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1 CURSO: ENGENHARIA CIVIL – 2014.2 TURMA: 3ª SÉRIE MANHÃ E NOITE PROF.: Ms. Miguel Aquino de Lacerda Neto ALUNO (a): ___________________________________________________________________ ▶LISTA DE EXERCÍCIOS – DERIVADAS PARCIAIS/LIMITES E CONTINUIDADE 1. Aplique os acréscimos parciais e calcule as derivadas parciais das funções abaixo. a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( ) 2. Calcule as derivadas parciais das funções, aplicando as regras de derivação. ) ( ) b) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) √ e) ( ) ( ) f) ( ) ( ) g) ( ) h) ( ) ( ) i) ( ) j) ( ) l) ( ) m) ( ) √ n) ( ) o) p) ( ) q) ( ) ( ) 3. Dado que ( ), verifique que 4. Se ( ) verifique que . 5. Calcule: | | para { . 6. Calcular a derivada parcial de , para: 7. Ache a inclinação da reta tangente à curva de intersecção da superfície com o plano , no ponto ( √ ). 8. Ache a inclinação da reta tangente à curva de intersecção das superfícies √ com o plano , no ponto ( √ ). 9. Calcular o a inclinação da reta tangente à curva de intersecção entre a superfície e o plano nos pontos dados. a)A superfície e o plano no ( ). b)A superfície e o plano no ( ) c)A superfície √ e o plano no ( ) 2 10.Em cada função, determine as equações do plano tangente de cada superfície e em cada ponto dado: a) ( ) b) ( ) c) ( ) 11. Dado que , verifique que . APLICAÇÃO DAS DERIVADAS PARCIAIS 12. Determinar as derivadas parciais da função ( ) .Qual é a taxa de variação da função f na direção x no ponto P( 1;2 )? Qual é a taxa de variação da função f na direção y no ponto P(1;2)? 13. A produção de certo país nos anos seguintes à Segunda Guerra Mundial é descrita pela função ( ) unidades quando x unidades de mão-de-obra e y unidades de capital foram usadas. (a) Calcular suas derivadas parciais; (b) Qual é a produtividade marginal de mão-de-obra e a produtividade gastas em mão-de-obra e capital são de 125 unidades e 27 unidades, respectivamente? 14. A produção de um certo país sul-americano é dada pela função ( ) , quando x unidades de mão-de-obra e y unidades de capital são usadas.Calcular suas derivadas parciais de 1ª ordem. 15. A função ( ) representa a temperatura em qualquer ponto de uma chapa. Encontrar a razão de variação da temperatura em relação à distância percorrida ao longo da placa na direção dos eixos positivos x e y, no ponto (1, 2). Considerar a temperatura medida em graus e a distância em cm. 16. Uma placa de aço tem a forma de um círculo de raio a, como mostra a figura. A temperatura bem um ponto qualquer da chapa é proporcional ao quadrado da distância desse ponto ao centro da chapa, com uma constante de proporcionalidade a) Se uma partícula localizada no ponto ( ) se deslocar para a direita sobre o eixo dos x, sofrerá aumento ou diminuição de temperatura? b) b) Qual é a taxa de variação da temperatura em relação à variável y, no ponto ( )? 17. Verificar se a função satisfaz a equação , para . 18. Calcular os seguintes limites usando as propriedades e artifícios já estudados no Cálculo I. a) ( ) ( ) (√ √ ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) 3 d) ( ) ( )[ ( ) ( )] e) ( ) ( ) f) ( ) ( ) g) ( ) ( ) √ √ √ √ h) ( ) ( ) √ √ i) ( ) ( ) √ √ j) ( ) ( ) l) ( ) ( ) m) ( ) ( ) ( ) ( ) 19. Calcule o valor de a para que a função dada seja contínua em (0, 0): a) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) { √ ( ) ( ) ( ) ( ) 20. Mostrar que os limites não existem estudando pelos eixos. a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) √ c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) f) ( ) ( ) ( ) _________________________________QUESTÕES ESTILO EXIN___________________________________________ 1. Um gás (vapor d’água) é mantido à temperatura constante. A medida que o gás é comprimido, o volume V decresce até que atinja uma certa pressão (P) crítica. Além dessa pressão, o gás assume forma líquida. Observando a figura a seguir, podemos dizer que vale: A) Infinito B) 0,8 C) 0,4 D) 0,6 E) Não existe GABARITO: B) 0,8 4 2. Uma função ( ) diz-se contínua no ponto ( ) quando: A) ( ) ( ) ( ) ( ) B) ( ) ( ) ( ) ( ) C) ( ) ( ) ( ) ( ) D) ( ) ( ) ( ) ( ) E) ( ) ( ) ( ) ( ) GABARITO: E) ( ) ( ) ( ) ( ) 3. A derivada parcial em relação a em é: A) B) C) D) E) GABARITO: D) 4. Sabemos que a área de um quadrado é função de seu lado. Assim, a taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia de 2,5 a 3m e a taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4m respectivamente valem: A) 4,5 e 10 B) 4,5 e 9 C) 5 e 8 D) 5,5 e 8 E) 6 e 9 GABARITO: D) 5,5 e 8 5. O domínio da função R é: A) Dw = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5) R4 | x1 + x2 + x3 + x4 + x5 0 }. B) Dw = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5) R5 | x1 + x2 + x3 + x4 + x5 0 }. C) Dw = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5) R3 | x1 + x2 + x3 + x4 + x5 0 }. D) Dw = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5) R2 | x1 + x2 + x3 + x4 + x5 0 }. E) Dw = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5) R | x1 + x2 + x3 + x4 + x5 0 }. GABARITO: B) Dw = { (x1 , x2 , x3 , x4 , x5) R5 | x1 + x2 + x3 + x4 + x5 0 }. 6. As derivadas parciais da função ( ) ( ) são: A) fx = - 2x . sen x + ( x2 + y3).cos x e fy = - 3y2.senx B) fx = 2x . senx + ( x2 - y3).cos x e fy = - 3y2.senx C) fx = 2x . sen x + ( x2 + y3).cos x e fy = 3y2.senx D) fx = 2x . sen x - ( x2 - y3).cos x e fy = 3y2.senx E) fx = 2x . sen x - ( x2 + y3).cos x e fy = 3y2.senx GABARITO: C) fx = 2x . sen x + ( x2 + y3).cos x e fy = 3y2.senx 7. Seja A inclinação da reta tangente à curva C1, resultante da intersecção de ( ) com y = 1, no ponto (2; 1; -6) é dada por: A) 3 B) – 2 C) 1 D) 2 E) – 1 GABARITO: C) 1 5 8. O valor do ( ) ( ) ( )( ) é igual a: A) 8 B) – 8 C) 9 D) – 9 E) 10 GABARITO: A) 8 9. Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por: ( ) . Logo, a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4s é: A) 48 pessoas por dia B) 42 pessoas por dia C) 54 pessoas por dia D) 69 pessoas por dia E) 77 pessoas por dia GABARITO: A) 48 pessoas por dia 10. Seja a função dada uma paraboloide. Assim, podemos dizer que a inclinação da reta tangente à curva C, resultante da intersecção de ( ) com o plano , como mostra a figura, no ponto (2,1,1) é igual a: A)-3 B)1 C)-1 D)2 E)-2 GABARITO: E) – 2
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