EC Aula 04

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Estruturas de Concreto I 
Profa. Jamires Praciano 
jamirescordeiro@gmail.com 
Equacionamento para concretos de qualquer classe 
Fc = Fs 
 
Md = Fc  z 
 
Md = Fs  z 
 
𝐹𝑐 = 𝛼𝑐 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙  ∙ 𝑥 
 
𝑧 = 𝑑 − 0,5 ∙  ∙ 𝑥 
 
𝑀𝑑 = 𝐹𝑐 ∙ 𝑧 = 𝛼𝑐 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙  ∙ 𝑥 ∙ 𝑑 − 0,5 ∙ 𝜆 ∙ 𝑥 
 
𝑀𝑑 =  ∙ 𝑥 ∙ 𝑑 − 0,5 ∙ 
2 ∙ 𝑥² ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝛼𝑐 ∙ 𝑓𝑐𝑑 
 
𝑥 =
𝑑 ± 𝑑2 − 2 ∙
𝑀𝑑
𝑏𝑤 ∙ 𝑐 ∙ 𝑓𝑐𝑑

 
 
 
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Equacionamento para concretos de qualquer classe 
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Fc = Fs 
 
Md = Fc  z 
 
Md = Fs  z 
 
𝐹𝑐 = 𝛼𝑐 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙  ∙ 𝑥 
𝑧 = 𝑑 − 0,5 ∙  ∙ 𝑥 
 
𝑀𝑑 = 𝐹𝑐 ∙ 𝑧 = 𝛼𝑐 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙  ∙ 𝑥 ∙ 𝑑 − 0,5 ∙ 𝜆 ∙ 𝑥 
 
𝑀𝑑 =  ∙ 𝑥 ∙ 𝑑 − 0,5 ∙ 
2 ∙ 𝑥² ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝛼𝑐 ∙ 𝑓𝑐𝑑 
 
Exemplo 03 
Para uma seção retangular de concreto 
armado com bw = 0,12m e d = 0,29m sob 
a ação de um momento fletor M = 12,2 
kNm, determinar a quantidade de 
armadura longitudinal As necessária. 
Dados: fck = 90 MPa; Aço CA50. 
 
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Exemplo 03 
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Determinar o momento de cálculo: 
Md = 1,4M = 1,4 12,2 = 17,08 kNm 
 
Resistência do concreto: 
fck = 90 MPa ou 90.000 kN/cm² 
fcd = fck/1,4 = 90/1,4 = 64,29 MPa ou 64,29 kN/cm
2 
 
Resistência do aço: 
Aço CA50: fyd = fyk/1,15 = 500/1,15 = 434,78 MPa ou 43,478 kN/cm
2 
Exemplo 03 
c = 0,85  [1,0 – (fck – 50)/200] 
c = 0,85  [1,0 – (90 – 50)/200] 
c = 0,68 
 
 
 = 0,8 – (fck – 50)/400 
 = 0,8 – (90 – 50)/400 
 = 0,7 
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Exercício 03 
𝑥 =
𝑑 ± 𝑑2 − 2
𝑀𝑑
𝑏𝑤 ∙ 𝛼𝑐 ∙ 𝑓𝑐𝑑

 
 
𝑥 =
0,29 ± 0,292 − 2
17,08
0,12 ∙ 0,68 ∙ 90.000/1,4
0,7
 
 
x1 = 0,812 m 
x2 = 0,0164 m 
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Exercício 03 
 Verificação do domínio: 
 
x/d = ? 
x/d = 0,057 
 
Para concretos entre C50 e C90, x/d  0,35. 
 
Domínio 2 
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Exercício 03 
 Cálculo do braço de alavanca z: 
z = d – 0,5    x 
z = 0,29 – 0,5  0,7  0,0164 
z = 0,284 m 
 
 Cálculo da armadura: 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑧 ∙ 𝑓𝑦𝑑
 
𝐴𝑠 =
17,08
0,284 ∙ 43,478
 
As = 1,39 cm² 
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Redução de 0,08 cm² 
Valeu a pena? 
Quando usar concreto de alto desempenho? 
 Alta resistência à compressão. 
 
 Baixa porosidade e permeabilidade: As estruturas elaboradas com esse tipo de 
concreto são mais resistentes ao ataque de agentes agressivos, como cloretos, 
sulfatos, dióxido de carbono e maresia. 
 
 Desformas mais rápidas, diminuição na quantidade e metragem das fôrmas e 
maior rapidez na execução da obra, além de reduções do peso próprio das 
estruturas, taxa de armadura, área de fôrmas e custos. 
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No Brasil 
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• Edifício E-Tower 
 
• 162 metros de altura (da fundação ao 
topo) 
 
• São Paulo 
 
• É considerada a construção recordista 
em termos de resistência alcançada, 
atingindo a compressão de 125MPa. 
Aliás, a construção é referência para 
muitos estudos sobre o CAD no país. 
Cálculo do Máximo Momento Resistente da Seção 
 Agora, dada a seção da viga (d e bw), a resistência do concreto (fck) e o tipo de 
aço (fyd e eyd), qual o maior momento que a seção dada consegue resistir? 
 
 O momento máximo é, para concretos até C50, quando x/d = 0,45! 
 
 Metodologia: Fixar a LN em x/d = 0,45 
 Calcular o momento resistente Md 
 Calcular a armadura As 
 
 
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Exercício 04 
 Dados: d = 0,25m 
fck = 30 MPa 
Aço CA50 
bw = 0,12m 
 
Calcular o momento máximo resistente dessa seção! 
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Exercício 04 
 Sendo x/d = 0,45 ou x = 0,45  d: 
 
𝑀𝑑 = 0,68 ∙ 𝑥 ∙ 𝑑 − 0,272 ∙ 𝑥² ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑 
 
𝑀𝑑 = 0,68 ∙ 0,45 ∙ 𝑑 ∙ 𝑑 − 0,272 ∙ 0,45 ∙ 𝑑
2 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑 
 
𝑀𝑑 = 0,68 ∙ 0,45 ∙ 0,25 ∙ 0,25 − 0,272 ∙ 0,45 ∙ 0,25
2 ∙ 0,12 ∙
30.000
1,4
 
 
𝑀𝑑 = 40,32 𝑘𝑁𝑚 
Logo: M =
𝑀𝑑
1,4
= 28,80 𝑘𝑁𝑚 
 
 
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Exercício 04 
 Armadura: 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑧 ∙ 𝑓𝑦𝑑
 e 𝑧 = 𝑑 − 0,4𝑥 
 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑑 − 0,4 ∙ 0,45 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑑
 
 
𝐴𝑠 =
40,32
0,25 − 0,4 ∙ 0,45 ∙ 0,25 ∙
50
1,15
 
 
𝐴𝑠 = 4,52 𝑐𝑚² 
 
 
 
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Exercício 05 
 Dados: d = 0,25m 
fck = 30 MPa 
Aço CA25 
bw = 0,12m 
 
Calcular o momento máximo resistente dessa seção! 
 
Conclusão: É o mesmo momento, pois só depende da seção. O que irá mudar é a 
área de aço necessária, passando a ser As = 9,04 cm² 
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Cálculo do máximo momento resistente da seção 
conhecida a armadura longitudinal 
 Agora, dada a seção da viga (d e bw), a resistência do concreto (fck), a área de aço 
As e o tipo de aço (fyd e eyd), qual o maior momento que a seção dada consegue 
resistir? 
 
 A força no aço é dada por: 
𝐹𝑠 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦𝑑 
 
Para o equilíbrio de forças: Fc = Fs 
 
Como 𝐹𝑐 = 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤∙ 0,8 ∙ 𝑥 
 
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Cálculo do máximo momento resistente da seção 
conhecida a armadura longitudinal 
Como Fc = Fs: 
 
0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤∙ 0,8 ∙ 𝑥 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦𝑑 
 
Isolando x para determinar a posição da LN: 
 
𝑥 =
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦𝑑
0,68 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑
 
 
Depois de determinar x, é preciso verificar seu Domínio! 
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Cálculo do máximo momento resistente da seção 
conhecida a armadura longitudinal 
 Domínio: x/d  0,45 OK! 
 
 Cálculo do momento resistente: 
 
𝑀𝑑 = 𝐹𝑠 ∙ 𝑧 
 
𝑀𝑑 = 𝐹𝑠 ∙ 𝑑 − 0,4 ∙ 𝑥 
 
𝑀𝑑 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝑑 − 0,4 ∙ 𝑥 
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Exercício 06 
Você foi fazer um estudo estrutural de uma viga e observou que ela possui bw = 
0,12m e d = 0,20m. A área de aço dela é 2,68 cm², de aço CA50. A resistência do 
concreto é fck = 25 MPa. 
 
a) Determinar em qual Domínio está a peça; 
 
b) Determinar o momento máximo que está solicitando a viga. 
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Exercício 06 
𝑥 =
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦𝑑
0,68 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑
 
 
 
𝑥 =
2,68 ∙
50
1,15
0,68 ∙ 0,12 ∙
25.000
1,4
 
 
𝑥 = 0,08 𝑚 
 
 
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Exercício 06 
a) Domínio da viga 
 
𝑥
𝑑
= ? 
 
𝑥
𝑑
=
0,08
0,20
= 0,4 ≤ 0,45 𝑂𝐾! 
 
0,259 
𝑥
𝑑
 0,45 Domínio 3 
 
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Exercício 06 
b) Momento resistente da viga: 
 
𝑀𝑑 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝑑 − 0,4 ∙ 𝑥 
 
𝑀𝑑 = 2,68 ∙
50
1,15
∙ 0,2 − 0,4 ∙ 0,08 
 
𝑀𝑑 = 19,60 𝑘𝑁𝑚 
 
𝑀 =
𝑀𝑑
1,4
= 14,0 𝑘𝑁𝑚 
 
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Exercício 07 
Você foi fazer um estudo estrutural de uma viga e observou que ela possui bw = 
0,12m e d = 0,34m. A área de aço dela é 4,05 cm², de aço CA25. A resistência do 
concreto é fck = 25 MPa. 
 
a) Determinar em qual Domínio está a peça; 
 
b) Determinar o momento máximo que está solicitando a viga. 
 
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Exercício 07 
𝑥 =
𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦𝑑
0,68 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑
 
 
𝑥 =
4,05 ∙
25
1,15
0,68 ∙ 0,12 ∙
25.000
1,4
 
 
𝑥 = 0,06 𝑚 
 
x/d = 0,178 
 
0 
𝑥
𝑑
 0,259 Domínio 2 
 
 
 
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𝑀𝑑 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝑑 − 0,4 ∙ 𝑥 
 
𝑀𝑑 = 4,05 ∙
25
1,15
∙ 0,34 − 0,4 ∙ 0,06 
 
𝑀𝑑 = 27,81 𝑘𝑁𝑚 
 
𝑀 =
𝑀𝑑
1,4
= 19,86 𝑘𝑁𝑚