calcularmos o campo pela lei de Gauss; como gaussiana, adotamos uma superf́ıcie esférica concêntrica com a bola carregada e de raio genérico r. O fluxo através dela será ΦE[S] := ∮ S E · n̂dA = ∮ S Er(r)r̂ · r̂dA = Er(r) ∮ S dA = 4πr2Er(r) . Para aplicarmos, de fato, a lei de Gauss, precisamos, agora, calcular a carga no interior da gaussiana; para tanto, temos duas possibilidades: • R ≤ r < ∞: Nesse caso, Qint = Q . Portanto, pela própria lei de Gauss, vem E = Er(r)r̂ = 1 4πǫ0 Q r2 r̂ = AR5 5ǫ0r2 r̂ . 4 • 0 ≤ r ≤ R: Nesse caso, Qint = ∫ r r′=0 Ar′24πr′2dr′ = 4 5 πAr5 . Portanto, pela própria lei de Gauss, novamente, vem E = Ar3 5ǫ0 r̂ = Q 4πǫ0 r3 R5 r̂ . (c) Calcularemos o potencial V (r), num dado ponto de coordenada radial r, por integração, a partir do infinito, do campo elétrico deduzido no item anterior. Teremos, pois, duas possibilidades: • R ≤ r < ∞: Nesse caso, V (r) − V (∞) = − ∫ r r=∞ Er(r)dr . Como V (∞) = 0, isso implica V (r) = 1 4πǫ0 Q r = AR5 5ǫ0r . • 0 ≤ r ≤ R: Nesse caso, V (r) − V (R) = − ∫ r r=R Er(r)dr . Como, da última equação, V (R) = Q/(4πǫ0R) = AR 4/(5ǫ0), isso implica V (r) − AR4 5ǫ0 = A 20ǫ0 (R4 − r4) , ou seja, V (r) = − A 20ǫ0 (r4 − 5R4) = − Q 16πǫ0R5 (r4 − 5R4) . � 5 6 P1/P1_2010-1.pdf Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de F́ısica F́ısica III – 2010/1 Primeira Prova (P1) – 13/05/2010 Versão: A Aluno: Assinatura: DRE: Professor: Turma: Seção Nota original Iniciais Nota de revisão Parte objetiva (total) Parte discursiva: Questão 1 Parte discursiva: Questão 2 Total INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO! 1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma) do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada! 2. A prova constitui-se de duas partes: • uma parte de doze (12) questões objetivas, perfazendo um total de 5,0 pontos, sendo sete (7) questões de múltipla escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, e cinco (5) questões de verdadeiro ou falso, cada uma das quais valendo 0,3 ponto, essas últimas com penalização tal que uma resposta errada cancela uma correta. • uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitúıda por duas (2) questões discursivas (ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos. 3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta. 4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc) Formulário F e = qE , E = 1 4πǫ0 q r2 r̂ , ∮ S E ·n̂ dA = Qint ǫ0 , ∮ C E ·dℓ = 0 , E = −∇V , U = 1 4πǫ0 qq′ r C = Q/V 1 Seção 1. Múltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos) 1. Considere um triângulo equilátero, com aresta de comprimento a. Suponha que, em seus vértices, há part́ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q, conforme mostra a figura abaixo. Qual das opções a seguir fornece corretamente o valor da carga Q, em função de q, para que a energia eletrostática armazenada em tal sistema seja nula? q −2q Q (a) q . (b) −q . (c) −2q. (d) 2q . (e) Isso é imposśıvel, porque sempre se dis- pende alguma energia para aproximar corpos carregados. 2. Dois capacitores, de capacitâncias C1 e C2 = 2C1, são ligados em série a uma bateria que fornece uma voltagem V0 ao sistema. A razão, Q1/Q2, entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e 2, e a razão, V1/V2, entre as diferenças de po- tencial entre as placas dos dois capacitores são, respectivamente: (a) 1/2 e 1/2 (b) 1/2 e 2 (c) 1/2 e 1 (d) 1 e 2 (e) 1 e 1/2 3. Na figura a seguir, temos duas part́ıculas (pontu- ais), com carga q e −q. Aquela de carga q está envolvida por uma superf́ıcie (gaussiana) cúbica, com aresta de comprimento a, situando-se no cen- tro do cubo. Um segmento de reta, também de comprimento a, perpendicular a uma das faces do cubo, une as duas part́ıculas. Para esse arranjo obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo elétrico so- bre toda a superf́ıcie gaussiana; (II) o fluxo do vetor campo elétrico sobre a face do cubo situada entre as cargas; (III) o potencial elétrico num dos vértices (ponto P) nessa mesma face. Os valores para essas grandezas são, na mesma ordem: (a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0 (b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0 (c) q/ǫ0, 0, q/( √ 3πaǫ0) (d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0) (e) 2q/ǫ0, 0, q/( √ 3πaǫ0) (f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0) A figura a seguir refere-se às questões 4 e 5. Ela mos- tra, esquematicamente, uma seção transversal (plana) de um objeto condutor maciço (de carga elétrica total nula), colocado em um campo eletrostático externo, após atingido o equiĺıbrio eletrostático. 2 4. Algumas das linhas de campo elétrico, parcial- mente desenhadas na figura, estão erradas e não podem corresponder a uma situação f́ısica real. Assinale a seguir cada linha imposśıvel [Atenção: nesta questão, pode haver mais de um item correto e cada marcação errada anula uma certa! ] (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5 (f) 6 (g) 7 5. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque a opção que relaciona corretamente os potenciais eletrostáticos nos referidos pontos: (a) VA = VB = VC e VC = VD (b) VA > VB > VC e VC = VD (c) VA < VB < VC e VC = VD (d) VA > VB > VC e VC > VD (e) VA > VB > VC e VC < VD (f) VA < VB < VC e VC < VD (g) VA = VB = VC e VC < VD 6. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si- tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0, com densidades superficiais de carga iguais a −σ e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale a opção que indica as expressões corretas para o vetor campo elétrico nas regiões (i) z < 0, (ii) 0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem: (a) 0, (σ/ǫ0)ẑ, 0 . (b) 0, −(σ/ǫ0)ẑ, 0 . (c) [σ/(2ǫ0)]ẑ, [3σ/(2ǫ0)]ẑ, −[σ/(2ǫ0)]ẑ . (d) −(σ/ǫ0)ẑ, −(3σ/ǫ0)ẑ, (σ/ǫ0)ẑ . (e) −[σ/(2ǫ0)]ẑ, [−3σ/(2ǫ0)]ẑ, [σ/(2ǫ0)]ẑ . 7. Para uma casca esférica condutora, de raio interno a e raio externo b, com centro no ponto P e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pontual) de carga 9q é colocada no ponto P . Quais são as expressões corretas para as densidades superficiais de carga sobre as superf́ıcies interna e externa da casca condutora, nessa ordem? (a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q + 9q)/(4πb2). (b) σint = 9q/(4πa 2) e σext = (Q − 9q)/(4πb2). (c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q + 9q)/(4πb2). (d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q + 9q)/(4πb2). (e) σint = (Q + 9q)/(4πa 2) e σext = (Q − 9q)/(4πb2). (f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext = −9q/(4πb2). (g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2). Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questão errada anula uma correta!) Uma esfera não condutora de raio a tem uma distribuição de cargas uniforme no seu volume. Podemos afirmar que o valor do potencial eletrostático em um ponto na sua superf́ıcie depende da escolha da origem do potencial. Se o campo eletrostático é zero em toda uma região, então o potencial eletrostático é constante em toda essa região. Se o módulo do vetor campo elétrico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf́ıcie de um condutor em equiĺıbrio eletrostático, então as cargas estão uniformemente distribúıdas em sua superf́ıcie. Dado que a superf́ıcie de um condutor, em equiĺıbrio eletrostático, é equipotencial, então as cargas estão uniformemente distribúıdas em sua superf́ıcie. 3 Se, num dado ponto, o campo eletrostático é zero, então o potencial eletrostático também vale zero nesse ponto. Seção 3. Questões discursivas (2×2,5=5,0 pontos) 1. Uma “casca” ciĺındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, está uniformemente carregada, com uma densidade volumar ρ (= const). (a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região r > b. [0,7 ponto] (c) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região a < r < b. [0,9 ponto] (d) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região r < a. [0,4 ponto] 4 5 2. Um fio retiĺıneo fino, de comprimento 2L, está postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na origem desse. A densidade linear de carga de tal fio é dada por λ(x) = λ0|x|/L , onde λ0 = const. (a) Calcule o potencial eletrostático, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitrário do eixo cartesiano Y , com ordenada y > 0; faça, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugestão: lembre-se que, para x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, você deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto] (b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo elétrico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto] (c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto] 6 7 Gabarito para Versão A Seção 1. Múltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos) 1. Considere um triângulo equilátero, com aresta de comprimento a. Suponha que, em seus vértices, há part́ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q, conforme mostra a figura abaixo. Qual das opções a seguir fornece corretamente o valor da carga Q, em função de q, para que a energia eletrostática armazenada em tal sistema seja nula? q −2q Q (a) q . (b) −q . (c) −2q. (d) 2q . (e) Isso é imposśıvel, porque sempre se dis- pende alguma energia para aproximar corpos carregados. 2. Dois capacitores, de capacitâncias C1 e C2 = 2C1, são ligados em série a uma bateria que fornece uma voltagem V0 ao sistema. A razão, Q1/Q2, entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e 2, e a razão, V1/V2, entre as diferenças de po- tencial entre as placas dos dois capacitores são, respectivamente: (a) 1/2 e 1/2 (b) 1/2 e 2 (c) 1/2 e 1 (d) 1 e 2 (e) 1 e 1/2 3. Na figura a seguir, temos duas part́ıculas (pontu- ais), com carga q e −q. Aquela de carga q está envolvida por uma superf́ıcie (gaussiana) cúbica, com aresta de comprimento a, situando-se no cen- tro do cubo. Um segmento de reta, também de comprimento a, perpendicular a uma das faces do cubo, une as duas part́ıculas. Para esse arranjo obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo elétrico so- bre toda a superf́ıcie gaussiana; (II) o fluxo do vetor campo elétrico sobre a face do cubo situada entre as cargas; (III) o potencial elétrico num dos vértices (ponto P) nessa mesma face. Os valores para essas grandezas são, na mesma ordem: (a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0 (b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0 (c) q/ǫ0, 0, q/( √ 3πaǫ0) (d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0) (e) 2q/ǫ0, 0, q/( √ 3πaǫ0) (f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0) A figura a seguir refere-se às questões 4 e 5. Ela mos- tra, esquematicamente, uma seção transversal (plana) de um objeto condutor maciço (de carga elétrica total nula), colocado em um campo eletrostático externo, após atingido o equiĺıbrio eletrostático. 1 4. Algumas das linhas de campo elétrico, parcial- mente desenhadas na figura, estão erradas e não podem corresponder a uma situação f́ısica real. Assinale a seguir cada linha imposśıvel [Atenção: nesta questão, pode haver mais de um item correto e cada marcação errada anula uma certa! ] (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5 (f) 6 (g) 7 5. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque a opção que relaciona corretamente os potenciais eletrostáticos nos referidos pontos: (a) VA = VB = VC e VC = VD (b) VA > VB > VC e VC = VD (c) VA < VB < VC e VC = VD (d) VA > VB > VC e VC > VD (e) VA > VB > VC e VC < VD (f) VA < VB < VC e VC < VD (g) VA = VB = VC e VC < VD 6. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si- tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0, com densidades superficiais de carga iguais a −σ e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale a opção que indica as expressões corretas para o vetor campo elétrico nas regiões (i) z < 0, (ii) 0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem: (a) 0, (σ/ǫ0)ẑ, 0 . (b) 0, −(σ/ǫ0)ẑ, 0 . (c) [σ/(2ǫ0)]ẑ, [3σ/(2ǫ0)]ẑ, −[σ/(2ǫ0)]ẑ . (d) −(σ/ǫ0)ẑ, −(3σ/ǫ0)ẑ, (σ/ǫ0)ẑ . (e) −[σ/(2ǫ0)]ẑ, [−3σ/(2ǫ0)]ẑ, [σ/(2ǫ0)]ẑ . 7. Para uma casca esférica condutora, de raio interno a e raio externo b, com centro no ponto P e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pontual) de carga 9q é colocada no ponto P . Quais são as expressões corretas para as densidades superficiais de carga sobre as superf́ıcies interna e externa da casca condutora, nessa ordem? (a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q + 9q)/(4πb2). (b) σint = 9q/(4πa 2) e σext = (Q − 9q)/(4πb2). (c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q + 9q)/(4πb2). (d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q + 9q)/(4πb2). (e) σint = (Q + 9q)/(4πa 2) e σext = (Q − 9q)/(4πb2). (f) σint
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