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UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I Prof.: Alberto Vilela Chaer LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES TABELAS DE CZERNY CASOS 1, 2A, 2B, 3, 4A, 4B, 5A, 5B, 6 COEFICIENTES PARA DETERMINAÇÃO DE: - MOMENTOS FLETORES; - REAÇÕES DE APOIO; - FLECHAS MÁXIMAS. UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I Prof.: Alberto Vilela Chaer TABELAS DE CZERNY CASO 1 l 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 27,2 24,5 22,4 20,7 19,1 17,8 16,8 15,8 15,0 14,3 13,7 13,2 12,7 11,3 10,4 my 27,2 27,5 27,9 28,4 29,1 29,9 30,9 31,8 32,8 33,8 34,7 35,4 36,1 38,5 40,3 Vx 0,250 0,262 0,273 0,283 0,292 0,300 0,308 0,315 0,321 0,327 0,333 0,339 0,344 0,361 0,375 Vy 0,250 0,238 0,227 0,217 0,208 0,200 0,192 0,185 0,179 0,173 0,167 0,161 0,156 0,139 0,125 fz 0,049 0,054 0,058 0,063 0,068 0,073 0,077 0,081 0,085 0,089 0,093 0,096 0,100 0,112 0,122 fon te 1 : Roc ha, A .M., CONCRETO A RMA DO,Vo l. I, Ed . Nobel, 1987 fon te 2 : Souza,V.C.M., LA J ES EM CONCRETO A RMA DO E PROTENDIDO, EDUFF, 1994 ly => vão maior M => momento positivo E => módulo de elasticidade lx => vão menor R => reação de apoio h => espessura da laje q => carga distribuída por área f => flecha ly q.lx 2 q.lx 2 q.lx 4 l = Mx = My = f = fz lx mx my E.h 3 Rx = Vx.q.lx Ry = Vy.q.ly 1 coeficientes para determinação de momentos e reações 2 coeficientes para determinação de flecha máxima R y R y Rx Rx My M x lx lyq UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I Prof.: Alberto Vilela Chaer TABELAS DE CZERNY CASO 2A l 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 41,2 36,5 31,9 28,3 25,9 23,4 21,7 20,1 18,8 17,5 16,6 15,7 15,0 12,8 11,4 my 29,4 29,0 28,8 28,8 28,9 29,2 29,7 30,2 30,8 31,6 32,3 33,0 33,6 36,2 38,8 ny 11,9 11,3 10,9 10,4 10,1 9,8 9,6 9,3 9,2 9,0 8,9 8,8 8,7 8,4 8,2 Vx 0,183 0,193 0,202 0,211 0,220 0,230 0,239 0,248 0,256 0,264 0,272 0,280 0,286 0,310 0,329 Vy1 0,402 0,388 0,378 0,366 0,355 0,342 0,331 0,320 0,310 0,300 0,289 0,280 0,272 0,241 0,217 Vy2 0,232 0,226 0,218 0,212 0,205 0,198 0,191 0,184 0,179 0,173 0,167 0,161 0,156 0,139 0,125 fz 0,033 0,038 0,042 0,047 0,051 0,056 0,060 0,065 0,069 0,073 0,077 0,082 0,085 0,099 0,111 fon te 1 : Roc ha, A .M., CONCRETO A RMA DO,Vo l. I, Ed . Nobel, 1987 fon te 2 : Souza,V.C.M., LA J ES EM CONCRETO A RMA DO E PROTENDIDO, EDUFF, 1994 ly => vão maior M => momento positivo f => flecha lx => vão menor X => momento negativo E => módulo de elasticidade q => carga distribuída por área R => reação de apoio h => espessura da laje ly q.lx 2 q.lx 2 q.lx 2 q.lx 4 l = Mx = My = Xy = f = fz lx mx my ny E.h 3 Rx = Vx.q.lx Ry1 = Vy1.q.ly Ry2 = Vy2.q.ly 1 coeficientes para determinação de momentos e reações 2 coeficientes para determinação de flecha máxima R y 1 R y 2 Rx Rx My M x lx ly Xy UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I Prof.: Alberto Vilela Chaer TABELAS DE CZERNY CASO 2B l 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 31,4 29,2 27,3 25,8 24,5 23,4 22,4 21,6 21,0 20,3 19,8 19,4 19,0 17,8 17,1 my 41,2 43,2 45,1 47,1 48,8 50,3 51,8 53,2 54,3 55,0 55,6 56,2 56,8 58,6 59,2 nx 11,9 11,3 10,9 10,5 10,2 9,9 9,7 9,4 9,3 9,1 9,0 8,9 8,8 8,4 8,3 Vx1 0,402 0,412 0,422 0,431 0,440 0,447 0,455 0,461 0,468 0,474 0,479 0,484 0,488 0,504 0,517 Vx2 0,232 0,238 0,244 0,249 0,254 0,259 0,263 0,267 0,270 0,274 0,277 0,280 0,282 0,292 0,299 Vy 0,183 0,175 0,167 0,160 0,153 0,147 0,141 0,136 0,131 0,126 0,122 0,118 0,115 0,102 0,092 fz 0,033 0,036 0,038 0,040 0,042 0,044 0,046 0,047 0,049 0,050 0,051 0,052 0,053 0,056 0,059 fon te 1 : Roc ha, A .M., CONCRETO A RMA DO,Vo l. I, Ed . Nobel, 1987 fon te 2 : Souza,V.C.M., LA J ES EM CONCRETO A RMA DO E PROTENDIDO, EDUFF, 1994 ly => vão maior M => momento positivo f => flecha lx => vão menor X => momento negativo E => módulo de elasticidade q => carga distribuída por área R => reação de apoio h => espessura da laje ly q.lx 2 q.lx 2 q.lx 2 q.lx 4 l = Mx = My = Xx = f = fz lx mx my nx E.h 3 Rx1 = Vx1.q.lx Rx2 = Vx2.q.lx Ry = Vy.q.ly 1 coeficientes para determinação de momentos e reações 2 coeficientes para determinação de flecha máxima R y R y Rx2 Rx1 My M x lx lyX xq UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I Prof.: Alberto Vilela Chaer TABELAS DE CZERNY CASO 3 l 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 40,2 38,0 35,1 32,2 30,0 28,0 26,5 25,2 24,1 23,1 22,2 21,6 21,0 19,1 17,9 my 40,2 41,0 42,0 42,9 44,0 45,6 47,6 49,6 51,0 52,1 53,0 54,1 54,8 57,7 60,2 nx 14,3 13,3 12,7 12,0 11,5 11,1 10,7 10,3 10,0 9,8 9,6 9,4 9,2 8,7 8,4 ny 14,3 13,8 13,6 13,3 13,1 12,9 12,8 12,7 12,6 12,5 12,4 12,3 12,3 12,2 12,2 Vx1 0,317 0,332 0,347 0,359 0,371 0,381 0,391 0,400 0,408 0,416 0,424 0,431 0,437 0,459 0,476 Vx2 0,183 0,191 0,198 0,205 0,212 0,218 0,224 0,229 0,234 0,239 0,243 0,247 0,250 0,263 0,274 Vy1 0,317 0,302 0,288 0,276 0,264 0,254 0,244 0,235 0,227 0,219 0,211 0,204 0,198 0,176 0,159 Vy2 0,183 0,175 0,167 0,160 0,153 0,147 0,141 0,136 0,131 0,126 0,122 0,118 0,115 0,102 0,091 fz 0,025 0,028 0,030 0,033 0,035 0,037 0,039 0,041 0,043 0,044 0,046 0,047 0,048 0,053 0,056 fon te 1 : Roc ha, A .M., CONCRETO A RMA DO,Vo l. I, Ed . Nobel, 1987 fon te 2 : Souza,V.C.M., LA J ES EM CONCRETO A RMA DO E PROTENDIDO, EDUFF, 1994 ly => vão maior M => momento positivo f => flecha lx => vão menor X => momento negativo E => módulo de elasticidade q => carga distribuída por área R => reação de apoio h => espessura da laje ly q.lx 2 q.lx 2 q.lx 2 q.lx 2 l = Mx = My = Xx = Xy = lx mx my nx ny q.lx 4 1 coef. para momentos e reações Rx1 = Vx1.q.lx Ry1 = Vy1.q.ly f = fz 2 coef. para flecha máxima Rx2 = Vx2.q.lx Ry2 = Vy2.q.ly E.h 3 R y 2 Rx2 Rx1 My M x lx ly Xy X xq R y 1 UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I Prof.: Alberto Vilela Chaer TABELAS DE CZERNY CASO 4A l 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 63,3 52,2 46,1 39,8 35,5 31,5 28,5 25,8 23,7 22,0 20,4 19,0 19,9 14,6 12,5 my 35,1 33,7 32,9 32,2 31,7 31,3 31,2 31,2 31,4 31,7 32,1 32,7 33,3 37,1 42,4 ny 14,3 13,4 12,7 12,0 11,5 11,1 10,7 10,3 10,0 9,8 9,5 9,3 9,2 8,7 8,4 Vx 0,144 0,151 0,159 0,166 0,173 0,180 0,188 0,196 0,203 0,210 0,217 0,225 0,233 0,259 0,280 Vy 0,356 0,349 0,341 0,334 0,327 0,320 0,312 0,304 0,297 0,290 0,283 0,275 0,267 0,241 0,217 fz 0,023 0,027 0,030 0,034 0,038 0,043 0,047 0,051 0,055 0,060 0,064 0,068 0,072 0,088 0,101 fon te 1 : Roc ha, A .M., CONCRETO A RMA DO,Vo l. I, Ed . Nobel, 1987 fon te 2 : Souza,V.C.M., LA J ES EM CONCRETO A RMA DO E PROTENDIDO, EDUFF, 1994 ly => vão maior M => momento positivo f => flecha lx => vão menor X => momento negativo E => módulo de elasticidade q => carga distribuída por área R => reação de apoio h => espessura da laje ly q.lx 2 q.lx 2 q.lx 2 q.lx 4 l = Mx = My = Xy = f = fz lx mx my ny E.h 3 Rx = Vx.q.lx Ry = Vy.q.ly 1 coeficientes para determinação de momentos e reações 2 coeficientes para determinação de flecha máxima R y R y Rx Rx My M x lx ly Xy q Xy UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAS DE CONCRETOARMADO I Prof.: Alberto Vilela Chaer TABELAS DE CZERNY CASO 4B l 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 35,1 33,0 31,7 30,4 29,4 28,5 27,8 27,1 26,6 26,1 25,8 25,4 25,2 24,4 24,1 my 61,7 64,5 67,2 69,6 71,5 72,8 73,5 74,1 74,6 75,3 75,8 76,5 77,0 77,0 77,0 nx 14,0 13,8 13,5 13,2 13,0 12,7 12,6 12,4 12,3 12,2 12,2 12,1 12,0 12,0 12,0 Vx 0,356 0,363 0,369 0,375 0,380 0,385 0,389 0,393 0,397 0,401 0,404 0,407 0,410 0,420 0,428 Vy 0,144 0,137 0,131 0,125 0,120 0,115 0,111 0,107 0,103 0,099 0,096 0,093 0,090 0,080 0,072 fz 0,023 0,024 0,025 0,026 0,027 0,028 0,028 0,029 0,029 0,029 0,030 0,030 0,030 0,031 0,031 fon te 1 : Roc ha, A .M., CONCRETO A RMA DO,Vo l. I, Ed . Nobel, 1987 fon te 2 : Souza,V.C.M., LA J ES EM CONCRETO A RMA DO E PROTENDIDO, EDUFF, 1994 ly => vão maior M => momento positivo f => flecha lx => vão menor X => momento negativo E => módulo de elasticidade q => carga distribuída por área R => reação de apoio h => espessura da laje ly q.lx 2 q.lx 2 q.lx 2 q.lx 4 l = Mx = My = Xx = f = fz lx mx my nx E.h 3 Rx = Vx.q.lx Ry = Vy.q.ly 1 coeficientes para determinação de momentos e reações 2 coeficientes para determinação de flecha máxima R y R y Rx Rx My M x lx lyX xq X x UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I Prof.: Alberto Vilela Chaer TABELAS DE CZERNY CASO 5A l 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 55,9 51,6 46,1 41,4 37,5 34,2 31,8 29,6 28,0 26,4 25,2 24,2 23,3 20,3 18,7 my 44,1 43,6 43,7 44,2 44,8 40,5 46,9 48,6 50,3 52,3 55,0 58,2 61,6 79,6 101,0 nx 18,3 16,6 15,4 14,4 13,5 12,7 12,2 11,6 11,2 10,9 10,6 10,3 10,1 9,4 8,8 ny 16,2 15,4 14,8 14,3 13,9 13,5 13,3 13,1 13,0 12,8 12,7 12,6 12,6 12,4 12,3 Vx1 0,250 0,263 0,275 0,288 0,301 0,314 0,327 0,339 0,350 0,360 0,370 0,378 0,387 0,416 0,437 Vx2 0,144 0,149 0,157 0,164 0,171 0,178 0,185 0,191 0,196 0,202 0,208 0,214 0,217 0,232 0,245 Vy 0,304 0,294 0,284 0,274 0,264 0,254 0,244 0,235 0,227 0,219 0,211 0,402 0,198 0,176 0,159 fz 0,019 0,021 0,024 0,026 0,028 0,031 0,033 0,035 0,037 0,039 0,041 0,043 0,044 0,050 0,054 fon te 1 : Roc ha, A .M., CONCRETO A RMA DO,Vo l. I, Ed . Nobel, 1987 fon te 2 : Souza,V.C.M., LA J ES EM CONCRETO A RMA DO E PROTENDIDO, EDUFF, 1994 ly => vão maior M => momento positivo f => flecha lx => vão menor X => momento negativo E => módulo de elasticidade q => carga distribuída por área R => reação de apoio h => espessura da laje ly q.lx 2 q.lx 2 q.lx 2 q.lx 2 l = Mx = My = Xx = Xy = lx mx my nx ny Rx1 = Vx1.q.lx Rx2 = Vx2.q.lx Ry = Vy.q.ly q.lx 4 f = fz 1 coeficientes para determinação de momentos e reações E.h 3 2 coeficientes para determinação de flecha máxima R y R y Rx2 Rx1 My M x lx ly Xy X xq Xy UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I Prof.: Alberto Vilela Chaer TABELAS DE CZERNY CASO 5B l 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 44,1 40,5 37,9 35,5 33,8 32,3 31,0 29,9 29,0 28,2 27,6 27,0 26,5 25,1 24,5 my 55,9 57,5 60,3 64,2 66,2 67,7 69,0 70,5 72,0 73,4 75,2 76,9 78,7 86,8 97,0 nx 16,2 15,3 14,8 14,2 13,9 13,5 13,2 12,9 12,7 12,6 12,5 12,4 12,3 12,1 12,0 ny 18,3 17,9 17,7 17,6 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 Vx 0,304 0,313 0,321 0,329 0,336 0,343 0,349 0,354 0,359 0,364 0,369 0,373 0,377 0,391 0,402 Vy1 0,250 0,237 0,227 0,217 0,208 0,200 0,192 0,185 0,179 0,173 0,166 0,161 0,156 0,138 0,125 Vy2 0,144 0,137 0,131 0,125 0,120 0,114 0,110 0,107 0,103 0,099 0,096 0,093 0,090 0,080 0,071 fz 0,019 0,020 0,021 0,023 0,024 0,025 0,025 0,026 0,027 0,027 0,028 0,029 0,029 0,030 0,031 fon te 1 : Roc ha, A .M., CONCRETO A RMA DO,Vo l. I, Ed . Nobel, 1987 fon te 2 : Souza,V.C.M., LA J ES EM CONCRETO A RMA DO E PROTENDIDO, EDUFF, 1994 ly => vão maior M => momento positivo f => flecha lx => vão menor X => momento negativo E => módulo de elasticidade q => carga distribuída por área R => reação de apoio h => espessura da laje ly q.lx 2 q.lx 2 q.lx 2 q.lx 2 l = Mx = My = Xx = Xy = lx mx my nx ny Rx = Vx.q.lx Ry1 = Vy1.q.ly Ry2 = Vy2.q.ly q.lx 4 1 coeficientes para determinação de momentos e reações f = fz 2 coeficientes para determinação de flecha máxima E.h 3 R y 1 Rx Rx My M x lx ly Xy X xq R y 2 X x UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I Prof.: Alberto Vilela Chaer TABELAS DE CZERNY CASO 6 l 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,80 2,00 mx 56,8 50,6 46,1 42,4 39,4 37,0 34,8 33,3 31,9 30,6 29,6 28,8 28,1 26,0 25,0 my 56,8 58,2 60,3 62,6 65,8 69,4 73,6 78,4 83,4 89,4 93,5 96,1 98,1 103,3 105,0 nx 19,4 18,2 17,1 16,3 15,5 14,9 14,5 14,0 13,7 13,4 13,2 13,0 12,8 12,3 12,0 ny 19,4 18,8 18,4 18,1 17,9 17,7 17,6 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 Vx 0,250 0,262 0,273 0,283 0,292 0,300 0,308 0,315 0,321 0,327 0,333 0,339 0,344 0,361 0,375 Vy 0,250 0,238 0,227 0,217 0,208 0,200 0,192 0,185 0,179 0,173 0,167 0,161 0,156 0,139 0,125 fz 0,015 0,017 0,018 0,020 0,021 0,022 0,023 0,024 0,025 0,026 0,026 0,027 0,028 0,029 0,030 fon te 1 : Roc ha, A .M., CONCRETO A RMA DO,Vo l. I, Ed . Nobel, 1987 fon te 2 : Souza,V.C.M., LA J ES EM CONCRETO A RMA DO E PROTENDIDO, EDUFF, 1994 ly => vão maior M => momento positivo f => flecha lx => vão menor X => momento negativo E => módulo de elasticidade q => carga distribuída por área R => reação de apoio h => espessura da laje ly q.lx 2 q.lx 2 q.lx 2 q.lx 2 l= Mx = My = Xx = Xy = lx mx my nx ny Rx = Vx.q.lx Ry = Vy.q.ly q.lx 4 1 coeficientes para determinação de momentos e reações f = fz 2 coeficientes para determinação de flecha máxima E.h 3 R y R y Rx Rx My M x lx lyq XyXy X x X x
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