Resumo Ckt's equivalentes das máquinas elétricas

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+
_
aI
aV
fI
fV
+
_
aE
+
_
aI
aV
fI
fV
+
_
aE
+
+
_
_
aR+ _
aR +_
fR
fR
Gerador CC
Motor CC
mω
mω
 
Máquina CC com conexão independente do campo 
+
_
aVfV
+
_
aE
+
_
aR
fR
Conexão Série
+
_
aVfV
+
_
aE
+
_
aR
fR
Conexão Paralela
mω mω
 
Máquina de Corrente Contínua - conexão série e paralela do campo 
Máquina de Corrente Contínua 
aaaa IREV ⋅±= 
mffa IKE ω⋅⋅= 
aaa IVP ⋅= aae IEP ⋅= 
2
aaja IR3P ⋅⋅= 2ffjf IR3P ⋅⋅= 
fmecem PPPP mm= jaea PPP ±= 
m
e
e
P
T ω= m
m
m
P
T ω= 
fff IRV ⋅= s/rad60
2
rpm1
π⋅= 
( ) 100
P
P
%
entrada
saída ⋅=η 
aV - tensão de armadura (V) 
aI - corrente de armadura (A) 
fV - tensão de campo (V) 
fI - corrente de campo (A) 
aE - tensão induzida (V) 
mω - velocidade angular do rotor (rad/s) aP - potência nos terminais da armadura (W) 
aR - resistência de armadura (Ω ) eP - potência eletromagnética (W) 
fR - resistência de campo (Ω ) mP - potência mecânica no eixo (W) 
eT - torque eletromagnético (N.m) mecP - perdas mecânicas (W) 
mT - torque mecânico no eixo (N.m) fP - perdas no ferro (W) 
fK - constante de tensão ind. [Wb/(A.s)] ( )%η - rendimento em porcento 
jaP - perdas joule na armadura (W) jfP - perdas joule no campo (W) 
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+
_
I
V
fI
fV
+
_
E
+
_
+ _ + _
fR
sR
+
_
I
V
fI
fV
+
_
E
+
_
+_ +_
fR
sRsjX
Gerador Síncrono
Motor Síncrono
sjX
θϕ
E
IjXs ⋅
V
I
θϕ
E
IjXs ⋅V
I
 
Diagrama monofásico da máquina de síncrona de rotor cilíndrico e diagrama fasorial 
Máquina Síncrona de Rotor Cilíndrico 
IZEV s ⋅±= II = VV = ( )θ⋅⋅⋅≅ senX
VE
mP
s
e 
sff IKEE ω⋅⋅== fmecem PPPP mm= 
ssssss LjRjXRZ ⋅ω⋅+=+= 
m
e
e
P
T ω= m
m
m
P
T ω= 
QjPIVmS * ⋅+=⋅⋅= ( )ϕ⋅= cosSP ( )ϕ⋅= senSQ 
ms f2
p
f ⋅= mss 2
p
f2 ω⋅=⋅π⋅=ω s/rad
60
2
rpm1
π⋅= 
( ) 100
P
P
%
entrada
saída ⋅=η fff IRV ⋅= 
V - fasor tensão de fase do estator (V) fK - constante de tensão induzida ( )[ ]sA/Wb ⋅ 
I - fasor corrente de fase do estator (A) sR - resistência de uma fase do estator (Ω ) 
E - fasor tensão induzida (V) sL - indutância síncrona de uma fase (H) 
fV - tensão de campo (V) sZ - impedância síncrona de uma fase (Ω ) 
fI - corrente de campo (A) sX - reatância síncrona de uma fase (Ω ) 
fR - resistência de campo (Ω ) mω - velocidade angular mec. do rotor (rad/s) 
p - número de pólos m - número de fases 
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1V
1I
ϕjX
+
_
1R 2R2jX
2IϕI
1jX
2V
 
Diagrama monofásico de um transformador com grandezas do secundário referidas ao primário 
S - potência aparente total (V.A) mf - freqüência mecânica do rotor (Hz) 
P - potência ativa total (W) sf - freqüência síncrona (freq. da rede) (Hz) 
Q - potência reativa total (var) sω - velocidade angular síncrona (rad/s) 
eT - torque eletromagnético (N.m) mT - torque mecânico no eixo (N.m) 
mP - potência mecânica no eixo (W) ϕ - ângulo de potência 
eP - potência eletromagnética (W) θ - ângulo de carga 
fP - perdas no ferro (W) ( )%η - rendimento em porcento 
mecP - perdas mecânicas (W) 
Transformador 
11
*
111 QjPIVmS ⋅+=⋅⋅= 22*222 QjPIVmS ⋅+=⋅⋅= 
( )ϕ⋅= cosSP ( )ϕ⋅= senSQ 
( ) 100
P
P
%
entrada
saída ⋅=η 21 S,S - potência aparente do enrolamento 
primário e do enrolamento secundário (V.A) 
1V - fasor tensão de fase do primário (V) 2V - fasor tensão de fase do secundário (V) 
1I - fasor corrente de fase do primário (A) 2I - fasor corrente do secundário (A) 
1X - reat. de dispersão do primário (Ω ) 2X - reat. de dispersão secundário (Ω ) 
1R - resistência do primário (Ω ) 2R - resistência do secundário (Ω ) 
ϕX - reatância de magnetização (Ω ) ( )%η - rendimento em porcento 
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1V
1I
ϕjX
+
_
1R 2R2jX
( )
s
s1
R2
−⋅
2IϕI
1jX
 
Diagrama monofásico da máquina de indução com grandezas do rotor referidas ao estator 
Máquina de Indução 
( )
s
s1
RImP 2
2
2e
−⋅⋅⋅= 
m
e
e
P
T ω= fmecem PPPP mm= m
m
m
P
T ω= 
QjPIVmS *11 ⋅+=⋅⋅= 2j1je PPPP ±±= ( )ϕ⋅= cosSP ( )ϕ⋅= senSQ 
( )s1f
p
2
f sm −⋅⋅= ( )s1p
2
sm −⋅ω⋅=ω 2111j IR3P ⋅⋅= 2222j IR3P ⋅⋅= 
s
ms 2
p
s ω


 ω⋅−ω
= ss f2 ⋅π⋅=ω ( ) 100P
P
%
entrada
saída ⋅=η 
1V - fasor tensão de fase do estator (V) 1R , 2R - resist. do estator e rotor (Ω ) 
1I - fasor corrente de fase do estator (A) 2I - corrente do rotor ref. ao estator (A) 
1X - reatância de dispersão do estator (Ω ) 2X - reatância de dispersão do rotor (Ω ) 
ϕX - reatância de magnetização (Ω ) s - escorregamento em valor absoluto 
sω - velocidade angular síncrona (rad/s) mω - velocidade angular do rotor (rad/s) 
sf - freqüência síncrona (freq. da rede) (Hz) mf - freqüência mecânica do rotor (Hz) 
p - número de pólos m - número de fases 
S - potência aparente total (V.A) eT - torque eletromagnético (N.m) 
P - potência ativa total (W) eP - potência eletromagnética (W) 
fP - perdas no ferro (W) Q - potência reativa total (var) 
mecP - perdas mecânicas (W) mP - potência mecânica no eixo (W) 
1jP - perdas joule no estator (W) mT - torque mecânico no eixo (N.m) 
2jP - perdas joule no rotor (W) ( )%η - rendimento em porcento 
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x
ferro
N espiras
i δ
b
b
h
bd
V
eB
i
B cF
 
Arranjo esquemático de uma bobina e condutor em um campo magnético 
Circuito Eletromagnético - Bobina e Condutor em Movimento 
HB ⋅µ= iNH xx ⋅=⋅∑ l 
AB ⋅=Φ Φ⋅=Ψ N 
µ⋅=
⋅µ=⋅=
2
B
2
H
2
HB
S
22
 
o
22
o
2
B
2
H
2
HB
S µ⋅=
⋅µ=⋅= δδδδδ 
δ⋅⋅⋅µ⋅=δ⋅⋅⋅
⋅µ=δ⋅⋅⋅⋅=⋅= δδδδδδδ bL2
B
bL
2
H
bL
2
HB
VSW
22
 δ⋅⋅=δ bLV 
bL
2
B
bL
2
H
bL
2
HBW
F
22
⋅⋅µ⋅=⋅⋅
⋅µ=⋅⋅⋅=δ∂
∂=
δ
δδδδδδ 
xx
x
x A µ⋅=
lR 
∑
⋅=Φ
x
iN
R
 m/H104 70
−⋅π⋅=µ 
uLBe ⋅⋅= LiBFc ⋅⋅= 
B - indução magnética (T) H - campo magnético (A/m) 
µ - permeabilidade magnética (H/m) A - área perpendicular ao campo (m²) 
Φ - fluxo magnético (Wb) Ψ - fluxo concatenado (Wb) 
b, h, d - dimensões da bobina (m) L - profundidade (comprimento axial) (m) 
S - densidade volumétrica de energia (J/m³) δW - energia armazenada do entreferro (J) 
δF - força de atração no do entreferro (N) xR - relutância de um trecho (1/H) 
N - número de espiras i - corrente elétrica (A) 
e - tensão induzida em um condutor (V) cF - força sobre condutor em movimento (N) 
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1I
2I
3I
1LI
2LI
3LI
3V
+
_
1V
2V
+
_+
_
12V 23
V
31V
N1
2
3
conexão estrela sem condutor neutro
1
2
3
 
Diagrama da conexão estrela sem condutorneutro 
1I
2I
3I
1LI
2LI
3LI
3V
+
_
1V
2V
+
_
+
_
12V 23V
31V
1
2
3
conexão triângulo
2
1
3
 
Diagrama da conexão triângulo 
Conexões Trifásicas Equilibradas 
VVVV 321 === 
o0VV1 = 
o120VV2 −= 
o240VV3 −= 
3VVVV 312312 ⋅=== 
o303VV12 ⋅= 
o903VV23 −⋅= 
o2103VV31 −⋅= 
1L1 II = 
2L2 II = 
3L3 II = 
QjPIV3S *11 ⋅+=⋅⋅= 
============================================ 
IIII 321 === 
o0II1 = 
o120II2 −= 
o240II3 −= 
3IIII 3L2L1L ⋅=== 
o303II 1L −⋅= 
o1503II 2L −⋅= 
o2703II 3L −⋅= 
112 VV = 
223 VV = 
331 VV = QjPIV3S *11 ⋅+=⋅⋅= S - potência aparente total (V.A) 
P - potência ativa total (W) Q - potência reativa total (var) 
1V , 2V , 3V - tensões de fase (volts) 1I , 2I , 3I - correntes de fase (A) 
12V , 23V , 31V - tensões de linha (volts) 1LI , 2LI , 3LI - correntes de linha (A) 
V - módulo das tensões de fase (volts) I - módulo das correntes de fase (A)