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Exemplos de subanéis Exemplo 1 O conjunto dos números pares é um subanel Z, pois, dado o conjunto S = {2n/ n Z }, veja que: ZnmeSyx ,, , temos x = 2n e y = 2m. Usando a proposição 1, temos que x - y = 2n - 2m = 2(n - m), onde (n - m) Z , então, x - y S xy = (2n)(2m) = 2(n2m), onde n2m Z , então, xy S . Portanto, o conjunto dos números pares é um subanel de Z. A partir desse exemplo, podemos dizer que 2Z é um subanel de Z. Exemplo 2 O conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z, pois, dado o conjunto S = {2n + 1/ n Z }, veja que: ZnmeSyx ,, , temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1 Usando a proposição 1, temos que x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m), que é um número par. Logo, onde x - y S . Portanto, o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z, ou seja, dados dois elementos de S, 1 e 3, por exemplo, note que 3 - 1 = 2 S . Exemplo 3 O conjunto 6 _ 3Z é um subanel de Z6. Veja que: 3,03,0,3,0,3,05,4,3,2,1,033 _ 6 _ Z . Usando a proposição 1, temos que 0 - 0 = 0 _ 63Z 0.0 = 0 _ 63Z 0 - 3 = 3 _ 63Z 0.3 = 0 _ 63Z 3 - 0 = 3 _ 63Z 3.0 = 0 _ 63Z 3 - 3 = 0 _ 63Z 3.3 = 9 = 3 _ 63Z Exemplo 4 Dado o conjunto S = {0, 3, 6}, observe que ele não é um subanel de Z12, pois, dados dois elementos de S, por exemplo, 3 e 6, verificamos que 3 - 6 = 3 + 6 = 9 12Z . Exemplo 5 Seja o conjunto S = Zyxyx ,/2 . Este conjunto é denotado por ZyxyxZ ,/22 e chamado, na literatura, de anel Z adjunção 2 . Vamos verificar se ele é um subanel do anel (R,+,.). Vamos considerar dois elementos do conjunto .2Z 2, 22222 .,,22 .,,22 ZbaLogo wyzxwzyxwzyxba ZwzwzbZb ZyxyxaZa ZZ 2, 2222222 ZabLogo zyxwywxzxwywzyxzwzyxab ZZ Portanto, 2Z é subanel de (R,+,.). Observação O anel ZyxpyxpZ ,/ é chamado, na literatura, de anel Z adjunção p e ele é subanel de (R,+,.). Sendo assim, podemos dizer que Z é subanel de pZ pZ é subanel de pQ pQ é subanel de R Agora, vamos verificar que pZ não é subanel de Q. Nesse caso, temos que pZ Q. Veja que podemos escrever p = (0+1. p ) Z , ou seja, p Z . Agora, podemos verificar que .Qp Suponhamos, por absurdo, que .Qp Então, podemos escrever yexyZyxonde y x p ,0,,, são primos entre si. )2(|| pwxfazendo )1(|| 22222222 222 2 2 ypypypwpywppypw xpxppyx y x p De (1) e (2) temos um absurdo, pois, x e y são primos entre si. Logo, .Qp Portanto, concluímos, pela teoria dos conjuntos, que pZ Q. Exemplo 6 O conjunto Ryx y x S ,/ 0 0 é um subanel de M2(R), pois usando a proposição 1 verificamos que dado dois elementos do conjunto S: Rwzyx w z e y x ,,,, 0 0 0 0 onde , temos: Ryzexz yz xz w z y x Rwyezx wy zx w z y x S S onde onde 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Logo, S é subanel de M2(R). Exemplo 7 O conjunto dos múltiplos de n, onde n é um elemento do conjunto N e n ≥ 2 definido por nZ = {nk / k Z } é um subanel de Z, mas não tem unidade. Vejamos: Usando a proposição 1: Sejam k1, k2 Z , onde a = nk1 e b = nk2, nZba , . a - b = nk1 - nk2 = n(k1 - k2), onde (k1 - k2) Z , então, a - b nZ ab = (nk1)(nk2) = n(nk1k2), onde nk1k2 Z , então, ab nZ Portanto, nZ é um subanel do anel (Z,+,.) Agora, observe que ele não possui unidade, pois, considerando que y = nk nZ seja a unidade de nZ, teremos yw = w, para todo w nZ . Fazendo w = n = n.1 nZ , temos yw = w → yn = n → yw.n = n → yw = 1. Isso é um absurdo, pois falamos, inicialmente, que n ≥ 2. Logo, nZ não tem unidade.
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