EC Aula 06

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Estruturas de Concreto I 
Profa. Jamires Praciano 
jamirescordeiro@gmail.com 
Armadura dupla - Exercício 
 Passo 5: Calcular As2 
 
𝐴𝑠2 =
𝑀2
𝑑 − 𝑑′ ∙ 𝑓𝑦𝑑
=
𝑀𝑑 −𝑀𝑙𝑖𝑚
𝑑 − 𝑑′ ∙ 𝑓𝑦𝑑
 
 
𝐴𝑠2 =
1,4 ∙ 45 − 36,19
0,29 − 0,036 ∙
50
1,15
 
 
𝐴𝑠2 = 2,43𝑐𝑚² 
 
 
 
 
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Armadura dupla - Exercício 
 Passo 6: Calcular As 
 
As = As1 + As2 
 
As = 5,93 cm² 
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3 
Armadura dupla - Exercício 
 Passo 7: Cálculo de ’s e f’s 
 
𝜀′𝑐 =
0,35 ∙ 𝑥𝑙𝑖𝑚 − 𝑑′
𝑥𝑙𝑖𝑚
 
 
𝜀′𝑐 =
0,35 ∙ 0,45 ∙ 0,29 − 0,036
0,45 ∙ 0,29
= 0,25 
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’s > yd 
f’s = fyd 
Armadura dupla - Exercício 
 Passo 8: Cálculo de A’s 
 
𝐴′𝑠 =
𝑀2
𝑑 − 𝑑′ ∙ 𝑓′𝑠
=
𝑀𝑑 −𝑀𝑙𝑖𝑚
𝑑 − 𝑑′ ∙ 𝑓′𝑠
 
 
𝐴′𝑠 =
1,4 ∙ 45 − 36,19
0,29 − 0,036 ∙
50
1,15
 
 
𝐴′𝑠 = 2,43𝑐𝑚² 
 
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5 
Detalhamento – NBR 7480 
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Detalhamento 
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h 
cnom 
cnom 
d 
bw 
d' 
Viga T 
 Mesa e parte da alma comprimida; 
 Calcula-se o momento resistido pelas abas M1 e o momento restante M2 é 
absorvido pela nervura. 
 
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Viga T 
𝑀1 = 𝐹𝑐1 𝑑 −
𝑕𝑓
2
= 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑕𝑓 ∙ 𝑏𝑓 − 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 −
𝑕𝑓
2
 
𝑀2 = 𝑀𝑑 −𝑀1 = 𝐹𝑐2 𝑑 −
𝑦
2
 
𝐴𝑠 =
𝑀1
𝑑 −
𝑕𝑓
2 ∙ 𝑓𝑦𝑑
+
𝑀2
𝐾𝑍 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑦𝑑
 
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Viga T 
Passo a passo de viga T: 
1) Calcular a geometria: a, b3, b4 e bf; 
2) Determinar x supondo a LN 
inicialmente na mesa (bw = bf) 
3) Calcular KMD e KX, encontrar x e 
verificar se ele está mesmo na mesa: x 
está na mesa se x < hf; Se x > hf a LN 
está na alma; 
4) Se x < hf: 𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝐾𝑍 ∙𝑑∙𝑓𝑦𝑑
 
5) Se x > hf: Calcular M1, M2, KMD e 
𝐴𝑠 =
𝑀1
𝑑−
ℎ𝑓
2
∙𝑓𝑦𝑑
+
𝑀2
𝐾𝑍 ∙𝑑∙𝑓𝑦𝑑
 
 
 
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Cálculo do valor de a 
 O parâmetro a depende do apoio da viga: 
 
 a = l (viga simplesmente apoiada); 
 a = 0,75l (tramo com momento em uma das extremidades); 
 a = 0,60l (tramo com momento nas duas extremidades); 
 a = 2l (tramo em balanço); 
 
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Questão Desafio: 2,0 pontos na AV1 
 Calcular a quantidade de aço na viga T, dados: 
 fck = 30 MPa; 
 Aço CA50; 
 Simplesmente apoiada; 
 Vão teórico: l = 20m 
 Carga permanente distribuída: 130 kN/m 
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150 cm 
20 cm 
160 cm 18 cm 
Detalhamento da armadura longitudinal 
 A quantidade de barras e sua posição dentro da viga devem atender as 
prescrições da norma 6118. 
 
 O Engenheiro deve ter em mente as operações de lançamento e adensamento 
do concreto, de modo a permitir que ele penetre em todos os vazios da peça e 
assegurar que o a agulha do vibrador passe entre as barras. 
 
 ABNT NBR 14931:2003 – Execução de estruturas de concreto – procedimento. 
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Detalhamento da armadura longitudinal 
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Armadura longitudinal mínima e máxima de uma seção 
 
Armadura mínima: Evitar rupturas bruscas (frágeis) 
Detalhamento da armadura longitudinal 
 Armadura máxima 
 
 A soma das armaduras de tração e compressão (As e A’s) não deve ter valor 
maior que 4% da área de concreto da seção (Ac), calculada em região fora da 
zona de emendas. 
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Armadura de pele – Vigas com h > 60cm 
 A função dessa armadura é, principalmente, minimizar os 
problemas decorrentes da fissuração, retração e variação 
de temperatura. Além disso, também diminui a abertura 
de fissuras de flexão na seção das vigas. 
 
 Esta deve ser colocada em cada face da viga com área, em 
cada face, não menor que a dada pela equação abaixo: 
 
As,pele = 0,10% de Ac 
 
OBS: As,pele deve ser composta de barras de CA50 ou CA60, não 
sendo necessária uma armadura superior a 5 cm²/m por face. 
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Espaçamento entre as barras 
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Tipo de brita Diâmetro (mm) 
Brita 0 4,8 a 9,5 
Brita 1 9,5 a 19 
Brita 2 19 a 25 
Brita 3 25 a 38 
Abertura máxima de fissuras 
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Limitação da abertura estimada das fissuras 
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Menor dos valores entre: 
𝐹𝑑𝑠𝑒𝑟 = 𝐹𝑔𝑖𝑘 + 1𝑗  𝐹𝑞1𝑘 + 2𝑗  𝐹𝑞𝑗𝑘 
Deslocamentos Limites 
 Deslocamentos-limites são valores práticos utilizados para verifi cação em serviço do estado-
limite de deformações excessivas da estrutura. Para os efeitos desta Norma, são classificados 
nos quatro grupos básicos a seguir relacionados: 
 
 aceitabilidade sensorial: o limite é caracterizado por vibrações indesejáveis ou efeito 
visual desagradável. A limitação da flecha para prevenir essas vibrações, em situações 
especiais de utilização; 
 efeitos específicos: os deslocamentos podem impedir a utilização adequada da 
construção; 
 efeitos em elementos não estruturais: deslocamentos estruturais podem ocasionar o mau 
funcionamento de elementos que, apesar de não fazerem parte da estrutura, estão a ela 
ligados; 
 efeitos em elementos estruturais: os deslocamentos podem afetar o comportamento do 
elemento estrutural, provocando afastamento em relação às hipóteses de cálculo 
adotadas. Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, seus 
efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser considerados, 
incorporando-as ao modelo estrutural adotado. 
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Deslocamentos Limites 
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Efeitos da fissuração – Modelo Simplificado de 
Branson para flecha imediata 
 Admite para todo o elemento de concreto, uma única inércia que representa os 
trechos fissurados (Estádio II) e não fissurados (Estádio I). 
 Calcula-se uma inércia média Im: 
𝐼𝑚 =
𝑀𝑟
𝑀𝑎𝑡
∙ 𝐼𝐼 + 1 −
𝑀𝑟
𝑀𝑎𝑡
𝑛
∙ 𝐼𝐼𝐼 
Para seções retangulares: 
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𝑥𝐼𝐼 =
−𝑎2± 𝑎²2 − 4𝑎1𝑎3
2𝑎1
𝑎1 = 𝑏𝑤/2
𝑎2 = 𝛼𝐸 ∙ 𝐴𝑠
𝑎3 = −𝑑 ∙ 𝛼𝐸 ∙ 𝐴𝑠
 
𝛼𝐸 =
𝐸𝑠
𝐸𝑐𝑠
 𝐼𝐼𝐼 =
𝑏 ∙ 𝑥³𝐼𝐼
3
+ 𝛼𝐸 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑥𝐼𝐼 − 𝑑 ² 
Efeitos da fissuração – Modelo Simplificado de 
Branson para flecha imediata 
 Calcula-se a rigidez equivalente (E I)eq,t0: 
 
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Efeitos da fissuração – Modelo Simplificado de 
Branson para flecha imediata 
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Efeitos da fissuração – Modelo Simplificado de 
Branson para flecha imediata 
 Por fim, a flecha imediata é dada por: 
 
𝑎 =
𝛼𝑐 ∙ 𝑝 ∙ 𝑙²
𝐸 ∙ 𝐼 𝑒𝑞
 
 
p = carga; 
l = vão da viga; 
ac = coeficiente que depende dos apoios (para vigas simplesmente apoiadas com 
carga distribuída: 5/384). 
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Passo a passo – Fissuração e Flecha Imediata 
1) Calcular ssi; 
2) Calcular aE; 
3) Calcular xII; 
4) Calcular III; 
5) Calcular Mat, ysi e ssi genérico; 
6) Calcular w; 
7) Calcular (EI)eq; 
8) Calcular a; 
9) Verificar os valores limites da norma. 
 
 
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Fluência no Concreto 
 Fluência é um fenômeno em que surgem deformações ao longo do tempo em 
um corpo solicitado por tensão constante. 
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Fluência no Concreto 
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Passo a passo – Flecha diferida 
1) Calcular t0 (data da aplicação da carga, em meses); 
2) Calcular x(t0); 
3) Calcular x() = 2 (valor fixo para idade maior que 70 meses); 
4) Calcular r’; 
5) Calcular af; 
6) Calcular a flecha total no tempo infinito: atotal, = a(1 + af) 
 
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Exemplo 
 Dados: Edifício Residencial 
fck = 20 MPa 
Aço CA-50; 
Estribo:  = 5mm 
CAA I: Cobrimento: 2,5 cm 
Desforma: 30 dias 
l = 5mbw = 15 cm 
d = 44,5 cm 
h = 50 cm 
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30 
g = 28,8 kN/m 
q = 6,4 kN/m 
216 
220 
Exemplo 
 Centro de gravidade das barras: 
 
𝑦 =
𝐴𝑠1 ∙ 𝑑1+ 𝐴𝑠2 ∙ 𝑑2 
𝐴𝑠1+ 𝐴𝑠2
 
 
𝑦 =
4 ∙ 7,8 + 6,3 ∙ 4 
4 + 6,3 
 
𝑦 = 5,5 𝑐𝑚 
 
 
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216 
220 
16 – 2cm² 
20 – 3,15 cm² 
Exemplo 
 Combinação frequente de cargas 
 
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𝐹𝑑𝑠𝑒𝑟 = 𝐹𝑔𝑖𝑘 + 1𝑗  𝐹𝑞1𝑘 + 2𝑗  𝐹𝑞𝑗𝑘 
 
𝐹𝑑𝑠𝑒𝑟 = 28,8 + 0,4 ∙ 6,4 
 
𝐹𝑑𝑠𝑒𝑟 = 31,36 kNm 
 
 
g = 28,8 kN/m 
q = 6,4 kN/m 
Exemplo 
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Mmáx d = 98 kNm 
Para encontrar xII: 
𝑥𝐼𝐼 =
−𝑎2± 𝑎²2 − 4𝑎1𝑎3
2𝑎1
 
 
𝑎1 =
𝑏𝑤
2
=
15
2
= 7,5 
 
𝛼𝐸 =
𝐸𝑠
𝐸𝑐𝑠
=
210
21
= 10 
 
𝑎2 = 𝛼𝐸 ∙ 𝐴𝑠 = 10 ∙ 4 + 6,3 = 103 
 
𝑎3 = −𝑑 ∙ 𝛼𝐸 ∙ 𝐴𝑠 = −44,5 ∙ 10 ∙ 10,3 = −4583,5 
𝑥𝐼𝐼 =
−𝑎2± 𝑎²2 − 4𝑎1𝑎3
2𝑎1
 
𝑥𝐼𝐼 =
−103 ± 103² − 4 ∙ 7,5 ∙ (−4583,5)
2 ∙ 7,5 
𝑥′𝐼𝐼 = +18,79𝑐𝑚 OK 
𝑥′′𝐼𝐼 = −32,52 𝑐𝑚 X 
 
 
 
Exemplo 
 Cálculo do momento de Inércia do Estádio II: 
 
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𝐼𝐼𝐼 =
𝑏𝑤 ∙ 𝑥³𝐼𝐼
3
+ 𝛼𝐸 ∙ 𝐴𝑠 ∙ 𝑥𝐼𝐼 − 𝑑
2 
 
𝐼𝐼𝐼 =
15 ∙ 18,79³
3
+ 10 ∙ 10,3 ∙ 18,79 − 44,5 2 
 
𝐼𝐼𝐼 = 1,01 ∙ 105
 
𝑐𝑚4 
Exemplo 
 Abertura de fissura w: 
 
 
 
 
 Cálculo do ssi: 
 
 
35 
𝜎𝑐 =
𝑀𝑦
𝐼𝐼𝐼
=
9800 𝑘𝑁𝑐𝑚 ∙ 44,5 − 18,79 𝑐𝑚
1,01 ∙ 105𝑐𝑚4
 
 
𝜎𝑐 = 2,49 𝑘𝑁/𝑐𝑚 
 
𝜎𝑠𝑖 = 𝛼𝐸 ∙ 𝜎𝑐 = 10 ∙ 2,49 = 24,9𝑘𝑁/𝑐𝑚²  Tensão no centro de gravidade 
Exemplo 
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𝑤𝑘1 =
20
12,5 ∙ 2,5
∙
264
210000
∙
3 ∙ 264
0,3 ∙ 20
2
3 
= 0,32𝑚𝑚 
𝑤𝑘2 =
20
12,5 ∙ 2,5
∙
264
210000
∙
4
0,061
+ 45 = 0,09𝑚𝑚 
𝜌𝑟𝑖 =
𝐴𝑠
𝐴𝑐𝑟𝑖
 
 
𝜌𝑟𝑖 =
3,15
(2,5 + 0,5 + 2 + 3,5) ∙ 2,5 + 0,5 + 2 + 1
 
 
𝜌𝑟𝑖 = 0,061 
Exemplo 
 Combinação quase permanente de cargas 
 
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𝐹𝑑𝑠𝑒𝑟 = 𝐹𝑔𝑖𝑘 + 2𝑗  𝐹𝑞𝑗𝑘 
 
𝐹𝑑𝑠𝑒𝑟 = 28,8 + 0,3 ∙ 6,4 
 
𝐹𝑑𝑠𝑒𝑟 = 30,72 kNm 
 
 
g = 28,8 kN/m 
q = 6,4 kN/m 
Exemplo 
38 
Mmáx d = 96 kNm 
 
 Cálculo da rigidez equivalente: (EI)eq: 
 
 
 
 
Ecs = 21000 MPa 
 
𝑀𝑟 =
𝛼∙𝑓𝑐𝑡𝐼𝑐
𝑦𝑡
 onde Ic = bh³/12, a = 1,5, fct = fck
2/3 e yt = h/2 
 
Mr = 0,02110
3 kNm 
 
 
𝐸𝐼 𝑒𝑞 = 𝐸𝑐𝑠
𝑀𝑟
𝑀𝑎
3
𝐼𝑐 + 1 −
𝑀𝑟
𝑀𝑎
3
𝐼𝐼𝐼 ≤ 𝐸𝑐𝑠𝐼𝑐 
Exemplo 
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𝐸𝐼 𝑒𝑞 = 𝐸𝑐𝑠
𝑀𝑟
𝑀𝑎
3
𝐼𝑐 + 1 −
𝑀𝑟
𝑀𝑎
3
𝐼𝐼𝐼 ≤ 𝐸𝑐𝑠𝐼𝑐 
𝐸𝐼 𝑒𝑞 = 21000
0,021.10³
96
3
0,15 ∙ 0,5³
12
+ 1 −
0,021.10³
96
3
0,00101 
 
𝐸𝐼 𝑒𝑞 = 21,33.10³ 𝑘𝑁𝑚² 
 Flecha imediata: 
 
𝑎 =
𝛼𝑐 ∙ 𝑀 ∙ 𝑙²
𝐸 ∙ 𝐼 𝑒𝑞
=
5
48
∙
96 ∙ 52
21330
= 1,2𝑐𝑚 
Exemplo 
 Flecha diferida no tempo 
 
𝛼𝑓 =
∆𝜉
1 + 50𝜌′
 
 
∆𝜉 = 𝜉 𝑡 − 𝜉 𝑡0 
 
Δ𝜉 = 2 − 0,68 
 
Δ𝜉 = 1,32 
 
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 Flecha total 
 
𝑎𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 = 𝑎 ∙ 𝛼𝑓 
 
𝑎𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 = 1,2 ∙ 1,32 
 
𝑎𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 = 1,584 
 
 
𝑎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑎 + 𝑎𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎 
 
𝑎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1,2 + 1,584 
 
𝑎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2,784 𝑐𝑚 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 NORMA 6118: 
 
 Aceitabilidade: l/250 = 500/250 = 2cm 
 
 𝑎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2,784 𝑐𝑚 
 
 Aceita? 
 
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