Lista12014-2

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UFV - Universidade Federal de Vic¸osa
CCE - Departamento de Matema´tica
1a Lista de exerc´ıcios de MAT 147 - Ca´lculo II
Regra de L’Hospital e Integrais Impro´prias
2014/I
1. Determine os limites se existirem:
(a) lim
x→+∞
(
1 +
1
2x
)x2
(b) lim
x→0
sinx
2x
(c) lim
x→+∞
(
x+ 1
x− 1
)x
(d) lim
x→+∞
arctanx√
x
(e) lim
x→0
ax − 1
x
, (0 < a 6= 1)
(f) lim
x→0
(
1
x2
− cot2 x
)
(g) lim
x→5
√
x− 1− 2
x2 − 25
(h) lim
x→−3
x2 + 2x− 3
2x2 + 3x− 9
(i) lim
x→2
x2 − 5x+ 6
2x2 − x− 7
(j) lim
x→0
sinx− x
tanx− x
(k) lim
x→+∞
x2
lnx
(l) lim
x→0
e5x − 1
3x
(m) lim
x→+∞
x2 + 4
8x
(n) lim
x→0
x
1
lnx
(o) lim
x→+∞
(
1 +
a
x
)bx
, a.b 6= 0
(p) lim
x→0
x e1/x
(q) lim
x→0
cot 2x cot
(pi
2
− x
)
(r) lim
x→
pi
2
(secx− tanx)
(s) lim
x→0
(cos 3x)
1/x2
(t) lim
x→0
(
1
x
− 1
ln(x+ 1)
)
(u) lim
x→0
(tanx)
cotgx
(v) lim
x→0
(1 + ax)
b/x
, a.b 6= 0
(w) lim
x→0+
(sinx)(lnx)
(x) lim
x→0+
(sinx)x
(y) lim
x→0
sinx
1− cosx
(z) lim
x→+∞
sinhx
coshx
2. Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫ +∞
0
e−x dx,
(b)
∫ +∞
0
x e−x
2
dx
(c)
∫ +∞
0
1
1 + x2
dx
(d)
∫ +∞
0
e−t sin t dt
(e)
∫ +∞
2
1
x2 − 1 dx
(f)
∫ −1
−∞
1
x5
dx
(g)
∫ 0
−∞
x e−x
2
dx
(h)
∫ +∞
−∞
1
4 + x2
dx
(i)
∫ +∞
0
1
ex + e−x
dx
3. As integrais abaixo sa˜o impro´prias por mais de um motivo. Verifique se elas convergem ou divergem.
(a)
∫ +∞
0
dx√
x(x+ 1)
,
(b)
∫ +∞
0
e−
√
x
√
x
dx
(c)
∫ 1
−1
1
1− x2 dx
(d)
∫ +∞
1
x√
x2 − 1 dx
(e)
∫ a
0
1√
x(a− x) dx
(f)
∫ 1
−1
1
x2
dx
4. Responda se e´ convergente ou divergente as seguintes integrais impro´prias, e justifique.
(a)
∫ +∞
1
1
x5 + 3x+ 1
dx
(b)
∫ +∞
1
2x− 3
x3 − x2 + 1 dx
(c)
∫ +∞
1
cos 3x
x3
dx
(d)
∫ +∞
1
x2 + 1
x3 + 1
dx
(e)
∫ +∞
1
x2 + 1
x3 + x+ 1
dx
(f)
∫ +∞
0
arctanx
x2 + 1
dx
(g)
∫ 4
3
1√
x− 3 dx
(h)
∫ +∞
1
dx√
2x2 + 5x3
dx
(i)
∫ 1
0
dx√
x3 + x
1
(j)
∫ +∞
1
3 + sinx
x
dx
(k)
∫ 1
0
1√
sinx
dx
*(h)
∫ +∞
0
e−st dt
*(i)
∫ +∞
0
e−stt2 dt
*(j)
∫ +∞
0
e−st sin(at) dt
*(k)
∫ +∞
0
e−st cos(at) dt
* Veremos, mais no final do curso, que os itens h, i, j, j sa˜o as transformadas de Laplace das func¸o˜es
1, t2, sin(at), cos(at), respectivamente.
5. Calcule, se existir, a are´a das regio˜es abaixo, limitas pelas curvas y, e pelos intervalos indicados:
(a) y =
1
(x− 1)2 , de 0 ≤ x < 1
(b) y =
1√
3− x , de 0 ≤ x < 3
(c) y =
1
x
, de 0 < x ≤ 1
(d) y = sec2 x, de 0 ≤ x < pi
2
(e) y =
x√
4− x2 , de −2 < x ≤ 0
(f) y =
1
(x+ 1)2/3
, de −2 ≤ x ≤ 7
(g) y =
1
(x− 3)2 , de 0 ≤ x < 4
(h) y =
x− 2
x2 − 5x+ 4, de 2 ≤ x < 4
(i) y =
1
x2 − x− 2 , de 0 ≤ x ≤ 4
(j) y =
1
1− cosx , de 0 ≤ x <
pi
2
(k) y = x−4/3, de −1 ≤ x ≤ 1
6. Estude a convergeˆncia da integral impro´pria
∫ +∞
2
1
x(lnx)p
dx, onde p e´ um nu´mero real qualquer.
7. Determine uma func¸a˜o f tal que lim
t→+∞
∫ t
−t
f(x)dx exista e
∫ +∞
−∞ f(x)dx seja divergente.
8. Um circuito ele´trico tem uma resisteˆncia de R ohms, uma indutaˆncia de L henrys e uma forc¸a eletromotriz
de E volts, onde R, L e E sa˜o positivos. Se i ampe`res for a corrente passando no circuito t segundos depois
que foi ligado, enta˜o i =
E
R
(1− e−Rt/L). Se t, E e L sa˜o constantes, ache lim
R→0+
i.
9. Mostre que a a´rea da regia˜o limitada pela curva y =
1
1 + x3
e pelo eixo dos x no primeiro quadrante e´
2
9
pi
√
3.
2