TRABALHO GAAV

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FACULDADE PITÁGORAS
Graduação em Engenharia de Controle e Automação e Engenharia Mecânica
Lucimara Luísa Costa
Marcos Paulo Miranda
REVISÃO DO CONTEÚDO DE GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDADO NO 
ENSINO MÉDIO
Divinópolis
2016
Lucimara Luísa Costa
Marcos Paulo Miranda
REVISÃO DO CONTEÚDO DE GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDADO NO
 ENSINO MÉDIO
Trabalho apresentado ao curso de engenharia de controle e
 automação e engenharia mecânica da faculdade Pitágoras,
como requisito parcial para obtenção de nota na matéria
geometria analítica e álgebra vetorial.
Orientadora: Kátia Aquino Santos
 Divinópolis
2016
GEOMETRIA ANALÍTICA 
1 Definição de geometria analítica e suas aplicações:
Na matemática clássica, a geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e de geometria cartesiana, é o estudo da geometria por meio de um sistema de coordenadas e dos princípios da álgebra e da análise. Ela contrasta com a abordagem sintética da geometria euclidiana, em que certas noções geométricas são consideradas primitivas, e é utilizado o raciocínio dedutivo a partir de axiomas e teoremas para obter proposições verdadeiras. É um campo matemático no qual são utilizados métodos e símbolos algébricos para representar e resolver problemas geométricos. Sua importância está presente no fato de que estabelece uma correspondência entre equações algébricas e curvas geométricas. Tal correspondência torna possível a reavaliação de problemas na geometria como problemas equivalentes em álgebra, e vice-versa; os métodos de um âmbito podem ser utilizados para solucionar problemas no outro. 
O primeiro passo para iniciar o estudo da Geometria Analítica é observar que a reta pode ser posta em correspondência bijetiva com os números reais, da seguinte maneira: escolhemos um ponto, chamado origem, para representar o zero; escolhemos uma direção em geral à direita para representar o sentido positivo e uma unidade, que representa o número 1. A partir daí, pode-se mostrar que todo número real fica representado por um ponto da reta e que todo ponto da reta representa um número real. Em seguida, para representar os pontos do plano, tomamos duas retas, que chamaremos de eixos, que se cortam perpendicularmente em um ponto. Este ponto será a origem de um sistema de coordenadas para o plano e é usualmente denotado por 0. Observe que podemos facilmente estabelecer uma bijeção entre os pontos do plano e os pares ordenados de números reais da seguinte maneira: dado um ponto P do plano, baixando duas perpendiculares a partir do ponto aos dois eixos, obtemos dois números reais. O primeiro, x0, é chamado abscissa do ponto, o segundo, y0, ordenada. Podemos assim representar o ponto P pelo par de números reais (x0, y0). Reciprocamente, dado um par de números reais (a, b) obtemos um ponto Q do plano como a interseção das paralelas aos eixos, passando pelos pontos a e b dos eixos. (Figura 1.2)
 
2 Distância entre dois pontos
Sejam A = (xA, yB) e B = (xB, yB) dois pontos distintos. Como calcular a distância d(A, B) do ponto A ao ponto B? Como os pontos são distintos, se forem iguais a distância será 
zero, vamos considerar três possibilidades: 
1) Se xA = xB e yA 6= yB, então a d(A, B) = |yA − yB|. 
2) Se xA 6= xB e yA = yB, então a d(A, B) = |xA − xB|. 
3) Se xA 6= xB e yA 6= yB, neste caso d(A, B), é a medida da hipotenusa AB do
triângulo retângulo ABC de catetos AC e BC (Fig. 2.1). Note que C = (xB, yA), 
d(A, C) = |xA − xB| e d(B, C) = |yA − yB|. Do teorema de Pitágoras obtemos: 
d(A, B) = √ (d(A, C))² + (d(B, C))² = √ (xA− xB)² + (yA − yB)²
Figura 2.1: Distância entre pontos no plano 
Exemplo: Calcule a distância entre P = (−1, 4) e Q = (3, 2). 
R. d(P, Q) = √ (−1 − 3)² + (4 − 2)² = √ 16 + 4 = √ 20.
3 Equações das retas: geral, reduzida, segmentária e paramétrica:
3.1 Equação geral
Admitamos em y = mx + q que m = -A/B e q = -C/B. Substituindo, teremos: y = -Ax/B -C/B By = -Ax -C Ax + By + C = 0 que é a equação geral da reta r.
Podemos construir a equação geral da reta utilizando duas maneiras utilização de uma forma geral dada por: y – y1 = m (x – x1).
2ª – através de uma matriz quadrada formada pelos pontos pertencentes à reta fornecida.
Exemplo 1ª forma 
Vamos determinar a equação da reta s que passa pelos pontos A(–1, 6) e B(2, –3).
Coeficiente angular da reta
m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
m = –3 – 6 / 2 – (–1)
m = –9 / 3
m = –3
y – y1 = m (x – x1).
y – 6 = –3 (x + 1)
y – 6 = –3x – 3
y – 6 + 3x + 3 = 0
y + 3x – 3 = 0
3x + y – 3 = 0
Exemplo 2ª forma 
Vamos considerar o ponto genérico P(x, y), pertencente à reta s que passa pelos pontos A(–1,6) e B(2, –3). Observe a matriz construída com as coordenadas oferecidas:
 
Diagonal principal 
x * (–6) * 1 = 6x
y * 1 * 2 = 2y
1 * (–1) * (–3) = 3
Diagonal secundária 
1* 6 * 2 = 12
x * 1 * (–3) = –3x
y * (–1) * 1 = –y
s: 6x + 2y + 3 – (12 – 3x – y) = 0
s: 6x + 2y + 3 – 12 + 3x + y = 0
s: 9x + 3y – 9 = 0 (dividindo a equação por 3)
s: 3x + y – 3 = 0
3.2 Equação reduzida:
Seja uma reta r que passa pelo ponto A ( xA, yA ) e tem uma declividade " m", y – yA = m . ( x – xA ). Daí, y – yA = mx – mxA y = mx – mxA + yA. Fazendo – mxA + yA = +q, teremos: y = mx + q que é a equação reduzida da reta r . O número real representado pela letra q é chamado coeficiente linear da reta e geometricamente, representa a intersecção da reta com o eixo das ordenadas.
Exercício:
Ache a equação reduzida da reta que passa pelos pontos P(0,1) e Q(1,2).
3.3 Equação segmentária:
Seja uma reta r não paralela aos eixos coordenados. Sejam P ( p, 0 ) Q ( 0, q ) os pontos em que essa reta intercepta o eixo das abscissas e das ordenadas, respectivamente.
Exercício:
Ache a equação segmentária da reta de equação geral 2x + 3y - 18 = 0.
R: Podemos escrever: 2x + 3y = 18 ; dividindo ambos os membros por 18 vem:
2x/18 + 3y/18 = 18/18 \ x / 9 + y / 6 = 1. Vemos portanto que p = 9 e q = 6 e portanto a reta corta os eixos coordenados nos pontos A(9,0) e B(0,6).
3.4 Equação paramétrica
Consideremos a equação reduzida de uma reta y = mx + q, Façamos x = a.t + b onde a,b ∈ R e t uma variável que chamaremos de parâmetro, variando em R. Teremos:
 y = m( at + b ) + q y = m.a.t + m.b + q. Supondo m.a = c e m.b + q = d, y = c.t + d. Resumindo, 
que são as equações paramétricas da reta. 
Também podemos expressar as equações paramétricas de uma reta por :
C (t) = ( a . t + b, c . t + d ) t ∈ R
Essas são as quatro formas da equação cartesiana de uma reta.
Exemplo:
Um móvel descreve uma trajetória retilínea e suas coordenadas em função do tempo t, são:
x = 3t + 11 
y = -6t +10 
Qual a equação segmentária dessa trajetória?
R: Multiplicando ambos os membros da 1ª equação paramétrica por 2, vem: 2x = 6t + 22. Somando agora membro a membro com a 2ª equação, obtemos: 2x + y = 32 (observe que a variável t é eliminada nessa operação pois 6t + ( -6t ) = 0 ). Dividindo ambos os membros da equação obtida por 32 fica: 
2x / 32 + y / 32 = 32 / 32 \ x / 16 + y / 32 = 1, que é a equação segmentária procurada.
4 Coeficiente angular e coeficiente linear
4.1 Coeficiente angular
Sejam x1 e x2 valores distintos da variável independente x para os quais se deseja calcular o valor correspondente de F(x). Sejam y1 = F(x1 ) e y2 = F(x2 ). Neste caso, os valores de y1 e y2 são calculados como: y1 = Ax1 + B
 y2 = Ax2 + B
Subtraindo-se a primeira equação da segunda, obtém-se:
 y2 – y1 = Ax2 – Ax1 + B – B, ou:
 y2 – y1 = A(x2 – x1 ), ou:
 A = ( y2 - y1/ x2 - x1 )
 Note que o coeficiente A foi obtido para valores arbitrários da variável independente, isto é, para quaisquer dois pares de valores (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ), o valor deste coeficiente é o mesmo, sendo denominado coeficiente angular. Isto indica que a inclinação do gráfico é uma constante, fazendo comque o mesmo seja representado por uma reta, como mostra a figura a seguir para a função y = F(x) = 5x + 2.
 Neste caso, considerando-se as definições de função crescente, decrescente e constante, pode-se chegar à seguinte conclusão: 
A função F(x) = Ax + B será: Crescente, se A > 0; Constante, se A = 0; Decrescente, se A < 0.
4.2 Coeficiente linear
 Fazendo-se x = 0 observa-se que o valor de F(x) = Ax + B = A(0) + B será igual a B, qualquer que seja o valor de A. Este valor, que corresponde ao ponto em que a função afim intercepta o eixo vertical, é denominado coeficiente linear da função afim. No exemplo anterior, o coeficiente linear é B = 2.
Exemplo coeficiente angular:
De acordo com os pontos (1,2), (-3,5), (2,6) e utilize o coeficiente angular para determinar se os três pontos são colineares.
R: Se três pontos forem colineares então os coeficientes angulares das retas determinadas por cada par deles são iguais. Reciprocamente, se os pares distintos de pontos gerarem retas com o mesmo coeficiente angular, então os três pontos são colineares. Mas ainda, sabemos que se os coeficientes angulares distinguem para pelo menos dois pares de pontos, então os pontos não são colineares.
Vejamos o que acontece no nosso caso:
Seja m1 o coeficiente angular da reta que passa por (1,2) e (-3,5). Então:
Seja m2 o coeficiente angular da reta que passa por (-3,5) e (7,10). Então:
Seja m3 o coeficiente angular da reta que passa por (1,2) e (7,10). Então:
Logo, m3 = -1/m1 e então a reta definida por (1,2) e (-3,5) e a reta definida por (1,2) e (7,10) são perpendiculares.
Temos então, que os pontos (1,2), (-3,5) e (7,10) formam um triângulo retângulo. 
5 Distância entre um ponto e uma reta
Consideramos como distância entre ponto e reta como sendo a medida da perpendicular baixada desse ponto à reta.( Ver figura abaixo ) 
Podemos calcular essa distância usando os conceitos de perpendicularismo, intersecção de retas e distância entre dois pontos como a seguir : Determine a distância entre o ponto P (1,2) e a reta de equação x + 2y – 14 = 0.
Como foi visto, esse processo é muito trabalhoso. Existe uma fórmula cuja demonstração omitiremos devido à sua complexidade, que resolve o mesmo problema com extrema facilidade Seja uma reta r Ax + By + C = 0 e um ponto A (xA, yA)
O mesmo exercício acima seria resolvido da seguinte forma: 
6 Distância entre duas retas
Sejam duas retas quaisquer r1 e r2. A distância entre elas é definida como a menor de todas as distâncias entre todos os pares possíveis de pontos formados por um ponto pertencente a reta r1 e o outro ponto pertencente a reta r2. Em linguagem matemática, dist (r1, r2) = min { dist (P1, P2) : P1 ∈ r1 e P2 ∈ r2 }.
Em particular, se as duas retas se intersectarem em um ponto ou forem coincidentes, temos dist(r1, r2) = 0. Existem duas situações possíveis em que a distância entre duas retas é diferente de zero: ou elas são paralelas mas não coincidentes, ou elas são reversas. No plano, duas retas que não o se intersectam são necessariamente paralelas. No espaço podemos ter situações em que duas retas não se tocam mas tem direções diferentes.
6.1 Distância entre Retas Paralelas 
Neste caso, a distância entre as duas retas é simplesmente a distância entre um ponto de uma reta e a outra reta. Ou seja, se r1 e r2 são duas retas paralelas, dist(r1, r2) é a distância dist(P1, r2) entre um ponto qualquer P1 ∈ r1 e a reta r2, ou também a distância dist(P2, r1) entre um ponto qualquer P2 ∈ r2 e a reta r1. 
6.2 Distância entre Retas Reversas 
Se r1 e r2 são duas retas reversas, podemos sempre encontrar planos paralelos π1 e π2 que contêm respectivamente r1 e r2. Para encontrar π1, faça uma translação de r2 até que ela intersecte r1; como r1 e r2 têm direções diferentes, esta reta translação de r2 e a reta r2 são concorrentes, logo determinam um plano que, porque contém a reta translação de r2, é paralelo a r2. Usando o mesmo procedimento podemos encontrar o plano π2. Como estes planos são paralelos a ambas as retas, eles são paralelos um ao outro. Em particular, se v1 e v2 são os vetores-direção das retas r1 e r2, o vetor N = v1 ×v2 é normal a ambos os planos π1 e π2.
Portanto, a distância entre as retas reversas r1 e r2 é exatamente a distância entre os dois planos paralelos π1 e π2. Logo, se P1 ∈ r1 e P2 ∈ r2, temos que
Exemplo retas paralelas:
Calcular a distância entre as retas:
r: 2x + 3y = 4
r’: 2x + 3y = 1
Exemplo retas reversas:
Mostre que as retas abaixo são reversas:
Temos que r1 | v1 = (1, 2, 0) e r2 | v2 = (1, 0, 1) . Como v1 e v2 não são colineares, as retas podem ser concorrentes ou reversas. Para mostrar que r1 e r2 são reversas, basta verificar que r1 ∩ r2 = ∅. Suponhamos, por absurdo, que r1 ∩ r2 6= ∅. Então existem s, t ∈ R tais que (1 + t, 2t, 0) = (2 + s, 3, 1 + s) . Igualando as coordenadas, obtemos: 1 + t = 2 + s 
2t = 3 
0 = 1 + s .
Da segunda identidade, obtemos t = 3/2 e da terceira, s = −1. Esses valores são incompatíveis com a primeira identidade, pois 1+t = 1+ 3/2 = 5/2 ≠ 1 = 2 + (−1) = 1 + s. Assim, o sistema não tem solução e os valores procurados para s e t não existem. Logo as retas r1 e r2 não se intersectam, isto é, são reversas.
7 Ângulo de duas retas
Se duas retas são paralelas, evidentemente o ângulo entre elas é 0. Se duas retas r1 e r2 são concorrentes, com vetores-direção v1 e v2, elas formam quatro ângulos, sendo que ângulos opostos são iguais, logo não há mais que dois valores diferentes. Por definição, o ângulo θ entre elas é definido como sendo o menor entre eles. Em particular, o ângulo entre duas retas nunca pode ser obtuso; ele é sempre um ângulo agudo ou no máximo um ângulo reto. Assim, ele não é em geral o ângulo entre os vetores diretores das retas (a não ser que os vetores diretores tenham sido escolhidos nas direções corretas; na figura abaixo, por exemplo, o ângulo entre os vetores diretores mostrados é obtuso, logo o ângulo entre as retas não é o ângulo entre eles). Portanto, ele pode ser calculado através da fórmula:
 O ângulo entre retas reversas pode ser definido como o ângulo entre uma destas retas e a translação da outra que é concorrente à primeira; logo, ele também é dado pela forma acima.
Exemplo:
Calcule o ângulo entre as retas:
r: 5x - 7 = 7
s: x + √3y + 2√3 = 0
REFERÊNCIAS
STEINBRUCH, A.; WINTEERLE, P. Geometria Analítica. 2ª edição, São Paulo, 1987.
AVRITZER, D. geometria analítica e álgebra linear: uma visão geométrica. Belo Horizonte: editora ufmg. 2009
SILVA, M. R. L.; GOMES, N.; JÚNIOR, D.; SILVA, A. C. G.; POLISEL, U.; SENNA, M.. Matemática para Negócios. 1ª edição. Rio de Janeiro. 2014
CAMARGO, I.; BOULOS, P. Geometria analítica um tratamento vetorial, 3ª edição. São Paulo. 2008
GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R.. Matemática 2º Grau, Vol 3, São Paulo: Editora FTD. 1992. 
DANTE, L. R.. Matemática Dante .São Paulo: Ática. 2008.
SILVA, M. N. P.. "Equação Geral da Reta "; Brasil Escola. Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-geral-reta.htm>. Acesso em 21 de maio de 2016.
Disponível em <http://comocalcular.com.br/exercicios/equacao-reduzida-da-reta-exercicios-resolvidos>. Acesso em 23 de maio de 2016
Disponível em <http://www.paulomarques.com.br/arq6-4.htm>. Acesso em 23 de maio de 2016
Introdução 
Este trabalho tem por objetivo definir alguns conceitos referentes a geometria analítica. Que são: definição de geometria analítica e suas aplicações; distância entre dois pontos; equações das retas: geral, reduzida, segmentária e paramétrica; coeficiente angular e coeficiente linear; distância entre um ponto e uma reta; distância entre duas retas e ângulo de duas retas. Apresentando definições e exemplos para melhor entendimento.
CONCLUSÃO
A geometria analítica, originou-se da ideia de unir álgebra e geometria. Num plano coordenado, podem ser localizadas retas, curvas, círculos, ou seja, todos os conceitos fundamentados na ideiaprimitiva de ponto; afinal. todas essas figuras são conjuntos de pontos.
A geometria analítica é a base de grandes campos de estudos matemáticos atualmente, mas também é muito utilizada em atividades não explicitamente matemáticas. Seja na geometria algébrica, física, geometria diferencial, engenharia e outras, ou ainda no dia a dia; como nos mapas, satélites e no moderno Sistema de Posicionamento Global, GPS, ela está presente.