Aula 08 alogamento das barras

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Estruturas de Concreto I 
Profa. Jamires Praciano 
jamirescordeiro@gmail.com 
Simbologia NBR 6118 
 c = concreto/compressão; 
 t = tração; 
 S = solicitações 
 s = aço (steel) 
 f = resistência 
 k = característica 
 d = de projeto ou de cálculo 
 y = escoamento do aço 
 F = ações 
 e = deformação específica 
 gf = coeficientes de ponderação das ações ou solicitações ou resistência do material 
 g = permanente 
 q = variável 
2 
 Determinar o valor do momento de cálculo a ser considerado no 
dimensionamento de uma viga de concreto armado, dados: 
 Mg1 = 12 kNm (peso próprio) 
 Mg2 = 3 kNm (revestimento) 
 Mq = 6 kNm (carga acidental de uso) 
 Mv =  3 kNm (vento) 
 Mt = 2 kNm (temperatura) 
 Me = 1,5 kNm (recalque de apoio) 
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Exemplo 01 
 Determinar o valor do momento de cálculo a ser considerado no 
dimensionamento de uma viga de concreto armado, dados: 
 Mg1 = 12 kNm (peso próprio) – Carga permanente direta 
 Mg2 = 3 kNm (revestimento) – Carga permanente direta 
 Mq = 6 kNm (carga acidental de uso) – Carga variável direta 
 Mv =  3 kNm (vento) – Carga variável direta 
 Mt = 2 kNm (temperatura) – Carga variável indireta 
 Me = 1,5 kNm (recalque de apoio) – Carga permanente indireta 
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Exemplo 01 
𝐹𝑑 = 𝛾𝑔 ∙ 𝐹𝑔𝑘 + 𝛾e𝑔 ∙ 𝐹e𝑔𝑘 + 𝛾𝑞 ∙ 𝐹𝑞1𝑘 + 0𝑗 ∙ 𝐹𝑞𝑗𝑘 + 𝛾e𝑞 ∙ 0𝜀 ∙ 𝐹e𝑞𝑘 
 
M𝑑 = 𝛾𝑔 ∙ (12 + 3) + 𝛾e𝑔 ∙ (1,5) + 𝛾𝑞 ∙ 6 + 0𝑗 ∙ 3 + 𝛾e𝑞 ∙ 0𝜀 ∙ 2 
 
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Exemplo 01 
M𝑑 = 𝛾𝑔 ∙ (12 + 3) + 𝛾e𝑔 ∙ (1,5) + 𝛾𝑞 ∙ 6 + 0𝑗 ∙ 3 + 𝛾e𝑞 ∙ 0𝜀 
 
𝑀𝑑 = 1,4 ∙ (12 + 3) + 1,2 ∙ (1,5) + 1,4 ∙ 6 + 0,63 + 1,2 ∙ 0,6 ∙ 2 
 
Md = 35,16 kNm 
 
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Exemplo 01 
Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão 
normal 
 Equacionamento para concretos até C50 com seções retangulares 
 
 O problema é o seguinte: Conhecidos fck, bw, d, fyd e eyd e o momento de 
cálculo Md (Md = 1,4  M), determinar a área da armadura longitudinal 
necessária As para que um elemento de concreto armado de seção 
transversal retangular resista a esse momento. 
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1) Equilíbrio das forças atuantes normais à seção transversal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝐹 = 0 → 𝐹𝑠 − 𝐹𝑐 = 0 → 𝐹𝑠 = 𝐹𝑐 
Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão 
normal 
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Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão 
normal 
2) Equilíbrio dos momentos: O momento das forças internas em relação a qualquer 
ponto (aqui adotado o C.G. da armadura) deve ser igual ao momento externo de 
cálculo: 
 𝑀 = 𝑀𝑑 → 𝑀𝑑 = 𝐹𝑐 ∙ 𝑧 
 
 
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Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão 
normal 
Fc = Fs 
Md = Fc  z 
 
Logo: Md = Fs  z 
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Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão 
normal 
3) Posição da Linha Neutra (x): Conhecendo a LN é possível saber o domínio em que a peça está 
trabalhando e calcular a resultante das tensões de compressão no concreto (Fc) e o braço de 
alavanca (z). 
𝐹𝑐 = 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 0,8 ∙ 𝑥 
𝑧 = 𝑑 − 0,4 ∙ 𝑥 
 
Substituindo na equação do momento Md, temos: 
𝑀𝑑 = 𝐹𝑐 ∙ 𝑧 = 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 0,8 ∙ 𝑥 ∙ 𝑑 − 0,4 ∙ 𝑥 
Simplificando: 
𝑀𝑑 = 0,68 ∙ 𝑥 ∙ 𝑑 − 0,272 ∙ 𝑥² ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑 
 
A linha neutra (x) é dada por 
𝑥 =
0,68 ∙ 𝑑 ± 0,68 ∙ 𝑑 2 − 4 ∙ 0,272 ∙
𝑀𝑑
𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑
0,544
 
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Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão 
normal 
4) Cálculo da área necessária de armadura: Encontrado o valor de x e sabendo que a 
força na armadura Fs vem do produto da área de aço As pela tensão atuante no aço fs, 
logo temos: 
𝑀𝑑
𝑧
= 𝐹𝑠 = 𝑓𝑠 ∙ 𝐴𝑠 
 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑧 ∙ 𝑓𝑠
 
Para a peça trabalhando nos domínios 2 e 3, para um melhor aproveitamento da 
armadura, tem-se es ≥ eyd, assim temos que a tensão no aço é a de escoamento (fs = fyd). 
Caso contrário, consultar o valor no diagrama de tensão x deformação e calcular fs, 
porém a peça estaria no domínio, o que não é permitido por norma. Assim: 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑧 ∙ 𝑓𝑦𝑑
 
 
 
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Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão 
normal 
5) Verificação do domínio em que a peça atingirá o ELU 
 Relação entre deformações: como as seções permanecem planas após a 
deformação, por semelhança de triângulos ABC e ADE do diagrama de 
deformações, é possível obter a relação entre a posição da linha neutra (x) e 
a altura útil (d): 
 
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Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão 
normal 
 Posição da LN: No limite do domínio 2 com 3, a deformação específica do 
concreto é ec = 3,5‰ (0,0035), aplicando na equação anterior, temos: 
 
𝑥
𝑑
=
0,0035
0,0035 + 𝜀𝑠
 
 
 
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Linha Neutra no Limite do Domínio 2 e 3 
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0 
𝑥
𝑑
=
0,0035
0,0035 + 𝜀𝑠
 
 
es = 10‰ = 0,0010 
 
Logo: 
𝑥
𝑑
=
0,0035
0,0035+0,010
 
 
0  
𝑥
𝑑
 0,259  Domínio 2 
 
Linha Neutra no Limite do Domínio 3 e 4 
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0 
Aqui, o limite vai depender do 
tipo de aço e seu patamar de 
escoamento eyd: 
 
Aço CA25: 
𝑥
𝑑
=
0,0035
0,0035+ 0,00104
 
 
𝑥
𝑑
= 0,7709 
Assim: 
 
0,259 
𝑥
𝑑
 0,7709 Domínio 3 
 
𝑥
𝑑
  0,259  Domínio 2 
Linha Neutra no Limite do Domínio 3 e 4 
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0 
Aqui, o limite vai depender do 
tipo de aço e seu patamar de 
escoamento eyd: 
 
Aço CA50: 
𝑥
𝑑
=
0,0035
0,0035+ 0,00207
 
 
𝑥
𝑑
= 0,6283 
Assim: 
 
0,259 
𝑥
𝑑
 0,6283 Domínio 3 
 
0 <
𝑥
𝑑
  0,259  Domínio 2 
CUIDADO!!! 
Embora o limite dos domínios 3 e 4 vá até 
 
x/d = 0,7709 no CA25 e 
x/d = 0,6283 no CA50 
 
domínio 3, a recomendação da Norma 6118:2014 é que se use a 
relação x/d = 0,45, no máximo, por causa da ductilidade da 
peça. 
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Exemplo 01 
Para uma seção retangular de concreto 
armado com bw = 0,12m e d = 0,29m sob a 
ação de um momento fletor M = 12,2 kNm, 
determinar a quantidade de armadura 
longitudinal As necessária. Dados: fck = 20 
MPa; Aço CA50. 
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Exemplo 01 
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Determinar o momento de cálculo: 
Md = 1,4M = 1,4 12,2 = 17,08 kNm 
 
Resistência do concreto: 
fck = 20 MPa ou 20.000 kN/cm² 
fcd = fck/1,4 = 20/1,4 = 14,29 MPa ou 14.290 kN/cm
2 
 
Resistência do aço: 
Aço CA50: fyd = fyk/1,15 = 500/1,15 = 434,78 MPa ou 43,478 kN/cm
2 
Exercício 01 
𝑀𝑑 = 0,68 ∙ 𝑥 ∙ 𝑑 − 0,272 ∙ 𝑥² ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑 
17,08 = (0,68  x  0,29 -0,272  x²)  0,12  
20.000
1,4
 
 
Isolando x, temos: 
𝑥 =
0,68 ∙ 𝑑 ± 0,68 ∙ 𝑑 2 − 4 ∙ 0,272 ∙
𝑀𝑑
𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑
0,544
 
 
𝑥 =
0,68 ∙ 0,29 ± 0,68 ∙ 0,29 2− 4 ∙ 0,272 ∙
17,08
0,12 ∙ 20.000/1,4
0,544
 
x1 = 0,6705m e x2 = 0,0545m 
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kN/cm² 
Exercício 01 
Qual solução adotar??? 
x1 = 0,6705m está com a LN passando fora da seção transversal, não atendendo ao caso de flexão 
simples, assim, o valor correto é x2 = 0,0545m. 
 
Em qual domínio está minha peça? 
x/d = ? 
x/d = 0,0545/0,29 
x/d = 0,188 
 
Para o Aço CA50: 
0  
𝑥
𝑑
  0,259  Domínio 2 
 
0,259 
𝑥
𝑑
 0,6283 Domínio 3 
 
A peça está no domínio 2! 
 
 
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Exercício 01 
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O ELU é caracterizado pela 
deformação es = 10‰; 
 
A reta de deformação gira em 
torno do ponto A (es = 10‰); 
 
O concreto não alcança a 
ruptura (ec  3,5 ‰); 
 
A LN corta a seção 
transversal; 
 
A seção resistente é compostapor aço tracionado e concreto 
comprimido. 
Exercício 01 
 Cálculo do braço de alavanca z: 
 
z = d – 0,4x 
z = 0,29 – 0,4 0,0545 
z = 0,27m 
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Exercício 01 
 Cálculo da armadura As: 
 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑧 ∙ 𝑓𝑦𝑑
 
 
𝐴𝑠 =
17,08
0,27 ∙ 43,478 
 
𝐴𝑠 =
17,08
11,74
 
 
𝐴𝑠 = 1,47 𝑐𝑚
2 
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kN/cm² 
Exercício 01 
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h 
cnom 
cnom 
Qual aço escolher 
e como posicionar 
dentro da viga? 
Exercício 01 
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1 barra 6.3 0,312 cm² 
 x barras 1,46 cm² 
 
x = 4,67 barras  ADOTAR: 5 barras 
1 barra 8.0 0,503 cm² 
 y barras 1,46 cm² 
 
y = 2,90 barras  ADOTAR: 3 barras 
1 barra 10.0 0,785 cm² 
 y barras 1,46 cm² 
 
y = 1,86 barras  ADOTAR: 2 barras 
Exercício 01 
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h 
cnom 
cnom 
d 
bw 
Exercício 03 
 Aumentar o momento para M = 30 kNm (Carga Permanente Direta) 
 
fck = 20 MPa 
bw = 0,12m 
d = 0,29m 
Aço CA50 
 
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Passo a passo 
1) Determinar o momento de cálculo: Md 
2) Resistência do concreto: fcd 
3) Resistência do aço: fyd 
4) Cálculo da posição da LN: 
𝑥 =
0,68 ∙ 𝑑 ± 0,68 ∙ 𝑑 2 − 4 ∙ 0,272 ∙
𝑀𝑑
𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑
0,544
 
5) Domínio x/d 
0  
𝑥
𝑑
  0,259  Domínio 2 ou 0,259 
𝑥
𝑑
 0,6283 Domínio 3 
6) Cálculo do braço de alavanca z (z = d – 0,4x) e da área de Aço 𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑧∙𝑓𝑦𝑑
 
 
 
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Exercício 03 
 Norma NBR 6118:2014 limita o x/d no Domínio 3: 
 
 x/d = 0,45 para concretos até C50 
 
 x/d = 0,35 para concretos de C50 a C90 
 
 E agora???? 
 Aumentar a altura útil d 
 Aumentar bw 
 Aumentar o fck 
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