APS Principais ideias de Pitagoras

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Principais Idéias e Teorias de Pitágoras
Muitas descobertas matemáticas, astronômicas, musicais, médicas e científicas são atribuídas a Pitágoras, além do famoso Teorema de Pitágoras, que relaciona os lados do triangulo, provando que a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, o que possibilitou a descoberta dos números irracionais e o surgimento do conceito de raiz quadrada através da aplicação do Teorema de Pitágoras a um triangulo cujos catetos possuíam valor 1. Pitágoras também foi reconhecido em seu tempo por contribuições na esfera religiosa tendo praticado adivinhação e profecia, especialmente na cidade de Croton, aparecendo em Delfos, Esparta e Creta como sacerdote e guia religioso. Pitágoras foi quem criou a palavra "Filósofo" e "Matemática".
Para Pitágoras e seus seguidores, a Natureza é constituída de um sistema de relações e proporções matemáticas derivadas da Unidade (que ele concebia como sendo o número 1 e a figura geométrica ponto). Desta, surgia a oposição entre números pares e ímpares que se desdobravam em figuras geométricas como superfície e volume para produzir a realidade visível. As várias combinações entre estes elementos apareciam aos nossos sentidos como qualidades contrárias, como quente-frio, seco-úmido, claro-escuro, duro-mole, etc.
Segundo Pitágoras, o pensamento alcança a realidade em sua estrutura matemática enquanto os sentidos alcançam o modo como esta estrutura aparece para nós. Os pitagóricos foram os primeiros a cultivarem as matemáticas de modo sistemático, notando que todos os fenômenos naturais são traduzíveis por relações numéricas e representáveis de modo matemático. Perceberam também que a música (foi Pitágoras quem descobriu as 7 notas musicais) obedecia leis de harmonia matemática e que também o universo, natural e humano, se submetia a essas leis (cada número representava uma característica ou uma qualidade, como justiça, amor, Deus, etc.).
Os ciclos da natureza, das estações do ano e etc. eram também subordinados à lei numérica. A partir disso, Pitágoras foi levado a pensar que a alma também obedece a esses ciclos, criando assim a teoria da reencarnação cíclica, da qual hoje a religião cristã espírita é seguidora, bem como a budista é semelhante. Nelas, a reencarnação é um processo natural que obedece uma ordem cósmica cíclica para expiação (penitência ou castigo) de uma culpa original. É curioso notar que, apesar do pensamento pitagórico assemelhar-se a uma síntese entre filosofia e religião, a catarse ou purificação das expiações da alma em seus ciclos reencarnatórios era realizada a partir da busca do conhecimento da verdade. 
A harmonia matemática pode ser obtida também na música. Pitágoras descobriu que se dividirmos uma corda em determinadas proporções vamos obter vibrações proporcionais que vão formar a harmonia das notas musicais. Se dividirmos essas notas em determinadas frações e a combinarmos com as notas simples, vamos obter sons harmoniosos. Já frações diferentes produzem sons não harmônicos. Como todos os corpos que se movem velozmente produzem som, isso acontece também com os corpos celestes. O movimento dos astros produz o som correspondente a uma oitava. Este som não é percebido pelas pessoas pois nós o ouvimos desde que nascemos e nossos ouvidos não são próprios para percebê-los.
Em seus estudos eles concluíram também que a terra é redonda e que gira em seu eixo. 
Outra grande descoberta geométrica dos pitagóricos é a relação entre os lados do triângulo retângulo. É o que conhecemos hoje por Teorema de Pitágoras: No triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Foto 1 - Representação gráfica do Teorema de Pitágoras
Números figurados
Os pitagóricos estudaram e demonstraram várias propriedades dos números figurados. Entre estes o mais importante era o número triangular 10, chamado pelos pitagóricos de tetraktys, tétrada em português.
Para eles o número 10 era místico pois continha em si os quatro elementos que tudo formam, a terra o fogo a água e o ar. Cada um desses elementos é representado por um número e a sua soma 1+2+3+4 forma o 10 que é a base do nosso sistema numérico decimal. O número 1 simboliza a razão, 2 a opinião, 4 a justiça e 5 o casamento. 1 significa também o ponto, 2 a linha, 3 a superfície e 4 o volume.
Números figurados são números que podem ser representados por um conjunto de pontos equidistantes, formando uma figura geométrica. Quando esse arranjo forma um polígono regular, temos um número poligonal, como por exemplo os números triangulares, quadrados e hexagonais.
Números perfeitos
Outra descoberta dos pitagóricos são os números perfeitos que são os números cuja soma de seus divisores, exceto ele mesmo, resulta no próprio número. Ex: o 6 é dividido por 1,2 e 3, e a soma dos três divisores é 6. O 28 é dividido por 1,2,4,7 e 14 e a soma dos divisores é 28. Todo número perfeito é um número triangular, bem como um número hexagonal.
Números Irracionais
Eles descobriram também que certas grandezas não podem ser representadas por um número inteiro nem por uma fração de números inteiros. Essas grandezas eles denominaram inexprimível. Isso gerou uma crise entre eles que fundamentavam tudo nos números e na matemática. Fizeram juramento de nunca revelar esse segredo a ninguém mas a notícia espalhou-se e os números irracionais foram revelados ao mundo.
Número irracional é um número real que não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros, ou seja, são números reais mas não racionais. Os números irracionais são representados pela letra I (maiúscula).
Estudos em Geometria reforçam a criação dos números irracionais, principailmente quando estamos referindo ao Teorema de Pitágoras: “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. 
Outro número irracional muito usado na Geometria é o π (pi), descoberto por meio da divisão do comprimento de uma circunferência pelo diâmetro da mesma. 
π = 3,141592653589793238462...
O número de Neper, descoberto por John Napier, matemático que aprofundou os estudos sobre logaritmos, também é considerado um número irracional.
Foto 2 - Número de Neper
Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras é um dos assuntos mais conhecidos da Matemática. Ele é uma das primeiras coisas que lembramos quando falamos sobre geometria ou trigonometria. Sua descoberta foi importante para a época, pois impulsionou inúmeros outros estudos, os quais fizeram com que a matemática avançasse até os dias atuais. Seu enunciado é simples, assim como os cálculos envolvidos.
Esse teorema só pode ser aplicado em um triângulo retângulo, que é aquele onde há um ângulo igual a 90°, que chamamos de ângulo reto. Daí o nome, triângulo retângulo. Para compreender, veja, abaixo, uma figura.
Foto 3 - Teorema de Pitagoras
Observando a figura acima, podemos resumir, matematicamente, o enunciado em:
CB²=AB²+AC²
a²=b²+c²
O enunciado do Teorema diz o seguinte:
“O quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma do quadrado das medidas dos catetos”
Em um triângulo retângulo, o lado maior, CB, recebe o nome de Hipotenusa. Este lado sempre estará oposto ao ângulo reto. Os outros dois lados, AC e AB recebem o nome de Cateto.
O Teorema de Pitágoras Aplicado no Estudo da Trigonometria
Os estudos trigonométricos possuem uma relação muito importante com o Teorema de Pitágoras, pois através de sua aplicação determinamos valores de medidas desconhecidas. O teorema de Pitágoras é uma expressão que pode ser aplicada em qualquer triângulo retângulo (triângulo que tem um ângulo de 90°).
Podemos utilizar esse teorema para facilitar o cálculo da diagonal de um quadrado e altura de um triângulo equilátero (triângulo com os lados iguais). 
Diagonal do quadrado
O quadrado ABCD é uma figura que possui lados iguais e ângulos com medidas iguais a 90º graus.
O cálculo da sua diagonal (reta que parte do ponto B ao C ou do A ao D) será feito da seguinte forma:
Como não conhecemos o valor dos lados iremos chamá-losde l. A diagonal forma no quadrado um triângulo retângulo ACD e é a partir daí que iremos calcular o valor da diagonal.
Aplicando o teorema de Pitágoras (d é a hipotenusa e l são os catetos), teremos:
Portanto, a diagonal do quadrado pode ser calculada por: 
d = l √2 
Altura do triângulo equilátero
Dado um triângulo equilátero ABC, com lados e ângulos iguais.
Traçando uma reta que parte de A e é perpendicular ao segmento BC teremos a altura desse triângulo (h). Os lados serão chamados de l. Como todos os lados são iguais, a reta AH irá dividir a base BC em duas partes iguais.
Traçando a altura no triângulo equilátero formaremos um triângulo retângulo AHC. 
A partir daí encontraremos o valor da altura do triângulo equilátero que coincide com o cateto do triângulo retângulo.
Portanto, a altura do triângulo equilátero será calculada por:
Bibliografia
SPINELLI, Miguel. Filósofos Pré-Socráticos. Primeiros Mestres da Filosofia e da Ciência Grega. 2ª Ed., Porto Alegre: Edipucrs, 2003
BUCKINGHAM, Will; at all. O Livro da Filosofia. Editora Globo. São Paulo, 2011.
GARBI, Gilberto Geraldo. A Rainha das Ciências. Editora Livraria da Fisica. 2006.
FERGUSON, Kitty. Pythagoras: His Lives and the Legacy of a Rational Universe. 2011.
SMITH, William. "Philola'us". Dictionary of Greek and Roman Biography and Mythology. ed. (1870).