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12.5 Determinar as equações da linha elástica da viga usando as coordenadas x1 e 
x2. Especificar a inclinação em A e a deflexão máxima. Considerar EI constante. 
 
Solução: 
Reações de apoio: 
PV0PPVV0F
PV0Pa)aL(PLV0M
BBAy
AA)B(z
=∴=−−+⇒=
=∴=−−−×⇒=
∑
∑
 
Vamos encontrar as equações de momento fletor: 
Lx)aL()aLx(P)ax(PPxM
)aL(xa)ax(PPxM
ax0PxM
3
2
1
≤≤−⇒+−−−−=
−≤≤⇒−−=
≤≤⇒=
 
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho): 
Lx)aL()aLx(P)ax(PPx)x(''yIE
)aL(xa)ax(PPx)x(''yIE
ax0Px)x(''yIE
3
2
1
≤≤−⇒+−+−+−=
−≤≤⇒−+−=
≤≤⇒−=
 
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. 
Primeira integração: 
Lx)aL(C
2
)aLx(P
2
)ax(P
2
xP)x('yIE
)aL(xaC
2
)ax(P
2
xP)x('yIE
ax0C
2
xP)x('yIE
3
222
3
2
22
2
1
2
1
≤≤−⇒++−+−+−=
−≤≤⇒+−+−=
≤≤⇒+−=
 
Segunda integração: 
Lx)aL(CxC
6
)aLx(P
6
)ax(P
6
xP)x(yIE
)aL(xaCxC
6
)ax(P
6
xP)x(yIE
ax0CxC
6
xP)x(yIE
63
333
3
52
33
2
41
3
1
≤≤−⇒+++−+−+−=
−≤≤⇒++−+−=
≤≤⇒++−=
 
 
As condições de contorno para a viga são: 
6532
3232
5421
2121
CC)aL(y)aL(y
CC)aL('y)aL('y
CC)a(y)a(y
CC)a('y)a('y
=⇒−=−
=⇒−=−
=⇒=
=⇒=
 
)aL(
2
PaC)aL(
2
PaC
)aL(
2
PaC
0LC
6
)aLL(P
6
)aL(P
6
LP)L(yIE0)L(y
0C0C0CC)0(yIE0)0(y
21
3
3
333
3
65441
−=∴−=∴
−=∴
⇒=+
+−
+
−
+−=⇒=
=⇒=⇒=⇒=⇒=
 
Então, as inclinações são: 
Lx)aL()aL(
2
Pa
2
)aLx(P
2
)ax(P
2
xP)x('yIE
)aL(xa)aL(
2
Pa
2
)ax(P
2
xP)x('yIE
ax0)aL(
2
Pa
2
xP)x('yIE
222
3
22
2
2
1
≤≤−⇒−++−+−+−=
−≤≤⇒−+−+−=
≤≤⇒−+−=
 
E as deflexões são: 
Lx)aL(x)aL(
2
Pa
6
)aLx(P
6
)ax(P
6
xP)x(yIE
)aL(xax)aL(
2
Pa
6
)ax(P
6
xP)x(yIE
ax0x)aL(
2
Pa
6
xP)x(yIE
333
3
33
2
3
1
≤≤−⇒−++−+−+−=
−≤≤⇒−+−+−=
≤≤⇒−+−=
 
A inclinação em A é: 
EI2
)aL(Pa)0('y
)aL(
2
Pa)aL(
2
Pa
2
0P)0('yIE
A1
2
1
−
=θ=∴
−=−+−=
 
O deslocamento máximo (centro, x=L/2) é: 
)a4L3(
EI24
Pay
2
Ly
2
L)aL(
2
Pa
a
2
L
6
P
2
L
6
P
2
LyIE
22
max2
33
2
−==





∴
−+





−+





−=





 
 
 
Obs.: o eixo y positivo foi adotado para baixo.