AP1-CL1-2015 1-Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
RESPOSTAS – AP1 – CA´LCULO 1 – 29/03/2015
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res-
ponsa´vel;
Questa˜o 1 [2 pontos]
Calcule os seguintes limites de func¸o˜es:
(a)[1 ponto] lim
x→4
2− 2 cos(x− 4)
(x− 4)2 (b)[1 ponto] limx→−∞
√
25x3 +
√
5x− 1
x3 − 2x+ 1
Soluc¸a˜o:
(a) lim
x→4
2− 2 cos(x− 4)
(x− 4)2 = limx→4
[
2− 2 cos(x− 4)
(x− 4)2 ·
2 + 2 cos(x− 4)
2 + 2 cos(x− 4)
]
=
= lim
x→4
4− 4 cos2(x− 4)
(x− 4)2[2 + 2 cos(x− 4)] = limx→4
4 sen2(x− 4)
(x− 4)2[2 + 2 cos(x− 4)] =
= lim
x→4
4
2 + 2 cos(x− 4) · limx→4
sen2(x− 4)
(x− 4)2 = limx→4
[sen(x− 4)
x− 4
]2
= 1
(b) lim
x→−∞
√
25x3 +
√
5x− 1
x3 − 2x+ 1 = limx→−∞
√√√√√√x3
(
25 +
√
5
x2
− 1
x3
)
x3
(
1− 2
x2
+
1
x3
) = lim
x→−∞
√
25 = 5
Questa˜o 2 [2 pontos]
Determine o valor de L para que a func¸a˜o f : [−1,+∞) → R definida abaixo seja cont´ınua em todo
seu dom´ınio:
f(x) =

2− x
3−√x2 + 5 , se x 6= 2
L, se x = 2
.
Soluc¸a˜o:
Para que f seja cont´ınua em todo seu dom´ınio, e´ necessa´rio que f seja cont´ınua em 2, ou seja,
devemos ter lim
x→2
f(x) = f(2) = L. Assim, vamos calcular lim
x→2
f(x). Temos que:
CA´LCULO 1 AP1 2
lim
x→2
2− x
3−√x2 + 5 = limx→2
[
2− x
3−√x2 + 5 ·
3 +
√
x2 + 5
3 +
√
x2 + 5
]
= lim
x→2
(2− x)(3 +√x2 + 5)
9− (x2 + 5) =
= lim
x→2
(2− x)(3 +√x2 + 5)
4− x2 = limx→2
(2− x)(3 +√x2 + 5)
(2− x)(2 + x) = limx→2
3 +
√
x2 + 5
2 + x
=
6
4
=
3
2
.
Portanto, L =
3
2
.
Questa˜o 3 [2 pontos]
Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo x de modo que sua posic¸a˜o, em metros, no instante t, em
segundos, e´ dada pela equac¸a˜o x(t) = t2(t+ 1)4, t ≥ 0.
(a) [1 ponto] Determine a velocidade da part´ıcula no instante t;
(b) [1 ponto] Determine a acelerac¸a˜o da part´ıcula no instante t.
Soluc¸a˜o:
(a) v(t) = x′(t) = 2t(t+ 1)4 + t2 4(t+ 1)3 = 2t(t+ 1)4 + 4t2(t+ 1)3 m/s
(b) a(t) = v′(t) = 2(t+ 1)4 + 2t 4(t+ 1)3 + 8t(t+ 1)3 + 4t2 3(t+ 1)2 =
= 2(t+ 1)4 + 8t(t+ 1)3 + 8t(t+ 1)3 + 12t2(t+ 1)2 =
= 2(t+ 1)4 + 16t(t+ 1)3 + 12t2(t+ 1)2 m/s2
Questa˜o 4 [2 pontos]
Sejam f a func¸a˜o dada por f(x) =
(xex − 1
x2 + 1
)4
e r a reta tangente ao gra´fico de f no ponto
P = (0, 1).
(a)[1,5 pontos] Determine o coeficiente angular mr da reta r;
(b)[0,5 pontos] Determine a equac¸a˜o da reta r.
Soluc¸a˜o:
(a) O coeficiente angular mr da reta r e´, por definic¸a˜o, f
′(0). Assim, devemos calcular f ′(x) e, em
seguida, f ′(0). Temos que:
f ′(x) = 4
(xex − 1
x2 + 1
)3
·
[(xex − 1)′(x2 + 1)− (xex − 1)(x2 + 1)′
(x2 + 1)2
]
=
= 4
(xex − 1
x2 + 1
)3
·
[(ex + xex)(x2 + 1)− (xex − 1)(2x)
(x2 + 1)2
]
, para todo x ∈ R.
Logo, f ′(0) = −4. Portanto, mr = −4.
(b) Como mr = −4, segue que a equac¸a˜o da reta r e´:
y = 1− 4(x− 0) = 1− 4x.
Questa˜o 5 [2 pontos]
A func¸a˜o diferencia´vel y = f(x) e´ tal que, para todo x ∈ D(f), a equac¸a˜o abaixo e´ verificada:
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CA´LCULO 1 AP1 3
x2 sen(f(x)) + f(x)2 cos2(x) = 10.
Determine f ′(x).
Soluc¸a˜o:
Como y = f(x), podemos reescrever a equac¸a˜o acima da seguinte maneira:
x2 sen(y) + y2 cos2(x) = 10.
Agora, vamos determinar y′ = f ′(x) =
dy
dx
, derivando implicitamente essa equac¸a˜o:
2x sen(y) + x2 cos(y)
dy
dx
+ 2y
dy
dx
cos2(x) + y2 2 cos(x) (−sen(x)) = 0
Da´ı,
dy
dx
=
−2x sen(y) + 2y2 sen(x) cos(x)
x2 cos(y) + 2y cos2(x)
.
Portanto,
f ′(x) =
−2x sen(f(x)) + 2f(x)2 sen(x) cos(x)
x2 cos(f(x)) + 2f(x) cos2(x)
.
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