Exemplos de anel de integridade

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Exemplos de anel de integridade 
 
Exemplo 1 
O anel das matrizes Mn(A) não é domínio de integridade para n ≥ 0. 
 
Exemplo 2 
Os anéis de funções definidos por AK, o conjunto de todas as funções de K em A, ou 
seja, 
AK ={f: K → A; f é função}. 
 
Não podemos garantir que esses anéis sejam domínios. Vejamos um exemplo 
clássico na literatura: 
 
A = RR = ={f: R → R}, não é domínio, pois, se considerarmos duas funções: 
f : R → R, onde f(x) = x 
g : R → R, onde g(x) = 





0,1
0,0
xse
xse 
Temos que f,g 
.0.,00,  gfmasgefRR
 
Observe que (fg)(0) = f(0).g(0) = 0.1 = 0 para x ≠ 0 
(fg)(x) = f(x)g(x) = x.0 = 0 
 
Exemplo 3 
Considerando o conjunto Z com as operações 
.0 yxeyxyx
 Este 
conjunto, com essas operações, é um anel, já que todos os axiomas do anel são 
verificados. Portanto, (Z, 
,
) é um anel. Além disso, podemos dizer que ele é um 
anel comutativo sem unidade. Nesse caso, ele não é um anel de integridade. 
 
 
 
 
 
[CM1] Comentário: Tem dois sinais de 
igual mesmo? 
 
Exemplo 4 
Quando A é um anel de integridade e B é um subanel com unidade, sempre temos 
1A = 1B, ou seja, 1B ≠ 0, como A é anel de integridade, 1B(1B - 1A) = 1B - 1B = 0 → 1A 
- 1B = 0 → 1A = 1B. Isso mostra que um subanel com unidade de um anel de 
integridade é um subanel unitário.