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P1 e gabarito (2009.1 até 2014.1)

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P1/P1_2009-1.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FÍSICA
FÍSICA III (FIM230) - 2009/1
PRIMEIRA PROVA UNIFICADA
DATA: 08/04/2009
• Não é permitido o uso de calculadoras, telefones celulares, “iPods” ou similares.
• No cabeçalho do caderno de resolução, deverão constar, legivelmente, nome do aluno, seu
número de DRE, sua turma, seu horário de aulas e o nome de seu professor.
• Nenhum esclarecimento individual ser prestado no perodo de realizao da prova; caso persista
alguma dvida de enunciado, o aluno deve discorrer sobre a mesma no seu prprio caderno de
resoluo.
• Seja claro, preciso e asseado.
PROBLEMA 1 (Anel semicircular) [ 2,5 ponto(s)]
Um anel semicircular, de raio a, encontra-se situado no
plano XY , com suas extremidades nos ângulos polares
θ = 0 e θ = π, conforme mostra a figura ao lado. O tre-
cho do anel contido no primeiro quadrante (π/2 > θ > 0)
possui carga total +q e o contido no segundo quadrante
(π > θ > π/2) carga total −q, onde q > 0. As cargas em
cada trecho estão distribúıdas de modo uniforme.
(a) Determine as densidades lineares de carga, respecti-
vamente λ+ e λ−, em cada trecho. [0,4 ponto]
Fazendo uso dos vetores unitários indicados na fi-
gura:
(b) Obtenha uma expressão para o vetor campo elétrico
~E+ produzido na origem (ponto P), pela carga existente
no primeiro quadrante. [0,8 ponto]
(c) Obtenha uma expressão para o vetor campo elétrico ~E− produzido na origem (ponto P), pela carga existente
no segundo quadrante. [0,8 ponto]
(d) Determine então a expressão para o vetor força elétrica resultante exercida sobre uma part́ıcula de prova com
carga q0 colocada na origem (ponto P). [0,5 ponto]
Resolução
(a)
λ+ = q/(
πa
2
) =
2q
πa
λ− = −
2q
πa
(1)
1
Figura 1:
Na figura 1:
−→
dE = −
1
4πǫ0
λds
a2
cos θ î −
1
4πǫ0
λds
a2
sin θ ĵ
=
λ
4πǫ0a
(− cos θdθ î − sin θdθ ĵ)
(2)
Essa expressão vale para qualquer θ e não apenas para o primeiro quadrante.
2
Figura 2:
(b)
−→
dE+ =
q
2π2ǫ0a2
(− cos θdθ î − sin θdθ ĵ) (3)
−→
E + =
q
2π2ǫ0a2
(−î
∫ π/2
0
cos θdθ − ĵ
∫ π/2
0
sin θdθ )
=
q
2π2ǫ0a2
(−î − ĵ)
(4)
(c)
−→
dE− =
−q
2π2ǫ0a2
(− cos θdθ î − sin θdθ ĵ) (5)
−→
E− =
q
2π2ǫ0a2
(̂i
∫ π
π/2
cos θdθ + ĵ
∫ π
π/2
sin θdθ )
=
q
2π2ǫ0a2
(−î + ĵ)
(6)
(d)
−→
E =
−→
E + +
−→
E− = −
q
π2ǫ0a2
î (7)
−→
F = q0
−→
E = −
qq0
π2ǫ0a2
î (8)
PROBLEMA 2 (Casca e bola esféricas) [ 2,5 ponto(s)]
Uma casca esférica condutora neutra de raio interno b
e raio externo c tem em seu interior, concêntrica a ela,
uma bola esférica isolante de raio a e constante dielétrica
igual a 1, conforme mostra a figura ao lado. Essa bola
está carregada com uma densidade volumar dada pela
função ρ(r) = αr (onde α é uma constante positiva e r
é a distância do ponto ao centro da esfera). O sistema
está em equiĺıbrio eletrostático.
3
(a) Determine a carga elétrica total contida na esfera isolante. [0,5 pontos]
(b) A partir da simetria do sistema, esboce as linhas de campo elétrico e uma superf́ıcie gaussiana genérica que
será usada para a determinação do vetor campo elétrico. [0,4 pontos]
(c) Determine o vetor campo elétrico ~E nas quatro regiões definidas pelo sistema (r < a, a < r < b, b < r < c e
c < r). [1,6 pontos]
Resolução
(a) A carga elétrica total Q contida na esfera será dada por
Q =
∫
ρdV =
∫ a
0
αr4πr2dr = 4πα
∫ a
0
r3dr ;
logo:
Q = παa4 .
(b) Devido à simetria esférica do problema, o campo elétrico só poderá ter componente na direção radial e só
poderá depender de r, isto é, o campo elétrico será tal que ~E = E(r)r̂. As superf́ıcies gaussianas serão esféricas e
concêntricas às superf́ıcies do problema de maneira que o módulo do campo elétrico será constante em cada uma
delas.
(c) No caso da região b ≤ r < c, como a casca esférica é condutora e estamos em equiĺıbrio eletrostático, o campo
elétrico ~E será nulo.
Para as outras regiões usaremos a Lei de Gauss
Φ =
∮
S
~E · d~S = q/ε0 .
Neste caso ~E = Er(r)r̂ e d~S = dSr̂, de modo que ~E · d~S = Er(r)dS. Como Er(r) é constante na superf́ıcie
gaussiana, teremos
∮
S
~E · d~S = Er(r)
∮
S
dS = 4πr2Er(r) .
Precisamos, agora, determinar a carga elétrica interna a cada superf́ıcie gaussiana que descreve a região de
interesse.
Para r < a:
q =
∫
ρdV =
∫ r
0
αr′4πr′2dr′ = παr4 ,
logo
~E(r) =
αr2
4ε0
r̂ =
Qr2
4πε0a4
r̂ .
4
Para a ≤ r < b e r ≥ c:
q = Q ,
logo
~E(r) =
Q
4πε0r2
r̂ .
PROBLEMA 3 (Quadrupolo elétrico) [ 2,5 ponto(s)]
A figura ao lado mostra duas part́ıculas de cargas
elétricas individuais +q separadas entre si por uma
distância de 2a. No ponto médio entre essas duas
part́ıculas é colocada uma terceira cuja carga elétrica é
−2q.
(a) Obtenha a expressão exata do potencial elétrico V (x)
no ponto P do eixo X , para x > a. Qual é a expressão
aproximada para V (x) quando tivermos x ≫ a? [1,0
ponto]
(b) A partir da expressão exata para o potencial elétrico, obtenha a expressão do vetor campo elétrico ~E no
ponto P . Qual é a expressão aproximada para ~E(x) quando tivermos x ≫ a? [1,0 ponto]
(c) Qual é a energia potencial eletrostática acumulada em tal sistema? [0,5 ponto]
Resolução
(a) Lembrando que o potencial elétrico de uma part́ıcula de carga q é dado por V (r) = q/(4πǫor), sendo r a
distância em relação à part́ıcula, então no caso de uma distribuição discreta de três cargas puntiformes em que
as cargas elétricas e as posições das part́ıculas em relação ao ponto P são (+q, x+a) , (−2q, x) , e (+q, x−a) ,
o potencial elétrico devido a elas neste ponto será fornecido por
V (x) =
1
4πǫo
3
∑
n=1
qn
xn
=
q
4πǫo
(
1
x + a
−
2
x
+
1
x − a
)
=
1
4πǫo
[
2a2q
x(x2 − a2)
]
.
No caso em que o ponto P se encontre muito afastado das cargas devemos considerar que x ≫ a e assim
podemos aproximar x(x2 − a2) ≈ x3 na expressão obtida acima para V (x) e com isso teremos que
V (x) ≈
Q
4πǫox3
sendo Q ≡ 2a2q o momento de quadrupolo elétrico da distribuição de cargas.
(b) O vetor campo elétrico ~E pode ser obtido a partir do potencial elétrico através de ~E(r) = −~∇V (r) o que,
no caso do ponto P , se reduzirá a
~E(x) = −
[
dV (x)
dx
]
x̂ =
q
4πǫo
(
1
(x + a)2
−
2
x2
+
1
(x − a)2
)
x̂ =
Q
4πǫo
[
3x2 − a2
x2(x2 − a2)2
]
x̂ .
No caso em que x ≫ a podemos aproximar (3x2 − a2)/[x2(x2 − a2)2] ≈ 3x2/x6 = 3/x4 e assim mostrar que
~E(x) ≈
(
3Q
4πǫox4
)
x̂ .
(c) Temos um sistema de três part́ıculas; para constrúı-lo (a partir de uma separação infinita entre as part́ıculas),
devemos realizar um trabalho total dado por
U =
3
∑
i=1
3
∑
j>i
qiqj
4πǫorij
=
q2
4πǫo
(
1
2a
−
2
a
−
2
a
)
= −
7
2
(
q2
4πǫoa
)
.
5
PROBLEMA 4 (Capacitores) [ 2,5 ponto(s)]
Na figura ao lado, temos um arranjo cons-
titúıdo por uma bateria de força eletromotriz
V0, uma chave S e três capacitores, 1, 2 e 3, de
mesma capacitância C, inicialmente descar-
regados. A chave S é, primeiramente, girada
para a posição a e permite-se que o capacitor
1 seja completamente carregado. A seguir, a
chave é girada para a posição b.
(a) Quais são as cargas finais q1, q2 e q3
nos capacitores correspondentes, expressas
em função de V0 e C? [1,5 ponto]
(b) Determine a energia total acumulada nos
capacitores com a chave na posição a e aquela
acumulada nos capacitores com a chave na
posição b, expressas em função de V0 e C.
[1,0 ponto]
V0
S
a b
c
d
1 3
2
Resolução
(a) A carga final adquirida pelo capacitor 1, depois da chave ser girada para a posição a, é dada por:
Q1 = C1V0 = CV0.
Na segunda etapa, após a chave S ser girada para a posição b, observamos, primeiro que, por simetria, a carga
(em módulo)
em cada uma das placas dos capacitores 2 e 3 é a mesma; logo:
q2 = q3 .
Além disso, por conservação da carga,
q1 + q2 = Q1 = CV0 . (9)
Uma outra equação provirá do cálculo da ddp entre os pontos a e d de duas maneiras: via o ramo que inclui
só o capacitor 1, fornecendo:
Vad =
q1
C
ou via o ramo que inclui os capacitores 2 e 3, fornecendo:
Vbcd = V2 + V3 = 2V2 = 2V3 = 2
q2
C
.
Obviamente, tais expressões tem de dar o mesmo valor; logo:
q1 = 2q2 . (10)
Resolvendo o sistema de equações (9) e (10) para q1 e q2, obtemos, finalmente:
q1 =
2
3
CV0
e
q2 = q3 =
1
3
CV0 .
(b) Usaremos que a energia armazenada num capacitor com carga q, ddp V e capacitância C pode ser expressa
em qualquer uma das três formas equivalentes
U =
1
2
qV =
1
2
q2
C
=
1
2
CV 2 .
6
Logo, para a chave na posição a, temos simplesmente:
Ua =
1
2
CV 20 .
Já para a chave na posição b, temos:
Ub = U1 + 2U2 (11)
=
1
2
q21
C
+
q22
C
, (12)
ou seja,
Ub =
1
3
CV 20 .
7
P1/P1_2009-2.pdf
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2009/2
Primeira Prova (P1) – 14/10/2009
Versão: A
Aluno:
DRE:
Professor:
Turma:
Seção Nota original Nota de revisão Rubrica
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, DRE, Professor e Turma) do cabeçalho
acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de dez (10) questões objetivas, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, parte essa dividida,
por sua vez, em duas seções:
– uma seção de sete (7) questões de múltipla escolha (sem nenhum tipo de penalização),
– uma seção de três (3) questões de falso ou verdadeiro (com duas questões incorretamente respon-
didas anulando uma correta);
• uma parte discursiva, constitúıda por duas questões discursivas (ou argumentativas ou dissertativas),
cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
E · n̂ dA = Qint/ǫ0 , E = −∇V , uE =
1
2
ǫ0E
2 .
∫
sen2 u du =
u
2
−
sen (2u)
4
,
∫
cos2 u du =
u
2
+
sen (2u)
4
,
∫
sen u cosu du =
sen2 u
2
.
1
Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta)
1. Em uma região do espaço, o potencial ele-
trostático é dado por
V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const ,
onde x, y, z são as tradicionais coordenadas carte-
sianas. O vetor campo elétrico no ponto (2b, b, 2b)
é dado por
(a) −ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) .
(b) −ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) .
(c) ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) .
(d) ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) .
(e) 0, pois temos simetria plana.
2. Seja a associação de capacitores da figura abaixo:
a
b
C C C C
A capacitância equivalente entre os pontos a e b
vale:
(a) C/4 .
(b) 3C/4 .
(c) C/3 .
(d) 4C/3 .
3. Uma superf́ıcie imaginária fechada envolve com-
pletamente um dipolo elétrico e nenhuma outra
part́ıcula carregada. Podemos afirmar que:
(a) o campo elétrico é zero em todos os pon-
tos da superf́ıcie.
(b) o campo elétrico é normal à superf́ıcie em
todos os pontos da mesma.
(c) o fluxo do campo elétrico através da su-
perf́ıcie não pode ser igual a zero, pois há
cargas envolvidas pela mesma.
(d) o fluxo do campo elétrico através de uma
parte da superf́ıcie pode não ser igual a
zero.
4. Para uma casca esférica condutora, de raio interno
a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere-
se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pon-
tual) de carga −10q é colocada no seu centro.
Qual é a expressão correta para a densidade de
carga sobre a superf́ıcie externa da casca condu-
tora?
(a) σ = −10q/(4πb2) .
(b) σ = −Q/(4πb2) .
(c) σ = (Q − 10q)/(4πb2) .
(d) σ = (Q + 10q)/(4πb2) .
(e) σ = (10q − Q)/(4πb2) .
5. Considere as configurações A e B de part́ıculas
(pontuais) carregadas representadas na figura
abaixo. Efetue a ordenação da energia potencial
eletrostática armazenada em cada caso, levando
em conta que, nos dois casos, a separação entre a
part́ıcula central e as demais tem sempre o mesmo
valor.
q q −q
A :
q −q q
B :
(a) UA < UB.
(b) UA = UB.
(c) UA > UB.
(d) Os dados são insuficientes.
6. Sabe-se que o módulo do campo elétrico na região
entre duas placas planas muito grandes, separa-
das por uma pequena distância, e com densida-
des superficiais de mesmo módulo, σ, é dado por
E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que:
(a) as duas placas são condutoras.
(b) as duas placas são isolantes.
(c) uma das placas é condutora e a outra
placa é isolante.
(d) as densidades superficiais de cargas nas
placas têm o mesmo sinal.
(e) as densidades superficiais de cargas nas
placas têm sinais opostos.
2
7. Um dielétrico é inserido entre as placas de um ca-
pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo
completamente a região entre elas. Inicialmente,
o espaço entre elas estava preenchido com ar e o
capacitor estava carregado com uma carga Q e
desconectado de qualquer bateria. Depois da in-
serção do dielétrico, podemos afirmar que
(a) a carga nas placas do capacitor aumenta.
(b) a diferença de potencial entre as placas
do capacitor aumenta.
(c) o campo elétrico no interior do capacitor
diminui.
(d) a energia elétrica armazenada permanece
a mesma.
Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F)
Considere uma superf́ıcie cúbica, de aresta com comprimento R, e uma superf́ıcie esférica, de raio com
comprimento também R. Dentro de cada uma dessas superf́ıcies temos uma part́ıcula de carga q. Podemos
concluir que o fluxo do campo elétrico através da superf́ıcie cúbica é maior que aquele através da superf́ıcie
esférica.
O potencial eletrostático é o mesmo em todos os pontos na superf́ıcie de um condutor em equiĺıbrio
eletrostático, logo a densidade superficial de carga será a mesma em todos os pontos dessa superf́ıcie.
Uma part́ıcula (pontual) de carga Q é mantida fixa enquanto outra part́ıcula (pontual), de carga q, é
trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela força
eletrostática atuante sobre a part́ıcula de carga q é positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal.
3
Seção 3. Questões discursivas
1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do
sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuição estacionária de carga, cuja densidade
linear é dada por
λ(θ) =
{
λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ;
0 , se π < θ < 2π .
Aqui λ0 é uma constante e θ é o usual ângulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonométrico.
(a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico no centro do anel. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto]
4
5
2. Considere uma bola esférica isolante (com constante dielétrica igual a 1), de raio R, com uma distribuição
estacionária de carga esfericamente simétrica, cuja densidade volumar é dada por
ρ(r) =
{
Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ;
0 , se R < r < ∞ .
Aqui A é uma constante e r é a usual distância radial, desde o centro da bola.
(a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrostático fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no
infinito. [1,0 ponto]
6
7
8
Gabarito para Versão A
Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta)
1. Em uma região do espaço, o potencial ele-
trostático é dado por
V (x, y, z) = a(2x2
+ yz) , a = const ,
onde x, y, z são as tradicionais coordenadas carte-
sianas. O vetor campo elétrico no ponto (2b, b, 2b)
é dado por
(a) −ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) .
(b) −ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) .
(c) ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) .
(d) ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) .
(e) 0, pois temos simetria plana.
2. Seja a associação de capacitores da figura abaixo:
a
b
C C C C
A capacitância equivalente entre os pontos a e b
vale:
(a) C/4 .
(b) 3C/4 .
(c) C/3 .
(d) 4C/3 .
3. Uma superf́ıcie imaginária fechada envolve com-
pletamente um dipolo elétrico e nenhuma outra
part́ıcula carregada. Podemos afirmar que:
(a) o campo elétrico é zero em todos os pon-
tos da superf́ıcie.
(b) o campo elétrico é normal à superf́ıcie em
todos os pontos da mesma.
(c) o fluxo do campo elétrico através da su-
perf́ıcie não pode ser igual a zero, pois há
cargas envolvidas pela mesma.
(d) o fluxo do campo elétrico através de uma
parte da superf́ıcie pode não ser igual a
zero.
4. Para uma casca esférica condutora, de raio interno
a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere-
se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pon-
tual) de carga −10q é colocada no seu centro.
Qual é a expressão correta para a densidade de
carga sobre a superf́ıcie externa da casca condu-
tora?
(a) σ = −10q/(4πb2) .
(b) σ = −Q/(4πb2) .
(c) σ = (Q − 10q)/(4πb2) .
(d) σ = (Q + 10q)/(4πb2) .
(e) σ = (10q − Q)/(4πb2) .
5. Considere as configurações A e B de part́ıculas
(pontuais) carregadas representadas na figura
abaixo. Efetue a ordenação da energia potencial
eletrostática armazenada em cada caso, levando
em conta que, nos dois casos, a separação entre a
part́ıcula central e as demais tem sempre o mesmo
valor.
q q −q
A :
q −q q
B :
(a) UA < UB.
(b) UA = UB.
(c) UA > UB.
(d) Os dados são insuficientes.
1
6. Sabe-se que o módulo do campo elétrico na região
entre duas placas planas muito grandes, separa-
das por uma pequena distância, e com densida-
des superficiais de mesmo módulo, σ, é dado por
E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que:
(a) as duas placas são condutoras.
(b) as duas placas são isolantes.
(c) uma das placas é condutora e a outra
placa é isolante.
(d) as densidades superficiais de cargas nas
placas têm o mesmo sinal.
(e) as densidades superficiais de cargas nas
placas têm sinais opostos.
7. Um dielétrico é inserido entre as placas de um ca-
pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo
completamente a região entre elas. Inicialmente,
o espaço entre elas estava preenchido com ar e o
capacitor estava carregado com uma carga Q e
desconectado de qualquer bateria. Depois da in-
serção do dielétrico, podemos afirmar que
(a) a carga nas placas do capacitor aumenta.
(b) a diferença de potencial entre as placas
do capacitor aumenta.
(c) o campo elétrico no interior do capacitor
diminui.
(d) a energia elétrica armazenada permanece
a mesma.
Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F)
F Considere uma superf́ıcie cúbica, de aresta com comprimento R, e uma superf́ıcie esférica, de raio
com comprimento também R. Dentro de cada uma dessas superf́ıcies temos uma part́ıcula de carga q.
Podemos concluir que o fluxo do campo elétrico através da superf́ıcie cúbica é maior que aquele através
da superf́ıcie esférica.
F O potencial eletrostático é o mesmo em todos os pontos na superf́ıcie de um condutor em equiĺıbrio
eletrostático, logo a densidade superficial de carga será a mesma em todos os pontos dessa superf́ıcie.
F Uma part́ıcula (pontual) de carga Q é mantida fixa enquanto outra part́ıcula (pontual), de carga q, é
trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela
força eletrostática atuante sobre a part́ıcula de carga q é positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo
sinal.
2
Seção 3. Questões discursivas
1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do
sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuição estacionária de carga, cuja densidade
linear é dada por
λ(θ) =
{
λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ;
0 , se π < θ < 2π .
Aqui λ0 é uma constante e θ é o usual ângulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonométrico.
(a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico no centro do anel. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto]
Resolução:
(a) A carga total em qualquer curva C é sempre dada por
Q[C] =
∫
C
λ(r)dℓ .
No caso,
Q =
∫ π
θ=0
λ0 cos θR dθ
ou
Q = 0 .
Este resultado era de se esperar visto que a distribuição é simétrica em torno de θ = π/2: o mesmo tanto
de carga positiva existe no primeiro quadrante que de carga negativa no segundo quadrante e distribúıda
“igualmente”.
(b) Por simetria, o campo elétrico resultante no centro do anel só terá componente x. A contribuição para
tal de um elemento de carga infinitesimal, a um ângulo polar θ, é dada por
dEx = k0
dq
R2
(−r̂) · x̂
= −k0
λ(θ)dℓ
R2
cos θ
= −
k0λ0
R
cos2 θdθ .
Logo
E(0) = −
k0λ0
R
∫ π
θ=0
cos2 θdθ x̂
Ora, do formulário, tiramos que
∫ π
θ=0
cos2 θdθ = π/2 .
Portanto, finalmente,
E(0) = −
πk0λ0
2R
x̂ = −
λ0
8ǫ0R
x̂ .
(c) O potencial é dado por
V (0) =
∫
C
k0dq
R
;
Logo, trivialmente,
V (0) = 0 .
�
3
2. Considere uma bola esférica isolante (com constante dielétrica igual a 1), de raio R, com uma distribuição
estacionária de carga esfericamente simétrica, cuja densidade volumar é dada por
ρ(r) =
{
Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ;
0 , se R < r < ∞ .
Aqui A é uma constante e r é a usual distância radial, desde o centro da bola.
(a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrostático fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no
infinito. [1,0 ponto]
Resolução:
(a) A carga total em qualquer região R é sempre dada por
Q[R] =
∫
R
ρ(r)dV .
Então, no caso da bola, temos que sua carga total Q será simplesmente
Q =
∫ R
r=0
ρ(r)4πr2dr
= 4πA
∫ R
r=0
r4dr ,
ou
Q =
4
5
πAR5 .
(b) Devido à simetria esférica, o vetor campo elétrico criado pela bola só terá componente radial, componente
esta dependente somente da distância r. Logo, convém calcularmos o campo pela lei de Gauss; como
gaussiana, adotamos uma superf́ıcie esférica concêntrica com a bola carregada e de raio genérico r. O fluxo
através dela será
ΦE[S] :=
∮
S
E · n̂dA
=
∮
S
Er(r)r̂ · r̂dA
= Er(r)
∮
S
dA
= 4πr2Er(r) .
Para aplicarmos, de fato, a lei de Gauss, precisamos, agora, calcular a carga no interior da gaussiana; para
tanto, temos duas possibilidades:
• R ≤ r < ∞:
Nesse caso,
Qint = Q .
Portanto, pela própria lei de Gauss, vem
E = Er(r)r̂ =
1
4πǫ0
Q
r2
r̂ =
AR5
5ǫ0r2
r̂ .
4
• 0 ≤ r ≤ R:
Nesse caso,
Qint =
∫ r
r′=0
Ar′24πr′2dr′
=
4
5
πAr5 .
Portanto, pela própria lei de Gauss, novamente, vem
E =
Ar3
5ǫ0
r̂ =
Q
4πǫ0
r3
R5
r̂ .
(c) Calcularemos o potencial V (r), num dado ponto de coordenada radial r, por integração, a partir do
infinito, do campo elétrico deduzido no item anterior. Teremos, pois, duas possibilidades:
• R ≤ r < ∞:
Nesse caso,
V (r) − V (∞) = −
∫ r
r=∞
Er(r)dr .
Como V (∞) = 0, isso implica
V (r) =
1
4πǫ0
Q
r
=
AR5
5ǫ0r
.
• 0 ≤ r ≤ R:
Nesse caso,
V (r) − V (R) = −
∫ r
r=R
Er(r)dr .
Como, da última equação, V (R) = Q/(4πǫ0R) = AR
4/(5ǫ0), isso implica
V (r) −
AR4
5ǫ0
=
A
20ǫ0
(R4 − r4) ,
ou seja,
V (r) = −
A
20ǫ0
(r4 − 5R4) = −
Q
16πǫ0R5
(r4 − 5R4) .
�
5
6
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2009/2
Primeira Prova (P1) – 14/10/2009
Versão: B
Aluno:
DRE:
Professor:
Turma:
Seção Nota original Nota de revisão Rubrica
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, DRE, Professor e Turma) do cabeçalho
acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de dez (10) questões objetivas, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, parte essa dividida,
por sua vez, em duas seções:
– uma seção de sete (7) questões de múltipla escolha (sem nenhum tipo de penalização),
– uma seção de três (3) questões de falso ou verdadeiro (com duas questões incorretamente respon-
didas anulando uma correta);
• uma parte discursiva, constitúıda por duas questões discursivas (ou argumentativas ou dissertativas),
cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
E · n̂ dA = Qint/ǫ0 , E = −∇V , uE =
1
2
ǫ0E
2 .
∫
sen2 u du =
u
2
−
sen (2u)
4
,
∫
cos2 u du =
u
2
+
sen (2u)
4
,
∫
sen u cosu du =
sen2 u
2
.
1
Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta)
1. Em uma região do espaço, o potencial ele-
trostático é dado por
V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const ,
onde x, y, z são as tradicionais coordenadas carte-
sianas. O vetor campo elétrico no ponto (2b, b, 2b)
é dado por
(a) −ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) .
(b) −ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) .
(c) ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) .
(d) ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) .
(e) 0, pois temos simetria plana.
2. Seja a associação de capacitores da figura abaixo:
a
b
C C C C
A capacitância equivalente entre os pontos a e b
vale:
(a) C/4 .
(b) 3C/4 .
(c) C/3 .
(d) 4C/3 .
3. Considere as configurações A e B de part́ıculas
(pontuais) carregadas representadas na figura
abaixo. Efetue a ordenação da energia potencial
eletrostática armazenada em cada caso, levando
em conta que, nos dois casos, a separação entre a
part́ıcula central e as demais tem sempre o mesmo
valor.
q q −q
A :
q −q q
B :
(a) UA < UB.
(b) UA = UB.
(c) UA > UB.
(d) Os dados são insuficientes.
4. Sabe-se que o módulo do campo elétrico na região
entre duas placas planas muito grandes, separa-
das por uma pequena distância, e com densida-
des superficiais de mesmo módulo, σ, é dado por
E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que:
(a) as duas placas são condutoras.
(b) as duas placas são isolantes.
(c) uma das placas é condutora e a outra
placa é isolante.
(d) as densidades superficiais de cargas nas
placas têm o mesmo sinal.
(e) as densidades superficiais de cargas nas
placas têm sinais opostos.
5. Uma superf́ıcie imaginária fechada envolve com-
pletamente um dipolo elétrico e nenhuma outra
part́ıcula carregada. Podemos afirmar que:
(a) o campo elétrico é zero em todos os pon-
tos da superf́ıcie.
(b) o campo elétrico é normal à superf́ıcie em
todos os pontos da mesma.
(c) o fluxo do campo elétrico através da su-
perf́ıcie não pode ser igual a zero, pois há
cargas envolvidas pela mesma.
(d) o fluxo do campo elétrico através de uma
parte da superf́ıcie pode não ser igual a
zero.
2
6. Para uma casca esférica condutora, de raio interno
a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere-
se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pon-
tual) de carga −10q é colocada no seu centro.
Qual é a expressão correta para a densidade de
carga sobre a superf́ıcie externa da casca condu-
tora?
(a) σ = −10q/(4πb2) .
(b) σ = −Q/(4πb2) .
(c) σ = (Q − 10q)/(4πb2) .
(d) σ = (Q + 10q)/(4πb2) .
(e) σ = (10q − Q)/(4πb2) .
7. Um dielétrico é inserido entre as placas de um ca-
pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo
completamente a região entre elas. Inicialmente,
o espaço entre elas estava preenchido com ar e o
capacitor estava carregado com uma carga Q e
desconectado de qualquer bateria. Depois da in-
serção do dielétrico, podemos afirmar que
(a) a carga nas placas do capacitor aumenta.
(b) a diferença de potencial entre as placas
do capacitor aumenta.
(c) o campo elétrico no interior do capacitor
diminui.
(d) a energia elétrica armazenada permanece
a mesma.
Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F)
O potencial eletrostático é o mesmo em todos os pontos na superf́ıcie de um condutor em equiĺıbrio
eletrostático, logo a densidade superficial de carga será a mesma em todos os pontos dessa superf́ıcie.
Uma part́ıcula (pontual) de carga Q é mantida fixa enquanto outra part́ıcula (pontual), de carga q, é
trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela força
eletrostática atuante sobre a part́ıcula de carga q é positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal.
Considere uma superf́ıcie cúbica, de aresta com comprimento R, e uma superf́ıcie esférica, de raio com
comprimento também R. Dentro de cada uma dessas superf́ıcies temos uma part́ıcula de carga q. Podemos
concluir que o fluxo do campo elétrico através da superf́ıcie cúbica é maior que aquele através da superf́ıcie
esférica.
3
Seção 3. Questões discursivas
1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do
sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuição estacionária de carga, cuja densidade
linear é dada por
λ(θ) =
{
λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ;
0 , se π < θ < 2π .
Aqui λ0 é uma constante e θ é o usual ângulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonométrico.
(a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico no centro do anel. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto]
4
5
2. Considere uma bola esférica isolante (com constante dielétrica igual a 1), de raio R, com uma distribuição
estacionária de carga esfericamente simétrica, cuja densidade volumar é dada por
ρ(r) =
{
Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ;
0 , se R < r < ∞ .
Aqui A é uma constante e r é a usual distância radial, desde o centro da bola.
(a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrostático fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no
infinito. [1,0 ponto]
6
7
8
Gabarito para Versão B
Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta)
1. Em uma região do espaço, o potencial ele-
trostático é dado por
V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const ,
onde x, y, z são as tradicionais coordenadas carte-
sianas. O vetor campo elétrico no ponto (2b, b, 2b)
é dado por
(a) −ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) .
(b) −ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) .
(c) ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) .
(d) ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) .
(e) 0, pois temos simetria plana.
2. Seja a associação de capacitores da figura abaixo:
a
b
C C C C
A capacitância equivalente entre os pontos a e b
vale:
(a) C/4 .
(b) 3C/4 .
(c) C/3 .
(d) 4C/3 .
3. Considere as configurações A e B de part́ıculas
(pontuais) carregadas representadas na figura
abaixo. Efetue a ordenação da energia potencial
eletrostática armazenada em cada caso, levando
em conta que, nos dois casos, a separação entre a
part́ıcula central e as demais tem sempre o mesmo
valor.
q q −q
A :
q −q q
B :
(a) UA < UB.
(b) UA = UB.
(c) UA > UB.
(d) Os dados são insuficientes.
4. Sabe-se que o módulo do campo elétrico na região
entre duas placas planas muito grandes, separa-
das por uma pequena distância, e com densida-
des superficiais de mesmo módulo, σ, é dado por
E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que:
(a) as duas placas são condutoras.
(b) as duas placas são
isolantes.
(c) uma das placas é condutora e a outra
placa é isolante.
(d) as densidades superficiais de cargas nas
placas têm o mesmo sinal.
(e) as densidades superficiais de cargas nas
placas têm sinais opostos.
1
5. Uma superf́ıcie imaginária fechada envolve com-
pletamente um dipolo elétrico e nenhuma outra
part́ıcula carregada. Podemos afirmar que:
(a) o campo elétrico é zero em todos os pon-
tos da superf́ıcie.
(b) o campo elétrico é normal à superf́ıcie em
todos os pontos da mesma.
(c) o fluxo do campo elétrico através da su-
perf́ıcie não pode ser igual a zero, pois há
cargas envolvidas pela mesma.
(d) o fluxo do campo elétrico através de uma
parte da superf́ıcie pode não ser igual a
zero.
6. Para uma casca esférica condutora, de raio interno
a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere-
se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pon-
tual) de carga −10q é colocada no seu centro.
Qual é a expressão correta para a densidade de
carga sobre a superf́ıcie externa da casca condu-
tora?
(a) σ = −10q/(4πb2) .
(b) σ = −Q/(4πb2) .
(c) σ = (Q − 10q)/(4πb2) .
(d) σ = (Q + 10q)/(4πb2) .
(e) σ = (10q − Q)/(4πb2) .
7. Um dielétrico é inserido entre as placas de um ca-
pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo
completamente a região entre elas. Inicialmente,
o espaço entre elas estava preenchido com ar e o
capacitor estava carregado com uma carga Q e
desconectado de qualquer bateria. Depois da in-
serção do dielétrico, podemos afirmar que
(a) a carga nas placas do capacitor aumenta.
(b) a diferença de potencial entre as placas
do capacitor aumenta.
(c) o campo elétrico no interior do capacitor
diminui.
(d) a energia elétrica armazenada permanece
a mesma.
Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F)
F O potencial eletrostático é o mesmo em todos os pontos na superf́ıcie de um condutor em equiĺıbrio
eletrostático, logo a densidade superficial de carga será a mesma em todos os pontos dessa superf́ıcie.
F Uma part́ıcula (pontual) de carga Q é mantida fixa enquanto outra part́ıcula (pontual), de carga q, é
trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela
força eletrostática atuante sobre a part́ıcula de carga q é positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo
sinal.
F Considere uma superf́ıcie cúbica, de aresta com comprimento R, e uma superf́ıcie esférica, de raio
com comprimento também R. Dentro de cada uma dessas superf́ıcies temos uma part́ıcula de carga q.
Podemos concluir que o fluxo do campo elétrico através da superf́ıcie cúbica é maior que aquele através
da superf́ıcie esférica.
2
Seção 3. Questões discursivas
1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do
sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuição estacionária de carga, cuja densidade
linear é dada por
λ(θ) =
{
λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ;
0 , se π < θ < 2π .
Aqui λ0 é uma constante e θ é o usual ângulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonométrico.
(a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico no centro do anel. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto]
Resolução:
(a) A carga total em qualquer curva C é sempre dada por
Q[C] =
∫
C
λ(r)dℓ .
No caso,
Q =
∫ π
θ=0
λ0 cos θR dθ
ou
Q = 0 .
Este resultado era de se esperar visto que a distribuição é simétrica em torno de θ = π/2: o mesmo tanto
de carga positiva existe no primeiro quadrante que de carga negativa no segundo quadrante e distribúıda
“igualmente”.
(b) Por simetria, o campo elétrico resultante no centro do anel só terá componente x. A contribuição para
tal de um elemento de carga infinitesimal, a um ângulo polar θ, é dada por
dEx = k0
dq
R2
(−r̂) · x̂
= −k0
λ(θ)dℓ
R2
cos θ
= −
k0λ0
R
cos2 θdθ .
Logo
E(0) = −
k0λ0
R
∫ π
θ=0
cos2 θdθ x̂
Ora, do formulário, tiramos que
∫ π
θ=0
cos2 θdθ = π/2 .
Portanto, finalmente,
E(0) = −
πk0λ0
2R
x̂ = −
λ0
8ǫ0R
x̂ .
(c) O potencial é dado por
V (0) =
∫
C
k0dq
R
;
Logo, trivialmente,
V (0) = 0 .
�
3
2. Considere uma bola esférica isolante (com constante dielétrica igual a 1), de raio R, com uma distribuição
estacionária de carga esfericamente simétrica, cuja densidade volumar é dada por
ρ(r) =
{
Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ;
0 , se R < r < ∞ .
Aqui A é uma constante e r é a usual distância radial, desde o centro da bola.
(a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrostático fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no
infinito. [1,0 ponto]
Resolução:
(a) A carga total em qualquer região R é sempre dada por
Q[R] =
∫
R
ρ(r)dV .
Então, no caso da bola, temos que sua carga total Q será simplesmente
Q =
∫ R
r=0
ρ(r)4πr2dr
= 4πA
∫ R
r=0
r4dr ,
ou
Q =
4
5
πAR5 .
(b) Devido à simetria esférica, o vetor campo elétrico criado pela bola só terá componente radial, componente
esta dependente somente da distância r. Logo, convém calcularmos o campo pela lei de Gauss; como
gaussiana, adotamos uma superf́ıcie esférica concêntrica com a bola carregada e de raio genérico r. O fluxo
através dela será
ΦE[S] :=
∮
S
E · n̂dA
=
∮
S
Er(r)r̂ · r̂dA
= Er(r)
∮
S
dA
= 4πr2Er(r) .
Para aplicarmos, de fato, a lei de Gauss, precisamos, agora, calcular a carga no interior da gaussiana; para
tanto, temos duas possibilidades:
• R ≤ r < ∞:
Nesse caso,
Qint = Q .
Portanto, pela própria lei de Gauss, vem
E = Er(r)r̂ =
1
4πǫ0
Q
r2
r̂ =
AR5
5ǫ0r2
r̂ .
4
• 0 ≤ r ≤ R:
Nesse caso,
Qint =
∫ r
r′=0
Ar′24πr′2dr′
=
4
5
πAr5 .
Portanto, pela própria lei de Gauss, novamente, vem
E =
Ar3
5ǫ0
r̂ =
Q
4πǫ0
r3
R5
r̂ .
(c) Calcularemos o potencial V (r), num dado ponto de coordenada radial r, por integração, a partir do
infinito, do campo elétrico deduzido no item anterior. Teremos, pois, duas possibilidades:
• R ≤ r < ∞:
Nesse caso,
V (r) − V (∞) = −
∫ r
r=∞
Er(r)dr .
Como V (∞) = 0, isso implica
V (r) =
1
4πǫ0
Q
r
=
AR5
5ǫ0r
.
• 0 ≤ r ≤ R:
Nesse caso,
V (r) − V (R) = −
∫ r
r=R
Er(r)dr .
Como, da última equação, V (R) = Q/(4πǫ0R) = AR
4/(5ǫ0), isso implica
V (r) −
AR4
5ǫ0
=
A
20ǫ0
(R4 − r4) ,
ou seja,
V (r) = −
A
20ǫ0
(r4 − 5R4) = −
Q
16πǫ0R5
(r4 − 5R4) .
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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2009/2
Primeira Prova (P1) – 14/10/2009
Versão: C
Aluno:
DRE:
Professor:
Turma:
Seção Nota original Nota de revisão Rubrica
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, DRE, Professor e Turma) do cabeçalho
acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de dez (10) questões objetivas, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, parte essa dividida,
por sua vez, em duas seções:
– uma seção de sete (7) questões de múltipla escolha (sem nenhum tipo de penalização),
– uma seção de três (3) questões de falso ou verdadeiro (com duas questões incorretamente respon-
didas anulando uma correta);
• uma parte discursiva, constitúıda por duas questões discursivas (ou argumentativas ou dissertativas),
cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
E · n̂ dA = Qint/ǫ0 ,
E = −∇V , uE =
1
2
ǫ0E
2 .
∫
sen2 u du =
u
2
−
sen (2u)
4
,
∫
cos2 u du =
u
2
+
sen (2u)
4
,
∫
sen u cosu du =
sen2 u
2
.
1
Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta)
1. Um dielétrico é inserido entre as placas de um ca-
pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo
completamente a região entre elas. Inicialmente,
o espaço entre elas estava preenchido com ar e o
capacitor estava carregado com uma carga Q e
desconectado de qualquer bateria. Depois da in-
serção do dielétrico, podemos afirmar que
(a) a carga nas placas do capacitor aumenta.
(b) a diferença de potencial entre as placas
do capacitor aumenta.
(c) o campo elétrico no interior do capacitor
diminui.
(d) a energia elétrica armazenada permanece
a mesma.
2. Para uma casca esférica condutora, de raio interno
a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere-
se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pon-
tual) de carga −10q é colocada no seu centro.
Qual é a expressão correta para a densidade de
carga sobre a superf́ıcie externa da casca condu-
tora?
(a) σ = −10q/(4πb2) .
(b) σ = −Q/(4πb2) .
(c) σ = (Q − 10q)/(4πb2) .
(d) σ = (Q + 10q)/(4πb2) .
(e) σ = (10q − Q)/(4πb2) .
3. Considere as configurações A e B de part́ıculas
(pontuais) carregadas representadas na figura
abaixo. Efetue a ordenação da energia potencial
eletrostática armazenada em cada caso, levando
em conta que, nos dois casos, a separação entre a
part́ıcula central e as demais tem sempre o mesmo
valor.
q q −q
A :
q −q q
B :
(a) UA < UB.
(b) UA = UB.
(c) UA > UB.
(d) Os dados são insuficientes.
4. Em uma região do espaço, o potencial ele-
trostático é dado por
V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const ,
onde x, y, z são as tradicionais coordenadas carte-
sianas. O vetor campo elétrico no ponto (2b, b, 2b)
é dado por
(a) −ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) .
(b) −ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) .
(c) ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) .
(d) ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) .
(e) 0, pois temos simetria plana.
5. Sabe-se que o módulo do campo elétrico na região
entre duas placas planas muito grandes, separa-
das por uma pequena distância, e com densida-
des superficiais de mesmo módulo, σ, é dado por
E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que:
(a) as duas placas são condutoras.
(b) as duas placas são isolantes.
(c) uma das placas é condutora e a outra
placa é isolante.
(d) as densidades superficiais de cargas nas
placas têm o mesmo sinal.
(e) as densidades superficiais de cargas nas
placas têm sinais opostos.
6. Seja a associação de capacitores da figura abaixo:
a
b
C C C C
A capacitância equivalente entre os pontos a e b
vale:
(a) C/4 .
(b) 3C/4 .
(c) C/3 .
(d) 4C/3 .
2
7. Uma superf́ıcie imaginária fechada envolve com-
pletamente um dipolo elétrico e nenhuma outra
part́ıcula carregada. Podemos afirmar que:
(a) o campo elétrico é zero em todos os pon-
tos da superf́ıcie.
(b) o campo elétrico é normal à superf́ıcie em
todos os pontos da mesma.
(c) o fluxo do campo elétrico através da su-
perf́ıcie não pode ser igual a zero, pois há
cargas envolvidas pela mesma.
(d) o fluxo do campo elétrico através de uma
parte da superf́ıcie pode não ser igual a
zero.
Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F)
Considere uma superf́ıcie cúbica, de aresta com comprimento R, e uma superf́ıcie esférica, de raio com
comprimento também R. Dentro de cada uma dessas superf́ıcies temos uma part́ıcula de carga q. Podemos
concluir que o fluxo do campo elétrico através da superf́ıcie cúbica é maior que aquele através da superf́ıcie
esférica.
Uma part́ıcula (pontual) de carga Q é mantida fixa enquanto outra part́ıcula (pontual), de carga q, é
trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela força
eletrostática atuante sobre a part́ıcula de carga q é positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal.
O potencial eletrostático é o mesmo em todos os pontos na superf́ıcie de um condutor em equiĺıbrio
eletrostático, logo a densidade superficial de carga será a mesma em todos os pontos dessa superf́ıcie.
3
Seção 3. Questões discursivas
1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do
sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuição estacionária de carga, cuja densidade
linear é dada por
λ(θ) =
{
λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ;
0 , se π < θ < 2π .
Aqui λ0 é uma constante e θ é o usual ângulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonométrico.
(a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico no centro do anel. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto]
4
5
2. Considere uma bola esférica isolante (com constante dielétrica igual a 1), de raio R, com uma distribuição
estacionária de carga esfericamente simétrica, cuja densidade volumar é dada por
ρ(r) =
{
Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ;
0 , se R < r < ∞ .
Aqui A é uma constante e r é a usual distância radial, desde o centro da bola.
(a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrostático fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no
infinito. [1,0 ponto]
6
7
8
Gabarito para Versão C
Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta)
1. Um dielétrico é inserido entre as placas de um ca-
pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo
completamente a região entre elas. Inicialmente,
o espaço entre elas estava preenchido com ar e o
capacitor estava carregado com uma carga Q e
desconectado de qualquer bateria. Depois da in-
serção do dielétrico, podemos afirmar que
(a) a carga nas placas do capacitor aumenta.
(b) a diferença de potencial entre as placas
do capacitor aumenta.
(c) o campo elétrico no interior do capacitor
diminui.
(d) a energia elétrica armazenada permanece
a mesma.
2. Para uma casca esférica condutora, de raio interno
a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere-
se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pon-
tual) de carga −10q é colocada no seu centro.
Qual é a expressão correta para a densidade de
carga sobre a superf́ıcie externa da casca condu-
tora?
(a) σ = −10q/(4πb2) .
(b) σ = −Q/(4πb2) .
(c) σ = (Q − 10q)/(4πb2) .
(d) σ = (Q + 10q)/(4πb2) .
(e) σ = (10q − Q)/(4πb2) .
3. Considere as configurações A e B de part́ıculas
(pontuais) carregadas representadas na figura
abaixo. Efetue a ordenação da energia potencial
eletrostática armazenada em cada caso, levando
em conta que, nos dois casos, a separação entre a
part́ıcula central e as demais tem sempre o mesmo
valor.
q q −q
A :
q −q q
B :
(a) UA < UB.
(b) UA = UB.
(c) UA > UB.
(d) Os dados são insuficientes.
4. Em uma região do espaço, o potencial ele-
trostático é dado por
V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const ,
onde x, y, z são as tradicionais coordenadas carte-
sianas. O vetor campo elétrico no ponto (2b, b, 2b)
é dado por
(a) −ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) .
(b) −ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) .
(c) ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) .
(d) ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) .
(e) 0, pois temos simetria plana.
1
5. Sabe-se que o módulo do campo elétrico na região
entre duas placas planas muito grandes, separa-
das por uma pequena distância, e com densida-
des superficiais de mesmo módulo, σ, é dado por
E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que:
(a) as duas placas são condutoras.
(b) as duas placas são isolantes.
(c) uma das placas é condutora e a outra
placa é isolante.
(d) as densidades superficiais de cargas nas
placas têm o mesmo sinal.
(e) as densidades superficiais de cargas nas
placas têm sinais opostos.
6. Seja a associação de capacitores da figura abaixo:
a
b
C C C C
A capacitância equivalente
entre os pontos a e b
vale:
(a) C/4 .
(b) 3C/4 .
(c) C/3 .
(d) 4C/3 .
7. Uma superf́ıcie imaginária fechada envolve com-
pletamente um dipolo elétrico e nenhuma outra
part́ıcula carregada. Podemos afirmar que:
(a) o campo elétrico é zero em todos os pon-
tos da superf́ıcie.
(b) o campo elétrico é normal à superf́ıcie em
todos os pontos da mesma.
(c) o fluxo do campo elétrico através da su-
perf́ıcie não pode ser igual a zero, pois há
cargas envolvidas pela mesma.
(d) o fluxo do campo elétrico através de uma
parte da superf́ıcie pode não ser igual a
zero.
Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F)
F Considere uma superf́ıcie cúbica, de aresta com comprimento R, e uma superf́ıcie esférica, de raio
com comprimento também R. Dentro de cada uma dessas superf́ıcies temos uma part́ıcula de carga q.
Podemos concluir que o fluxo do campo elétrico através da superf́ıcie cúbica é maior que aquele através
da superf́ıcie esférica.
F Uma part́ıcula (pontual) de carga Q é mantida fixa enquanto outra part́ıcula (pontual), de carga q, é
trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela
força eletrostática atuante sobre a part́ıcula de carga q é positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo
sinal.
F O potencial eletrostático é o mesmo em todos os pontos na superf́ıcie de um condutor em equiĺıbrio
eletrostático, logo a densidade superficial de carga será a mesma em todos os pontos dessa superf́ıcie.
2
Seção 3. Questões discursivas
1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do
sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuição estacionária de carga, cuja densidade
linear é dada por
λ(θ) =
{
λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ;
0 , se π < θ < 2π .
Aqui λ0 é uma constante e θ é o usual ângulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonométrico.
(a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico no centro do anel. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto]
Resolução:
(a) A carga total em qualquer curva C é sempre dada por
Q[C] =
∫
C
λ(r)dℓ .
No caso,
Q =
∫ π
θ=0
λ0 cos θR dθ
ou
Q = 0 .
Este resultado era de se esperar visto que a distribuição é simétrica em torno de θ = π/2: o mesmo tanto
de carga positiva existe no primeiro quadrante que de carga negativa no segundo quadrante e distribúıda
“igualmente”.
(b) Por simetria, o campo elétrico resultante no centro do anel só terá componente x. A contribuição para
tal de um elemento de carga infinitesimal, a um ângulo polar θ, é dada por
dEx = k0
dq
R2
(−r̂) · x̂
= −k0
λ(θ)dℓ
R2
cos θ
= −
k0λ0
R
cos2 θdθ .
Logo
E(0) = −
k0λ0
R
∫ π
θ=0
cos2 θdθ x̂
Ora, do formulário, tiramos que
∫ π
θ=0
cos2 θdθ = π/2 .
Portanto, finalmente,
E(0) = −
πk0λ0
2R
x̂ = −
λ0
8ǫ0R
x̂ .
(c) O potencial é dado por
V (0) =
∫
C
k0dq
R
;
Logo, trivialmente,
V (0) = 0 .
�
3
2. Considere uma bola esférica isolante (com constante dielétrica igual a 1), de raio R, com uma distribuição
estacionária de carga esfericamente simétrica, cuja densidade volumar é dada por
ρ(r) =
{
Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ;
0 , se R < r < ∞ .
Aqui A é uma constante e r é a usual distância radial, desde o centro da bola.
(a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrostático fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no
infinito. [1,0 ponto]
Resolução:
(a) A carga total em qualquer região R é sempre dada por
Q[R] =
∫
R
ρ(r)dV .
Então, no caso da bola, temos que sua carga total Q será simplesmente
Q =
∫ R
r=0
ρ(r)4πr2dr
= 4πA
∫ R
r=0
r4dr ,
ou
Q =
4
5
πAR5 .
(b) Devido à simetria esférica, o vetor campo elétrico criado pela bola só terá componente radial, componente
esta dependente somente da distância r. Logo, convém calcularmos o campo pela lei de Gauss; como
gaussiana, adotamos uma superf́ıcie esférica concêntrica com a bola carregada e de raio genérico r. O fluxo
através dela será
ΦE[S] :=
∮
S
E · n̂dA
=
∮
S
Er(r)r̂ · r̂dA
= Er(r)
∮
S
dA
= 4πr2Er(r) .
Para aplicarmos, de fato, a lei de Gauss, precisamos, agora, calcular a carga no interior da gaussiana; para
tanto, temos duas possibilidades:
• R ≤ r < ∞:
Nesse caso,
Qint = Q .
Portanto, pela própria lei de Gauss, vem
E = Er(r)r̂ =
1
4πǫ0
Q
r2
r̂ =
AR5
5ǫ0r2
r̂ .
4
• 0 ≤ r ≤ R:
Nesse caso,
Qint =
∫ r
r′=0
Ar′24πr′2dr′
=
4
5
πAr5 .
Portanto, pela própria lei de Gauss, novamente, vem
E =
Ar3
5ǫ0
r̂ =
Q
4πǫ0
r3
R5
r̂ .
(c) Calcularemos o potencial V (r), num dado ponto de coordenada radial r, por integração, a partir do
infinito, do campo elétrico deduzido no item anterior. Teremos, pois, duas possibilidades:
• R ≤ r < ∞:
Nesse caso,
V (r) − V (∞) = −
∫ r
r=∞
Er(r)dr .
Como V (∞) = 0, isso implica
V (r) =
1
4πǫ0
Q
r
=
AR5
5ǫ0r
.
• 0 ≤ r ≤ R:
Nesse caso,
V (r) − V (R) = −
∫ r
r=R
Er(r)dr .
Como, da última equação, V (R) = Q/(4πǫ0R) = AR
4/(5ǫ0), isso implica
V (r) −
AR4
5ǫ0
=
A
20ǫ0
(R4 − r4) ,
ou seja,
V (r) = −
A
20ǫ0
(r4 − 5R4) = −
Q
16πǫ0R5
(r4 − 5R4) .
�
5
6
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2009/2
Primeira Prova (P1) – 14/10/2009
Versão: D
Aluno:
DRE:
Professor:
Turma:
Seção Nota original Nota de revisão Rubrica
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, DRE, Professor e Turma) do cabeçalho
acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de dez (10) questões objetivas, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, parte essa dividida,
por sua vez, em duas seções:
– uma seção de sete (7) questões de múltipla escolha (sem nenhum tipo de penalização),
– uma seção de três (3) questões de falso ou verdadeiro (com duas questões incorretamente respon-
didas anulando uma correta);
• uma parte discursiva, constitúıda por duas questões discursivas (ou argumentativas ou dissertativas),
cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
E · n̂ dA = Qint/ǫ0 , E = −∇V , uE =
1
2
ǫ0E
2 .
∫
sen2 u du =
u
2
−
sen (2u)
4
,
∫
cos2 u du =
u
2
+
sen (2u)
4
,
∫
sen u cosu du =
sen2 u
2
.
1
Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta)
1. Um dielétrico é inserido entre as placas de um ca-
pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo
completamente a região entre elas. Inicialmente,
o espaço entre elas estava preenchido com ar e o
capacitor estava carregado com uma carga Q e
desconectado de qualquer bateria. Depois da in-
serção do dielétrico, podemos afirmar que
(a) a carga nas placas do capacitor aumenta.
(b) a diferença de potencial entre as placas
do capacitor aumenta.
(c) o campo elétrico no interior do capacitor
diminui.
(d) a energia elétrica armazenada permanece
a mesma.
2. Seja a associação de capacitores da figura abaixo:
a
b
C C C C
A capacitância equivalente entre os pontos a e b
vale:
(a) C/4 .
(b) 3C/4 .
(c) C/3 .
(d) 4C/3 .
3. Considere as configurações A e B de part́ıculas
(pontuais) carregadas representadas na figura
abaixo. Efetue a ordenação da energia potencial
eletrostática armazenada em cada caso, levando
em conta que, nos dois casos, a separação entre a
part́ıcula central e as demais tem sempre o mesmo
valor.
q q −q
A :
q −q q
B :
(a) UA < UB.
(b) UA = UB.
(c) UA > UB.
(d) Os dados são insuficientes.
4. Sabe-se que o módulo do campo elétrico na região
entre duas placas planas muito grandes, separa-
das por uma pequena distância, e com densida-
des superficiais de mesmo módulo, σ, é dado por
E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que:
(a) as duas placas são condutoras.
(b) as duas placas são isolantes.
(c) uma das placas é condutora e a outra
placa é isolante.
(d) as densidades superficiais de cargas nas
placas têm o mesmo sinal.
(e) as densidades superficiais de cargas nas
placas têm sinais opostos.
5. Uma superf́ıcie imaginária fechada envolve com-
pletamente um dipolo elétrico e nenhuma outra
part́ıcula carregada. Podemos afirmar que:
(a) o campo elétrico é zero em todos os pon-
tos da superf́ıcie.
(b) o campo elétrico é normal à superf́ıcie em
todos os pontos da mesma.
(c) o fluxo do campo elétrico através da su-
perf́ıcie não pode ser igual a zero, pois há
cargas envolvidas pela mesma.
(d) o fluxo do campo elétrico através de uma
parte da superf́ıcie pode não ser igual a
zero.
2
6. Em uma região do espaço, o potencial ele-
trostático é dado por
V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const ,
onde x, y, z são as tradicionais coordenadas carte-
sianas. O vetor campo elétrico no ponto (2b, b, 2b)
é dado por
(a) −ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) .
(b) −ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) .
(c) ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) .
(d) ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) .
(e) 0, pois temos simetria plana.
7. Para uma casca esférica condutora, de raio interno
a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere-
se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pon-
tual) de carga −10q é colocada no seu centro.
Qual é a expressão correta para a densidade de
carga sobre a superf́ıcie externa da casca condu-
tora?
(a) σ = −10q/(4πb2) .
(b) σ = −Q/(4πb2) .
(c) σ = (Q − 10q)/(4πb2) .
(d) σ = (Q + 10q)/(4πb2) .
(e) σ = (10q − Q)/(4πb2) .
Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F)
Considere uma superf́ıcie cúbica, de aresta com comprimento R, e uma superf́ıcie esférica, de raio com
comprimento também R. Dentro de cada uma dessas superf́ıcies temos uma part́ıcula de carga q. Podemos
concluir que o fluxo do campo elétrico através da superf́ıcie cúbica é maior que aquele através da superf́ıcie
esférica.
O potencial eletrostático é o mesmo em todos os pontos na superf́ıcie de um condutor em equiĺıbrio
eletrostático, logo a densidade superficial de carga será a mesma em todos os pontos dessa superf́ıcie.
Uma part́ıcula (pontual) de carga Q é mantida fixa enquanto outra part́ıcula (pontual), de carga q, é
trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela força
eletrostática atuante sobre a part́ıcula de carga q é positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal.
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Seção 3. Questões discursivas
1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do
sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuição estacionária de carga, cuja densidade
linear é dada por
λ(θ) =
{
λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ;
0 , se π < θ < 2π .
Aqui λ0 é uma constante e θ é o usual ângulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonométrico.
(a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico no centro do anel. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto]
4
5
2. Considere uma bola esférica isolante (com constante dielétrica igual a 1), de raio R, com uma distribuição
estacionária de carga esfericamente simétrica, cuja densidade volumar é dada por
ρ(r) =
{
Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ;
0 , se R < r < ∞ .
Aqui A é uma constante e r é a usual distância radial, desde o centro da bola.
(a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrostático fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no
infinito. [1,0 ponto]
6
7
8
Gabarito para Versão D
Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta)
1. Um dielétrico é inserido entre as placas de um ca-
pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo
completamente a região entre elas. Inicialmente,
o espaço entre elas estava preenchido com ar e o
capacitor estava carregado com uma carga Q e
desconectado de qualquer bateria. Depois da in-
serção do dielétrico, podemos afirmar que
(a) a carga nas placas do capacitor aumenta.
(b) a diferença de potencial entre as placas
do capacitor aumenta.
(c) o campo elétrico no interior do capacitor
diminui.
(d) a energia elétrica armazenada permanece
a mesma.
2. Seja a associação de capacitores da figura abaixo:
a
b
C C C C
A capacitância equivalente entre os pontos a e b
vale:
(a) C/4 .
(b) 3C/4 .
(c) C/3 .
(d) 4C/3 .
3. Considere as configurações A e B de part́ıculas
(pontuais) carregadas representadas na figura
abaixo. Efetue a ordenação da energia potencial
eletrostática armazenada em cada caso, levando
em conta que, nos dois casos, a separação entre a
part́ıcula central e as demais tem sempre o mesmo
valor.
q q −q
A :
q −q q
B :
(a) UA < UB.
(b) UA = UB.
(c) UA > UB.
(d) Os dados são insuficientes.
4. Sabe-se que o módulo do campo elétrico na região
entre duas placas planas muito grandes, separa-
das por uma pequena distância, e com densida-
des superficiais de mesmo módulo, σ, é dado por
E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que:
(a) as duas placas são condutoras.
(b) as duas placas são isolantes.
(c) uma das placas é condutora e a outra
placa é isolante.
(d) as densidades superficiais de cargas nas
placas têm o mesmo sinal.
(e) as densidades superficiais de cargas nas
placas têm sinais opostos.
1
5. Uma superf́ıcie imaginária fechada envolve com-
pletamente um dipolo elétrico e nenhuma outra
part́ıcula carregada. Podemos afirmar que:
(a) o campo elétrico é zero em todos os pon-
tos da superf́ıcie.
(b) o campo elétrico é normal à superf́ıcie em
todos os pontos da mesma.
(c) o fluxo do campo elétrico através da su-
perf́ıcie não pode ser igual a zero, pois há
cargas envolvidas pela mesma.
(d) o fluxo do campo elétrico através de uma
parte da superf́ıcie pode não ser igual a
zero.
6. Em uma região do espaço, o potencial ele-
trostático é dado por
V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const ,
onde x, y, z são as tradicionais coordenadas carte-
sianas. O vetor campo elétrico no ponto (2b, b, 2b)
é dado por
(a) −ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) .
(b) −ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) .
(c) ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) .
(d) ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) .
(e) 0, pois temos simetria plana.
7. Para uma casca esférica condutora, de raio interno
a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere-
se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pon-
tual) de carga −10q é colocada no seu centro.
Qual é a expressão correta para a densidade de
carga sobre a superf́ıcie externa da casca condu-
tora?
(a) σ = −10q/(4πb2) .
(b) σ = −Q/(4πb2) .
(c) σ = (Q − 10q)/(4πb2) .
(d) σ = (Q + 10q)/(4πb2) .
(e) σ = (10q − Q)/(4πb2) .
Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F)
F Considere uma superf́ıcie cúbica, de aresta com comprimento R, e uma superf́ıcie esférica, de raio
com comprimento também R. Dentro de cada uma dessas superf́ıcies temos uma part́ıcula de carga q.
Podemos concluir que o fluxo do campo elétrico através da superf́ıcie cúbica é maior que aquele através
da superf́ıcie esférica.
F O potencial eletrostático é o mesmo em todos os pontos na superf́ıcie de um condutor em equiĺıbrio
eletrostático, logo a densidade superficial de carga será a mesma em todos os pontos dessa superf́ıcie.
F Uma part́ıcula (pontual) de carga Q é mantida fixa enquanto outra part́ıcula (pontual), de carga q, é
trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela
força eletrostática atuante sobre a part́ıcula de carga q é positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo
sinal.
2
Seção 3. Questões discursivas
1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do
sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuição estacionária de carga, cuja densidade
linear é dada por
λ(θ) =
{
λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ;
0 , se π < θ < 2π .
Aqui λ0 é uma constante e θ é o usual ângulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonométrico.
(a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico no centro do anel. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto]
Resolução:
(a) A carga total em qualquer curva C é sempre dada por
Q[C] =
∫
C
λ(r)dℓ .
No caso,
Q =
∫ π
θ=0
λ0 cos θR dθ
ou
Q = 0 .
Este resultado era de se esperar visto que a distribuição é simétrica em torno de θ = π/2: o mesmo tanto
de carga positiva existe no primeiro quadrante que de carga negativa no segundo quadrante e distribúıda
“igualmente”.
(b) Por simetria, o campo elétrico resultante no centro do anel só terá componente x. A contribuição para
tal de um elemento de carga infinitesimal, a um ângulo polar θ, é dada por
dEx = k0
dq
R2
(−r̂) · x̂
= −k0
λ(θ)dℓ
R2
cos θ
= −
k0λ0
R
cos2 θdθ .
Logo
E(0) = −
k0λ0
R
∫ π
θ=0
cos2 θdθ x̂
Ora, do formulário, tiramos que
∫ π
θ=0
cos2 θdθ = π/2 .
Portanto, finalmente,
E(0) = −
πk0λ0
2R
x̂ = −
λ0
8ǫ0R
x̂ .
(c) O potencial é dado por
V (0) =
∫
C
k0dq
R
;
Logo, trivialmente,
V (0) = 0 .
�
3
2. Considere uma bola esférica isolante (com constante dielétrica igual a 1), de raio R, com uma distribuição
estacionária de carga esfericamente simétrica, cuja densidade volumar é dada por
ρ(r) =
{
Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ;
0 , se R < r < ∞ .
Aqui A é uma constante e r é a usual distância radial, desde o centro da bola.
(a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrostático fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no
infinito. [1,0 ponto]
Resolução:
(a) A carga total em qualquer região R é sempre dada por
Q[R] =
∫
R
ρ(r)dV .
Então, no caso da bola, temos que sua carga total Q será simplesmente
Q =
∫ R
r=0
ρ(r)4πr2dr
= 4πA
∫ R
r=0
r4dr ,
ou
Q =
4
5
πAR5 .
(b) Devido à simetria esférica, o vetor campo elétrico criado pela bola só terá componente radial, componente
esta dependente somente da distância r. Logo, convém calcularmos o campo pela lei de Gauss; como
gaussiana, adotamos uma superf́ıcie esférica concêntrica com a bola carregada e de raio genérico r. O fluxo
através dela será
ΦE[S] :=
∮
S
E · n̂dA
=
∮
S
Er(r)r̂ · r̂dA
= Er(r)
∮
S
dA
= 4πr2Er(r) .
Para aplicarmos, de fato, a lei de Gauss, precisamos, agora, calcular a carga no interior da gaussiana; para
tanto, temos duas possibilidades:
• R ≤ r < ∞:
Nesse caso,
Qint = Q .
Portanto, pela própria lei de Gauss, vem
E = Er(r)r̂ =
1
4πǫ0
Q
r2
r̂ =
AR5
5ǫ0r2
r̂ .
4
• 0 ≤ r ≤ R:
Nesse caso,
Qint =
∫ r
r′=0
Ar′24πr′2dr′
=
4
5
πAr5 .
Portanto, pela própria lei de Gauss, novamente, vem
E =
Ar3
5ǫ0
r̂ =
Q
4πǫ0
r3
R5
r̂ .
(c) Calcularemos o potencial V (r), num dado ponto de coordenada radial r, por integração, a partir do
infinito, do campo elétrico deduzido no item anterior. Teremos, pois, duas possibilidades:
• R ≤ r < ∞:
Nesse caso,
V (r) − V (∞) = −
∫ r
r=∞
Er(r)dr .
Como V (∞) = 0, isso implica
V (r) =
1
4πǫ0
Q
r
=
AR5
5ǫ0r
.
• 0 ≤ r ≤ R:
Nesse caso,
V (r) − V (R) = −
∫ r
r=R
Er(r)dr .
Como, da última equação, V (R) = Q/(4πǫ0R) = AR
4/(5ǫ0), isso implica
V (r) −
AR4
5ǫ0
=
A
20ǫ0
(R4 − r4) ,
ou seja,
V (r) = −
A
20ǫ0
(r4 − 5R4) = −
Q
16πǫ0R5
(r4 − 5R4) .
�
5
6
P1/P1_2010-1.pdf
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F́ısica
F́ısica III – 2010/1
Primeira Prova (P1) – 13/05/2010
Versão: A
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Seção Nota original Iniciais Nota de revisão
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questão 1
Parte discursiva: Questão 2
Total
INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de doze (12) questões objetivas, perfazendo um total de 5,0 pontos, sendo sete (7) questões
de múltipla escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, e cinco (5) questões de verdadeiro ou falso,
cada uma das quais valendo 0,3 ponto, essas últimas com penalização tal que uma resposta
errada cancela uma correta.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitúıda por duas (2) questões discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formulário
F
e
= qE , E =
1
4πǫ0
q
r2
r̂ ,
∮
S
E ·n̂ dA = Qint
ǫ0
,
∮
C
E ·dℓ = 0 , E = −∇V , U = 1
4πǫ0
qq′
r
C = Q/V
1
Seção 1. Múltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Considere um triângulo equilátero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus vértices,
há part́ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opções
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em função de q, para que a energia eletrostática
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .
(e) Isso é imposśıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
2. Dois capacitores, de capacitâncias C1 e C2 = 2C1,
são ligados em série a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A razão, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a razão, V1/V2, entre as diferenças de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores são,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
3. Na figura a seguir, temos duas part́ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q está
envolvida por uma superf́ıcie (gaussiana) cúbica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, também de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part́ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo elétrico so-
bre toda a superf́ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo elétrico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial elétrico num dos
vértices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas são, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
A figura a seguir refere-se às questões 4 e 5. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma seção transversal (plana)
de um objeto condutor maciço (de carga elétrica
total nula), colocado em um campo eletrostático
externo, após atingido o equiĺıbrio eletrostático.
2
4. Algumas das linhas de campo elétrico, parcial-
mente desenhadas na figura, estão erradas e não
podem corresponder a uma situação f́ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposśıvel [Atenção:
nesta questão, pode haver mais de um item correto
e cada marcação errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
5. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opção que relaciona corretamente os potenciais
eletrostáticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
6. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opção que indica as expressões corretas para o
vetor campo elétrico nas regiões (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)ẑ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)ẑ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]ẑ, [3σ/(2ǫ0)]ẑ, −[σ/(2ǫ0)]ẑ .
(d) −(σ/ǫ0)ẑ, −(3σ/ǫ0)ẑ, (σ/ǫ0)ẑ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]ẑ, [−3σ/(2ǫ0)]ẑ, [σ/(2ǫ0)]ẑ .
7. Para uma casca esférica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part́ıcula (pontual) de carga 9q
é colocada no ponto P . Quais são as expressões
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf́ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questão errada anula uma correta!)
Uma esfera não condutora de raio a tem uma distribuição de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrostático em um ponto na sua superf́ıcie depende da escolha da origem
do potencial.
Se o campo eletrostático é zero em toda uma região, então o potencial eletrostático é constante em toda
essa região.
Se o módulo do vetor campo elétrico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf́ıcie de um
condutor em equiĺıbrio eletrostático, então as cargas estão uniformemente distribúıdas em sua superf́ıcie.
Dado que a superf́ıcie de um condutor, em equiĺıbrio eletrostático, é equipotencial, então as cargas estão
uniformemente distribúıdas em sua superf́ıcie.
3
Se, num dado ponto, o campo eletrostático é zero, então o potencial eletrostático também vale zero
nesse ponto.
Seção 3. Questões discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” ciĺındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, está uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo elétrico para um ponto arbitrário na região r < a. [0,4 ponto]
4
5
2. Um fio retiĺıneo fino, de comprimento 2L, está postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio é dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrostático, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitrário do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; faça, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugestão: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, você deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo elétrico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
6
7
Gabarito para Versão A
Seção 1. Múltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Considere um triângulo equilátero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus vértices,
há part́ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opções
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em função de q, para que a energia eletrostática
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .
(e) Isso é imposśıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
2. Dois capacitores, de capacitâncias C1 e C2 = 2C1,
são ligados em série a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A razão, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a razão, V1/V2, entre as diferenças de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores são,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
3. Na figura a seguir, temos duas part́ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q está
envolvida por uma superf́ıcie (gaussiana) cúbica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, também de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part́ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo elétrico so-
bre toda a superf́ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo elétrico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial elétrico num dos
vértices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas são, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
A figura a seguir refere-se às questões 4 e 5. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma seção transversal (plana)
de um objeto condutor maciço (de carga elétrica
total nula), colocado em um campo eletrostático
externo, após atingido o equiĺıbrio eletrostático.
1
4. Algumas das linhas de campo elétrico, parcial-
mente desenhadas na figura, estão erradas e não
podem corresponder a uma situação f́ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposśıvel [Atenção:
nesta questão, pode haver mais de um item correto
e cada marcação errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
5. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opção que relaciona corretamente os potenciais
eletrostáticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
6. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opção que indica as expressões corretas para o
vetor campo elétrico nas regiões (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)ẑ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)ẑ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]ẑ, [3σ/(2ǫ0)]ẑ, −[σ/(2ǫ0)]ẑ .
(d) −(σ/ǫ0)ẑ, −(3σ/ǫ0)ẑ, (σ/ǫ0)ẑ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]ẑ, [−3σ/(2ǫ0)]ẑ, [σ/(2ǫ0)]ẑ .
7. Para uma casca esférica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part́ıcula (pontual) de carga 9q
é colocada no ponto P . Quais são as expressões
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf́ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint

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