Lista de Exercícios - Cálculo IV

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Escola Superior de Tecnologia - EST
2a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo IV - Engenharia de Controle e Automoc¸a˜o
Prof. Msc. Jefferson Silva
Questo˜es
Equac¸o˜es Lineares de Ordem n
Equac¸o˜es Lineares e Homogeˆneas de Coeficientes Constantes
Questa˜o 1. Resolver as seguintes equac¸o˜es diferenciais:
(a)
d2y
dx2
− 6dy
dx
+ 8y = 0.
(b)
d2y
dx2
+ 8
dy
dx
+ 41y = 0.
(c)
d2y
dx2
− 2dy
dx
+ y = 0.
(d) 4
d2y
dx2
+ y = 0.
(e)
d8y
dx8
− d
4y
dx4
− 2y = 0.
Questa˜o 2. Resolver os problemas de valor inicial:
(a) 2
d2y
dx2
+ 5
dy
dx
+ 3y = 0, y(0) = 3,
dy
dx
(0) = −4.
(b) 2
d2y
dx2
+ 3y = 0, y(0) = 1,
dy
dx
(0) = 3.
(c) 2
d2y
dx2
+ 5
dy
dx
− 3y = 0, y(0) = 1, dy
dx
(0) = 4.
Equac¸o˜es Lineares Na˜o-Homogeˆneas
Me´todo dos Coeficientes a Determinar
Questa˜o 3. Determinar a soluc¸a˜o geral das seguintes equac¸o˜es (do 1o Caso):
(a)
d2y
dx2
− 4y = 8x2 − x + 12.
(b)
d3y
dx3
− d
2y
dx2
− 2dy
dx
= x− 2.
(c)
d4y
dx4
− 4d
2y
dx2
= 3x3 − x + 1.
Questa˜o 4. Determinar a soluc¸a˜o geral das seguintes equac¸o˜es (do 2o Caso):
(a)
d2y
dx2
− 3dy
dx
+ 2y = e−x.
(b)
d2y
dx2
− 4y = 4e2x.
(c)
d2y
dx2
− 4dy
dx
+ 4y = 3e2x.
(d)
d2y
dx2
− 2dy
dx
+ y = 2ex.
1
Questa˜o 5. Resolver as seguintes equac¸o˜es (3o caso):
(a)
d2y
dx2
− 3dy
dx
+ 2y = 2 sen x.
(b)
d2y
dx2
+ 4
dy
dx
= 3 cos x.
(c)
d4y
dx4
− 16y = 3 sen 2x.
(d)
d2y
dx2
− 4y = 5 cos 2x.
Questa˜o 6. Resolver as seguintes equac¸o˜es mistas (4o caso):
(a)
d2y
dx2
− 2dy
dx
= e2x + 5.
(b)
d2y
dx2
− 4dy
dx
+ 4y = xe2x.
(c)
d2y
dx2
− 2dy
dx
− 8y = ex − 8 cos 2x.
(d)
d2y
dx2
− 4dy
dx
+ 4y = 2e2x +
x
2
.
(e)
d3y
dx3
+
d2y
dx2
+
dy
dx
+ y = xex.
(f)
d3y
dx3
− y = x3 − 1.
Me´todo da Variac¸a˜o dos Paraˆmetros
Questa˜o 7. Resolver as seguintes equac¸o˜es:
(a)
d2y
dx2
− 2dy
dx
+ y =
ex
x
.
(b)
d2y
dx2
+ y =
1
cosx
.
(c)
d2y
dx2
+ y =
1
senx
.
(d)
d2y
dx2
− 2y = 4x2ex2.
Aplicac¸o˜es
Questa˜o 8. Uma mola com massa de 3Kg e´ mantida esticada 0, 6m ale´m de seu compri-
mento natural por uma forc¸a de 20N. Se amola comec¸ar em sua posic¸a˜o de equil´ıbrio, mas
um empurra˜o der sua velocidade inicial de 1, 2m/s, determine a posic¸a˜o da massa depois de
t segundos.
Questa˜o 9. Uma mola com massa de 2Kg tem uma constante de amortecimento 14, e
uma forc¸a de 6N e´ necessa´ria para manter a mola esticada 0, 5m ale´m de seu comprimento
natural. A mola e´ esticada 1m ale´m de seu comprimento natural e enta˜o solta com velocidade
zero. Determine a posic¸a˜o da massa em qualquer instante t.
Questa˜o 10. Um circuito em se´rie consiste em um resistor com resisteˆncia 20Ω, um indutor
com induntaˆncia L = 1H, um capacitor com capacitaˆncia 0, 002F e uma bateria de E(t) volts.
Se a carga inicial e a corrente forem iguais a 0, encontre a carga e a corrente no instante t
quando:
a) E(t) = 12V .
b) E(t) = 12 sen 10tV .
O que acontece quando t→∞? Explique.
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