11 variação dos parâmetros

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Equac¸o˜es Diferenciais:
Variac¸a˜o dos Paraˆmetros
Prof. Me. Elianderson Santos
10 de Maio de 2018
Prof. Me. Elianderson Santos Equac¸o˜es Diferenciais:
Variac¸a˜o dos Paraˆmetros
Para obter a soluc¸a˜o geral de uma equac¸a˜o diferencial linear
na˜o-homogeˆnea deve-se fazer duas coisas:
(i) Encontrar a func¸a˜o complementar yc .
(ii) Encontrar qualquer soluc¸a˜o particular yp da equac¸a˜o
na˜o-homogeˆnea.
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Variac¸a˜o dos Paraˆmetros
Equac¸o˜es lineares na˜o-homogeˆneas de segunda ordem
Passo 1: Inicialmente reescrevemos a equac¸a˜o
a2(x)y
′′ + a1(x)y ′ + a0(x) = g(x), (1)
na forma padra˜o
y ′′ + P(x)y ′ + Q(x) = f (x) (2)
dividindo a equac¸a˜o (1) por a2(x).
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Variac¸a˜o dos Paraˆmetros
Equac¸o˜es lineares na˜o-homogeˆneas de segunda ordem
Passo 2: Resolver a equac¸a˜o homogeˆnea associada
y ′′ + P(x)y ′ + Q(x) = 0 (3)
e encontrar a func¸a˜o complementar yc .
Passo 3: Se y1 e y2 formem um conjunto fundamental de
soluc¸o˜es em I para a equac¸a˜o homogeˆnea associada (3)
calcule os determinates
W =
∣∣∣∣ y1 y2y ′1 y ′2
∣∣∣∣ , W1 = ∣∣∣∣ 0 y2f (x) y ′2
∣∣∣∣ e W2 = ∣∣∣∣ y1 0y ′1 f (x)
∣∣∣∣ (4)
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Variac¸a˜o dos Paraˆmetros
Equac¸o˜es lineares na˜o-homogeˆneas de segunda ordem
Passo 2: Resolver a equac¸a˜o homogeˆnea associada
y ′′ + P(x)y ′ + Q(x) = 0 (3)
e encontrar a func¸a˜o complementar yc .
Passo 3: Se y1 e y2 formem um conjunto fundamental de
soluc¸o˜es em I para a equac¸a˜o homogeˆnea associada (3)
calcule os determinates
W =
∣∣∣∣ y1 y2y ′1 y ′2
∣∣∣∣ , W1 = ∣∣∣∣ 0 y2f (x) y ′2
∣∣∣∣ e W2 = ∣∣∣∣ y1 0y ′1 f (x)
∣∣∣∣ (4)
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Variac¸a˜o dos Paraˆmetros
Equac¸o˜es lineares na˜o-homogeˆneas de segunda ordem
Passo 4: Encontre as func¸o˜es u1(x) e u2(x) integrando as
func¸o˜es
u′1 =
W1
W
e u′2 =
W2
W
(5)
Passo 5: A func¸a˜o yp = u1y1 + u2y2 sera´ uma soluc¸a˜o
particular de (1) e a soluc¸a˜o geral sera´
y = yc + yp.
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Equac¸o˜es lineares na˜o-homogeˆneas de segunda ordem
Exemplo: Resolva
y ′′ − 4y ′ + 4y = (x + 1)e2x .
Soluc¸a˜o: A equac¸a˜o homogeˆnea associada e´
y ′′ − 4y ′ + 4y = 0.
Resolvendo a equac¸a˜o auxiliar m2 − 4m + 4 = 0 obtemos as
ra´ızes m1 = m2 = 2.
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Equac¸o˜es lineares na˜o-homogeˆneas de segunda ordem
Portanto,
y1 = e
2x e y2 = xe
2x
formam um conjunto fundamental de soluc¸o˜es para a equac¸a˜o
homogeˆnea y ′′ − 4y ′ + 4y = 0.
Calculamos agora os determinantes
W =
∣∣∣∣ y1 y2y ′1 y ′2
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ e2x xe2x2e2x e2x + 2xe2x
∣∣∣∣ = e4x ,
W1 =
∣∣∣∣ 0 y2f (x) y ′2
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 0 xe2x(x + 1)e2x e2x + 2xe2x
∣∣∣∣ = −(x + 1)xe4x ,
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Equac¸o˜es lineares na˜o-homogeˆneas de segunda ordem
W2 =
∣∣∣∣ y1 0y ′1 f (x)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ e2x 02e2x (x + 1)e2x
∣∣∣∣ = (x + 1)e4x .
Fazendo u′1 = W1/W e u
′
2 = W2/W temos
u′1 =
−(x + 1)xe4x
e4x
= −x2 − x e u′2 =
(x + 1)e4x
e4x
= x + 1
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Equac¸o˜es lineares na˜o-homogeˆneas de segunda ordem
Integrando u′1 e u
′
2 temos
u1(x) = −x
3
3
− x
2
2
e u2(x) =
x2
2
+ x
Portanto,
yp = u1y1 + u2y2 =
(
−x
3
3
− x
2
2
)
· e2x +
(
x2
2
+ x
)
· xe2x
e a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea e´
y = yc + yp = c1e
2x + c2xe
2x +
(
x3
6
+
x2
2
)
e2x .
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Equac¸o˜es lineares na˜o-homogeˆneas de segunda ordem
Exemplo: Resolva
4y ′′ + 36y =
1
sen (3x)
.
Soluc¸a˜o: Primeiro reescrevemos a equac¸a˜o na forma
y ′′ + 9y =
1
4sen (3x)
A equac¸a˜o homogeˆnea associada e´
y ′′ + 9y = 0,
cuja equac¸a˜o auxiliar m2 + 9 = 0 teˆm como ra´ızes os
complexos conjugados m1 = 3i e m2 = −3i .
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Equac¸o˜es lineares na˜o-homogeˆneas de segunda ordem
Logo, a func¸a˜o complementar (soluc¸a˜o da parte homogeˆnea) e´
yc = c1 · cos(3x) + c2 · sen(3x)
onde y1 = cos(3x) e y2 = sen(3x) sa˜o soluc¸o˜es linearmente
independentes da equac¸a˜o y ′′ + 9y = 0.
Em seguida, calculam-se os determinantes
W =
∣∣∣∣ y1 y2y ′1 y ′2
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ cos(3x) sen(3x)−3 · sen(3x) 3 · cos(3x)
∣∣∣∣ = 3,
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Equac¸o˜es lineares na˜o-homogeˆneas de segunda ordem
W1 =
∣∣∣∣ 0 y2f (x) y ′2
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
0 sen(3x)
1
4· sen(3x) 3 cos(3x)
∣∣∣∣∣∣ = −14
W2 =
∣∣∣∣ y1 0y ′1 f (x)
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
cos(3x) 0
−3 · sen(3x) 1
4· sen(3x)
∣∣∣∣∣∣ = 14 cos(3x)sen(3x)
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Equac¸o˜es lineares na˜o-homogeˆneas de segunda ordem
Logo,
u′1 =
W1
W
= − 1
12
e u′2 =
W2
W
=
1
12
cos(3x)
sen(3x)
Integrando u′1 e u
′
2 obte´m-se
u1(x) = − 1
12
x e u2(x) =
1
36
ln |sen(3x)|
Enta˜o, uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea e´
yp = u1y1 + u2y2 = − 1
12
x · cos(3x) + 1
36
(sen(3x)) ln |sen(3x)|.
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Equac¸o˜es lineares na˜o-homogeˆneas de segunda ordem
A soluc¸a˜o geral para a equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea e´
y = yc + yp
= c1 · cos(3x) + c2 · sen(3x)− 112x · cos(3x) + 136 (sen(3x)) ln |sen(3x)|.
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Equac¸o˜es lineares na˜o-homogeˆneas de ordem superior
O me´todo anterior pode ser generalizado para equac¸o˜es
lineares na˜o-homogeˆneas de n-e´sima ordem, desde que elas
tenham sido reescritas na forma
y (n) + Pn−1(x)y (n−1) + · · ·+ P1(x)y ′ + P0y = f (x) (6)
Se y = c1y1 + c2y2 + · · ·+ cnyn e´ a func¸a˜o complementar de
(6), enta˜o uma soluc¸a˜o particular e´
yp = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x) + · · ·+ un(x)yn(x),
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Variac¸a˜o dos Paraˆmetros
Equac¸o˜es lineares na˜o-homogeˆneas de ordem superior
em que os u′k , k = 1, 2, 3, · · · , n sa˜o determinados pelas
equac¸o˜es
u′k =
Wk
W
, k = 1, 2, 3, · · · , n (7)
em que Wk e´ o determinante obtido substituindo a coluna k
do Wronskiano W de y1, y2, · · · , yn pela coluna
0
0
:
:
0
f (x)
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Variac¸a˜o dos Paraˆmetros
Equac¸o˜es lineares na˜o-homogeˆneas de ordem superior
Exemplo: Resolva
y ′′′ + y ′ = tan x .
Soluc¸a˜o: A equac¸a˜o homogeˆnea associada e´
y ′′′ + y ′ = 0.
Resolvendo a equac¸a˜o auxiliar
m3 + m = m · (m2 + 1) = 0
obtemos as ra´ızes m1 = 0, m2 = i e m3 = −i .
A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o homogeˆnea sera´, portanto,
yc = c1 + c2 · cos x + c3 · sen x ,
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Variac¸a˜o dos Paraˆmetros
Equac¸o˜es lineares na˜o-homogeˆneas de ordem superior
onde as func¸o˜es y1 = 1, y2 = cos x e y3 = sen x sa˜o soluc¸o˜es
linearmente independentes da equac¸a˜o homogeˆnea.
Calculando os determinantes
W =
∣∣∣∣∣∣
y1 y2 y3
y ′1 y
′
2 y
′
3
y ′′1 y
′′
2 y
′′
3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
1 cos x sen x
0 −sen x cos x
0 − cos x −sen x
∣∣∣∣∣∣ = 1.
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Equac¸o˜es lineares na˜o-homogeˆneas de ordem superior
W1 =
∣∣∣∣∣∣0 y2 y3
0 y ′2 y
′
3
f (x) y ′′2 y
′′
3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
0 cos x sen x
0 −sen x cos x
tan x − cos x −sen x
∣∣∣∣∣∣ = tan x
W2 =
∣∣∣∣∣∣
y1 0 y3
y ′1 0 y
′
3
y ′′1 tan x y
′′
3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
1 0 sen x
0 0 cos x
0 tan x −sen x
∣∣∣∣∣∣− sen x
W3 =
∣∣∣∣∣∣
y1 y2 0
y ′1 y
′
2 0
y ′′1 y
′′
2 f (x)
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
1 cos x 0
0 −sen x 0
0 − cos x tan x
∣∣∣∣∣∣ = −sen x ·tan x
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Equac¸o˜es lineares na˜o-homogeˆneas de ordem superior
obtemos
u′1 =
W1
W
= tan x ⇐⇒ u1(x) = − ln | cos x |
u′2 =
W2
W
= −sen x ⇐⇒ u2(x) = cos x
u′3 =
W3
W
= −sen
2x
cos x
=
cos2 x − 1
cos x
= cos x − sec x
⇔ u3(x) = sen x − ln | sec x + tan x |
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Variac¸a˜o dos Paraˆmetros
Equac¸o˜es lineares na˜o-homogeˆneas de ordem superior
Logo, uma soluc¸a˜o particular para a equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea e´
yp = u1y1 + u2y2 + u3y3
= 1·(− ln | cos x |)+cos x ·cos x+sen x ·(sen x − ln | sec x + tan x |)
∴ yp = − ln | cos x | − sen x · ln | sec x + tan x |+ 1
e a soluc¸a˜o geral sera´
y = yc + yp
= c1+c2·cos x+c3·sen x−ln | cos x |−sen x ·ln | sec x+tan x |+1
= C +c2 ·cos x +c3 ·sen x− ln | cos x |−sen x · ln | sec x +tan x |.
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Exerc´ıcios
[2], sec¸a˜o 4.7, exerc´ıcios ı´mpares 1 ao 27 (p. 217).
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Refereˆncias
1 CULLEN, Michael R.; ZILL, Dennis G. Equac¸o˜es
Diferenciais - Volume 1. 3a Edic¸a˜o. Sa˜o Paulo: Pearson,
2001.
2 ZILL, Dennis G. Equac¸o˜es Diferenciais com Aplicac¸o˜es
em Modelagem. 3a Edic¸a˜o. Sa˜o Paulo: Cengage
Learning, 2016.
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