Apostila PO[1] (2)

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Curso de Pesquisa Operacional Aplicada à Mineração
(Programação matemática, teoria das filas e simulação)
Prof. Dr. Luiz Ricardo Pinto
DEMIN / EM/ UFOP
Setembro / 2002
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Sumário: 
1 - Origens da pesquisa operacional							2
2 - A teoria da decisão e os enfoques da pesquisa operacional			3
3 - Fases de um estudo de pesquisa operacional					4
4 - Modelagem em pesquisa operacional							5	
5 - Modelos e forma padrão de problemas de programação matemática		7
6 - Resolução gráfica de um Problema de Programação Linear (P.P.L.)		10		
7 – Resolução algébrica de um P.P.L. – Método SIMPLEX				11
8 - Softwares de resolução de problemas de otimização				15
9 – Alguns modelos de otimização para resolução de problemas de lavra		16
10 - Teoria da filas										28
11 - Simulação de Sistemas								37
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1 - Origens da pesquisa operacional
	A pesquisa operacional (P.O.) surgiu durante a Segunda Grande Guerra com o objetivo de resolver problemas de operações militares. Grupos de pesquisadores trabalhavam na determinação da melhor forma de utilização de recursos limitados.
	A partir de então, a pesquisa operacional se difundiu, saindo da área militar e indo para a área civil, sendo hoje um ramo da ciência administrativa. Um fator que acelerou substancialmente a generalização de seu uso foi o desenvolvimento dos computadores, que vem tornando cálculos e manipulação de dados cada vez mais velozes. A chegada dos computadores pessoais ajudou ainda mais a difusão de técnicas de pesquisa operacional. 
Aplicações de pesquisa operacional na mineração começaram a surgir no final da década de 50 e início da década de 60. Apesar disso, as aplicações na mineração, são ainda hoje, relativamente tímidas se comparadas a outros tipos de indústria. Enquanto o mundo tem mostrado um crescente interesse na aplicação de pesquisa operacional, na área mineral este crescimento ainda pode ser considerado um tanto quanto tímido.
Em um trabalho de pesquisa sobre aplicações de técnicas de P.O. na mineração, Topuz e Duan (1989), constataram que aplicações envolvendo técnicas de otimização predominavam se comparadas às aplicações envolvendo programação e processos estocásticos. como pode ser verificado pelo gráfico apresentado na figura 1. Apesar desse estudo ter mais de 12 anos ainda hoje o uso de técnicas determinísticas predomina sobre as técnicas estocásticas. Porém, o uso de técnicas como a simulação tem aumentado significativamente na última década.
Figura 1 – Aplicações de P.O. na mineração
No Brasil, o uso de P.O. na mineração é ainda muito pequeno se comparado ao potencial que essas técnicas têm a oferecer. Mesmo nas grandes empresas problemas de tomada de decisão ainda são solucionados com base no bom senso e em experiências passadas. As decisões tomadas dessa forma, apesar de serem consideradas viáveis, não garantem uma decisão ótima sob determinado aspecto.
	Pinto (1999) e Merschmann (2002) realizaram uma extensa revisão bibliográfica sobre aplicações de P.O. na mineração. O enfoque central deste curso será a respeito do uso das seguintes técnicas de pesquisa operacional: programação linear, programação inteira mista, teoria das filas e simulação.
2 - A teoria da decisão e os enfoques da pesquisa operacional
Uma decisão pode ser considerada como uma seqüência de ações a serem tomadas visando a solução de um problema.
	Segundo Andrade (1999), todo processo decisório pode ser considerado como sendo um processo seqüencial, complexo, que envolve valores subjetivos e que segue regras definidas. A complexidade dos processos decisórios pode variar de acordo com o tamanho do grupo que toma a decisão, com os tipos de sistemas de informação gerencial, com os tipos de decisão a serem tomadas, com o estilo de liderança que predomina na empresa e com o nível da decisão.
	Em relação ao nível, as decisões podem ser classificadas segundo seu nível estratégico e seu grau de estruturação, conforme mostrado a seguir.
2.1 - Classificação das decisões
Nível estratégico: refere-se à importância e abrangência da decisão.
Grau de estruturação: refere-se a forma como o processo está organizado estruturalmente. Quanto mais estruturado, mais intimamente o processo pode ser acompanhado ou repetido.
A figura 2 dá alguns exemplos de decisões e suas classificações.
	Grau Est. / Nível Est.
	Operacional
	Gerencial
	Corporativo
	Alto (1)
	Administração de estoque
	Programação da produção
	Localização de uma nova fábrica
	Médio (2)
	Financiamento de capital de giro
	Programação orçamentária
	Diversificação por aquisição de nova empresa
	Baixo
	Escolha de um slogan para a empresa
	Contratação de pessoal
	Definição de programas de P & D
Figura 2 - Exemplos de níveis de decisões
Algumas técnicas de P.O. utilizadas para auxílio à tomada das decisões mostradas na figura 2:
- Programação linear, programação inteira mista, programação dinâmica, teoria das filas, etc.
- Simulação, análise de risco, teoria de jogos, etc.
Pode-se dizer que uma decisão racional garante o alcance dos objetivos preestabelecidos. O que impede, então, que decisões racionais sempre sejam tomadas? Talvez esta resposta seja dividida em duas partes: a primeira diz respeito à escolha do problema a se resolver e a segunda ao grau de conhecimento das ferramentas adequadas à resolução do problema. Grande parte das vezes, existe dificuldades em se encontrar qual a questão certa a ser respondida. As pessoas, e por conseqüência os tomadores de decisão, às vezes se preocupam muito mais em encontrar respostas certas para problemas errados, do que encontrarem efetivamente o problema certo a ser resolvido. O pouco domínio de ferramentas adequadas também se torna um obstáculo no alcance de decisões racionais. A P.O. fornece ferramentas que auxiliam a busca de decisões racionais. Assim, a P.O. pode ser vista por dois enfoques distintos:
Enfoque quantitativo: visa aplicar métodos matemáticos e estatísticos para resolver problemas de tomada de decisão. É este o enfoque mais tradicional.
Enfoque qualitativo: se preocupa com a metodologia de formulação dos problemas. “Na abordagem qualitativa, o enfoque central é deslocado do método de solução (geralmente um algoritmo matemático complexo) para a formulação e modelagem, ou seja, para o diagnóstico do problema. [ Andrade (1999)].
2.2 - Características importantes da pesquisa operacional:
	A P.O. apresenta duas características fundamentais:
	1 - Aspecto multidisciplinar
	2 - Uso de modelos
	As ciências fundamentais relacionadas a P.O. são a matemática, a estatística, a economia e a computação. Através dessas ciências é possível desenvolver e solucionar modelos representativos da realidade. 
3 - Fases de um estudo de pesquisa operacional
Um estudo de pesquisa operacional engloba, basicamente, as seguintes etapas:
1 - Definição detalhada do problema a ser resolvido;
2 - Construção do modelo representativo do sistema;
3 - Solução do modelo;
4 - Verificação e validação do modelo;
5 - Implementação dos resultados obtidos.
Como pode ser observado através das etapas de um estudo de P.O., a base do estudo se concentra num modelo que representa o sistema a ser estudado. Por isso, o conhecimento de modelagem de sistemas é fundamental. 
4 - Modelagem em pesquisa operacional
4.1 - Conceito de modelo
Um modelo nada mais é que um conjunto de suposições sobre a operação de um sistema. Em outras palavras, um modelo pode ser visto como uma imitação da realidade. Pidd (1998) apresenta as seguintes evoluções das definições de modelo:
1 - Um modelo é uma representação da realidade.
Esta definição ignora o motivo pelo qual o modelo está sendo construído.
2 - Um modelo é uma representação da realidade projetado para algum propósito definido.
Esta definiçãoignora o fato de o modelo ser uma ferramenta útil para o auxílio à tomada de decisão.
3 - Um modelo é uma representação da realidade que é planejado para ser usada por alguém responsável pelo gerenciamento ou entendimento da realidade.
De acordo com esta definição o modelo só seria usado por pessoas do alto escalão da empresa.
4 - Um modelo é uma representação da realidade que é planejado para ser usado por alguém no entendimento, mudança, gerenciamento e controle desta realidade.
Esta definição esbarra com a “visão do mundo” de cada pessoa. Se um modelo reflete a visão de mundo do analista, então, podem existir diferentes modelos para representar uma mesma realidade. Além disso, nenhum modelo é completo, pois se o fosse, seria a própria realidade.
5 - Um modelo é a representação de parte da realidade vista pelas pessoas que desejam usá-lo para entender, mudar, gerenciar e controlar aquela parte da realidade.
Esta definição esbarra ainda, na subjetividade humana relativa aos seus arranjos mentais implícitos e internos. 
6 - Um modelo é a representação externa e explícita de parte da realidade vista pelas pessoas que desejam usá-lo para entender, mudar, gerenciar e controlar aquela parte da realidade.
	A figura 3 mostra esquematicamente o que seria um modelo:
Figura 3 - Modelo X Realidade
4.2 - Tipos de modelos
Em pesquisa operacional os modelos podem ser divididos em modelos de otimização e modelos de simulação. 
Os modelos de otimização apresentam as seguintes características:
São adequados quando todas as variáveis do modelo são determinísticas;
Seleção de uma única alternativa via análise matemática;
A alternativa selecionada é considerada ótima sob um determinado aspecto.
Já os modelos de simulação apresentam as seguintes características:
São adequados quando o modelo apresenta variáveis estocásticas;
Alto grau de liberdade / flexibilidade;
Permitem a criação e análise de cenários futuros (respostas a perguntas "E se?").
4.3 - Comparação entre modelos de otimização e simulação
Enquanto nos modelos de otimização a análise é feita por métodos analíticos nos modelos de simulação a análise é feita por métodos numéricos. Os modelos de otimização são solucionados, enquanto os de simulação são rodados visando a análise de um determinado cenário. Sempre que possível, deve-se usar modelos de otimização, já que eles apresentam soluções ótimas. Porém, grande parte dos sistemas encontrados no dia a dia apresentam variáveis estocásticas e não apresentam soluções analíticas. Neste caso, fornecerão soluções exatas mas os modelos serão aproximados, enquanto os modelos de simulação fornecerão soluções aproximadas mas os modelos serão mais próximos da realidade. 
5 - Modelos e forma padrão de problemas de programação matemática
5.1 - Características
	- Existência de um objetivo que pode ser explicitado em termos das variáveis de decisão do problema;
	- Existência de restrições quanto à aplicação destes recursos (em relação à quantidade e forma de emprego).
	Caso mais trivial : Maximização ou Minimização de uma função.
Figura 4 - Área das soluções viáveis e função objetivo
 Figura 5 - Área das soluções viáveis e função objetivo (Linear e Não-linear)
Programação Linear:
Suposições necessárias a um P.L.:
	
	- Proporcionalidade;
	- Aditividade;
	- Variáveis Contínuas;
	- Parâmetros Constantes. 
Forma padrão de um P.L.:
Max ou Min 	 Z =
��� EMBED Equation.2 �	( Função Objetivo )
Sujeito a 		
� i= 1,2, ...m 	( Restrições )
Xi ( 0 (não negatividade das variáveis)
Solução viável : Conjunto de valores de Xi que satisfazem todas restrições
Conjunto viável : Conjunto de todas as soluções viáveis (poliedro sempre convexo)
Solução ótima: Solução viável que otimiza a função objetivo.
Programação inteira : Problemas discretos ( variáveis inteiras )
Programação não linear: Funções e/ou restrições não lineares
5.2 - Etapas a serem seguidas na construção de um modelo de otimização:
		1 - Definição do problema;
		2 - Identificação das variáveis relevantes;
		3 - Formulação da Função Objetivo;
		4 - Formulação das restrições;
		5 - Escolha do método matemático de solução;
		6 - Aplicação do modelo para análise.
		7 - Avaliação da solução.
NOTA: Pode-se buscar uma solução ótima ou boas soluções viáveis.
Exemplo: Uma companhia siderúrgica possui 2 minas e 3 fábricas sendo que o custo de transporte do minério de cada mina a cada fábrica variável conforme a distância. As minas tem limitações nas capacidades de produção e as fábricas têm requisições mínimas de minério para manter suas produções. Deseja-se construir um modelo que descreva o transporte de minério para as fábricas de modo a minimizar o custo total de transporte.
Este é um problema linear. As fases para a construção deste modelo serão vistas adiante.
Fase 1 - Definição do problema:
Dado os custos por tonelada transportada, capacidades de produção das minas e as quantidades mínimas de minério requeridas em cada usina, determinar a programação de transporte, ou seja, a quantidade de minério a ser transportada de cada mina para cada usina, que tenha o menor custo possível, atendendo as diversas restrições que se apresentam.
	
	Usina 1
	Usina 2
	Usina 3
	Cap. max (t/mês)
	Mina 1
	9
	16
	28
	10300
	Mina 2
	14
	29
	19
	19700
	Qmin (t/mês)
	7100
	13300
	9600
	
Fase 2 - Identificação das variáveis relevantes:
Xij - quantidade de minério transportada da mina i para a usina j. 
		i = {1,2} 		j = {1,2,3}
Fase 3 - Formulação da Função Objetivo:
Min Z = 9X11 + 16X12 + 28X13 + 14X21 + 29X22 + 19X23
Fase 4 - Formulação das restrições:
Restrições de capacidade das minas:	X11 + X12 + X13 ( 10300
						X21 + X22 + X23 ( 19700
Restrições de requisição das usinas:	X11 + X21 ( 7100
						X12 + X22 ( 13300
						X13 + X23 ( 9600
Restrições de não negatividade:		Xij ( 0 		( i
Fase 5 a 7 - Escolha do método matemático de solução, aplicação do modelo e avaliação da solução:
	Estas etapas serão discutidas um pouco mais adiante. Por enquanto, vamos nos prender apenas nas etapas 1 a 4 da construção dos modelos, que são as mais complexas, apesar de parecerem simples.
6 - Resolução gráfica de um Problema de Programação Linear (P.P.L.)
Seja o seguinte exemplo: uma indústria produz produtos do tipo 1 e produtos do tipo 2. O lucro gerado por cada unidade dos produtos dos tipos 1 e 2 é de $2,00 e $3,00, respectivamente. A indústria possui restrições em suas linhas de produção e o número máximo de unidades produzidas diariamente dos produtos 1 e 2 é igual a 60 e 80, respectivamente. Além disso, a indústria possui uma capacidade máxima de produção dos dois produtos de 100 unidades/dia. Sendo assim, deseja-se desenvolver um modelo que maximize o lucro da empresa obedecendo todas as restrições de produção.
Fase 1 - Definição do problema:
Dadas as capacidades máximas de produção total e individual de cada produto e o lucro obtido por cada um deles, determinar a quantidade a ser produzida de cada um visado a maximização do lucro da empresa.
Fase 2 - Identificação das variáveis relevantes:
Xi = quantidade a ser produzida do produto i = {1,2}
Fase 3 - Formulação da Função Objetivo:
Max Lucro = 2X1 + 3X2
Fase 4 - Formulação das restrições:
Restrições da linha de produção 1:		X1 ( 60
Restrições da linha de produção 2:		X2 ( 80
Restrições globais de produções:		X1 + X2 ( 100
Restrições de não negatividade:		Xij ( 0 		( i
Resolução gráfica do problema:
	Este problema pode se resolvido graficamente. Para tanto, basta lançar em um gráfico as retas representantes das funções objetivo e restrições e determinar o ponto da área de soluções viáveis que maximiza a função objetivo. Este ponto, como pode ser visto na figura 6,é o vértice (X1=20, X2=80). 
Figura 6 - Resolução gráfica de um Problema de Programação Linear
Como pode ser observado na figura 6, caso o coeficiente angular da família de retas que representam a função objetivo seja igual ao coeficiente angular de uma das restrições, o problema apresentaria infinitas soluções. Também pode acontecer problemas sem solução.
7 – Resolução algébrica de um P.P.L. – Método SIMPLEX
Um P.P.L. pode ser resolvido por métodos de resolução de sistemas de equações lineares. Bastaria neste caso transformar as inequações que representam as restrições em equações pela introdução das chamadas variáveis de folga. Conforme visto, as restrições de um P.P.L. tratam da utilização de recursos que apresentam disponibilidades conhecidas, ou seja, o uso do recurso deve ser menor ou igual a sua disponibilidade. Assim, 
UTILIZAÇÃO ( DISPONIBIDADE
ou
UTILIZAÇÃO + FOLGA = DISPONIBIDADE
Em outras palavras:
Se UTILIZAÇÃO < DISPONIBILDADE => FOLGA > 0 e
se UTILIZAÇÃO = DISPONIBILIDADE => FOLGA = 0
O problema anterior poderia ser transformado no problema abaixo, após a introdução das variáveis de folga:
Maximizar 			L = 2X1 + 3X2 + 0X3 + 0X4 + 0X5
Sujeito às restrições: 		 1X1 + 0X2 + 1X3 + 0X4 + 0X5 = 60
				 0X1 + X2 + 0X3 + 1X4 + 0X5 = 80
				 X1 + X2 + 0X3 + 0X4 +1X5 = 100
				 				Xij ( 0 		( i
Assim, o problema consiste em resolver um sistema de equações lineares que maximiza o lucro dado pela função objetivo. Porém, o sistema possui 3 equações com 5 incógnitas, ou seja, um sistema indeterminado, com infinitas soluções. Mas, como todas as variáveis devem ser nulas ou positivas, se forem atribuídos valores nulos para duas delas, pode-se achar a solução para o sistema resultante. Se forem feitas todas as combinações possíveis (atribuindo zero para duas variáveis e calculando os valores das outras três), basta comparar as soluções encontradas e escolher aquela que maximiza o lucro. As variáveis cujo valor foi arbitrado em zero são chamadas de variáveis não-básicas e as variáveis cujos valores foram calculados são chamadas de variáveis básicas. O conjunto de variáveis básicas é chamado de base. 
A resolução de um P.P.L. dessa forma pode-se tornar impraticável quando o número de equações e variáveis crescer um pouco mais, pois o número de sistemas a serem resolvidos cresceria muito. O algoritmo SIMPLEX de Dantzig é um algoritmo iterativo que resolve o problema informando, inicialmente, o sistema de equações a ser resolvido e quais os próximos sistemas que deverão ser resolvidos para melhorar a solução até se alcançar a solução considerada ótima. A fundamentação teórica do método não será aqui discutida mas o problema acima será resolvido utilizando essa técnica de forma a exemplificar a aplicação do SIMPLEX.
Primeiramente, faz-se uma transformação da função objetivo:
de L = 2X1 + 3X2 		para 		L - 2X1 - 3X2 - 0X3 - 0X4 - 0X5
Iteração 1:
É construído o primeiro quadro do SIMPLEX, que representa o sistema com as variáveis originais igualadas a zero. O quadro é mostrado abaixo:
	Base
	X1
	X2
	X3
	X4
	X5
	b
	X3
	1
	0
	1
	0
	0
	60
	X4
	0
	1
	0
	1
	0
	80
	X5
	1
	1
	0
	0
	1
	100
	L
	-2
	-3
	0
	0
	0
	0
	A coluna B representa o lado direito das equações do sistema.
A solução inicial obtida para X1 = 0 e X2 = 0 é:
X3 = 60
X4 = 80
 X5 = 100
L = 0
Obviamente esta solução inicial pode ser melhorada, já que as variáveis originais estão zeradas, fazendo com que o lucro seja nulo. Assim, parte-se para a segunda iteração, que consiste em mover a solução para o próximo vértice do polígono de soluções viáveis.
Deve-se determinar qual a variável não-básica da primeira solução que deve se tornar positiva e qual variável básica deve ser zerada, ou seja, deve-se determinar qual variável deve sair da base e qual deve substituí-la. 
A variável que deve se tornar positiva e entrar na base, é aquela que apresenta a maior contribuição unitária para o “lucro” da função objetivo, que é de maximização. Em outras palavras é aquela que apresenta o maior coeficiente negativo na função objetivo. Neste caso é a variável X2. Se nenhuma apresentasse coeficiente negativo, a solução encontrada seria ótima.
Para se determinar qual variável deve ser zerada e sair da base, basta analisar a segunda e terceira equações, para calcular o valor máximo que X2 pode assumir:
				 0X1 + X2 + 0X3 + 1X4 + 0X5 = 80
				 X1 + X2 + 0X3 + 0X4 +1X5 = 100
O maior valor que X2 pode assumir é 80, pois qualquer valor acima deste, obrigaria X4 a ser negativo, o que não é permitido. Como X2 deve assumir o maior valor possível, de forma a contribuir ao máximo com o “lucro” da função objetivo, X4 deve ser zerada e sair da base.
A mesma conclusão pode ser obtida dividindo os elementos da coluna b pelos coeficientes positivos de X2. Logo, o menor coeficiente obtido indica a variável básica a ser substituída. Caso não existam valores positivos nesta coluna o processo deve ser interrompido, pois a solução seria ilimitada. Neste caso, teria para a variável X4: 80/1 = 80 e para a variável X5: 100/1 = 100.
A seguir, deve-se fazer uma transformação na matriz, de forma que a coluna que contém a nova variável básica se torne um vetor identidade (todos valores iguais a zero, com exceção do valor relativo a X2). Para tanto, são necessárias duas operações. A primeira é a substituição da linha 3 pela soma da linha 3 anterior mais a linha 2 multiplicada por (–1). Assim tem-se o segundo quadro, mostrado abaixo:
 
	Base
	X1
	X2
	X3
	X4
	X5
	b
	X3
	1
	0
	1
	0
	0
	60
	X2
	0
	1
	0
	1
	0
	80
	X5
	1
	0
	0
	-1
	1
	20
	L
	-2
	-3
	0
	0
	0
	0
 
A seguir, substituir a linha 4 pela soma da linha 4 anterior mais a linha 2 multiplicada por (3). O resultado desta operação fornece o quadro 3 abaixo:
	Base
	X1
	X2
	X3
	X4
	X5
	b
	X3
	1
	0
	1
	0
	0
	60
	X2
	0
	1
	0
	1
	0
	80
	X5
	1
	0
	0
	-1
	1
	20
	L
	-2
	0
	0
	3
	0
	240
A nova solução obtida para X1 = 0 e X4 = 0 é:
X3 = 60
X2 = 80
X5 = 100
L = 240
Iteração 2:
A nova variável a entrar na base é X1, já que todas as demais não apresentam coeficiente negativo. A variável a sair da base seria X5, já que 60/1 > 20/1.
Transformação da matriz: substituir a linha 1 pela soma da linha 1 anterior mais a linha 3 multiplicada por (-1).
	Base
	X1
	X2
	X3
	X4
	X5
	b
	X3
	0
	0
	1
	1
	-1
	40
	X2
	0
	1
	0
	1
	0
	80
	X1
	1
	0
	0
	-1
	1
	20
	L
	-2
	0
	0
	3
	0
	240
Transformação da matriz: substituir a linha 4 pela soma da linha 4 anterior mais a linha 3 multiplicada por (2).
	Base
	X1
	X2
	X3
	X4
	X5
	b
	X3
	0
	0
	1
	1
	-1
	40
	X2
	0
	1
	0
	1
	0
	80
	X1
	1
	0
	0
	-1
	1
	20
	L
	0
	0
	0
	1
	2
	280
A nova solução obtida para X4 = 0 e X5 = 0 é:
X3 = 40
X2 = 80
X1 = 20
L = 280
Esta solução é ótima pois não existem mais coeficientes negativos na linha 4.
Obviamente, problemas envolvendo grande número de restrições e variáveis tornam trabalhosa sua resolução manual. Para resolução de problemas de programação inteira e programação não-linear existem algoritmos específicos, que não serão tratados aqui.
8 - Softwares de resolução de problemas de otimização
 	Existem no mercado um número razoável de softwares de resolução de problemas de otimização. Aqui serão apresentados apenas de 4 deles:
1- Solver do Microsoft Excel: Software de otimização que acompanha o Microsoft Excel. Resolve problemas de programação linear, não-linear e inteira. Apresenta fortes limitações relativas ao número de variáveis, inteiros e restrições. As células da planilha são usadas para armazenar as variáveis, as restrições e a função objetivo do problema.
2 – What’s Best! da Lindo SystemsInc.: Software de otimização que trabalha em conjunto com o Microsoft Excel e funciona como um suplemento do Excel. Este software resolve problemas de programação linear, não-linear e inteira. Trabalha de forma semelhante ao solver do Excel, porém é bem mais robusto e em suas versões de topo não apresenta limitações relativas ao número de restrições, nem variáveis ou inteiros.
3 – LINDO da Lindo Systems Inc.: Apresenta um ambiente completo para programação linear, inteira e quadrática. É bastante veloz e é comercializado em diversas versões, sendo que na versão de topo não apresenta limitações relativas ao número de restrições, inteiros ou variáveis. Pode ser utilizado em conjunto com aplicativos desenvolvidos em diversas linguagens de programação tais como Delphi, C ou Visual Basic. 
4 – LINGO da Lindo Systems Inc.: Apresenta um ambiente completo para programação linear, não-linear e inteira. Como o LINDO, é bastante veloz e é comercializado em diversas versões, sendo que na versão de topo não apresenta limitações relativas ao número de restrições, inteiros ou variáveis. Também pode ser utilizado em conjunto com aplicativos desenvolvidos em diversas linguagens de programação tais como Delphi, C ou Visual Basic. 
Maiores informações sobre esses softwares podem ser obtidas no “site” da Lindo Systems: www.lindo.com
	Todos esses softwares serão utilizados durante as aulas práticas do curso.
9 – Alguns modelos de otimização para resolução de problemas de lavra
Neste tópico serão apresentados alguns modelos de otimização de operações de lavra. Exemplos de uso dos modelos e suas resoluções serão feitas usando um dos softwares citados anteriormente.
9.1 – Modelo da mistura de minérios:
Este modelo foi transcrito parcialmente do trabalho de Pinto (1995).
O modelo trata da retirada de minério de diversas pilhas, de modo que seja possível fornecer para usina de tratamento ou um cliente externo, um produto que esteja de acordo com as especificações técnicas relativas à qualidade e quantidade. Dessa forma, é preciso conhecer a quantidade de minério disponível em cada pilha bem como sua composição química e sua granulometria que, no modelo proposto, pode ser classificada como fino, médio ou granulado. 
Assim, surgem questões do tipo:
Com quais pilhas deve-se trabalhar para atender as especificações de qualidade e quantidade?
Conhecendo a quantidade de minério disponível em cada pilha e as especificações requeridas, qual quantidade máxima de mistura pode ser obtida? E qual a quantidade de minério que deve ser retirada de cada pilha, considerando que este número deve ser múltiplo da capacidade da caçamba dos equipamentos de carga que farão a retomada das pilhas?
Seja:
Qi a quantidade disponível em cada pilha i;
qi a quantidade a ser retirada em cada pilha i;
Ni o número de caçambadas a serem retiradas de cada pilha i;
tvi o teor da variável v na pilha i(%);
linfv o teor mínimo admissível para a variável v(%);
lsupv o teor máximo admissível para a variável v(%);
C a capacidade da caçamba das carregadeiras que farão a mistura;
G o conjunto de pilhas com a granulometria igual à requerida.
Função Objetivo: Maximizar 		
	(1)
Restrições de Qualidade:
								(2)
Restrições de Quantidade:
qi < Qi 	(i , i ( G	(3)
 
Restrições de número não fracionário de caçambadas:
qi = C.Ni 	(4) e	 Ni inteiro (5)	(i , i ( G
Restrições de não-negatividade:
qi > 0 (i	(6)	Ni > 0 (i	(7)	
9.2 – Modelo de determinação do ritmo de lavra das frentes com equipamentos de carga idênticos e sem alocação de caminhões:
Este modelo foi transcrito em parte do trabalho de Pinto (1995).
	Como sabemos, em qualquer mina a lavra normalmente é feita em diversas frentes de forma a alimentar a usina de tratamento com um minério que atenda as especificações químicas e físicas requeridas. Sendo assim, faz-se necessária a determinação da taxa de produção de cada uma dessas frentes de forma a atender as restrições quantitativas e qualitativas da usina. Tais restrições não são necessariamente fixas e podem mudar de tempos em tempos em função de diversos fatores. Além dessas restrições, existem também restrições relativas à capacidade máxima dos equipamentos de carga e transporte e a produção mínima que eles devem ter de forma a atender às especificações econômicas, pois seria inviável colocar um equipamento de carga em uma frente produzindo quantidades muito pequenas. 
	Muitas vezes é necessário responder a perguntas do tipo: "Qual produção máxima de minério pode ser alcançada com as frentes disponíveis?" Perguntas desse tipo correspondem a uma função objetivo que deve ser otimizada variando-se as taxas de produção de cada uma das frentes disponíveis, atendendo todas as restrições do problema tais como capacidade de produção, teores limites, número e qualidade das frentes, etc.
	Suponhamos uma mina de ferro a céu aberto onde sejam controlados, durante a lavra, os teores de diversas variáveis. Neste trabalho consideraremos somente o controle das variáveis químicas pois o acréscimo de outras não passa de um simples exercício matemático.
	A cada plano de curto prazo elaborado, existem n frentes disponíveis, sendo que a lavra pode acontecer simultaneamente em m dessas frentes (m
	Matematicamente, podemos expressar o problema acima descrito como:
					Max	
 
onde M é o conjunto de frentes de minério
Sujeito às restrições:
Restrições de produção:
				
		(1)		p/ todo i
				
	(2)		p/ todo i
				
	(3)		p/ todo i
				
	(4)		p/ todo i
onde:	Pi é a produção de cada frente i ;
	Pmax é a produção máxima possível por frente (função da capacidade dos equipamentos de carga);
	Pmin é a produção mínima viável por frente (função de restrições econômicas);
	bi é uma variável de decisão (bi=1 se Pi>0 e bi=0 se Pi=0);
	m é o número máximo de frentes operadas simultaneamente, que corresponde ao número de equipamentos de carga disponíveis;
Restrições de limites de teores:
				
 	(5)	p/ todo k
onde:	 TIk é o teor mínimo admissível para a variável k;
	 TSk é o teor máximo admissível para a variável k;
	 tki é o teor da variável k na frente i;
A inequação (5) equivale a:
				
	(5.1)	p/ todo k;
				
	(5.2)	p/ todo k;
Restrições relativas à relação estéril /minério:
 (6)
onde:	R = relação estéril /minério mínima requerida
	M é o conjunto de frentes de minério e
	E é o conjunto de frentes de estéril.
Restrição de número de caminhões por frente:
Pi < (60.Cap.Nmaxi)/TCi	 ( i є M, i є E 	(7)
Onde:
Cap = capacidade dos caminhões;
TCi = tempo médio de ciclo para a frente i em minutos;
Nmaxi = o número máximo de caminhões, obtido pela divisão do tempo de ciclo total pelo tempo de carga, para cada frente i.
O número total de caminhões é dado por:
Ncam = 
Ncam deve ser menor ou igual ao número de caminhões disponíveis.
9.3 – Modelo de determinação do ritmo de lavra das frentes com equipamentos diferentes e sem alocação de caminhões:
Este modelo foi parcialmente transcrito do trabalho de Pinto e Merschmann (2001).
A lavra de uma mina geralmente é feita em diversas frentes de modo que, realizando a mistura dos minérios retirados das frentes, seja possível fornecer para a usina de tratamento um minério que esteja de acordo com as especificações de qualidade necessárias. Deste modo, precisa-se conhecer qual o ritmo de lavra a ser implementado em cada frente, que atende as especificações quantitativas e qualitativas da usina. Entende-se por ritmo de lavra a produção horária da frente (t/h).
Uma mina convencional, possui equipamentos como caminhões, carregadeiras e escavadeiras que viabilizam a lavra nas diversas frentes. Mesmo mantendo uma frota com um número fixo de equipamentos, a quantidade disponível em condições de operar pode variar ao longo do tempo. Isso pode acontecerpor motivo de quebra desses equipamentos, manutenção preventiva, atrasos operacionais, etc. Sendo assim, o cumprimento do ritmo de lavra com objetivo de atender as especificações da usina depende, entre outros fatores, da disponibilidade dos equipamentos na mina.
Diante deste cenário, diversas questões podem surgir, tais como:
Com quais frentes deve-se trabalhar para atender as especificações de qualidade da usina de tratamento de minério?
Com a frota de equipamentos disponíveis, será possível atender um ritmo de lavra que possibilite o atendimento das especificações da usina?
A partir de uma determinada frota de equipamentos e das especificações impostas pela usina, qual é a máxima produção que pode ser obtida? E qual é o ritmo de lavra de cada frente?
Cada uma das questões apresentadas anteriormente pode ser respondida mediante a construção de modelos distintos de programação matemática. 
 A seguir, será apresentado um modelo que tem como objetivo determinar o ritmo de lavra de cada frente disponível e alocar os equipamentos existentes às mesmas, de forma a maximizar a produção total de minério. Nesse modelo, a alocação de equipamentos fica restrita a carregadeiras e/ou escavadeiras.
Seja uma mina a céu aberto operando com sistema de alocação dinâmica de caminhões onde, durante a lavra, exista um controle dos teores das diversas variáveis envolvidas. Neste trabalho, considerou-se o controle dos teores das variáveis químicas, mas o mesmo poderia ser feito para o controle das variáveis físicas, como a granulometria, por exemplo.
A cada plano de lavra de curto prazo elaborado, existem n frentes disponíveis, onde a lavra pode acontecer simultaneamente em m (m ( n) dessas frentes, dependendo da disponibilidade de equipamentos de carga (carregadeiras e/ou escavadeiras).
	Caso entre em operação, por razões técnicas e econômicas, cada equipamento de carga deve trabalhar entre limites preestabelecidos de produção. O material alimentado na usina deve atender os limites de qualidade impostos para cada variável. Além disso, uma relação estéril/minério mínima preestabelecida deve ser cumprida.
	O modelo matemático para o problema descrito anteriormente está desenvolvido abaixo.
Seja:
M o conjunto das frentes de minério;
E o conjunto das frentes de estéril; 
Pi o ritmo de lavra da frente i (t/h);
	
	0, se o equipamento de carga j não trabalha na frente i
	xji=
	
	
	1, se o equipamento de carga j trabalha na frente i
 
tvi o teor da variável v na frente i (%);
linfv o teor mínimo admissível para a variável v (%);
lsupv o teor máximo admissível para a variável v (%);
Pminj a produção mínima admissível para o equipamento de carga j (t/h);
Pmaxj a produção máxima admissível para o equipamento de carga j (t/h);
R a relação estéril minério mínima requerida;
Preq a produção mínima requerida (t/h);
Cap = capacidade dos caminhões;
TCi = tempo médio de ciclo para a frente i;
Nmaxi = o número máximo de caminhões, obtido pela divisão do tempo de deslocamento total pelo tempo de carga, para cada frente i.
Função Objetivo:
Maximizar 
Restrições de Qualidade:
Restrições de Alocação:
Restrições de Produção:
Restrição de número de caminhões por frente:
Pi < (60.Cap.Nmaxi)/TCi	 ( i є M, i є E 	(8)
O número total de caminhões é dado por:
			 Ncam = 
Ncam deve ser menor ou igual ao número de caminhões disponíveis.
	As restrições de qualidade (1) garantem que o produto resultante da mistura dos minérios das diversas frentes esteja dentro dos limites de qualidade exigidos pela usina de tratamento.
	As restrições de alocação (2) e (3) fazem com que cada frente possua somente um equipamento de carga - restrições de alocação (2) - e que cada equipamento de carga atenda somente uma frente - restrições de alocação (3).
	Já as restrições de produção estão divididas em quatro grupos: as restrições (4) garantem que os equipamentos de carga trabalhem entre os limites de produção preestabelecidos; a restrição (5) é opcional, caso se deseje impor uma produção mínima; (6) é a restrição que garante a relação estéril/minério preestabelecida e (7) é a restrição que garante produção positiva em todas as frentes. A restrição (8) garante que a frente produzirá no máximo a quantidade imposta pela frota de caminhões.
9.4 – Modelo de determinação do ritmo de lavra das frentes com equipamentos diferentes e com alocação de caminhões:
	Inicialmente, será considerada a mesma situação apresentada no caso do modelo anterior. A diferença é que no caso de alocação de caminhões tem-se também que realizar a alocação de caminhões às frentes de lavra (modelo de alocação estática). Para isso, deve-se levar em consideração dois fatos:
Cada caminhão deve atender uma única frente de lavra, sendo que, uma frente pode ter mais de um caminhão alocado a ela.
Um caminhão somente poderá trabalhar numa determinada frente se o seu modelo for compatível com o modelo do equipamento de carga que foi alocado àquela frente.
O modelo matemático é apresentado abaixo.
Seja:
M o conjunto das frentes de minério;
E o conjunto das frentes de estéril;
Pi o ritmo de lavra da frente i (t/h);
	
	0, se o equipamento de carga j não trabalha na frente i
	xji=
	
	
	1, se o equipamento de carga j trabalha na frente i
	
	0, se o caminhão k não trabalha na frente i
	dki=
	
	
	1, se o caminhão k trabalha na frente i
�
	
	0, se o equipamento de carga j não puder trabalhar com o caminhão k
	yjk=
	
	
	1, se o equipamento de carga j puder trabalhar com o caminhão k
tvi o teor da variável v na frente i (%);
linfv o teor mínimo admissível para a variável v (%);
lsupv o teor máximo admissível para a variável v (%);
Cki a produtividade do caminhão k quando ele trabalha na frente i (t/h) - valor que depende da capacidade do caminhão e dos tempos médios de ciclo relacionados à frente i;
Pminj a produção mínima admissível para o equipamento de carga j (t/h);
Pmaxj a produção máxima admissível para o equipamento de carga j (t/h);
R a relação estéril/minério mínima requerida;
Preq a produção mínima requerida (t/h).
Função Objetivo:
Maximizar 
Restrições de Qualidade:
Restrições de Alocação:
 	(5a)
Restrições de Produção:
	Com relação ao primeiro modelo (alocação dinâmica) três grupos de restrições foram acrescentados, cujas funções são:
Restrições de alocação (4): garantem que cada caminhão atenderá somente uma frente.
Restrições de alocação (5): permitem que somente modelos compatíveis de equipamentos de carga e de caminhões trabalhem numa mesma frente e a (5a) garante que somente serão alocados caminhões para uma determinada frente se existir um equipamento de carga naquela frente.
Restrições de produção (7): garantem que a produção de cada frente fique limitada a produtividade dos caminhões que a ela estão alocados. A produtividade dos caminhões é calculada dividindo-se a sua capacidade de carga pelo tempo de ciclo total. Entende-se por tempo de ciclo total o somatório dos tempos de carga, deslocamento carregado, descarga e deslocamento vazio. 
�
9.5 – Exercícios:
1 - Uma mineração faz o seu planejamento semanal, colocando um total de 10 frentes de minério e 4 de estéril disponíveis para a lavra, informando, para as frentes de minério, os teores de ferro, fósforo, alumina e sílica, bem como a distância de transporte dessas frentes até o britador primário. Desenvolva um modelo para determinar qual deve ser a produção de cada frente, levando-se em consideração que:
1 – A produção horária máxima de cada carregadeira é de 900 t/h;
2 – Cada frente em operação deve produzir, no mínimo, 300 t/h. 
3 – O número de carregadeiras é igual a 4, ou seja, este deve ser o númeromáximo de frentes em operação simultaneamente;
4 – A produção mínima da mina deve ser de 1700 t/h (ROM);
5 – A relação estéril/minério deve ser >=0.5
5 – A produção deve atender às especificações de qualidade, expressas por teores mínimos e máximos de cada uma das variáveis de controle;
6 – O modelo deve ser desenvolvido de forma que se possa escolher entre dois objetivos: maximizar a produção de minério e minimizar a distância média de transporte do minério (média ponderada da distância com a produção de cada frente);
7 - Os teores de cada frente devem ser considerados como dados de entrada, assim como as especificações dos teores da blendagem e todos os dados parametrizáveis do problema em questão.
Deve ser entregue um disquete contendo o arquivo texto de entrada do modelo. Também deve ser entregue um arquivo contendo a documentação sobre o modelo desenvolvido.
Para teste do modelo devem ser usados os dados abaixo:
 
Frentes 11 a 14 são de estéril.
2 – Uma empresa de mineração disponibiliza para a lavra 9 frentes de minério e 2 de estéril a cada plano de lavra de curto prazo de sua mina. Para a realização dos trabalhos de lavra, a empresa conta com 4 carregadeiras de diferentes capacidades. Por razões técnicas e econômicas, cada carregadeira trabalha dentro de limites mínimos e máximos de produtividade. Esses limites são mostrados na tabela 1. A mina deve produzir um mínimo de 3500 t/h de minério e a relação estéril / minério mínima deve ser de 0.4. A empresa controla teores de Fe, P, SiO2, Al2O3 e P.P.C. (perda ao fogo). Os teores das variáveis em cada frente bem como a distância de transporte, são mostrados na tabela 2 e os limites exigidos para as variáveis no R.O.M. ("run of mine") estão mostrados na tabela 3. Construir uma planilha de cálculo, utilizando o MS Excel( e Lindo Systems WB(, que determine a produção de cada frente e qual carregadeira deverá operar em cada uma delas de forma a atender todas as restrições e minimizar a distância média de transporte.
Tabela 1 - Limites de produção das carregadeiras
	Carregadeira
	Produtividade Min (t/h)
	Produtividade Max (t/h)
	1
	800
	1500
	2
	750
	1300
	3
	650
	1300
	4
	600
	1000
 
Tabela 2 - Teores das frentes
	Frente
	Fe
	SiO2
	Al2O3
	P
	P.P.C.
	Dist. (m)
	1
	56.70
	1.35
	1.89
	0.061
	2.47
	1000
	2
	52.08
	12.34
	2.89
	0.034
	7.98
	1500
	3
	56.53
	3.56
	2.78
	0.030
	3.45
	1200
	4
	47.04
	17.98
	1.62
	0.027
	1.50
	1100
	5
	53.17
	7.89
	4.45
	0.045
	4.91
	2000
	6
	52.08
	18.69
	2.34
	0.022
	1.05
	2500
	7
	54.26
	8.78
	1.37
	0.036
	1.50
	1700
	8
	55.10
	8.76
	3.78
	0.034
	1.25
	1000
	9
	55.02
	15.93
	1.25
	0.056
	1.94
	800
	10 (Estéril)
	0
	0
	0
	0
	0
	1700
	11 (Estéril)
	0
	0
	0
	0
	0
	2300
�
Tabela 3 - Limites requeridos no R.O.M.
	Frente
	Fe
	SiO2
	Al2O3
	P
	P.P.C.
	Teor Min
	54
	5
	0
	0
	0
	Teor Max
	67
	9
	3.5
	0.045
	2.5
10 - Teoria da filas
A teoria das filas é um dos tópicos da pesquisa operacional, que trata do problema de congestionamento de sistemas, onde clientes solicitam serviços a servidores. Neste tópico será feita uma rápida apresentação desta teoria visando um embasamento para o estudo da simulação de sistemas. Maiores detalhes sobre este tópico podem ser encontrados em Prado (1999) e Andrade (1999).
10.1 - Elementos de uma fila:
Figura 7 - Elementos de uma fila
10.2 - Características de uma fila:
10.2.1 – Clientes e tamanho da população
	População infinita => Chegadas independentes
	População finita => Chegadas interdependentes
�
10.2.2 – Processo de chegadas:
	Não basta fornecer valores médios, é necessário também mostrar como os valores se distribuem em torno da média, ou seja, qual distribuição de probabilidades rege o processo.
		( = Ritmo de chegada
		IC = Intervalo entre chegadas
Obs: Intervalos regulares => processos altamente automatizados.
10.2.3 – Processo de atendimento:
		
		 ( = Ritmo de atendimento
		TA = Tempo de atendimento
10.2.4 – Número de servidores:
	
É a quantidade de servidores que atendem aos clientes.
10.2.5 – Disciplinas das filas:
	FIFO = First in, first out (primeiro que chega é o primeiro a sair da fila)
	LIFO = Last in, first out (primeiro que chega é o último a sair da fila)
	Prioridade = Uma característica do cliente define sua prioridade de atendimento.
	Randômico = Atendimento aleatório.
10.2. 6 – Tamanho médio da fila:
	Se ( e ( são constantes => o tamanho da fila oscila em torno de um valor médio. Se ( < ( a fila aumentará indefinidamente.
10.2.7 – Tamanho máximo da fila: 
	
Os clientes devem aguardar em uma área de espera que deve ser dimensionada de acordo com o tamanho máximo esperado para a fila.
10.2.8 – Tempo médio de espera:
	O tempo médio de espera depende dos processos de chegada e atendimento.
		
TF = f ((,( )
10.3 – Variáveis aleatórias:
O comportamento de uma variável aleatória pode ser expresso pelo seu valor médio e a forma como os valores se distribuem em torno desta média.
10.4 – Dinâmica de uma fila:
	
Exemplo de um banco:
Intervalo entre chegadas (minutos): 
Cliente 	 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Intervalo	 2 3 3 3 5 0 1 5 1 4 1 2 Média=2.5
Momento	 2 5 8 11 16 16 17 22 23 27 28 30 ( = 24 / h
Duração do atendimento (minutos):
Cliente 	 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Média=2.0
Duração	 1 2 1 1 4 2 1 4 2 3 1 3 ( = 30 / h
						
Tempo de espera de cada cliente:
Cliente 	 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Momento	 2 5 8 11 16 16 17 22 23 27 28 30
Duração	 1 2 1 1 3 2 1 4 2 3 1 3
Liberação 	 3 7 9 12 19 21 22 26 28 31 32 35 
Espera	 	 0 0 0 0 0 3 4 0 3 1 3 2
TF = (3+4+3+1+3+2)/12 = 16/12 = 1.33 min
NF = (3+4+3+1+3+2)/35 = 16/35 = 0.46 clientes 
10.5 - Sistemas estáveis:
Sistema estável é aquele em que ( e ( se mantêm constantes ao longo do tempo. Se ( e ( não são estáveis, a análise do comportamento do sistema pela teoria das filas só é possível se retalharmos o período de tempo, o que torna a análise muito mais complexa.
10.6 – Tamanho da amostra:
Um estudo sobre um sistema estável, apresentará sempre os mesmos resultados desde que adequadamente analisado. Vale ressaltar que o tamanho da amostra é fundamental.
10.7 – Tipos de filas:
a – 1 fila e 1 servidor
b – 1 fila e n servidores
c – m filas e n servidores
d – filas especiais (ex: caixas expressos de supermercados)
e – filas que seguem uma alteração dinâmica do sistema de atendimento
10.8 - Variáveis aleatórias fundamentais:
10.8.1 - Variáveis referentes ao sistema: 
	TS = tempo médio de permanência no sistema
	NS = nr. médio de clientes no sistema
10.8.2 - Variáveis referentes ao processo de chegada:
	 ( = ritmo médio de chegada
	IC = intervalo entre chegadas
	por definição: IC = 1/ (
10.8.3 - Variáveis referentes à fila:
	TF = tempo médio de permanência na fila
	NF = nr. médio de clientes na fila
10.8.4 - Variáveis referentes ao processo de atendimento:
	TA = tempo médio de atendimento ou serviço
	M = quantidade de atendentes ou servidores
	NA = nr. médio de clientes que estão sendo atendidos
	(= ritmo médio de atendimento de cada atendente
	por definição: TA = 1/ (
10.8.5 - Relações básicas:
	NS = NF + NA
	TS = TF + TA
	Pode-se demonstrar também que:
	NS = NF+ (/( = NF + TA/IC
�
10.8.6 - Taxa de utilização dos atendentes:
	para 1 fila e 1 servidor: (= (/(
	para 1 fila e M servidores: ( = (/(M()
Assim, ( representa a fração média de tempo em que cada servidor está ocupado.
Para sistemas estáveis, tem-se que : ( < 1
10.8.7 - Intensidade de tráfego ou número mínimo de atendentes:
	i = | (/(| = |TA/IC|
i é o próximo valor inteiro que se obtém pela divisão (/( . Assim, i representa o número mínimo de atendentes necessário para atender a um dado fluxo de tráfego.
Unidade de i = erlangs ( em homenagem A. K. Erlang)
10.8.8 - Fórmulas de Little (J. D. C. Little):
		NF = ( . TF
		NS = ( . TS
10.8.9 - Postulados básicos:
1 - Em qualquer sistema estável, o fluxo que entra é igual ao fluxo que sai.
2 - Em um sistema estável, o fluxo de entrada se mantém nas diversas seções do sistema.
3 - Em um sistema estável, a junção de fluxos equivale às suas somas.
4 - Em um sistema estável, o fluxo se desdobra aritmeticamente.
�
10.9 - Processos de chegada e atendimento:
Exemplo de chegadas de veículos a um pedágio: foram anotados o número de veículos que chegaram a cada intervalo de 1 min. Entre 7 e 8 horas chegaram 120 veículos.
 Ritmo Freq. Absoluta Freq. Relativa Dist. Poisson ((=2)
0		9			0.150		0.135
1		17			0.283		0.271
2		17			0.283		0.271
3		9			0.150		0.180
4		4			0.066		0.090
5		1			0.017		0.036
6		1			0.017		0.012
7		1			0.017		0.003
8		1			0.017		0.001
9		0			0.000		0.000
10		0			0.000		0.000
( = 120 veνculos / 60 min = 2 veículos / min.
10.10 - Distribuição de Poisson:
Onde:
f(x) é a probabilidade ( freqüência relativa) de ocorrerem x chegadas na unidade de tempo, sendo que ( representa o ritmo médio de chegadas. Por exemplo: para x = 2 tem-se: f(2) = 0.271. 
10.11 - Distribuição Exponencial Negativa:
 
Quando um processo de chegada possui um ritmo que segue Poisson, o intervalo entre chegadas segue uma distribuição exponencial negativa.
�
10.11 - Notação de Kendall (David Kendall):
Fila A/B/c/K/m/Z
onde:	A = distribuição dos intervalos entre chegadas
	B = distribuição dos tempo de serviço
	c = quantidade de servidores (atendentes)
	K = capacidade max. Do sistema
	m = tamanho da população
	Z = disciplina da fila
A anotação condensada A/B/c é muito usada e se supõe que não há limite para o tamanho da fila, a população é infinita e a disciplina é FIFO. Para A e B, quando a distribuição for exponencial negativa, usa-se M (Marcoviana).
10.12 - Filas Modelo M/M/1 - Fórmulas usuais:
Modelo de fila que tanto as chegadas quanto o atendimento são marcovianos, ou seja, seguem a distribuição de Poisson para ritmos ou exponencial negativa para intervalos e durações. Além disso, existe apenas um único servidor.
População infinita - fórmulas usuais
1 – Número médio de clientes na fila:
2 – Número médio de clientes no sistema:
3 – Tempo médio que o cliente fica na fila:
4 – Tempo médio que o cliente fica no sistema:
5 – Probabilidade de existirem n clientes no sistema:
6 - Taxa de utilização:
Quando ( tende para 1 a fila tende a aumentar infinitamente:
 
 
Figura 8 - Variação do tamanho da fila com a taxa de utilização
10.13 - Filas Modelo M/M/1/K - Fórmulas usuais:
1 – Número médio de clientes na fila:
2 – Número médio de clientes no sistema:
3 – Tempo médio que o cliente fica na fila:
4 – Tempo médio que o cliente fica no sistema:
5 – Probabilidade de existirem n clientes no sistema:
10.14 - Exercícios:
1 - Em uma agência bancária com apenas um atendente, o intervalo médio entre chegadas dos clientes é de 5 minutos e o atendimento leva em média 4 minutos. Posto isto, determinar o tempo médio de espera dos clientes, o tamanho médio da fila e o tempo médio de permanência dos clientes na agência.
2 - Em uma pedreira, caminhões chegam para descarregar em um britador, provenientes de 2 minas diferentes. O tempo médio para descarregar um caminhão é de 2 minutos. Os caminhões chegam da mina 1 a intervalos médios de 3 minutos e da mina 2 a intervalos médios de 12 minutos. Supondo que os processos de chegada e atendimento sejam marcovianos (modelo M/M/1), determinar qual espaço deverá ser disponibilizado na praça do britador (quantos caminhões a praça deve comportar) para que as operações sejam realizadas satisfatoriamente.
3 – Uma lanchonete está estudando a possibilidade de oferecimento de serviço de atendimento expresso a motoristas de forma a otimizar o atendimento a clientes que querem levar seus lanches para casa. Neste serviço, os clientes fazem seus pedidos, pagam e recebem suas mercadorias sem a necessidade de sair do carro. Ao chegarem a lanchonete os carros entram num corredor que possui três cabinas espaçadas umas das outras. Ao passar pela primeira cabina um funcionário anota o pedido do cliente num terminal de computador e o encaminha para o setor de produção. O carro segue em frente e ao passar pela segunda cabina, o cliente efetua o pagamento do pedido. Após o pagamento, o carro segue até a terceira cabina onde recebe o pedido devidamente empacotado. Assumindo que os processos de chegada e atendimentos nas diversas cabinas sejam Marcovianos, determinar qual seria o espaço a ser reservado antes de cada cabina (suponha que cada carro ocupe um espaço médio de 5 metros) de forma que o fluxo de uma cabina não prejudique o funcionamento da anterior e que o espaço antes da primeira cabina seja adequado à espera. Assuma que cheguem em média 16 carros por hora, que a cabina de pedidos consiga atender em média 20 carros por hora e que a cabina de pagamentos e entrega consigam atender, cada uma, uma média de 19 carros por hora. Calcular também o tempo médio de permanência dos clientes no sistema.
4 - A prefeitura de uma cidade deseja colocar um pedágio na entrada de uma ponte. Ruas de mão única (sentido unidirecional) convergem para esta ponte como mostrado na figura abaixo. O pedágio será colocado no ponto P. Os carros passam pelo ponto A uma taxa 40 carros / hora. Chegando ao ponto B há uma divisão do fluxo de carros, sendo que 25% se dirigem na direção do ponto E e 75% na direção do ponto F. O intervalo médio entre passagens de dois carros consecutivos pelo ponto D é de 4,7 minutos e pelo ponto C é de 3,5 minutos. Sabendo-se que o tempo médio gasto para o pagamento e liberação do pedágio é de 38 segundos, qual será o tempo médio de espera dos carros no ponto P e qual será o tamanho médio da fila naquele ponto, se considerarmos a existência de um único caixa de atendimento. Calcule também a taxa de ocupação do caixa. Suponha que os processos de chegadas e atendimento sejam Markovianos.
11 - Simulação de Sistemas
	Como mostrado anteriormente a programação matemática presta-se à resolução de um grande número de problemas corriqueiros de uma mina. Porém, à medida que tais problemas crescem, muitas vezes surgem variáveis cujo comportamento não é determinístico e sim aleatório. Nestes casos a simulação apresenta-se como uma ferramenta poderosa no estudo destes sistemas e na resolução dos problemas de interesse.
	A simulação teve sua origem como uma extensão do método de Monte Carlo que foi proposto por von Neumann e Ulam durante a 2ª Guerra Mundial, para o estudo da difusão de neutrons, estudo este que resultou na construção da bomba atômica.
	Atualmente, com a evolução fantástica dos computadores, a simulação tornou-se uma ferramenta bastante popular e seu uso tem crescido substancialmente nos últimos anos. Uma das causas desse crescimento reside no fato de que com o uso da simulação podemos criar modelos mais realistas, o que compensa a sua menor precisão quando comparada aos métodos determinísticos. Sobre este aspecto Saliby (1988) diz que é preferível ter soluçõesaproximadas para problemas mais realistas do que soluções exatas para problemas aproximados. Além disso, ele ainda aponta como sucesso da simulação diversos outros fatores, entre eles o processo de modelagem evolutivo, a facilidade com a qual podemos responder via simulação perguntas do tipo "E se mudássemos tal cenário qual seria o efeito sobre o modelo?", a facilidade de comunicação devido a não existência de equações matemáticas complicadas nos modelos, etc.
	Em qualquer processo de simulação existem três etapas chaves: a construção do modelo de simulação, a programação computacional do modelo concebido e a sua experimentação e validação. Na primeira fase a modelagem pode ser feita seguindo-se basicamente quatro métodos: a abordagem por eventos, por atividade, por processo e pelo método das três fases. Este último, foi primeiramente descrito por Tocher (1963) e segundo Pidd (1998) teve um grande sucesso por combinar a simplicidade da abordagem por atividades com a eficiência da abordagem por eventos. A abordagem por processo tem tido uma crescente aceitação e sotwares comerciais tem usado com freqüência este tipo de abordagem. A programação computacional do modelo é, atualmente, uma tarefa pouco complexa em função dos vários pacotes computacionais disponíveis no mercado. A experimentação e validação do modelo, apesar de parecer uma tarefa simples, tem suas surpresas, pois o modelo é um espelho fiel das premissas em que foi baseado. Se tais premissas forem representativas da realidade e caso não existam erros na parte computacional, certamente o modelo dará bons resultados, ou seja, será capaz de representar com fidelidade o sistema a ser simulado. Por isso, uma coleta de dados bem feita e uma observação minuciosa da realidade do sistema são fundamentais no processo de simulação, pois pode-se perder todo o trabalho realizado devido a falta de aderência do modelo à realidade.
	Na mineração, particularmente nas operações de lavra, a simulação talvez seja a única ferramenta que nos dê respostas confiáveis para uma série de questionamentos. Isto ocorre porque os sistemas a representar são extremamente complexos e apresentam um grande número de variáveis aleatórias, o que muitas vezes inviabiliza os modelos determinísticos.
	Diversas perguntas podem surgir quando falamos em simular as operações de lavra, sendo a primeira delas "Por que simular tais operações?". A resposta é simples: se temos condições de simular as operações, podemos gerenciá-las buscando a otimização do planejamento da lavra. Muitas vezes existe um assincronismo entre aquilo que foi planejado e as operações necessárias à sua execução. Por isso, sempre temos relatórios de "planejado versus executado". Otimizar, neste caso, significa reduzir as diferenças entre um e outro. Através da simulação podemos saber, com um certo grau de certeza, como se comportaria a mina frente às alterações de cenários propostas. Com o uso da simulação pode-se, por exemplo, responder de antemão qual seria o acréscimo possível de produção sem o aumento da frota de caminhões, ou avaliar o impacto na produtividade devido a uma possível implantação de um sistema de despacho automático, ou ainda verificar a viabilidade de execução de uma determinada campanha de lavra ou fazer uma análise de sensibilidade de uma determinada operação em relação a uma ou mais variáveis, etc. Em outras palavras, a simulação funciona como um fornecedor de subsídios para uma tomada de decisão mais consistente. As aplicações de simulação na mineração começaram no início da década de 60 e ganharam mais popularidade a partir da década de 80, com o avanço dos computadores pessoais.
11. 1 - A idéia básica da simulação
Simular a realidade significa operar o modelo que a representa, visando analisar o sistema para tornar possível responder perguntas do tipo: E se o sistema operasse desta ou daquela forma o que aconteceria? A figura 9 esquematiza o uso de um modelo de simulação.
Figura 9 - Esquema de uso de um modelo de simulação
O uso da simulação em relação à experimentação direta traz as seguintes vantagens: menor custo, menor tempo de análise, possibilidade de replicação dos resultados, maior segurança, possibilidade de testar alternativas consideradas ilegais no momento.
	Já o uso da simulação em relação à modelagem matemática apresenta maiores vantagens na modelagem mais simples de problemas complexos.
11.2 - Fases de um estudo de simulação:
1 - Definição do problema
2 - Identificação das variáveis relevantes
3 - Coleta de dados
4 - Formulação do modelo lógico-matemático
5 - Construção do modelo computacional
6 - Verificação e validação do modelo
7 - Experimentação
Exemplo: Estudo da viabilidade de implantação de um sistema automático de alocação de caminhões em uma mina a céu aberto.
Etapas :
1 - Definição do problema:	
 	Nesta etapa deve-se caracterizar, da forma mais realista possível, o sistema, no caso o carregamento/transporte/descarga de minério e estéril da mina, identificando todas as atividades que o constituem, as entidades que dele participam e a forma como cada uma das atividades é realizada.
2 - Identificação das variáveis relevantes:
	Deve-se verificar as principais variáveis que influenciam o sistema e aquelas cujo comportamento se quer analisar. Neste caso, podem ser citadas o tempo de fila dos caminhões, tempo ocioso dos equipamentos de carga, qualidade do R.O.M., produtividade da frota, etc.
3 – Coleta de dados:
Nesta fase se processa a coleta de dados relativos às variáveis relevantes.
4 - Formulação do modelo lógico-matemático:
	Aqui deve-se estabelecer as regras matemáticas implícitas na execução das diversas atividades componentes do sistema. Como exemplo pode ser citadas: o tempo de deslocamento cheio e vazio dos caminhões, distribuições estatísticas de tempos de quebra e manutenção dos equipamentos, blendagem do minério proveniente das frentes, restrições de capacidade dos equipamentos, equacionar regras de alocação fixa e dinâmica dos caminhões, etc.
5 - Construção do modelo computacional:
	Após a completa definição do modelo, deve ser desenvolvido o programa de computador para sua simulação. Isto pode ser feito utilizando-se uma linguagem de programação de propósito geral (caminho mais difícil e demorado) ou uma linguagem específica de simulação (caminho recomendado).
6 - Verificação e validação do modelo:
	Com o programa pronto devem ser executados testes para verificação de erros de programação, consistência e conceituação. Muitas vezes o programa não tem erros de programação, mas o modelo programado não é uma representação adequada da realidade que ele se dispõe a representar. Para a validação do modelo podem ser simuladas, por exemplo, situações simples cujos resultados sejam passíveis de acompanhamento, ou simular cenários passados e compará-los com seus registros.
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7 - Experimentação:
	Se o modelo estiver verificado e validado, a etapa seguinte é a sua aplicação. Nesta etapa são simulados os cenários de análise fazendo a comparação entre eles através da observação do comportamento de suas variáveis principais. No caso em questão, haveria, basicamente, dois cenários a serem analisados:
	a - Sistema de carregamento/transporte/descarga com alocação fixa de caminhões;
	b - Sistema de carregamento/transporte/descarga com alocação dinâmica de caminhões;
	Após a simulação dos dois casos, podem ser comparados por exemplo, a qualidade do minério alimentado (média e variância das variáveis de controle), tempo médio de fila dos caminhões, produtividade da frota, etc.
	Feitas as comparações, pode-se então avaliar, com base estatística, quais as vantagens de se investir na compra do sistema proposto.
11.3 - Algumas áreas de aplicação / exemplos:
1 - Manufatura: Testes de novas alternativas ou políticas de controle
2 - Saúde: Estudo de sistemas de triagem em grandes hospitais. Análise de alternativasoperacionais de setores de emergência.
3 - Reengenharia dos processos de negócios: Produção em lotes para produção em fluxo contínuo.
4 - Sistemas de transporte: Operação de ferrovias, rodovias, aeroportos, portos, etc.
5 - Área militar: simulação de operações de guerra.
6 - Mineração : Análise da operacionalidade de planos de lavra de curto prazo, análise de cenários alternativos de produção, etc.
11.4 - Considerações a respeito de um estudo de simulação
Os pontos a serem considerados são:
A - Manipulação do tempo
B - Durações determinísticas ou estocásticas
C - Trocas de estado discretas ou contínuas
A- Manipulação do tempo:
Uma das vantagens da simulação é a possibilidade de controlar a velocidade com que as alterações no estado do modelo se processam. A essência da simulação é que as trocas de estado do sistema são modeladas através do tempo. Assim, é importante considerar como o fluxo de tempo deve ser manuseado ao longo da simulação.
Formas de manipulação do tempo:
1 - Divisão do tempo em intervalos regulares (“time-slicing”)
O modelo é atualizado a cada intervalo constante de tempo.
2 - Técnica do próximo evento:
O modelo é atualizado a intervalos variáveis de tempo. Assim, o modelo só é atualizado quando se tem certeza que alguma mudança ocorrerá. Estas trocas de estado são chamadas de eventos.
B - Durações determinísticas ou estocásticas:
Um sistema é dito determinístico, quando seu comportamento pode ser perfeitamente previsível (analisado analiticamente) e estocástico quando as variáveis que o constituem têm seu comportamento descrito por distribuições de probabilidade.
C - Trocas de estado discretas ou contínuas:
As variáveis incluídas em um modelo de simulação podem trocar seus valores de 4 formas distintas:
1 - Continuamente a qualquer ponto do tempo;
2 - Continuamente em pontos discretos do tempo;
3 - Discretamente a qualquer ponto do tempo;
4 - Discretamente em pontos discretos do tempo.
Baseado nas colocações acima, podemos classificar os modelos de simulação em:
1 - Estáticos ou dinâmicos
2 - Determinísticos ou estocásticos
3 - Discretos ou contínuos
	Neste curso será abordada somente a simulação a eventos discretos.
11.5 - Generalidades sobre simulação a eventos discretos
	Emprega a técnica do próximo evento para controlar o comportamento do modelo. Aplicada a sistemas fortemente estruturados em filas (óbvias ou não).
Terminologia:
Objetos do sistema:
	Entidades: Elementos individuais do sistema cujo comportamento se deseja analisar.
	Recursos: Elementos individuais do sistema que não são modelados separadamente. Um recurso consiste em itens idênticos e o programa mantém um controle sobre quantos itens estão disponíveis a cada momento.
Tipos de entidades:
	Permanentes: permanecem no sistema durante toda a simulação.
	Temporárias: permanecem no sistema apenas parte da simulação.
	Ativas: trabalham em conjunto com outras atividades e as “retêm” durante algumas operações do sistema.
	Passivas: trabalham em conjunto com outras atividades e são “retidas” por elas durante algumas operações do sistema. 
Organização das entidades:
	Classes: grupos permanentes de entidades idênticas ou similares.
	Conjuntos: grupos temporários de entidades idênticas ou similares. São usados para representar, por exemplo, um grupo de entidades em fila.
	Atributos: são itens que informam determinadas características de uma entidade. Servem para 2 propósitos:
	Distinguir membros de uma mesma classe de entidades
	Controlar o comportamento das entidades.
 
Operações relacionadas às entidades:
	Evento: é o instante do tempo no qual alguma troca significativa de estado ocorre no sistema.
	Atividade: são as operações e procedimentos que são iniciados em cada evento.
	Processo: às vezes, é usual agrupar uma seqüência de eventos na ordem cronológica que eles acontecem. Tal seqüência é conhecida como processo, e é utilizada para representar parte ou toda a “vida” de uma entidade dentro do sistema.
	Relógio da simulação: representa o instante corrente da simulação.
11.6 - Modelagem para simulação - Diagrama de Ciclo de Atividades (DCA):
Pinto e Saliby (1999) descrevem da seguinte maneira o Diagrama de Ciclo de Atividades -DCA e seus elementos: 
O Diagrama de Ciclo de Atividade - DCA, como sendo uma forma de representação gráfica do sistema a ser modelado e constitui-se de um conjunto de elementos interligados. São três elementos básicos: as entidades, as atividades e as filas. As entidades constituem-se no elemento primário do modelo e representam as classes de entidades físicas do sistema.
	Existem entidades permanentes e temporárias. As primeiras permanecem no sistema durante todo o período simulado, enquanto as últimas permanecem no sistema somente parte desse período. O primeiro passo na construção do DCA é a definição das entidades do sistema e no caso das permanentes, também as suas respectivas quantidades. A cada entidade podem ser associados atributos que servem para registrar determinados dados da simulação. Como as entidades estão agrupadas em classe, cada entidade da classe possui o conjunto de atributos definido para a classe. 
As atividades representam estados de atividade do sistema. Cada atividade pode ter a participação de uma ou mais entidades. A duração de cada atividade pode ser constante ou seguir uma distribuição de probabilidades predefinida. Durante a execução de uma atividade, as entidades nela envolvidas ficam indisponíveis.
A representação gráfica de uma atividade dentro de um DCA é feita por um retângulo. Cada entidade que participa da atividade define uma entrada e uma saída do retângulo.
As filas representam estados passivos de entidades que aguardam o atendimento das condições de início de uma atividade, para dela participarem. Posto isto, pode-se deduzir a obrigatoriedade de alternância entre filas e atividades num DCA. Outra conseqüência desta alternância é que o tempo de permanência numa fila não é predeterminado, variando de acordo com o andamento da simulação. Esta obrigatoriedade de alternância entre filas e atividades, muitas vezes torna necessária a definição de filas artificiais, onde a espera nunca acontece. As filas são representadas graficamente por um círculo.
Um DCA é composto de um conjunto de subdiagramas que constituem os ciclos de vida de cada entidade. O ciclo de vida de cada entidade, por sua vez, é o conjunto de atividades e filas percorridos pela entidade ao longo do sistema.
Além dos três elementos básicos no DCA também pode ser mencionado o elemento fonte/sumidouro, que é o elemento utilizado para representar a entrada e saída de entidades temporárias do sistema. Este elemento é representado por dois círculos sobrepostos. As fontes/sumidouros podem ser consideradas como filas de capacidade infinita que sempre disponibilizam entidades para o início das atividades a elas subsequentes. Devido a esta característica estes elementos são utilizados na representação de chegadas externas ao sistema.
Outros elementos podem ser também referenciados em um DCA. Trata-se da representação de disciplinas de filas, desvios condicionais que ocorrem ao término de atividades, priorização de início de atividades, priorização de entidades, filas paralelas, bloqueio de recursos, duração de atividades, etc. 
Exemplo: Uma empresa de mineração opera 7 escavadeiras. As escavadeiras trabalham em operação contínua, interrompendo seu funcionamento apenas para manutenção corretiva. O tempo entre falhas é descrito por uma distribuição exponencial negativa com média 7 dias. A manutenção é feita por uma única equipe e sua duração é também é exponencialmente distribuída com média de 1 dia. Deseja-se simular este problema para avaliar o tempo que as escavadeiras ficam paradas por falta de manutenção. Também deseja-se estimar a ocupação média da equipe de manutenção e avaliaro impacto do aumento no número de equipes para duas.
Figura 10 - DCA representativo do exemplo da manutenção das escavadeiras
11.8 - Exercícios:
	Estes exercícios serão resolvidos em sala de aula.
1 - Durante o dia o bilheteiro de um teatro se encarrega da venda de ingressos e do atendimento a consultas por parte do público. As consultas pessoais têm prioridade sobre as chamadas telefônicas que, graças a um sofisticado sistema eletrônico, são colocadas numa fila e atendidas na ordem de chegada. O público é educado e muito paciente, nunca indo embora ou desligando o telefone sem que tenha sido atendido. O intervalo entre a chegada de duas consultas pessoais consecutivas segue uma distribuição exponencial com média de 12 unidades de tempo. O intervalo entre a chegada de duas chamadas telefônicas consecutivas também é exponencialmente distribuído com média 10 unidades de tempo. Um atendimento pessoal leva em média 6 unidades de tempo, seguindo uma distribuição exponencial. Uma chamada telefônica leva em média 5 unidades de tempo, distribuindo-se também segundo uma exponencial. Deseja-se simular este problema para estimar a taxa de ocupação do bilheteiro e o tempo de espera das pessoas. Refazer o problema supondo que a central telefônica não retenha chamadas ( uma chamada encontrando o sistema ocupado ou não sendo atendida – bilheteiro ocupado – é perdida). Construir o DCA representativo do sistema.
2 - Num bar, os clientes chegam da rua para tomar chope, numa quantidade que varia aleatoriamente em função da sede de cada um. Os intervalos entre chegadas consecutivas são exponencialmente distribuídos com média de 10 minutos. A quantidade de copos que cada cliente toma é definida quando da sua chegada, através do atributo SEDE. A SEDE de um cliente varia de acordo com uma distribuição inteira uniforme com um mínimo de 1 e um máximo de 4 copos. Chegando ao bar, um cliente aguardará sua vez de ser servido. Uma vez servido, atividade cuja duração segue uma distribuição normal com média de 6 minutos e desvio padrão de 1 minuto, o cliente beberá seu copo a seguir. O tempo para beber um copo distribui-se uniformemente com valores inteiros entre 5 e 8 minutos. Este ciclo irá se repetir até que o cliente tenha sua sede saciada. Dois garçons são responsáveis pelo atendimento dos clientes e pela lavagem dos copos usados. O atendimento, além do cliente, exige também que um copo limpo esteja disponível. A lavagem dos copos tem duração constante e igual a 2 minutos. Supõe-se ainda que o bar dispõe de 70 copos. Pede-se construir o DCA representativo deste sistema
Variante 1:
	Suponha que, por razões trabalhistas, o garçon do bar tenha direito a um intervalo para descanso de 10 minutos a cada hora trabalhada. Desta forma, "DESCANSAR" seria uma nova atividade do garçon. O início da atividade "DESCANSAR" ocorre assim que o garçon ficar ocioso pela primeira vez, após chegar a hora do descanso. Refaça o sistema considerando esta nova atividade.
3 – Uma empresa usa matérias primas do tipo A e B. Ambas são transportadas por caminhões, de mesma capacidade, que chegam à empresa segundo uma distribuição exponencial negativa de média de 25 minutos. Sabe-se que 30% desses caminhões trazem matéria prima do tipo A e o restante do tipo B. Ao chegarem à empresa os caminhões têm sua carga checada por um funcionário da portaria, que preenche um formulário e encaminha o caminhão para uma das docas de descarga, atividade que possui duração exponencialmente distribuída com média de 5 minutos. Existe uma doca (Doca A) para descarga de caminhões que transportam mercadorias do tipo A e duas docas para aqueles que transportam mercadorias do tipo B (Doca B1 e Doca B2). O tempo de descarga dos caminhões que transportam mercadoria do tipo A segue uma distribuição normal com média de 30 minutos e desvio padrão de 6 minutos. O tempo de descarga dos caminhões que transportam mercadoria do tipo B segue uma distribuição triangular com moda de 38, mínimo de 30 e máximo de 50 minutos. Os caminhões com mercadorias do tipo B são encaminhados para a doca que tiver menor fila (B1 ou B2). Após a descarga, os caminhões seguem para outro setor da empresa onde entregam as notas fiscais e os recibos de descarga. Neste setor, os caminhões são atendidos por um funcionário, que preenche um formulário de liberação do veículo. O tempo gasto pelo funcionário para realização deste serviço segue uma distribuição normal com média de 7 minutos e desvio padrão de 2 minutos. Após receberem o formulário de liberação, os caminhões se dirigem à portaria da empresa, onde o mesmo funcionário que os recebeu faz uma vistoria de segurança nos caminhões, para certificar se eles não estão saindo com nada da empresa, e os libera em seguida. O tempo gasto nesta atividade é exponencialmente distribuído com média de 4 minutos. O funcionário da portaria prioriza o atendimento de chegada de caminhões em relação à vistoria de saída. Posto isto, construir o diagrama de ciclo de atividades representativo deste sistema.
 
4 - Um porto de embarque de minério opera da seguinte forma:
Os navios chegam ao porto em intervalos de tempo que seguem uma distribuição exponencial negativa com média de 6 dias. A capacidade dos navios varia da seguinte forma: 75% são de 100.000 t, 15% são de 200.000 t e 10% de 150.000 t. Chegando ao porto, os navios encontrando o pier vago ( o porto só possui 1 pier) e desde que haja minério no estoque, começam a ser carregados a uma taxa de 1200 t/h. Caso o estoque de minério termine antes do navio ser completamente carregado, o navio aguardará no pier a chegada de minério, ou seja, ele só deixa o pier quando estiver completamente carregado. O minério chega ao porto por via ferroviaria, sendo que cada trem é composto de 80 vagões com capacidade de 100 t cada um. Os trens chegam ao porto, em média, a cada 7 horas, seguindo uma distribuição normal, com desvio padrão de 1 hora. Os trens, chegando ao porto, têm seus vagões descarregados um a um, por um único virador de vagões. O tempo de descarga de cada vagão segue uma distribuição normal com média de 2,5 minutos e desvio padrão de 0,3 minutos. Ao fim da descarga de cada vagão, obviamente, o estoque de minério do porto aumenta em 100 t. Posto isto, pede-se construir o diagrama de ciclo de atividades para o sistema.
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- Formas de estruturação de um programa de simulação
 	Neste tópico serão estudadas algumas formas de abordagem para estruturação de programas de simulação. Como dito anteriormente, existem basicamente 4 abordagens: pelo método das três fase, por processo, por atividades e por eventos. Aqui serão descritas apenas as duas primeiras formas. A primeira por ser a mais didática e a segunda por ser muito utilizada em softwares comerciais. Apesar das abordagens distintas, todo software de simulação apresenta a estruturação básica mostrada na figura 11.
Figura 11 - Estrutura global de um programa de simulação
- Abordagem pelo método das três fases
É uma das formas de estruturação de programas de simulação a eventos discretos. Foi apresentado por Tocher em 1963. Suas principais características são descritas a seguir.
Conceitos de evento e relógio de simulação:
Um evento pode ser entendido como uma mudança no estado do sistema em processo de simulação. Toda atividade está delimitada por dois eventos, o primeiro que caracteriza seu início e o segundo seu término.
O relógio da simulação corresponde ao instante corrente da mesma. O relógio sempre avança para o instante em que ocorrerá o evento mais próximo, o que implica em um avanço a intervalos quase sempre variáveis. Sendo assim, o programa de simulação deve dispor de recursos para descobrir quando ocorrerá o próximo evento e avançar o relógio da simulação até ele.
Tipos de eventos
Existem dois tipos de eventos associados ao método das três fases: os eventos que caracterizam o início e aqueles que caracterizam o fim da atividade.