EDO - Notas de aula - Herminio Ladeira 2011
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EDO - Notas de aula - Herminio Ladeira 2011


DisciplinaEquações Diferenciais Ordinárias2.313 materiais15.166 seguidores
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UNIVERSIDADE DE SA\u2dcO PAULO
INSTITUTO DE CIE\u2c6NCIAS MATEMA´TICAS DE SA\u2dcO CARLOS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA APLICADA E ESTATI´STICA
EQUAC¸O\u2dcES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS
NOTAS DE AULAS
Herminio Cassago Junior
Luiz Augusto da Costa Ladeira
SA\u2dcO CARLOS - SP
2011
Suma´rio
1 Preliminares 1
1.1 Problemas onde surgem E.D.O. . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Um Problema Geome´trico . . . . . . . . . 2
1.1.2 Um Problema Qu´\u131mico . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Problemas F´\u131sicos . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Existe\u2c6ncia e Unicidade de Soluc¸o\u2dces . . . . . . . 7
2 Equac¸a\u2dco Diferencial Linear de Primeira Ordem 15
2.1 A Equac¸a\u2dco Homoge\u2c6nea . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 A Equac¸a\u2dco na\u2dco Homoge\u2c6nea . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Algumas Aplicac¸o\u2dces . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Desintegrac¸a\u2dco radioativa . . . . . . . . . 24
2.3.2 Circuito Ele´trico . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.3 Resfriamento de um corpo . . . . . . . . . 26
i
2.3.4 Diluic¸a\u2dco de Misturas . . . . . . . . . . . . 28
2.3.5 Outras Aplicac¸o\u2dces . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Equac¸o\u2dces Lineares de Segunda Ordem 31
3.1 Teoria Geral para Equac¸o\u2dces de Segunda Ordem 33
3.2 Reduc¸a\u2dco de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Equac¸o\u2dces Homoge\u2c6neas com Coeficientes Cons-
tantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 A Equac¸a\u2dco Na\u2dco Homoge\u2c6nea . . . . . . . . . . . . 52
3.4.1 Me´todo dos Coeficientes a Determinar 55
3.4.2 Me´todo de Variac¸a\u2dco dos Para\u2c6metros (ou
Variac¸a\u2dco das Constantes) . . . . . . . . . 64
3.5 Algumas Aplicac¸o\u2dces . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5.1 Vibrac¸o\u2dces Meca\u2c6nicas . . . . . . . . . . . . . 67
3.5.2 Circuitos Ele´tricos . . . . . . . . . . . . . 70
3.5.3 Outras Aplicac¸o\u2dces . . . . . . . . . . . . . . 72
3.6 Equac¸o\u2dces de Ordem Superior . . . . . . . . . . . 73
3.7 Me´todo dos Coeficientes a Determinar . . . . 79
3.8 Me´todo de Variac¸a\u2dco dos Para\u2c6metros . . . . . . 80
4 Transformada de Laplace 82
4.1 Integrais Impro´prias . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2 A Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . 84
4.3 Algumas Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4 Transformada Inversa - Frac¸o\u2dces Parciais . . 89
4.5 Aplicac¸a\u2dco a Equac¸o\u2dces Diferenciais . . . . . . . 92
4.6 Outras Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.7 Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.7.1 Transformada de Laplace de \u3b4(t\u2212 t0) . . 98
4.8 O Produto de Convoluc¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . 100
4.9 Tabela de Algumas Transformadas . . . . . . . 103
5 Sistemas de Equac¸o\u2dces Diferenciais 105
5.1 Teoria Geral para Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2 Sistemas Lineares com Coeficientes Constantes116
5.3 Sistemas Lineares na\u2dco Homoge\u2c6neos com Coefi-
cientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.4 Me´todo da Variac¸a\u2dco dos Para\u2c6metros . . . . . . 131
5.5 Resoluc¸a\u2dco de Sistemas pela Transformada de
Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6 Equac¸o\u2dces Na\u2dco Lineares de Primeira Ordem 138
6.1 Equac¸o\u2dces Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.2 Equac¸o\u2dces com Varia´veis Separa´veis . . . . . . . 144
6.3 Fatores Integrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.4 Equac¸o\u2dces Homoge\u2c6neas . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.5 Homogeneizac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Respostas dos Exerc´\u131cios 154
Refere\u2c6ncias Bibliogra´ficas 167
Cap´\u131tulo 1
Preliminares
O objetivo deste curso e´ mostrar alguns me´todos de resoluc¸a\u2dco de
alguns tipos de equac¸o\u2dces diferenciais que aparecem mais frequ¨ente-
mente.
Uma equac¸a\u2dco diferencial e´ uma relac¸a\u2dco que envolve uma \u201cfunc¸a\u2dco
inco´gnita\u201d e suas derivadas ou diferenciais. Por exemplo:
(1) y\u2d9(t) = f(t), em que y\u2d9 denota
dy
dt
.
(2) y¨(t) + y(t) = 0.
(3) y(3)(t) + (sen t) y¨(t) + 5 t y(t) = 0.
(4)
\u22022 u(t, x)
\u2202 t2
+
\u22022 u(t, x)
\u2202 x2
= 0.
(5) M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0.
Uma equac¸a\u2dco diferencial ordina´ria (E.D.O.) e´ uma equac¸a\u2dco di-
ferencial na qual a func¸a\u2dco inco´gnita depende apenas de uma varia´vel.
1
Preliminares Cap. 1 Onde surgem E.D.O. 2
As equac¸o\u2dces (1), (2), (3) e (5) acima sa\u2dco exemplos de equac¸o\u2dces dife-
renciais ordina´rias. Se a func¸a\u2dco inco´gnita depender de mais de uma
varia´vel, temos uma equac¸a\u2dco diferencial parcial (E.D.P.). E´ o caso
da equac¸a\u2dco (4). Estaremos interessados exclusivamente nas E.D.O.\u2019s.
A ordem de uma equac¸a\u2dco diferencial e´ a ordem da mais alta
derivada da func¸a\u2dco inco´gnita. Portanto, (1) e´ uma equac¸a\u2dco de primeira
ordem, (2) e´ de segunda ordem e (3) e´ de terceira ordem.
Uma soluc¸a\u2dco de uma equac¸a\u2dco diferencial e´ uma func¸a\u2dco definida
num intervalo que, juntamente com suas derivadas, satisfaz a equac¸a\u2dco
diferencial dada. Por exemplo, a func¸a\u2dco y(t) = sen t e´ uma soluc¸a\u2dco da
E.D.O. de segunda ordem y¨ + y = 0, pois,
d2 sen t
dt2
+ sen t = \u2212 sen t+ sen t = 0.
Verifique que, para cada c \u2208 R, a func¸a\u2dco yc(t) = c ek t e´ uma
soluc¸a\u2dco da E.D.O. de primeira ordem y\u2d9 = k y e que yc(t) = c t e´ uma
soluc¸a\u2dco de E.D.O. de segunda ordem y¨ = 0.
1.1 Problemas onde surgem E.D.O.
1.1.1 Um Problema Geome´trico
Determine uma curva que seja definida pela condic¸a\u2dco de ter em todos
os pontos (x, y) a inclinac¸a\u2dco
dy
dx
igual ao dobro da soma das coorde-
nadas do ponto.
Se y = y(x) e´ a equac¸a\u2dco da curva, enta\u2dco, para resolver este pro-
blema devemos resolver a equac¸a\u2dco diferencial:
dy
dx
= 2 (x+ y).
Preliminares Cap. 1 Onde surgem E.D.O. 3
1.1.2 Um Problema Qu´\u131mico
Suponha que 100 gramas de ac¸u´car de cana, em a´gua, esta\u2dco sendo
transformados em dextrose numa raza\u2dco que e´ proporcional a` quanti-
dade na\u2dco transformada. Deseja-se saber quanto ac¸u´car foi transfor-
mado apo´s t minutos.
Se q e´ o nu´mero de gramas convertido em t minutos e k e´ a cons-
tante de proporcionalidade, enta\u2dco, a equac¸a\u2dco deste problema e´ dada
por:
dq
dt
= k (100\u2212 q),
sabendo-se que q(0) = 0.
1.1.3 Problemas F´\u131sicos
1. Movimento vertical
Vamos descrever o movimento vertical de um corpo de massa m sob
a ac¸a\u2dco da gravidade em um meio que oferece resiste\u2c6ncia proporcional
a` velocidade do corpo. Deseja-se conhecer a posic¸a\u2dco do corpo num
instante t.
Seja y = y(t) a posic¸a\u2dco do corpo no instante t.
Consideremos o sentido positivo o do movimento,
isto e´, para baixo. As forc¸as que atuam sobre o
corpo de massa m sa\u2dco: mg devido a` gravidade (no
sentido do movimento) e k
dy
dt
devido a` resiste\u2c6ncia
do meio (no sentido contra´rio ao movimento).
mg
k v = k y\u2d9
m
?
6
Segue da 2a¯ lei de Newton (F = ma) que a equac¸a\u2dco do movimento
e´ dada por
m
d2y
dt2
= mg \u2212 k dy
dt
.
Preliminares Cap. 1 Onde surgem E.D.O. 4
Conhecendo y(0) = y0 e y\u2d9(0) = 0, determinamos a posic¸a\u2dco do
corpo em qualquer instante.
2. Movimento de um pe\u2c6ndulo simples
y
\u3b8
x
-
?
~m
T
x
y
mg
\u3b8 {@@@@
I
?
?
-
As forc¸as que atuam no corpo de massa m sa\u2dco a tensa\u2dco T da corda
(de comprimento `) e a forc¸a vertical mg devido a` gravidade. Se \u3b8 e´ o
deslocamento angular da corda a partir da vertical, a 2a¯ lei de Newton
nos fornece as equac¸o\u2dces:
m y¨ = mg \u2212 T cos \u3b8,
m x¨ = \u2212T sen \u3b8.
Eliminando-se T e lembrando que x = ` sen \u3b8 e y = ` cos \u3b8, obtemos a
equac¸a\u2dco do pe\u2c6ndulo
\u3b8¨ +
g
`
sen \u3b8 = 0.
Note que e´ uma equac¸a\u2dco diferencial de 2a¯ ordem.
3. Circuitos ele´tricos simples
(i) Considere o circuito da figura abaixo em que
R= resiste\u2c6ncia
I= corrente
L= induta\u2c6ncia
E= forc¸a eletromotriz
E
I
-
R
\ufffd
\ufffd\ufffd L
Preliminares Cap. 1 Onde surgem E.D.O. 5
Sabe-se que a queda de potencial atrave´s da resiste\u2c6ncia R e´ RI e
atrave´s da induta\u2c6ncia L e´