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1 DERIVADAS PARCIAIS As aplicações de funções de duas variáveis procuram determinar como variações em uma das variáveis afetam os valores das funções. Adotamos o processo análogo para determinar a taxa de variação de uma função f em relação a uma das variáveis independentes, mantendo constantes as outras variáveis. Este processo é chamado diferenciação parcial, e cada derivada é uma derivada parcial. Uma função de várias variáveis tem tantas derivadas parciais quantas são suas variáveis independentes. Derivadas parciais de uma função de duas variáveis Se ( , )z f x y , então as derivadas parciais de primeira ordem de f em relação a x e a y são as funções z x e z y assim definidas: 0 ( , ) ( , ) lim x z f x x y f x y x x , y é mantido constante. 0 ( , ) ( , ) lim 0y z f x y y f x y y y , x é mantido constante. As derivadas parciais de primeira ordem da função ( , )z f x y são denotadas por: ( , ) [ ( , )]x x z f x y z f x y x x ( , ) [ ( , )]y y z f x y z f x y y y Os valores das derivadas parciais de primeira ordem no ponto ( , )a b denotam-se por: ( , ) ( , )x a b z f a b x ( , ) ( , )y a b z f a b y Exemplos: 1. Calcule z x e z y para a função 2 2 33 2z x x y x y 2 2. Se 3 2 3 2( , ) 2f x y x x y y , determine (2,1)xf e (2,1)yf . 3. Se 2 2( , ) 4 2f x y x y , ache (1,1)xf e (1,1)yf . 4.Calcule as derivadas parciais f x e f y sendo 3 2( , ) 2 2 4f x y x y y x . 5. Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções: a) 2 2( , )f x y x y b) ( , ) ln(2 )f x y x y c) ( , ) cos(2 ). (2 )f x y x sen y EXERCÍCIOS 1. Utilizando as técnicas de derivação, calcule xf e yf para as seguintes funções: a) ( , ) 7 10f x y x y b) 2 2( , ) 3f x y x y 3 c) 2 1 3 ( , )f x y x y d) 3 2 2 6 ( , )f x y x y e) 1 1 2 2( , )f x y x y f) 3( , )f x y x y g) 2( , ) 4f x y xy h) 2 2( , ) 10 5f x y xy x y i) 2( , ) 2 6 10xf x y e x y j) 3( , ) ln 4 9f x y x y respostas: a) ( , ) 7xf x y e ( , ) 10yf x y b) ( , ) 2xf x y x e ( , ) 6yf x y y c) 3 2 ( , )xf x y x e 2 3 ( , )yf x y y d) 4 6 ( , )xf x y x e 3 12 ( , )yf x y y e) 1 2 1 ( , ) 2 xf x y x e 1 2 1 ( , ) 2 xf x y y f) 2 3 1 ( , ) 3 xf x y x e 1 2 1 ( , ) 2 xf x y y g) 2( , ) 4xf x y y e ( , ) 8yf x y xy h) 2( , ) 10 10xf x y y xy e 2( , ) 20 5yf x y xy x i) ( , ) 4xxf x y e x e ( , ) 6yf x y j) 1 ( , )xf x y x e 2( , ) 12yf x y y 2. Encontre as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções: a) ( , ) 2 3 5f x y x y b) 2 2( , ) 3 7f x y x y c) ( , )f x y x y d) 2( , ) 2f x y y x e) 2 2( , ) 5 3f x y x xy y 4 f) 3 2( , ) 4 1f x y x xy g) 2 2( , ) yf x y x e h) ( , ) x yf x y xe i) 2 2( , ) ln( )f x y x y j) ( , ) lnf x y xy k) 2 2( , )f x y x y l) ( , ) (3 )cos (3 )f x y sen x y Interpretação geométrica das derivadas parciais. Considere a superfície abaixo, gráfico de uma função ( , )z f x y Para y k (constante) a função f se reduz a uma função de uma variável x, ( , )z f x k . Para x k (constante) a função f se reduz a uma função de uma variável y, ( , )z f k y . Derivada parcial em relação à x Derivada parcial em relação à y A derivada parcial de f em relação a x no ponto 1 1( , )x y , representa a declividade da superfície no ponto 1 1( , )x y na direção paralela ao eixo x: 1 1( , )x y f m x . Da mesma forma, a derivada parcial de f em relação a u no ponto 1 1( , )x y representa a declividade da superfície no ponto 1 1( , )x y na direção paralela ao eixo y: 1 1( , )x y f m y 5 Exemplo: Dado 2 3( , ) 5f x y x y y , determine: a) A inclinação de f no ponto (1, 2) , na direção do eixo x. b) A inclinação de f no ponto (1, 2) , na direção do eixo y. EXERCÍCIOS 1. A lei dos gases para uma massa m de um gás ideal à temperatura absoluta T, pressão P e volume V é PV=mRT, onde R é a constante do gás. Mostre que 1.. P T T V V P 2. A temperatura em um ponto (x,y) de uma placa de metal é dada por )1/(60),( 22 yxyxT , onde T é medido em °C e x, y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura com relação à distância no ponto (2,1) em a. a direção do eixo x; b. a direção do eixo y. 3. O volume de um cone circular reto de altura h e raio da base r é dado por: 21( , ) 3 V h r r h Qual é a taxa de variação do volume em relação ao raio? 4. O volume V de um cilindro reto é dado por 2V r h onde r representa a medida do raio da base e h a altura do cilindro. a) Determine uma fórmula para a taxa de variação de V em relação a r se h permanecer constante. b) Determine uma fórmula para a taxa de variação de V em relação a h se r permanecer constate. 6 c) Suponha que h tem um valor constante de 4 cm mas r varia. Determine a taxa de variação de V em relação a r quando r = 6 cm. d) Suponha que r tem um valor constante de 8 cm mas há varia. Determine a taxa de variação de v em relação a h quando h = 10 cm. 5. Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função. a. 423),( yxyxf b. 4235 33),( xyyxxyxf c. yxez 3 d. xyz ln e. yx yx yxf ),( f. cossenw g. yzzxyzyxf 3),,( 32 h. yzexzyxf 2),,( i. )32ln( zyxw j. sentxeu k. 22 2 2 1 ... nxxxu 6. Determine a derivada parcial indicada: )4,3(;),( 22 xfyxyxf
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