Somatório e Produtório

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CHICHORRO, J.F.; BAUER, M.O.; SCHMIDT, P.B. – NOÇÕES BÁSICAS DE ESTATÍSTICA 
 
1 
 
I - REVISÃO DE SOMATÓRIO E PRODUTÓRIO 
 
1. SOMATÓRIO 
1.1. Introdução 
 
Os operadores somatórios são instrumentos importantes na estatística e de uso indispensável para simplificar 
a representação da operação de adição nas expressões algébricas. O somatório é representado pela letra grega 
∑ (sigma). 
A expressão ∑
=
n
1i
iX , lê-se somatório de Xi ( X índice i), com i variando de 1 até n, onde X assume cada valor 
da série, enquanto que i é o índice que determina o número de ordem (ou seqüência) de valor do somatório, ou seja: 
Para a seqüência (1, 2, 3, ..., n) podemos representar: 
 
X1 = 1 → primeiro termo; 
X2 = 2 → segundo termo; 
..................................... 
Xn = n → n-ésimo termo. 
 
Para indicarmos a soma dos Xi valores de uma seqüência, ou a soma dos valores de uma variável X, 
utilizamos o somatório. 
Assim, a soma de X1 ; X2 ;....; Xn pode ser representada por: 
 
 ; X+....+X+X X n21
n
1i
i =∑
=
onde: i = 1; 2; 3; ...; n. 
 
Para uma série de 10 valores, 1 e 10 são denominados de limites do somatório, inferior e superior, 
respectivamente. 
 
Exemplo de Aplicação: 
 
Num teste da disciplina de estatística aplicada, para uma turma de 10 alunos, observou-se o seguinte 
conjunto de notas: 
 
 X = 2; 0; 8; 10; 6; 4; 6; 5; 3; 9 
 
 Determinar: 
 
a] ∑
=
=+++++++++==
10
1
1021 53 9 3 5 6 4 6 10 8 0 2 X+....+X+X 
i
iX , Soma simples 
b] 20 10 8 0 2 X+X+X+X X 4321
4
1i
i =+++==∑
=
 
c] ∑
=
=++==
10
8
1098 17 9 3 5 X+X+X 
i
iX 
d] ∑
=
=+++=+++==
8
5
22222
8
2
7
2
6
2
5
2 113 25 36 16 36 5 6 4 6 X+X+X+X 
i
iX , Soma de quadrados (SQ) 
e] 676 (26) 6) 10 8 0 (2 X 22
25
1i
i ==++++=






∑
=
, Quadrado da soma 
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2 
 
 
1.2. Número de termos do somatório (NT) 
 
 O número de termos ou parcelas de um somatório (NT) pode ser obtido por: 
 
NT = (LS − LI) + 1 
 
 Se o somatório está sujeito a r restrições (r termos eliminados) basta fazer: 
 
NT = (LS − LI) + 1 − r 
 
1.3. Propriedades do Somatório 
 
1ª – Sendo K uma constante, o somatório de um valor constante é igual ao produto do número de termos pela 
constante, ou seja: 
 
 ∑
=
=++++=
n
1i
n.K K ... K K K K 
 
Exemplo: 
Seja o valor constante K =4, ter-se-á então: 
 
∑
=
==++++=
5
1i
20 5.4 4 4 4 4 4 4 
 
2ª - O somatório de um produto de uma constante K por uma variável que depende do somatório é igual ao 
produto do valor constante pelo somatório da variável, ou seja: 
 
 XK KX
n
1i
i
n
1i
i ∑∑
==
= 
 ∑ ∑
= =
=+++=+++==
n
1i
n
1i
nn21n21i XK )X ... X K(X KX ... KX KX KX 
 
Exemplo: 
 
Seja o valor constante K = 5 e { }9 ; 3 ; 5 ; 6 ; 4 6; ; 10 ; 8 ; 0 ; 2 = X , ter-se-á então: 
 
( )9 . 5 3 . 5 5 . 5 6 5. 4 . 5 6 . 5 10 . 5 8 . 5 0 5. 2 . 5 5X10
1i
i +++++++++=∑
=
 
 = =∑
=
 X5
10
1i
i 5 ( 9 3 5 6 4 6 10 8 0 2 +++++++++ ) 265. 53 . 5 == 
 
 
3ª – Sendo X e Y duas variáveis, a distributiva do somatório em relação à soma algébrica, será: 
 
 
( )
 Y X YX
n
1i
i
n
1i
i
n
1i
ii ∑∑∑
===
+=+ 
 
( )∑
=
+
n
1i
ii YX =++++++++= ) Y (X ... ) Y (X ) Y (X ) Y (X nn332211 
 ) Y ... Y Y (Y )X ... X X (X n321n321 +++++++++= 
 ∑∑
==
+=
n
1i
i
n
1i
i Y X 
 
Exemplo: 
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3 
 
 
Sejam duas variáveis X e Y, sendo essas as notas obtidas em álgebra linear por 10 alunos do curso de 
matemática. 
 
 
{ }9 ; 3 ; 5 ; 6 ; 4 6; ; 10 ; 8 ; 0 ; 2 = X
 
{ }6 ; 4 ; 1 ; 3 ; 5 7; ; 10 ; 0 ; 2 ; 8 = Y 
 
 
Tem-se então: 
 
 ∑
=
=
10
1i
i 53X e ∑
=
=
n
1i
i 46Y 
 
99 6) (9 4) (3 1) (5 3) (6 5) (4 7) (6 )10 (10 0) (8 2) (0 8) (2 ) Y (X
10
1i
ii =+++++++++++++++++++=+∑
=
 
 
4ª - O quadrado da soma é diferente da soma dos quadrados, ou seja; 
 
 







≠






∑∑
==
n
1i
2
i
2n
1i
i XX 
 
Senão vejamos: 
 
2809 53 9) 3 5 6 4 6 10 8 0 (2 X 22
210
1i
i ==+++++++++=






∑
=
 
 371 )9 3 5 6 4 6 10 8 0 (2 X 2222222222
10
1i
2
i =+++++++++=






∑
=
 
 
Portanto, 3712809 ≠ . 
 
5ª - O produto das somas é diferente da soma dos produtos, ou seja: 
 








≠
















∑∑∑
===
n
1i
ii
n
1i
i
n
1i
i Y.XY . X , comprovando a propriedade para os conjuntos X e Y, onde: 
 
 
 
{ }9 ; 3 ; 5 ; 6 ; 4 6; ; 10 ; 8 ; 0 ; 2 = X
 
{ }6 ; 4 ; 1 ; 3 ; 5 7; ; 10 ; 0 ; 2 ; 8 = Y 
 
 
 








∑
=
n
1i
iX = 53 e 







∑
=
n
1i
iY = 46, logo: 
 
 243846 . 53Y . X
10
1i
i
10
1i
i ==















∑∑
==
 
 
 267 6) . (9 4) . (3 1) . (5 3) . (6 5) . (4 7) . (6 10) . (10 0) . (8 2) . 0( 8) . (2 Y.X
10
1i
ii =+++++++++=






∑
=
 
 
Portanto, 2438 ≠ 267 
 
6ª - Os somatórios múltiplos de um produto são iguais ao produto dos somatórios separadamente. 
Comprovando a propriedade para um somatório duplo com os conjuntos: 
 
 
{ }9 ; 3 ; 5 ; 6 ; 4 6; ; 10 ; 8 ; 0 ; 2 = X
 
{ }6 ; 4 ; 1 ; 3 ; 5 7; ; 10 ; 0 ; 2 ; 8 = Y 
 
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4 
 
 
 
















= ∑∑∑∑
=== =
n
1j
n
1i
i
n
1i
j
n
1j
i Yj . XYX 
 
 ( ) ( ) ( )∑∑
= =
++++++++++++=
4
1i
j
4
1j
i 10.80.82.88.810.00.02.08.010.20.22.28.2YX 
 
 ( ) 40010.100.102.108.10 =+++ 
40020.20YX
4
1i
4
1i
ii ==∑∑
= =
, logo: 
 
 400 = 400. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Desenvolva os somatórios: 
a) =∑
=
n
1i
iX 
b) =∑
=
6
3i
iX 
c) =∑
=
5
1i
iX 
2) Escreva sob a forma de somatório: 
a) X1 + X2 + X3 + X4= 
b) X1 + X2 +X +...+ X7= 
c) X4 + X5 + X6 + X7= 
d) X5 + X6 +...+ X10= 
 
3) Dada a sequencia (2; 5; 7; 10; 12; 13; 15) e sendo xi o termo geral, determine os valores de X1, X2, X3, ..., X7. 
 
4) Calcule, considerando a sequencia do exercício anterior: 
 
a) =∑
=
7
1i
iX 
b) =∑
=
4
1i
iX 
c) =∑
=
7
3i
iX 
d) =∑
=
6
4i
iX 
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5 
 
2. PRODUTÓRIO 
 
O produtório é simbolizado pela letra pi (pi), do alfabeto grego. É obtido pela expressão i
n
1i
X∏
=
 e lê-se 
produtório ou o produto de Xi com i variando de 1 até n, onde i é o índice e determina o número de ordem de cada 
parcela do produto, ou seja: 
 
n321i
n
1i
X . ... . X . X . X X =∏
=
, com i = 1, 2, 3, ..., n, sendo 1 e n denominados de limites do produtório. 
 
Exemplo: 
 
Efetuar as operações seguintes para o conjunto: 
 
{ }9 ; 3 ; 5 ; 6 ; 4 ; 6 ; 10 ; 8 ; 0 ; 2 = X
 
 
 a] 0 9 . 3 . 5 . 6 . 4 . 6 . 10 . 8 . 0 . 2 X i
10
1i
==∏
=b] 1920 4 . 6 . 10 . 8 X i
6
3i
==∏
=
 
 
 c] 14400 5 . 6 . 4 X 2222i
8
6i
==∏
=
 
Fatos: 
1) b1 . b2 . .... bn = i
n
1i
b∏
=
 
2) b. b. b....b = b
n
1i
∏
=
= bn 
3) i
n
1i
n
n321
n
n21i
n
1i
XcX....X.X.XccX.....cX.cXcX
=
=
∏===∏ 
4) !nn....3.2.1i
n
1i
==∏
=
 
5) ∑∏
==
=+++==
n
1i
in21n21i
n
1i
XlogXlog...XlogXlog)X....X.Xlog(Xlog 
6) ( )( )( ) ( ) ( ) 














=== ∏∏∏
===
n
1i
i
n
1i
in321n321nn332211i
n
1i
i YX)Y......Y.Y.Y.(X.....X.X.XYX......YX.YX.YXYX 
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6 
 
 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Seja X uma variável assumindo os seguintes valores: 
 { }8 ; 4 ; 9 ; 6 ; 2 ; 1 ; 0 ; 3 ; 2 ; 5X =
 
 
a) ∑
=
10
1i
iX b) ∑
=
10
1i
2
iX c) 
210
1i
iX 






∑
=
 d) 
110
10
X
X
210
1i
i10
1i
2
i
−








−
∑
∑
=
=
 e) ( )∑
=
−
10
1i
i 4X 
 
f) ( )∑
=
−
10
1i
2
i 4X g) 
( )
110
4X
10
1i
2
i
−
−∑
=
 h) 
10
X
10
1i
i∑
=
 
 
2) Sabendo-se que ∑
=
−=
5
1i
i 6X e ∑
=
=
5
1i
2
i 12X , calcule: 
 
a) ( )∑
=
+
5
1i
i 5 X4 b) ( )∑
=
5
1i
ii 2-XX c) ( )∑
=
−
5
1i
2
i 3 X 
 
3) Desenvolver e calcular: 
 
a) ( )∑∑
= =
∗+
6
2j
3
1i
jbi b) ( )∑∑
= =
−
2
1j
5
1i
ji c) ( )∑∑
= =
+
2
0j
2
1i
23ji d) ∑∑
= =
8
0j
7
1i
cb e) ∑∑
= =
5
1j
4
1i
2i 
 
4) Utilizando os dados da Tabela abaixo, calcule: 
 
i j 1 2 3 4 
1 8 7 5 9 
2 4 0 10 2 
 
 
a) ∑
=
2
1i
1iX b) ∑
=
4
1j
j1X c) ∑∑
= =
2
1i
4
1j
ijX d) ∑
≠
=
4
3j
1j
jX e) ∑
=
3
2j
j2X f) ∑
≠
=
4
2j
1j j2X
1
 g) ∏
≠
=
4
3j
1j
j1X6 h) ∏
≠
=
4
2j
1j
j2X