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MATRIZES Prof. Fabio L . de Oliveira 1 1. MATRIZES 1.1. Introdução Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. A= − 22 11 − = 233 112 221 B Representamos uma matriz de m linhas e n colunas por: 2. TIPOS DE MATRIZES 2.1. Matriz Quadrada È aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n) − = 233 112 221 B Chama-se diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n o conjunto dos elementos que têm os dois índices iguais, isto é: {aij/i =j} = {a11, a22, a33, ..., anm} Chama-se diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n o conjunto dos elementos que têm soma dos índices igual a n + 1,isto é: {aij/ i + j = n + 1} = {a1n, a2n-1, a3,n-2, ..., n} Exemplos: 1. A matriz M = − − − 321 546 798 é quadrada de ordem 3. Sua diagonal principal é {8, 4, 3} e sua diagonal secundária é {-7, 4, -1} 2. A matriz M = −−−− −− 6543 2198 7654 3210 é quadrada de ordem 4, sua diagonal principal é {0,5,-1,-6} e sua secundária é {3,6,9,-3} 2.2. Matriz Nula É aquela em que aij = 0, para todo i e j. (Também indicada por Φ) Ex.: MATRIZES Prof. Fabio L . de Oliveira 2 = 00 00 A 2.3. Matriz Coluna E aquela que possui uma única coluna (n=1) Ex.: − 3 4 1 e y x 2.4. Matriz Linha È aquela onde m = 1. [ ]431 − 2.5. Matriz Diagonal É uma matriz quadrada (m=n) onde aij =0, para i ≠j, isto é, os elementos que não estão na diagonal são nulos. A = 100 050 001 2.6. Matriz Identidade É aquela em que aij = 1 para i=j e aij = 0, para i≠j. I3 = 100 010 001 I2= 10 01 2.7. Matriz Triangular Superior É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, m = n e aij = 0, para i >j. 44 3433 242322 14131211 000 00 0 a aa aaa aaaa Exemplos: A= − − 300 410 012 B = 10 ba 2.8. Matriz Triangular Inferior É aquela em que m = n e aij = 0 para i < j. MATRIZES Prof. Fabio L . de Oliveira 3 44434241 333231 2221 11 0 00 000 aaaa aaa aa a Exemplos: A = − 421 011 002 B = cb a 0 2.9. Matriz Transposta Se A é uma matriz Amxn = (aij), então sua transposta é dada por A’ = A’=At = (aji) = 102 321 A , a transposta é A’ = At = 13 02 21 PROPRIEDADES: I) A’’ = A, isto é, a transposta da transposta de uma matriz é ela mesma. II) (A + B)’ = A’ + B’, a transposta de uma soma é igual à soma das transpostas. III) (kA)’ = kA, onde k é qualquer escalar. IV) (AB)t = BtAt (A transposta de um produto de um número qualquer de matrizes é igual ao produto de suas transpostas em ordem inversa.) V) Uma matriz é simétrica se, e somente ela é igual à sua transposta, isto é, se, e se somente se A = A’. (Observe a matriz A abaixo) 2.10. Matriz Simétrica È aquela onde m = n e aij = aji. − − 501 023 134 Se A e B são matrizes simétricas de mesmo tamanho e se k é um escalar qualquer, então: I) At é simétrica II) kA é simétrica III) A + B e A – B são simétricas 2.11. Matriz anti-simétrica Chama-se matriz anti-simétrica toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que At = - A Exemplos: − 0 0 a a , −− − 0 0 0 cb ca ba MATRIZES Prof. Fabio L . de Oliveira 4 2.12. Matriz Escalar A matriz diagonal que tem os elementos aij iguais entre si para i = j é uma matriz escalar. Exemplo: = 500 050 005 A 3. TRAÇO DE UMA MATRIZ Se A é uma matriz quadrada, então o traço de A, denotado por tr(A), é definido pela soma das entradas (elementos) na diagonal principal de A. O traço não é definido se A não é uma matriz quadrada. Exemplos: A = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa B = − − − − 0124 3721 4853 0721 tr(A) = a11 + a22 + a33 tr(B) = -1 + 5 + 7 + 0 = 11 4. OPREÇÕES COM MATRIZES 4.1.Adição Exemplo: − = ++ −+−+ = − + − 54 42 2322 )3(111 22 31 32 11 Propriedades da Adição I) A + B = B + A (Comutativa) II) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (Associativa) III) A + 0 = 0 + A = A (Elemento Neutro) IV) A + (-A) = 0 (oposta) Onde 0 é matriz mula mxn. Também usa-se Φ para indicar a matriz nula.(Φ denomina-se Phi) Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn,, chama-se diferença A – B, a matriz soma de A com a oposta de B: A + (-B) 4.2.Multiplicação por escalar Dada uma matriz A= (aij) e um número real k, então definimos uma nova matriz. MATRIZES Prof. Fabio L . de Oliveira 5 k.A = [kaij]mxn Exemplo: − −− = − − 62 204 31 102 2 PROPRIEDADES: Dadas duas matrizes A e B de mesma ordem mxn e números k, k1 e k2, temos: I) k(A + B) = kA + kB II) (k1 + k2)A = k1A + k2A III) 0.A = 0, isto é, se multiplicarmos o número zero por qualquer matriz A, teremos a matriz nula. IV) k1(k2A) = (k1k2)A 4.3.Multiplicação de Matrizes Sejam A = (aij)mxn e B = (brs)nxp, definimos AB = (Cuv)mxp Observações: I) Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda, isto é, n = 1. Além disso, a matriz-resultado C = AB será de ordem mxp; II) O elemento cij (i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz-produto) é obtido, multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da e j-ésima coluna da segunda matriz, e somando estes produtos. PROPRIEDADES: I) Em geral AB ≠ BA (podendo mesmo um dos membros estar e o outro não). Exemplo: Sejam A = − −− − 012 123 111e B = 321 642 321 Então AB = 000 000 000 e BA = −− −− −− 1611 21222 1611 Note que AB = 0, sem que A = 0 ou B = 0 II) AI = IA = A III) A(B + C) = AB + AC (distributiva à esquerda) IV) (A + B)C = AC + BC (distributiva à direita) V) (AB)C = A(BC) (Associativa) VI) 0.A = A.0 = 0 VII) (AB)t = BtAt MATRIZES Prof. Fabio L . de Oliveira 6 Exemplo: 1) 2) − 40 11 . 35 24 12 = OBS.: Sejam as matrizes A1x4 e B4x2: [ ]5234=A e = 43 75 24 16 B , existe o produto C = AB pois: A1x4 e B4x2 O produto será C1,2 pois: A1x4 e B4x2 C1,2 = [ ]4461 EXERCÍCIOS BÁSICOS SOBRE OPERÇÕES COM MATRIZES 1. Considere as matrizes: −= 11 21 03 A − = 20 14 B = 513 241 C −= 423 101 251 D −= 314 211 316 E , Calcule quando possível: 2. Usando as matrizes do exercício 1, calcule quando possível: MATRIZES Prof. Fabio L . de Oliveira 7 3. Usando as matrizes o exercício 1,calcule quando possível: RESPOSTAS: 1. a) − 737 312 567 b) − −− −− 111 110 145 c) − 55 105 015 d) −−− −−− 35721 14287 e) não definida f) − − 4010 642 8622 g) −−− −− −−− 301233 1569 242139 h) 00 00 00 i) 5 j) -25 k) 168 l) não definida 2. a) 753 427 b) −− − −− 111 114 105 c) −− − −− 111 114 105 d) não definida e) − 4 9 4 3 0 4 9 3 2 4 1 f) − 01 10 g) − −− − 610 4213 119 h) −−− − 641 121 0139 3. a) − − 14 54 312 b) não definida c) − 637836 21312 7510842 d) − 13177 171111 9453 e) − 13177 171111 9453 f) 3517 1721 g) − 8112 1120 h) − 16824 142048 9612 i) 61 j) 35 k) 28 MATRIZES Prof. Fabio L . de Oliveira 9 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1. Sejam − = 112 321 A − = 103 102 B − = 4 2 1 C ( )12 −=D . Encontre: a) A + B b) AC c) BC d) CD e) DA f) DB g) -A h)-D 2. Qual é o valor de c23 na multiplicação das matrizes abaixo? = − −− − − − − 44434241 34333231 24232221 14131211 2252 4515 21 44 25 21 cccc cccc cccc cccc 3. Considere a multiplicação de matrizes 3x3 abaixo, em que os pontos de interrogação representam coeficientes desconhecidos: = −− −− − − − 333231 232221 131211 784 ?5? ?95 ?4? 27? 489 ccc ccc ccc Só possível determinar um coeficiente da matriz produto. Qual é ele e qual é o seu valor? 4. Suponha que A, B, C, D e E sejam matrizes dos seguintes tamanhos: A4x5 B4X5 C5X2 D4X2 E5X4 Determine quais das seguintes expressões matriciais estão definidas. Para as que estão definidas, dê o tamanho da matriz resultante. a) BA b) AC + D c) AE + B d) AB + B e) E(A + B) f) E(AC) g) ETA h) (AT + E)D 5. Resolva as seguintes equações: a) − = − 95 75 22 13 dc ba b) − = − 95 75 22 31 dc ba 6.Ache x, y, z, w tais que: = 10 01 43 32 wz yx MATRIZES Prof. Fabio L . de Oliveira 10 7. Mostre que não existem x, y, z, w tais que: = 10 01 00 01 wz yx 8. . Existem x, y, z, w tais que = 10 01 11 11 wz yx ? 9. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial.A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela: 1358256 21912187 17716205 int Colonial eoMediterrân Moderno TijoloaTVidroMadeiraFerro a) Se ele pretende construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregados. b) Suponha que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente 15, 8, 5, 1 e 10. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa? c) Qual é o custo total do material empregado? 10. Se A é uma matriz simétrica, então A – A’ = ________ 11. Se A é uma matriz triangular superior, então A’ é ______ 12. Verdadeiro ou falso? a) ( ) (-A)’ = - (A’) b) ( ) (A + B)’ = B’ + A’ c) ( ) Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0 d) ( ) (k1A)(k2B) = (k1k2)AB e) ( ) (-A)(-B) = -(AB) f) ( ) Se A.B = 0, então B.A=0 13. João pesa 81 quilos. Ele quer perder peso por meio de um programa de dieta e exercícios. Após consultar a tabela 1, ele monta o programa de exercícios na tabela 2. Quantas calorias ele vai queimar por dia se seguir esse programa? TABELA 1: Calorias Queimadas por Hora ATIVIDADE ESPORTIVA Peso Andar a 3 Km/h Correr a 9 Km/h Andar de bicicleta a 9 Km/h Jogar tênis(moderado) 69 213 651 304 420 73 225 688 321 441 77 237 726 338 468 81 249 764 356 492MATRIZES Prof. Fabio L . de Oliveira 11 TABELA 2: Horas por Dia para Cada Atividade PROGRAMA DE EXERCÍCIOS Andar a 3 Km/h Correr a 9 Km/h Andar de bicicleta a 9 Km/h Jogar tênis(moderado) Segunda-feira 1 0 1 0 Terça-feira 0 0 0 2 Quarta-feira 0,4 0,5 0 0 Quinta-feira 0 0 0,5 2 Sexta-feira 0,4 0,5 0 0 14. Uma empresa fabrica três produtos. Suas despesas de produção estão divididas em três categorias. Em cada uma dessas categorias, faz-se uma estimativa do custo de produção de um único exemplar de cada produto. Faz-se, também, uma estimativa da quantidade de cada produto a ser fabricado por trimestre. Essas estimativas são dadas nas Tabelas 3 e 4. A empresa gostaria de apresentar a seus acionistas uma única tabela mostrando o custo total por trimestre de cada uma das três categorias: matéria-prima, pessoal e despesas gerais. Monte esta tabela. TABELA 3: Custo de Produção por Item GASTOS PRODUTO A B C Matéria-prima 0,10 0,30 0,15 Pessoal 0,30 0,40 0,25 Despesas gerais 0,10 0,20 0,15 TABELA 4: Quantidade Produzida por Trimestre ESTAÇÃO VERÃO OUTONO INVERNO PRIMAVERA A 4000 4500 4500 4000 B 2000 2600 2400 2200 C 5800 6200 6000 6000 15. Um projeto de pesquisa alimentar conta com a participação de adultos e crianças de ambos os sexos. A composição dos participantes no projeto é dada pela matriz: O número de gramas diários de proteínas, gordura e carboidratos consumido por cada criança e cada adulto é dado pela matriz: a) Quantos gramas de proteína são consumidos diariamente pelos homens que participam do projeto? MATRIZES Prof. Fabio L . de Oliveira 12 b) Quantos gramas de gordura são consumidos diariamente pelas mulheres que participam do projeto? 16. Um fabricante faz dois tipos de produtos, P e Q, em cada uma de duas fábricas X e Y. Ao fazer esses produtos, são produzidos dióxido de enxofre, óxido nítrico e partículas de outros materiais poluentes. As quantidades de poluentes produzidas são dadas (em quilos) pela matriz: Leis federais e estaduais exigem a remoção desse poluentes. O custo diário para remover cada quilo de poluente é dado (em dólares) pela matriz: Qual o significado da matriz AB? Respostas: 1. a) − 015 421 b) − 4 15 c) 1 6 d) − − − 48 24 12 e) ( )730 f) ( )107− g) −− −−− 112 321 g) ( )12− 2) 21 3) c12 4) a) não definida b) 4x2 c) não definida d) não definida e) 5x5 f) 5x2 g) não definida h) 5x2 MATRIZES Prof. Fabio L . de Oliveira 13 5) a) 41 23 b) − 8 23 8 5 8 13 8 25 6. − − 23 34 9. a) [ ]388158260526146 b) 465 528 492 c) [ ]11736 13. 14.
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