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Sistemas de Equações Lineares

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CÁLCULO NUMÉRICO
Aula 5 – Sistema de Equações lineares
SSSSS
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 	
CÁLCULO NUMÉRICO
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
Métodos diretos e iterativos para a resolução de sistemas lineares:
Método de Gauss Jordan;
Método da Gauss Jacobi.
SSSSS
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 	
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
 Um dos métodos utilizados na resolução de sistemas lineares é o de Gauss-Jordan;
 Consiste em gerar uma matriz diagonal (elementos que não pertencem à diagonal principal, iguais a zero);
 Operações elementares serão efetuadas com as linhas / colunas;
 Não é iterativo e sim um método direto pois conduz à solução exata a menos de erros de arredondamento, introduzidos pela máquina, após um número finito de passos.
SSSSS
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 	
CÁLCULO NUMÉRICO
ESCALONAMENTO DE SISTEMAS LINEARES
SSSSS
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 	
CÁLCULO NUMÉRICO
ESCALONAMENTO
 A primeira linha deve manter apenas o “x”, a segunda linha apenas o “y” e a terceira linha apenas o “z”;
 Para eliminarmos o “2x” da segunda linha podemos multiplicar a primeira linha por (-2):
 
Nova segunda linha 
SSSSS
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 	
CÁLCULO NUMÉRICO
ESCALONAMENTO
 Para eliminarmos o “3x” da terceira linha podemos multiplicar a primeira linha por (-3):
 
Nova terceira linha 
SSSSS
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 	
CÁLCULO NUMÉRICO
ESCALONAMENTO
 Sistema com as modificações:
 Com operações semelhantes eliminamos:
 “y” e “z” da primeira linha;
 “z” da segunda linha;
 “y” da terceira linha.
REPOSTA:
x =1 , y = 2 e z = 4
 
SSSSS
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 	
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE GAUSS - JACOBI
 Considere um sistema linear com “n” equações e “n” incógnitas; 
 Método iterativo que consiste em uma solução inicial (x(0), y(0), z(0)...) que será substituída na expressão de recorrência e testada segundo um critério de parada;
 Fórmula de recorrência:
SSSSS
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 	
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE GAUSS - JACOBI
 Critério de parada:
 O número de iterações;
 Erro relativo
 Teste de convergência do método: se o sistema linear satisfaz o critério das linhas então o método de Gauss-Jacobi converge.
SSSSS
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 	
CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.1
 Avalie a convergência do método de Gauss-Jacobi para o sistema linear abaixo
 Como amáximo = 0,5 < 1, há convergência.
SSSSS
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 	
CÁLCULO NUMÉRICO
Início (ALGORITMO CONVERGÊNCIA)
 max 0 
 Para i = 1 até n faça
 Soma 0
 Para j = 1 até n faça
 Se i  j
 Soma Soma + aij 
 Fim se
 Fim para
 Soma Soma /aii  
 Se max < soma
 max Soma
 Fim para
SSSSS
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 	
CÁLCULO NUMÉRICO
(ALGORITMO GAUSS JACOBI)
Início
 convergência 
 cont  0 
 Repetir
 cont  cont + 1;
 num 0;
 den 0
 Para i = 1 até n faça
 yi  0
 Para j = 1 até n faça
 Se i  j então
 yi  yi + aij * yj 
 Fim para
 yi  (bi - yj )/aij 
 Se num <  yi - xi  então
 num   yi - xi  
 Se den <  yi então
 den   yi 
Fim Para
x  y
Até (num/den < e )
Fim-Se
SSSSS
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 	
CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2
 Resolva o sistema linear pelo método de Gauss-Jacobi com precisão de 0,01.
 Convergência:
 Convergência após mudança de linhas:
 Como amáximo = 0,40 < 1, há convergência.
SSSSS
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 	
CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2
 Fórmulas de recorrência:
 Valores iniciais: x(0) = 0; y(0) = 0; z(0) = 0; 
 Iterações:
 Primeira: 
SSSSS
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 	
CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2
 Segunda:
 Terceira: 
SSSSS
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 	
CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2
 Quarta:
 Quinta: 
SSSSS
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 	
CÁLCULO NUMÉRICO
RESUMINDO
Nesta aula vocês estudaram: 
A resolução de sistemas lineares:
Método direto;
Método Iterativo.
Algoritmo do método de Gauss-Jacobi.
SSSSS
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