Respostas do livro Geometria Analitica A

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2.8 Problemas Propostos
1. Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor ~v = (2,−5), sa-
bendo que sua origem e´ o ponto A(−1, 3).
Soluc¸a˜o:
~v = B − A
(2,−5) = (x, y) − (−1, 3)
Para x temos,
x + 1 = 2⇒ x = 1
Para y temos,
y − 3 = −5⇒ y = −5 + 3⇒ y = −2
Logo, o ponto da extremidade e igual a:
B = (1,−2)
2. Dados os vetores ~u = (3,−1) e ~v = (−1, 2), determinar o vetor ~w tal que:
a) 4(~u − ~v) + 1
3
~w = 2~u − ~w
Soluc¸a˜o:
4(~u − ~v) + 1
3
~w = 2~u − ~w
Substituı´do os valores dos respectivos vetores,
4[(3,−1) − (−1, 2)] + 1
3
(x, y) = 2(3,−1) − (x, y)
Efetuando as operac¸o˜es;
(16,−12) +
�
x
3
,
y
3
�
= (6 − x,−2 − y)
�
16 +
x
3
,−12 +
y
3
�
= (6 − x,−2 − y)
Para x temos a seguinte igualdade; 16+
x
3
= 6−x⇒ x
3
+x = 6−x⇒ x + 3x
3
= −10⇒
x + 3x = −10⇒ 4x = −30⇒ x = −30
4
⇒ x = −15
2
Para y temos a seguinte igualdade;
−12 +
y
3
= −2 − y ⇒
y
3
+ y = −2 − y ⇒
y + 3y
3
= 10 ⇒ y + 3y = 30 ⇒ 4y = 30 ⇒
y =
30
4
⇒ y = 15
2
3
Resultado: ~w =
�−15
2
,
15
2
�
b)3~w − (2~v − ~u) = 2(4~w − 3~u)
Soluc¸a˜o:
Substituı´do os valores dos respectivos vetores;
3(x, y) − [2(−1, 2) − (3,−1)] = 2[(4(x, y) − 3(3,−1)]
(3x, 3y) − [(−2,−4) − (3,−1)] = 2[(4x, 4y) − (9,−3)]
(3x, 3y) − (−5, 5) = 2(4x − 9, 4y + 3)
(3x + 5, 3y − 5) = (2(4x − 9), 2(4y + 3))
Para x temos a seguinte igualdade;
3x + 5 = 8x − 18
3x − 8x = 18 − 5
−5x = −23
x =
23
5
Para y temos a seguinte igualdade;
3y − 5 = 8y + 6
3y − 8y = 6 + 5
−5y = 11
y =
−11
5
~w =
�
23
5
,
−11
5
�
3. Dados os PontosA(−1, 3), B(2, 5) e C(3, 1), calcular −−→OA−−→AB, −−→OC−−→BC e 3−→BA−4−→CB.
Soluc¸a˜o:
Resolvendo:
−−→
OA⇒ A −O⇒ (−1, 3) − (0, 0)⇒ (−1, 3)
Resolvendo:
−→
AB⇒ B − A⇒ (2, 5) − (−2, 3)⇒ (3, 2)
Efetuando a Operac¸a˜o:
−−→
OA − −→AB = (2, 5) − (−1, 3)⇒ (−4, 1)
−−→
OA − −→AB = (−4, 1)
Resolvendo:
−−→
OC⇒ C −O⇒ (3,−1) − (0, 0)⇒ (3,−1)
Resolvendo:
−→
BC⇒ C − B⇒ (3,−1) − (2, 5)⇒ (1,−6)
Efetuando a Operac¸a˜o:
4
−−→
OC − −→BC = (3,−1) − (1,−6)⇒ (2, 5)
−−→
OC − −→BC = (2, 5)
Resolvendo:
−→
BA⇒ B − A⇒ (−1, 3) − (2, 5)⇒ (−3,−2)
Resolvendo:
−→
CB⇒ B − C⇒ (2, 5) − (3, 1)⇒ (−1, 6)
Efetuando a Operac¸a˜o:
3
−→
BA − 4−→CB = 3(−3,−2) − 4(−1, 6)⇒ (−9,−6) − (−4, 24)⇒ (−4, 24)
3
−→
BA − 4−→CB = (−5,−30)
4. Dados os vetores ~u = (3,−4) e ~v =
�
−9
4
, 3
�
, verificar se existem nu´meros a e b tais
que ~u = a~v e ~v = b~u.
Soluc¸a˜o:
Resolvendo para a;
(3,−4) = a
�−9
4
, 3
�
⇒ 3 = −9
4
a⇒ a = −3.4
9
⇒ a = −12
3
⇒ a = −4
3
Resolvendo para b;
�−9
3
, 3
�
= b(4, 3)⇒ 3 = b.4⇒ b = −3
4
⇒ b = −3
4
5. Dados os vetores ~u = (2,−4), ~v = (−5, 1) e ~w = (−12, 6), determinar k1 e k2 tal que
~w = k1~u + k2~v.
Soluc¸a˜o:
Substituindo os valores dos respectivos vetores;
(−12, 6) = k1(2, 4) + k2(−5, 1) (−12, 6) = (2.k1,−4.k1) + (−5.k2, k2) Retirando a igual-
dade para os valores de x temos;
(
2.k1 + (−5.k2) = −12
−4.k1 + k2 = 6
⇒
(
2.k1 − 5.k2 = −12
−4.k1 + k2 = 6.(+5)
⇒
(
2.k1 − 5.k2 = −12
−20.k1 + 5.k2 = 30
⇒.
−18k1 = 18⇒ k1 = −1
Substituindo k1 na Primeira Equac¸a˜o temos;
2(−1) − 5.k2 = 12⇒ −2 − 5.k2 = −12⇒ −5.k2 = −12 + 2 k2 =
−10
−5 ⇒ k2 = 2
5
6. Dados os pontos A(−1, 3),B(1, 0) e C(2,−1), determinar D Tal que −−→DC = −→BA.
Soluc¸a˜o:
Resolvendo
−−→
DC e
−→
BA:
−−→
DC = (2, 1) = (x, y)
−→
BA = (−1, 3) − (1, 0)
Substituido em
−−→
DC =
−→
BA temos:
(2,−1) − (x, y) = (−1, 3) − (1, 0)
(2 − x,−1 − y) = (−2, 3)
Resolvendo para x:
2 − x = −2⇒ x = 4
Resolvendo para y:
−1 − y = 3⇒ y = −4
D(4,−4)
7. Dados os pontos A(2,−3, 1) e B(4, 5,−2), determinar o ponto P tal que −→AP = −→PB.
Soluc¸a˜o:
Resolvendo
−→
AP e
−→
PB:
−→
AP = (x, y, z) − (2,−3, 1)
−→
PB = (4, 5,−2) − (x, y, z)
Substituindo em
−→
AP =
−→
PB temos:
(x, y, z) − (2,−3, 1) = (4, 5,−2) − (x, y, z)
(x − 2, y + 3, z − 1) = (4 − x, 5 − y,−2 − z)
Resolvendo para x:
x − 2 = 4 − x⇒ x = 3
Resolvendo para y:
y + 3 = 5 − y⇒ 2y = 5 − 3⇒ 2y = 2⇒ y = 1
Resolvendo para z:
z − 1 = −2 − z⇒ 2z = −2 + 1⇒ 2z = −1⇒ z = −1
2
P
�
3, 1,−1
2
�
8. Dados os pontos A(−1, 2, 3) e B(4,−2, 0), determine o ponto P tal que −→AP = 3−→AB.
Soluc¸a˜o:
(x, y, z) − (−1, 2, 3) = 3[(4,−2, 0) − (−1, 2, 3)]
(x + 1, y − 2, z − 3) = 3[(5,−4,−3)]
(x + 1, y − 2, z − 3) = (15,−12,−9)
Resolvendo para x:
6
x + 1 = 15⇒ x = 114
Resolvendo para y:
y − 2 = −12⇒ y = −10
Rsolvendo para z:
z − 3 = −9⇒ z = −6
P(14,−10,−6)
9. Determinar o vetor ~v sabendo que (3, 7, 1) + 2~v = (6, 10, 4) − ~v.
Soluc¸a˜o:
(3, 7, 1) + 2~v = (6, 10, 4)
3~v = (6, 10, 4) − (3, 7, 1)
3~v = (3, 3, 3)
~v = (1, 1, 1)
10. Encontrar os nu´meros a1 e a2 tais que ~w = a1~v1 + a2~v2, sendo ~v1 = (1,−2, 1),
~v2 = (2, 0,−4) e ~w = (4,−4, 14).
Soluc¸a˜o:
(−4,−4, 14) = a1(1,−2, 1)+a2(2, 0,−4)⇒ (−4,−4, 14) = (a1+2a2,−2a1, a1−a1−4a2)⇒
Fazendo o sistema:









a1 + 2a2 = −4
−2a1 = −4
a1 + 4a2 = 14
Resolvendo para a1 temos:
−2a1 = −4⇒ a1 = −4−2 ⇒ a1 = 2 .
Resolvendo para a2 temos:
2 − 4.a2 = 14⇒ −4a2 = 14 − 2⇒ a2 = 12−4 ⇒ a2 = −3
11. Determinar a e bdemodoque os vetores ~u = (4, 1,−3) e ~v = (6, a, b) sejamparalelos.
Soluc¸a˜o:
Para os vetores sejam paralelos tem que satisfazer a seguinte equac¸a˜o:
~v = α~u
(6, a, b) = α(4, 1,−3)⇒ 6 = α4
α = 3
2
Substituindo α na primeira equac¸a˜o:
a =
3
2
1⇒ a = 3
2
e b =
3
2
− 3⇒ b = 9
2
a =
3
2
e b = −9
2
7
12. Verificar se sa˜o colineares os pontos:
a)A(−1,−5, 0), B(2, 1, 3) e C(−2,−7,−1)
Soluc¸a˜o:
det =








−1 −5 0
2 1 3
−2 −7 −1








= 0 Os pontos sa˜o colineares:
b)A(2, 1,−1), B(3,−1, 0) e C(1, 0, 4)
Soluc¸a˜o: det =








2 1 −1
3 −1 0
1 0 4








= 21
Os pontos na˜o sa˜o colineares:
13. Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A(3, 1,−2), B(1, 5, 1) e
C(a, b, 7).
Soluc¸a˜o:
−→
AB = B − A = (−2, 4, 3)
−→
BC = C − B = (a − 1, b − 5, 6)
−→
AB =
−→
BC
−2
a − 1 =
4
b − 5 =
3
6
Simplificando:
−2
a − 1 =
4
b − 5 =
1
2
Para a: a − 1 = −4⇒ a = −3
Para b: b − 5 = 8⇒ b = 13
14. Mostrar que os pontos A(4, 0, 1), B(5, 1, 3), C(3, 2, 5) e D(2, 1, 3) sa˜o ve´rtices de um
paralelogramo: Soluc¸a˜o:
Para ser um paralelogramo tem que satisfazer a igualdade:
−→
AB +
−−→
AD =
−−→
AC
[(5, 1, 3) − (4, 0, 1)] + [(2, 1, 3) − (4, 0, 1)] = (3, 2, 5) − (4, 0, 1)
(1, 1, 2) + (−2, 1, 2) = (−1, 2, 4)
(−1, 2, 4) = (−1, 2, 4)
Satisfazendo a igualdade os pontos formam os ve´rtices de um paralelogramo.
15. Determine o sime´trico do Ponto P(3, 1,−2) em relac¸a˜o ao ponto A(−1, 0,−3).
Soluc¸a˜o:
X e´ ponto sime´trico do ponto P em relac¸a˜o ao ponto X.
−→
PA =
−−→
AX
(−1, 0,−3) − (3, 1,−2) = (x, y, z) − (−1, 0, 3)⇒ (−4,−1,−1) = (x + 1, y, z + 3)
8
Resolvendo para x: x + 1 = −4⇒ x = −5
Resolvendo para y: y = −1⇒ y = −1
Resolvendo para z: z + 3 = −1⇒ z = −4
X(−5,−1,−4)
3.16 Problemas Propostos:
1. Dados os vetores ~u = (1, a,−2a− 1), ~v = (a, a− 1, 1) e ~w = (a,−1, 1), determine a, de
modo ~u.~v = (~u + ~v).~w.
Soluc¸a˜o:
(1, a,−2a − 1).(a, a − 1, 1) = [(1, a,−2a − 1) + (a, a − 1, 1)].(a,−1, 1)
(a + a(a − 1) − 2a − 1) = [(a + 1), a + a − 1, 2a − 1 + 1].(a,−1, 1)
a + a2 − a − 2a − 1 = [a + 1, 2a,−2a].(a,−1, 1)
a2 − 2a − 1 = a.(a + 1) − (2a − 1) − 2a
a2 − a2 − 2a − a + 2a + 2a = 1 + 1
a = 2
2. Dados os pontos A(−1, 0, 2), B(−4, 1, 1) e C(0, 1, 3), determine o vetor ~x tal que
2~x − −→AB = ~x + (−→BC.−→AB)−−→AC
Soluc¸a˜o:
−→
AB = B − A = (−4+ 1, 1 − 0, 1 − 2) = (−3, 1,−1)
−→
BC = C − B = (0 + 4, 1 − 1, 3 − 1) = (4, 0, 2)
−−→
AC = C − A = (0 + 1, 1 − 0, 3 − 2) = (1, 1, 1)
−→
BC.
−→
AB = 4.(−3) + 0.1 + 2.(−1) = −12 − 2 = −14
(
−→
BC.
−→
AB)AC = (−14.1,−14.1,−14.1) = (−14,−14,−14).
Portanto,
2~x − ~x = (−14,−14,−14) + (−3, 1,−1)⇒
~x = (−17,−13,−15)
3. Determinar o vetor ~v, sabendo que (3, 7, 1) + 2~v = (6, 10, 4) − ~v.
Soluc¸a˜o:
(3, 7, 1) + 2(x, y, z) = (6, 10, 4) − (x, y, z)
(3, 7, 1) + (2x, 2y, 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)
(3 + 2x, 7 + 2y, 1 + 2z) = (6 − x, 10 − y, 4 − z)
Para x, temos: 3 + 2x = 6 − x⇒ 3x = 3⇒ x = 1
Para y, temos: 7 + 2y = 10 − y⇒ y = 1
Para z, temos: 1 + 2z = 4 − z⇒ z = 1
~v = (1, 1, 1)
9
4. Dados os pontos A(1, 2, 3), B(−6,−2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor do vetor
3
−→
BA − 2−→BC.
Soluc¸a˜o:
3
−→
BA − 2 ~BC = 3.[(1, 2, 3) − (−6,−2, 3)] − 2[(1, 2, 1) − (−6,−2, 3)]⇒
3
−→
BA − 2−→BC = 3.[(7, 4, 0)] − 2[(7, 4,−2)]⇒
3
−→
BA − 2−→BC = (21, 12, 0) − (14, 8,−4)⇒
3
−→
BA − 2−→BC = (7, 4, 4)
Calculo do Modulo:
|3−→BA − 2−→BC| =
√
72 + 42 + 42 ⇒
|3−→BA − 2−→BC| =
√
49 + 16 + 16⇒
|3−→BA − 2−→BC| =
√
81⇒
|3−→BA − 2−→BC| = 9
Calculo do versor:
3
−→
BA − 2−→BC
|3−→BA − 2−→BC|
=
(7, 4, 4)
9
⇒
3
−→
BA − 2−→BC
|3−→BA − 2−→BC|
=
�
7
9
,
4
9
,
4
9
�
5. Verificar se sa˜o unita´rios os seguintes vetores: −→u = (1, 1, 1) e −→v =
 
1
√
6
,− 2√
6
,
1
√
6
!
Soluc¸a˜o:
Calculo do Modulo do vetor ~u:
|~u| =
√
12 + 12 + 12 ⇒
|~u| =
√
1 + 1 + 1
|~u| =
√
3⇒, ou seja, e´ diferente de 1 logo ~u na˜o e´ unita´rio.
Calculo do Modulo do vetor ~v:
|~v| =
s
 
1
√
6
!2
+
 
− 2√
6
!2
+
 
1
√
6
!2
⇒
|~v| =
r
�
1
6
�
+
�
4
6
�
+
�
1
6
�
⇒
|~v| =
r
�
1 + 4 + 6
6
�
⇒
|~v| =
r
�
6
6
�
⇒
10
|~v| =
√
1⇒
|~v| = 1, ou seja, o vetor ~v e´ unita´rio.
6. Determinar o valor de n para o vetor ~v =
�
n,
2
5
,
4
5
�
seja unita´rio.
Soluc¸a˜o:
|~v| = 1
|~v| =
r
n2 +
�
2
5
�2
+
�
4
5
�2
⇒
|~v| =
r
n2 +
4
25
+
16
25
⇒
|~v| =
r
n2 +
20
25
Substituindo o valor de |~v|, temos:
1 =
r
n2 +
20
25
⇒ 12 =






r
n2 +
20
25






2
⇒n2+20
25
= 1⇒n2 = 1−20
25
⇒n2 = 25 − 20
25
⇒
n2 =
5
25
⇒ n2 = 1
5
⇒ n = ±
r
1
5
⇒ n = ± 1√
5
⇒ n = ± 1.
√
5
√
5.
√
5
⇒
n = ±
√
5
5
7. Seja o vetor ~v = (m + 7)~i + (m + 2)~j + 5~k. Calcular m para que |~v| =
√
38.
Soluc¸a˜o:
|(m + 7)~i + (m + 2)~j + 5~k| =
√
38|⇒
p
(m + 7)2 + (m + 2)2 + 252 =
√
38⇒
√
m2 + 14m + 49 +m2 + 4m + 4 + 25 =
√
38⇒
(
√
m2 + 14m + 49 +m2 + 4m + 4 + 25)2 = (
√
38)2 ⇒
m2 + 14m + 49 +m2 + 4m + 4 + 25 = 38⇒
2m2 + 18m + 78 = 38⇒
2m2 + 18m + 78 − 38 = 0⇒
2m2 + 18m + 40 = 0⇒
m2 + 9m + 20 = 0⇒
Resolvendo a equac¸a˜o 2 grau.
Δ = 92 − 4.1.20⇒
Δ = 81 − 80⇒ Δ = 1
m =
−9 ±
√
1
2.1
⇒
11
m =
−9 ± 1
2
⇒
m′ =
−9 + 1
2
⇒ m′ = −4
m′′ =
−9 − 1
2
⇒ m′′ = −5
8. Dados os pontosA(1, 0,−1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor dem para que
|~v| = 7, sendo ~v = m−−→AC + −→BC.
Soluc¸a˜o:
~v = m
−−→
AC +
−→
BC⇒
~v = m[(1, 2, 0) − (1, 0,−1)] + [(1, 2, 0) − (4, 2, 1)]⇒
~v = m[(0, 2, 1)] + (−3, 0,−1)⇒
~v = (0, 2m,m) + (−3, 0,−1)⇒
~v = (−3, 2m,m − 1)⇒
|~v| =
p
(−3)2 + (2m)2 + (m − 1)2 ⇒
|~v| =
√
9 + 4m2 +m2 − 2m + 1⇒
|~v| =
√
5m2 − 2m + 10
Substituindo o valor de |~v| = 7
7 =
√
5m2 − 2m + 10⇒
(
√
5m2 − 2m + 10)2 = 72 ⇒
5m2 − 2m + 10 = 49⇒
5m2 − 2m − 39 = 0⇒
Resolvendo a equac¸a˜o 2 grau.
Δ = (−2)2 − 4.5.(−39)⇒
Δ = 4 + 780⇒
Δ = 784
m =
−(−2) ±
√
784
2.5
m =
2 ± 28
10
m′ =
2 + 28
10
m′ =
30
10
⇒ m′ = 3
m′′ =
2 − 28
10
m′′ =
−26
10
⇒ m′′ = −13
5
⇒ m′′ = −13
5
12
9. Dados os pontos A(3,m − 1,−4) e B(8, 2m − 1,m), determinar m de modo que
|−→AB| =
√
35.
Soluc¸a˜o:
|(8, 2m − 1,m) − (3,m − 1,−4)| =
√
35⇒
|(5, 2m − 1 −m + 1,m + 4)| =
√
35⇒
p
(5)2 + (m)2 + (m2) + 8m + 16 =
√
35⇒
p
25 + (m)2 + (m2) + 8m + 16 =
√
35⇒
�
p
25 + (m)2 + (m2) + 8m + 16
�2
=
�√
35
�2
⇒
25 + (m)2 + (m2) + 8m + 16 = 35⇒
2m2 + 8m + 16 + 25 − 35 = 0⇒
2m2 + 8m + 6 = 0⇒
m2 + 4m + 3 = 0⇒ Resolvendo a Equac¸a˜o 2 grau.
δ = 42 − 4.1.3
δ = 16 − 12
δ = 4
m =
−4 ±
√
4
2.1
m′ =
−4 + 2
2
⇒ m′ = −2
2
⇒ m′ = −1
m′′ =
−4 − 2
2
⇒ m′′ = −6
2
⇒ m′′ = −3
10. Calcular o perı´metro do triaˆngulo do ve´rtices A(0, 1, 2), B(−1, 0,−1) e C(2,−1, 0).
Soluc¸a˜o:
p = |−→AB| + |−→BC| + |−−→CA|⇒ p = |(B − A)| + |(C − B)| + |(A − C)|⇒
p = |(−1, 0,−1) − (0, 1, 2)| + |(2,−1, 0) − (−1, 0,−1)| + |(0, 1, 2) − (2,−1, 0)|⇒
p = |(−1,−1,−3)| + |(3,−1, 1)| + |(−2, 2, 2)|⇒
p =
p
(−1)2 + (−1)2 + (−3)2 +
p
(9)2 + (1)2 + (1)2 +
p
(4)2 + (4)2 + (4)2 ⇒
p =
√
11 +
√
11 +
√
12⇒
p = 2
√
11 +
√
12⇒
p = 2
√
11 + 2
√
3⇒
p = 2(
√
11 +
√
3)
11. Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistantes dos pontos A(2,−3, 1) e
B(−2, 1,−1).
Soluc¸a˜o:
13
Queremos encontrar um ponto P(x, 0, 0), se os pontos sa˜o equidistantes satisfaz a
seguinte equac¸a˜o: |−→AP| = |−→PB|.
Substituindo os pontos na equac¸a˜o:
|(x, 0, 0) − (2,−3, 1)| = |(−2, 1,−1) − (x, 0, 0)|⇒
|x − 2, 3,−1| = | − 2 − x, 1,−1|⇒
p
(x − 2)2 + 32 + 12 =
p
(−2 − x)2 + 12 + 11 ⇒
√
x2 − 4x + 14 =
√
x2 + 4x + 4 + 2⇒
(
√
x2 − 4x + 14)2 = (
√
x2 + 4x + 4 + 2)2 ⇒
x2 − 4x + 14 = x2 + 4x + 4 + 2⇒
−4x − 4x = −14 + 4 + 2⇒
−8x = −8⇒
x = 1⇒
Logo o ponto procurado P(1, 0, 0)
12. Seja o triaˆngulo de ve´rtices A(−1,−2, 4), B(−4,−2, 0) e C(3,−2, 1). Determine o
aˆngulo interno ao ve´rtice B.
Soluc¸a˜o:
−→
BA = (−1,−2, 4) − (−4,−2, 0) = (3, 0, 4)
−→
BC = (3,−2, 1) − (−4,−2, 0) = (7, 0, 1)
|−→BA| =
√
32 + 02 + 42 = 5
|−→BC| =
√
72 + 02 + 12 = 5
√
2
Pela equac¸a˜o do produto escalar:
−→
BA.
−→
BC = |−→BA|.|−→BC|.cosθ
Substituı´ndo os valores temos:
(3, 0, 4).(7, 0, 1) = 5.5
√
2.cosθ⇒
(21 + 0 + 4) = 25
√
2.cosθ⇒
25 = 25
√
2.cosθ⇒
cosθ = 25
25
√
2
⇒
θ = arccos 1√
2
θ = 45o
13. Os pontos A,B,C sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo equila´tero cujo lado mede 10cm.
Calcular
−→
AB e
−−→
AC.
Soluc¸a˜o:
14
|−→AB| = 10cm
|−−→AC| = 10cm
Equac¸a˜o do produto escalar:
−→
AB.
−−→
AC = |−→AB|.|−−→AC|.cosθ⇒
Substituindo a equac¸a˜o com os valores conhecidos:
−→
AB.
−−→
AC = 10.10.cos60o ⇒
−→
AB.
−−→
AC = 100.0, 5⇒
−→
AB.
−−→
AC = 50
14. Os lados de um triaˆngulo retaˆngulo ABC (reto em A) medem 5,12 e 13. Calcular
−→
AB.
−−→
AC +
−→
BA.
−→
BC +
−−→
CA.
−→
CB.
Soluc¸a˜o:
−→
AB.
−−→
AC +
−→
BA.
−→
BC +
−−→
CA.
−→
CB
−→
AB.
−−→
AC = 0
cosα = 5
13
cosα =
−→
BA.
−→
BC
|−→BA|.|−→BC|
⇒ 5
13
=
−→
BA.
−→
BC
5.13
⇒⇒ −→BA.−→BC = 25
cosθ = 12
13
=
−−→
CA.
−→
CB
|−−→CA|.|−→CB|
⇒ 12
13
=
−−→
CA.
−→
CB
12.13
⇒ −−→CA.−→CB = 144⇒
0 + 25 + 144 = 169
−→
AB.
−−→
AC +
−→
BA.
−→
BC +
−−→
CA.
−→
CB = 169
15. Determinar os aˆngulos do triaˆngulo de ve´rtice A(2, 1, 3), B(1, 0,−1) e C(−1, 2, 1).
Soluc¸a˜o:
Calculando Aˆ:
−→
AB = (1, 0,−1) − (2, 1, 3) = (−1,−1,−4) |−→AB| =
p
(−1)2 + 12 + (−4)2 =
√
18
−−→
AC = (−1, 2, 1) − (2, 1, 3) = (−3, 1,−2) |−−→AC| =
√
32 + 12 + 22 =
√
14
Substituindo na equac¸a˜o
−→
AB.
−−→
AC = |−→AB|.|−−→AC|.cosAˆ temos:
(−1,−1,−4).(−3, 1,−2) =
√
18.
√
14.cosAˆ⇒
cosAˆ =
10
√
18.
√
14
⇒
Aˆ = arccos
10
3.2.
√
7
⇒
Aˆ =arccos
5
3
√
7
15
Calculando Bˆ:
−→
BA = (2, 1, 3) − (1, 0,−1) = (1, 1, 4) |−→BA| =
√
12 + 12 + 42 =
√
18
−→
BC = (−1, 2, 1) − (1, 0 − 1) = (−2, 2, 2) |−→BC| =
p
(−2)2 + 22 + 22 = 2.
√
3
Substituindo na equac¸a˜o
−→
BA.
−→
BC = |−→BA|.|−→BC|.cosBˆ temos:
(1, 1, 4).(−2, 2, 2) =
√
18.2.
√
3.cosBˆ ⇒ cosBˆ = 8√
18.2.
√
3
⇒ Bˆ = arccos 8
2.3.
√
6
⇒
Bˆ = arccos
4
3.
√
6
⇒ Bˆ = arccos 4.
√
6
3.
√
6.
√
6
⇒ Bˆ = arccos4.
√
6
3.6
⇒ Bˆ = arccos2.
√
6
3.3
⇒
Bˆ = arccos
2.
√
6
9
Calculando C:
−−→
CA = (2, 1, 3) − (−1, 2, 1) = (3,−1, 2) |−−→CA| =
p
32 + (−1)2 + 22 =
√
14
−→
CB = (1, 0,−1) − (−2, 21) = (2,−2,−2) |−→CB| =
p
22 + (−2)2 + (−2)2 = 2.
√
3
Substituindo na equac¸a˜o
−−→
CA.
−→
CB = |−−→CA|.|−→CB|.cosCˆ temos:
(3 − 1, 2).(2,−2,−2) =
√
14.2.
√
3.cosCˆ⇒ cosCˆ = 4√
14.2.
√
3
⇒ Cˆ = arccos 4
2.
√
42
⇒
Cˆ = arccos
2
√
42
⇒ Cˆ = arccos 2√
42
16.
π
3
,Sabendo que o ângulo entre os vetores ~u = (2, 1, −1) e ~v = (1, −1, m + 2) é 
determinar m.
Soluc¸a˜o:
Fo´rmula do aˆngulo entre dois vetores :
cosΘ =
~u.~v
|~u|.|~v|
~u.~v = (2, 1,−1).(1,−1,m + 2) = 2.1 + 1(−1) + (−1)(m + 2) = 2 − 1 −m − 2 = −1 −m
|~u| =
p
(22 + 12 + (−1)2) =
√
6 |~v| =
p
1 + 1 + (m + 2) =
p
(2 +m2 + 4m + 4) =√
m2 + 4m + 6
Substituindo os valores na equac¸a˜o do angulo entre vetores temos:
cos
π
2
=
(−1 −m)
√
6.
√
m2 + 4m + 6
⇒ 1
2
=
(−1 −m)
√
6.
√
m2 + 4m + 6
⇒
√
6.
√
m2 + 4m + 6 = −2 −
2m⇒
Elevando ambos os membros ao quadrado:
6.(m2+4m+6) = (−2−2m)2 ⇒ 6m2+24m+36 = 4+8m+4m2 ⇒ 2m2+16m+32 = 0⇒
m2 + 8m + 16 = 0⇒
Resolvendo a equac¸a˜o 2o Grau.
Δ = 82 − 4.1.16 = 0
16
m =
−8 ± 0
2.1
m = −4
17. Calcular n para que seja de 30o o aˆngulo entre os vetores ~u = (1, n, 2) e ~j.
Soluc¸a˜o:
~u = (1, n, 2)
|~u| =
√
1 + n2 + 4 =
√
n2 + 5
~v = (0, 1, 0)
|~v| = 1
Substituindo os valores acima na equac¸a˜o: ~u.~v = |~u|.|~v|.cos30o
(1, n, 2).(0, 1, 0) =
p
(n2 + 5).1.
√
3
2
⇒
0 + n + 0 =
p
(n2 + 5).
√
3
2
⇒
n =
p
(n2 + 5).
√
3
2
⇒
n2 =
 
p
(n2 + 5).
√
3
2
!2
⇒
n2 = (n2 + 5).
3
22
⇒
n2 =
3.(n2 + 5).
4
⇒
4n2 = 3n2 + 15⇒
n2 = 15⇒
n = ±
√
15
18. Dados os vetores ~a = (2, 1,α), ~b = (α + 2,−5, 2) e ~c = (2α, 8,α), determinar o valor
de α para que o veor ~a +~b seja ortogonal ao vetor ~c − ~a.
Soluc¸a˜o:
~a +~b = (2, 1,α) + (α + 2,−5, 2) = (α + 4,−4,α + 2)
~c − ~a = (2α, 8,α) − (2, 1,α) = (2α − 2, 7, 0)
Para ser ortogonal (~a +~b).(~c − ~a) = 0
(α + 4,−4,α + 2).(2, 1,α) = (2α − 2, 7, 0) = 0
(α + 4).(2α − 2) − 4.7 + 0 = 0
2α2 − 2α + 8α − 8 − 28 = 0
2α2 + 6α − 36 = 0
α2 + 3α − 18 = 0
17
Resolvendo a equac¸a˜o 2o grau.
Δ = 32 − 4.1.(−18)⇒ Δ = 81
α = −3 ± 9
2
α′ = −3 + 9
2
⇒ α′ = 3
α′′ = −3 − 9
2
⇒ α′′ = −6
19. Determinar o vetor ~v, paralelo ao vetor ~u = (1,−1, 2), tal que ~v.~u = −18.
Soluc¸a˜o:
~u = (1,−1, 2)
~v = α(~u)⇒ ~v = (α,−α, 2α)
Substituindo os valores na equac¸a˜o:~v.~u = −18.
(1,−2, 2)(α,−α, 2α) = −18
α + α + 4α = −18
6α = −18
α = −18
6
α = −3
~v = (−3, 3,−6)
20. Determinar o vetor ~v ortogonal ao vetor ~u = (−4, 2, 6) e colinear e ao vetor ~w =
(−6, 4,−2).
como o vetor ~v e´ colinear ao vetor ~w, temos que:
Soluc¸a˜o:
~v = α.~w
v = α.(−6, 4,−2) onde α elementos dos reais para α = 1, temos que o vetor ~v e´
igual ao vetor ~w, que isso na˜o deixa de ser colinear, ou seja dois vetores iguais
na˜o deixa de ser colinear.
~v = α.(−6, 4,−2) para α = (−1
2
).t, onde t elemento dos reais, temos ~v = t.(3,−2, 1)
para t = −2, temos que o vetor ~v e´ igual ao vetor ~w, que isso na˜o deixa de ser
colinear, ou seja dois vetores iguais na˜o deixa de ser colinear.
o vetor ~v = α.(−6, 4,−2) e´ tambe´m a soluc¸a˜o do problema...mas o vetor ~v =
t.(3,−2, 1) e´ uma forma simplificada.
o vetor v = α.(−6, 4,−2) e o vetor ~v = t.(3,−2, 1) sa˜o as mesmas soluc¸o˜es, basta
tomar α = (−1/2).t , onde t e k elementos dos reais.
enta˜o temos que a resposta e´ ~v = t.(3,−2, 1) .
18
21. Determinar o vetor ~v, colinear ao vetor ~u = (−4, 2, 6),tal que ~v.~w = −12, sendo
~w = (−1, 4, 2).
Soluc¸a˜o:
~v = α.~u
(x, y, z) = α.(−4, 2, 6)
(x, y, z) = (−4α, 2α, 6α)
Substituindo x, y e z na equac¸a˜o:~v.~w = −12 temos:
(x, y, z).(−1, 4, 2) = −12⇒
(−4α, 2α, 6α).(−1, 4, 2) = −12⇒
4α + 8α + 12α = −12
24α = −12⇒ α = −1
2
~v = −1
2
.(−4, 2, 6)
~v = (2,−1,−3) .
22. Provar que os pontosA(5, 1, 5), B(4, 3, 2) eC(−3,−2, 1) sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo
retaˆngulo.
Soluc¸a˜o:
Verificar se existe algum aˆngulo de 90o nos ve´rtices.
Testando Aˆ
cosAˆ =
−→
AB.
−−→
AC
|−→AB|.|−−→AC|
⇒
cosAˆ =
(−1, 2,−3).(−8,−3,−4)
|(−1, 2,−3)|.|(−8,−3,−4)| ⇒
cosAˆ =
14
3, 74.9, 43
⇒
cosAˆ = 0, 396⇒ Aˆ = arccos0, 396⇒ Aˆ � 60o ⇒ Aˆ � 90o
Testando Bˆ
cosBˆ =
−→
BA.
−→
BC
|−→BA|.|−→BC|
⇒
cosBˆ =
(1,−2, 3).(−7,−5,−1)
|(1,−2, 3)|.|(−7,−5,−1)| ⇒
cosBˆ =
0
3, 74.8, 66
⇒
cosBˆ = 0⇒ Bˆ = arccos0⇒ Bˆ = 90o .
Verificar se os pontos esta˜o ligado se for um triaˆngulo temque satisfazer a seguinte
equac¸a˜o:
−→
AB − −−→AC = −→CB
19
Substituı´do os valores temos:
(−1, 2, 3−) − (−8,−3,−4) = (7, 5, 1)
(7, 5, 1) = (7, 5, 1)
Satisfeita a igualdade fica provado que os pontos esta˜o ligados com o aˆngulo Bˆ
sendo de 90o logo se trata de um triaˆngulo retaˆngulo.
23. Qual o valor de α para que os vetores ~a = α~i+ 5~j− 4~k e~b = (α+ 1)~i+ 2~j+ 4~k sejam
ortogonais?
Soluc¸a˜o:
~a.~b = 0
(α, 5,−4).((α + 1), 2, 4) = 0⇒
α(α + 1) + 10 − 16 = 0⇒
α(α + 1) − 6 = 0⇒
α2 + α − 6 = 0⇒
Resolvendo a equac¸a˜o 2o grau temos:
Δ = 1 − 4.1.(−6)⇒
Δ = 25
α = −1 ± 5
2
⇒
α′ = −1 + 5
2
⇒ α′ = 2
α′′ = −1 − 5
2
⇒ α′′ = −3
α′ = 2 ou α′′ = −3
24. Verificar se existe aˆngulo reto no triaˆngulo ABC, sendo A(2, 1, 3), B(3, 3, 5) e
C(0, 4, 1).
Soluc¸a˜o:
Verificar se existe algum aˆngulo de 90o nos ve´rtices.
Testando Aˆ
cosAˆ =
−→
AB.
−−→
AC
|−→AB|.|−−→AC|
⇒
cosAˆ =
(1, 2, 1).(−2, 3,−2)
|(1, 2, 1)|.|(−2, 3,−2)| ⇒
cosAˆ =
0
3.4, 12
⇒
cosAˆ = 0⇒ Aˆ = arccos0⇒ Aˆ = 90o ⇒ Aˆ = 90o
Aˆ = 90o .
20
25. Os aˆngulos diretores de um vetor podem ser de 45o, 60o e 90o? Justificar.
Soluc¸a˜o:
Para serem aˆngulos diretores tem que satisfazer a formula: cos245o + cos260o +
cos290o = 1
Resolvendo:
(0, 707)2 + (0.5)2 + 02 = 1⇒
0.5 + 0.25 + 0 = 1⇒
0.75 � 1 logo: Na˜o sa˜o aˆngulos diretores.
26. Os aˆngulos diretores de um vetor sa˜o de 45o, 60o e γ. Determinar γ.
Soluc¸a˜o:
cos245o + cos260o + cos2γ = 1⇒
(0, 707)2 + (0.5)2 + cos2γ = 1⇒
0.5 + 0.25 + cos2γ = 1⇒
cos2γ = 1 − 0.75⇒
cos2γ = 0.25
p
(cos2γ) =
√
0.25
cosγ = ±0.5
γ = arccos ± 0.5
γ′ = 60o ou γ′′ = 120o
27. Determinar o vetor ~v, sabendo que |~v| = 5, ~v e ortogonal ao eixo 0z, ~v.~w = 6 e
~w = 2~j + 3~k.
Soluc¸a˜o:
~v = (x, y, z)⇒
Para ser Ortogonal a 0z = (0, 0, 1)
(x, y, z).(0, 0, 1) = 0⇒ 0.x + 0.y + 1.z = 0⇒ z = 0
Usando a equac¸a˜o:~v.~w = 6 temos: (x, y, 0).(0, 2, 3) = 6⇒ 0.x+ 2y+ 3.0 = 6⇒ 2y =
6⇒ y = 3
Usando a equac¸a˜o |(x, 3, 0)| = 5 temos:
√
x2 + 32 + 02 = 5⇒ x2 + 9 = 52 ⇒ x2 = 25 − 9⇒ x2 = 16⇒ x = ±
√
16⇒ x = ±4
~v = (4, 3, 0) ou ~v = (−4, 3, 0)
28. Sabe-se que |~v| = 2, cosα = 1
2
e cosβ = −1
4
. Determinar ~v.
Soluc¸a˜o:
cos2α + cos2β + cos2γ = 1⇒
21
�
1
2
�2
+
�
−1
4
�2
+ cos2γ = 1⇒
cos2γ = 1 −
 
�
1
2
�2
+
�
−1
4
�2
!
⇒
cos2γ = 1 −
�
1
4
+
1
16
�
⇒
cos2γ = 1 −
�
4 + 1
16
�
⇒
cos2γ = 1 − 5
16
⇒
cos2γ = 16 − 5
16
⇒
cos2γ = 11
16
⇒
cosγ = ±
r
11
16
⇒
cosγ = ±
√
11
4
⇒
Para coordenada x :
x = cosα.|~v|⇒x = 1
2
.2⇒ x = 1
Para coordenada y :
y = cosβ.|~v|⇒ x = −1
4
.2⇒ y = −1
2
Para coordenada z :
z = cosγ.|~v|⇒ z =
√
11
4
.2⇒ z = ±
√
11
2
~v = (1,−1
2
,±
√
11
2
)
29. Determinar um vetor unita´rio ortogonal ao vetor ~v = (2,−1, 1)
Soluc¸a˜o:
Seja ~u = (a, b, c) o vetor unita´rio pedido,enta˜o a2 + b2 + c2 = 1
Como ~u e´ ortogonal a ~v ,enta˜o ~u.~v = 0
~u.~v = 0 => (a, b, c).(2,−1, 1) = 0⇒ 2a − b + c = 0
Como temos duas equac¸o˜es,mas treˆs inco´gnitas,enta˜o teremos que atribuir a uma
inco´gnita um valor arbitra´rio. Logo, seja a = 0. Enta˜o
c − b = 0⇒ c = b
a2 + b2 + c2 = 1⇒ b2 + b2 = 1⇒ b = ±
√
2
2
Assim,encontramos dois vetores unita´rios ~u e ortogonais a ~v
22
b =
√
2
2
⇒ c =
√
2
2
e a = 0⇒ ~u = (0,
√
2
2
,
√
2
2
)
b =
√
2
2
⇒ c =
√
2
2
e a = 0⇒ ~u = (0,−
√
2
2
,−
√
2
2
)
~u = (0,±
√
2
2
,±
√
2
2
)
30. Determinar um vetor de modulo 5 paralelo ao vetor ~v = (1,−1, 2).
Soluc¸a˜o:
~v = (1,−1, 2) Dois vetores ~v e ~w sa˜o paralelos se existe uma constante real k
diferente de zero, tal que:
~w = k.~v⇒ ~w = k.(1,−1, 2) = (k,−k, 2k)
|~w| = 5
|~w|2 = k2 + (−k)2 + (2k)2 = 6k2
52 = 6k2 ⇒ k = ±5.
√
6
6
~w =
 
5.
√
6
6
,−5.
√
6
6
,
5.
√
6
3
!
ou ~w =
 
−5.
√
6
6
,
5.
√
6
6
,−5.
√
6
3
!
31. O vetor ~v e´ ortogonal aos vetores ~u = (2,−1, 3) e ~w = (1, 0,−2) e forma aˆngulo
agudo com o vetor ~j. Calcular ~v, sabendo que |~v| = 3.
√
6
Soluc¸a˜o:
~v = ~ux~w =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
2 −1 3
1 0 −2
�
�
�
�
�
�
�
�
= 2~i + 7~j +~k.
~v = (2, 7, 1)
Agora calculemos o aˆngulo que forma entre ~v e ~j, ou seja, o aˆngulo que forma
o vetor ~v = (2, 7, 1) com o vetor~j = (0, 1, 0). teremos que cosθ =
~v.~j
|~v|.|~j|
⇒ cosθ =
7
3
√
6.1
=
7
3.
√
6
cosθ = 7
3
√
6
32. Determine o vetor ~v, ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz as condic¸o˜es ~v.~v1 = 10 e
~v.~v2 = −5, sendo ~v1 = (2, 3,−1) e ~v2 = (1,−1, 2).
Soluc¸a˜o:
Calculando ~v.(0, 0, 1) = 0
~v.(0, 0, 1) = 0⇒ (x, y, z).(0, 0, 1) = 0⇒ z = 0
23
(x, y, 0).(1,−1, 2) = −5⇒ x − y = −5⇒ x = y − 5
(x, y, 0).(2, 3,−1) = 10⇒ 2x + 3y = 10 Substituindo x por y − 5 temos:
2(y − 5) + 3y = 10⇒ 2y − 10 + 3y = 10⇒ 5y = 20⇒ y = 4
Substituindo y = 4 em x = y − 5 temos: x = 4 − 5⇒ x = −1
~v = (−1, 4, 0)
33. Determinar o vetor projec¸a˜o do vetor ~u = (1, 2,−3) na direc¸a˜o de ~v = (2, 1,−2).
Soluc¸a˜o:
Formula da projec¸a˜o de um vetor:Proj~v~u =
~u.~v
|~v||~v| .~v
Resolvendo: |~v| =
p
22 + 12 + (−2)2 ⇒ |~v| =
√
9
Proj~v~u =
(1, 2,−3).(2, 1,−2)
√
9.
√
9
.(2, 1,−2)⇒
Proj~v~u =
(2 + 2 + 6)
9
.(2, 1,−2)
Proj~v~u =
10
9
.(2, 1,−2)
34. Qual o comprimento do vetor projec¸a˜o ~u = (3, 5, 2) sobre o eixos dos x.?
Soluc¸a˜o:
Formula da projec¸a˜o de um vetor:Proj~i~u =
~u.~i
|~i||~i|
.~i
Resolvendo: |~i| = 1
Proj~i~u =
(3, 5, 2).(1, 0, 0)
1.1
.(1, 0, 0)⇒
Proj~i~u = (3, 0, 0)
|Proj~i~u| =
√
32 = 3
|Proj~i~u| = 3
35. Se o vetor
−→
AB tem co-senos diretores p, q e r e aˆngulos diretores α , β e γ, quais
sa˜o os co-senos e os aˆngulos diretores de
−→
BA.
Soluc¸a˜o:
Sera´ o mesmo co-seno diretor do vetor AB, ja´ que o vetor tem mesmo modulo e
direc¸a˜o, tendo apenas o sentido contrario.
−p , −q e −r
O cosseno diretor de um vetor e´ a componente do vetor naquela direc¸a˜o dividido
pelo mo´dulo do seu versor, ou seja, para cada componente (x,y,z) teˆm-se um
cosseno diretor. Se o vetor possui mesmo mo´dulo e direc¸a˜o, duas informac¸o˜es
24
para a obtenc¸a˜o do mesmo na˜o se alteram. o versor e´ o mesmo(mo´dulo) e a
distancia do vetor a` componente(direc¸a˜o) e´ a mesma tambe´m.
π − α,π − β e π − γ
36. Mostrar que ~u e ~v sa˜o vetores, tal que ~u + ~v e ortogonal a ~u − ~v, enta˜o |~u| = |~v|.
Soluc¸a˜o:
~u = (a, b)
~v = (x, y)
~u + ~v = (a + x, b + y)
~u − ~v = (a − x, b − y)
(~u + ~v)(~u − ~v) = (a + x, b + y).(a − x, b − y) = 0
(a2 − x2, b2 − y2) = (0, 0)
a2 − x2 = 0⇒ a2 = x2 ⇒ a = x
b2 − y2 = 0⇒ b2 = y2.....b = y
Enta˜o:
~u = (a, b) e ~v = (a, b)
Logo:
|~u| = |~v|
37. Mostrar que, se ~u e´ ortogonal a ~v e ~w, ~u e´ tambe´m e´ ortogonal a ~v + ~w
Soluc¸a˜o:
~u = (x, y, z)
~v = (a, b, c)
~z = (e, f , g)
Agora se ~u e ortogonal a ~v e ~w o produto escalar entre eles e´ 0. assim:
(x, y, z).(a, b, c) = 0, ou seja, ~u.~v = 0
(xa, yb, zc) = 0
(x, y, z).(e, f , g) = 0, ou seja, ~u.~z = 0
(xe, y f , zg) = 0
Agora vamos somar os dois, (xa, yb, zc)+ (xe, y f , zg) = 0, ja´ que ambos sa˜o iguais a
0. Agora vamos fazer ~v+ ~w = (x, y, z)+ (e, f , g) = (x+ e, y+ f , z+ g), se ~u e ortogonal
a ~v + ~w significa que
~u.(~v + ~w) = 0.
Aplicando a propriedade distributiva, temos (u.v) + (u.w) = 0 , e isso e verdade,
pois ja´ provamos que ~u.~v = 0 e ~u.~w = 0, nas primeiras contas. Substituindo
teremos 0 + 0 = 0 o que e´ verdade.
25
38. Calcular o modulo dos vetores ~u+~v e ~u−~v, sabendo que |~u| = 4 e ~v = 3 e o aˆngulo
entre ~u e ~v e´ de 60o.
Soluc¸a˜o:
|u + v|2 = |u|2 + |v|2 + 2.|u|.|v|.cos60o
|u − v|2 = |u|2 + |v|2 − 2.|u|.|v|.cos60o
No caso:
|u + v|2 = 42 + 32 + 2.4.3 ∗ cos60o = 16 + 9 + 24.1
2
= 25 + 12 =
|u + v| =
√
37
|u − v|2 = 42 + 32 − 2.4.3 ∗ sen60o = 16 + 9 − 24.1
2
= 25 − 12
|u − v| =
√
13
39. Sabendo que |~u| = 2, e |~v| = 3 e que ~u e ~v formam um aˆngulo de 3π
2
rad, determinar
|(2~u − ~v).(~u − 2~v)|.
~u.~v = |~u||~v|cosθ = 2.3.cos
�
3π
2
�
= 6.
 
−
√
2
2
!
= −3
√
2
Assim
|(2~u − ~v).(~u − 2~v)| =
|2~u2 − 5~u.~v + 2~v2| =
Como ~u.~u = |~u|2 e ~v.~v = |~v|2 temos:
|2|~u|2 − 5~u.~v + 2|~v|2| =
|2.22 − 5~u.~v + 2.32| =
|8 + 15
√
2 + 18| =
|26 + 15
√
2|
Como o valor e´ positivo retira-se o modulo.
|(2~u − ~v).(~u − 2~v)| = 26 + 15
√
2
40. Determinar ~u.~v + ~u.~w + ~v.~w, sabendo que ~u + ~v + ~w = ~0, |~u| = 2, |~v| = 3 e |~w| =
√
5.
Soluc¸a˜o:
0 = 0.0 = (~u + ~v + ~w).(~u + ~v + ~w) =
~u.~u + ~u.~v + ~u.~w + ~v.~u + ~v.~v + ~v.~w + ~w.~u + ~w.~v + ~w.~w =
~u.~u + ~v.~v + ~w.~w + 2.(~u.~v + ~u.~w + ~v.~w) =
|~u|2 + |~v|2 + |~w|2 + 2.(~u.~v + ~u.~w + ~v.~w) =
4 + 9 +
�√
5
�2
+ 2.(~u.~v + ~u.~w + ~v.~w) = 0⇒
~u.~v + ~u.~w + ~v.~w = − (13 + 5)
2
26
~u.~v + ~u.~w + ~v.~w = −18
2
~u.~v + ~u.~w + ~v.~w = −9
41. O vetor ~v e´ ortogonal aos vetores ~a = (1, 2, 0) e ~b = (1, 4, 3) e forma aˆngulo agudo
com o eixo dos x. Determinar ~v, sabendo que |~v| = 14.
Soluc¸a˜o:
Seja ~v = (x, y, z) o vetor procurado.
~v e´ ortogonal ao vetor ~a logo ~v.~a = 0⇒ x + 2y = 0 (1)
~v e´ ortogonal ao vetor ~b logo ~v.~b = 0⇒ x + 4y + 3z = 0 (2)
|~v| = 4⇒ x2 + y2 + z2 = 16 (3)
De(1) temos y = −x
2
que substituı´do em (2) nos permite concluir que: z = x
3
Substituindo estes valores de y e z em (3) temos que
x2 = 144 => x = ±12.
Pore´m, o problema nos diz que o aˆnguloΘ formado por v e o eixo dos x e´ agudo.
Enta˜o o aˆngulo formado por ~v e o vetor unita´rio na direc¸a˜o do eixo x tambe´m e´
agudo. Este vetor e´~i = (1, 0, 0).
cosθ =
~i.~v
|~i|.|~v|
⇒ cosθ = x
1.14
=
x
14
(4)
Como θ e´ agudo, seu cosseno e´ positivo. Enta˜o podemos concluir de (4) que x e´
positivo⇒ x = 12.
x = 12⇒ y = −x
2
=
−12
2
= −6 e z = x
3
=
12
3
= 4
O vetor Procurado: ~v = (12,−6, 4)
42. Dados os vetores ~u = (2,−1, 1), ~v = (1,−1, 0) e ~w = (−1, 2, 2), calcular :
a) ~w × ~v
Soluc¸a˜o:
~w × ~v =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
−1 2 2
1 −1 0
�
�
�
�
�
�
�
�
= 0 +~k + 2~j − (2~k − 2~i + 0)
~w × ~v = 2~i + 2~j −~k
~w × ~v = (2, 2,−1)
b) ~v × (~w − ~u)
Soluc¸a˜o:
~w − ~u = (−1, 2, 2) − (2,−1, 1) = (−3, 3, 1)27
~v × (~w − ~u) =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
1 −1 0
−3 3 1
�
�
�
�
�
�
�
�
= −~i + 3~k − (3~k + ~j)
~v × (~w − ~u) = −~i − ~j
~v × (~w − ~u) = (−1,−1, 0)
c) (~u + ~v) × (~u − ~v)
Soluc¸a˜o:
~u + ~v = (2,−1, 1) + (1,−1, 0) = (3,−2, 1)
~u − ~v = (2,−1, 1) − (1,−1, 0) = (1, 0, 1)
~u + ~v × (~u − ~v) =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
3 −2 1
1 0 1
�
�
�
�
�
�
�
�
= −2~i + ~j − (−2~k + 3~j)
~u + ~v × (~u − ~v) = −2~i − 2~j + 2~k
~u + ~v × (~u − ~v) = (−2,−2, 2)
d) (2~u) × (3~v)
Soluc¸a˜o:
(2~u) = 2(2,−1, 1) = (4,−2, 2)
(3~v) = 3(1,−1, 0) = (3,−3, 0)
(2~u) × (3~v) =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
4 −2 2
3 −3 0
�
�
�
�
�
�
�
�
= −12~k + 6~j − (−6~k − 6~i)
(2~u) × (3~v) = 6~i + 6~j − 6~k
(2~u) × (3~v) = (6, 6,−6)
e) (~u × ~v).(~u × ~v)
Soluc¸a˜o:
~u × ~v =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
2 −1 1
1 −1 0
�
�
�
�
�
�
�
�
= −2~k + ~j − (−~k −~i)
(~u) × (~v) =~i + ~j −~k
~u × ~v = (1, 1,−1)
(~u × ~v).(~u × ~v) = (1, 1,−1).(1, 1,−1) = 1 + 1 + 1 = 3
(~u × ~v).(~u × ~v) = 3
f) (~u × ~v).~w e ~u.(~v × ~w)
Soluc¸a˜o:
28
~u × ~v =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
2 −1 1
1 −1 0
�
�
�
�
�
�
�
�
= −2~k + ~j − (−~k −~i)
~u × ~v =~i + ~j −~k
~u × ~v = (1, 1,−1)
(~u × ~v).~w = (1, 1,−1).(−1, 2, 2) = −1 + 2 − 2 = −1
~v × ~w =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
1 −1 0
−1 2 2
�
�
�
�
�
�
�
�
= −2~i + 2~k − (~k + ~j)
~v × ~w = −2~i − 2~j +~k
~v × ~w = (−2,−2, 1)
~u.(~v × ~w) = (2,−1, 1).(−2,−2, 1) = −4 + 2 + 1 = −1
(~u × ~v).~w = ~u.(~v × ~w) = −1
g) (~u × ~v) × ~w e ~u × (~v × ~w)
Soluc¸a˜o:
~u × ~v =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
2 −1 1
1 −1 0
�
�
�
�
�
�
�
�
= −2~k + ~j − (−~k −~i)
~u × ~v =~i + ~j −~k
~u × ~v = (1, 1,−1)
(~u × ~v) × ~w =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
1 1 −1
−1 2 2
�
�
�
�
�
�
�
�
= 2~k + ~j + 2~i − (−~k − 2~i + 2~j)
(~u × ~v) × ~w = 4~i − ~j + 3~k
(~u × ~v) × ~w = (4,−1, 3)
~v × ~w =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
1 −1 0
−1 2 2
�
�
�
�
�
�
�
�
= −2~i + 2~k − (~k + ~j)
~v × ~w = −2~i − 2~j +~k
~u × (~v × ~w) =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
2 −1 1
−2 −2 1
�
�
�
�
�
�
�
�
= −~i − ~j − 4~k − (2~j − 2~i + 2~k)
~u × (~v × ~w) =~i − 4~j − 6~k
h) (~u + ~v).(~u × ~w)
Soluc¸a˜o:
29
~u × ~w =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
2 −1 1
−1 2 2
�
�
�
�
�
�
�
�
= −2~i − ~j + 4~k − (2~i + 4~j +~k)
~u × ~w = −4~i − 5~j + 3~k
~u + ~v = (2,−1, 1) + (1,−1, 0) = (3,−2, 1)
(~u + ~v).(~u × ~w) = (3,−2, 1).(−4,−5, 3) = −12 + 10 + 3 = 1
(~u + ~v).(~u × ~w) = 1
43. Dados os vetores ~a = (1, 2, 1) e ~b = (2, 1, 0), calcular:
a) 2~a × (~a +~b)
Soluc¸a˜o:
~a +~b = (1, 2, 1) + (2, 1, 0) = (3, 3, 1)
2~a = 2(1, 2, 1) = (2, 4, 2)
2~a × (~a +~b) =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
2 4 2
3 3 1
�
�
�
�
�
�
�
�
= 4~i + 6~j + 6~k − (6~i + 2~j + 12~k)
2~a × (~a +~b) = −2~i + 4~j − 6~k
2~a × (~a +~b) = (−2, 4,−6)
b) (~a + 2~b) × (~a − 2~b)
2~b = 2(2, 1, 0) = (4, 2, 0)
~a + 2~b = (1, 2, 1) + (4, 2, 0) = (5, 4, 1)
~a − 2~b = (1, 2, 1)(4, 2, 0) = (−3, 0, 1)
(~a + 2~b) × (~a − 2~b) =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
5 4 1
−3 0 1
�
�
�
�
�
�
�
�
= 4~i − 3~j − (5~j − 12~k)
(~a + 2~b) × (~a − 2~b) = 4~i − 8~j + 12~k
(~a + 2~b) × (~a − 2~b) = (4,−8, 12)
44. Dados os pontos A(2,−1, 2), B(1, 2,−1) e C(3, 2, 1) determinar o vetor −→CB × (−→BC −
2
−−→
CA).
Soluc¸a˜o:
−→
CB = B − C = (1, 2,−1) − (3, 2, 1) = (−2, 0,−2)
−→
BC = C − B = (3, 2, 1) − (1, 2,−1) = (2, 0, 2)
2
−−→
CA = 2(A − C) = 2[(2,−1, 2) − (3, 2, 1)] = 2(−1,−3, 1) = (−2,−6, 2)
−→
BC − 2−−→CA = (2, 0, 2) − (−2,−6, 2) = (4, 6, 0)
30
−→
CB × (−→BC − 2−−→CA) =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
−2 0 −2
4 6 0
�
�
�
�
�
�
�
�
= −8~j − 12~k − (−12~i)
−→
CB × (−→BC − 2−−→CA) = 12~i − 8~j − 12~k
−→
CB × (−→BC − 2−−→CA) = (12,−8,−12)
45. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2~a+~b e~b = ~a, sendo
~a = (3,−1,−2) e ~b = (1, 0,−3).
Soluc¸a˜o:
2~a = 2(3,−1,−2) = (6,−2,−4)
2~a +~b = (6,−2,−4) + (1, 0,−3) = (7,−2,−7)
~b − ~a = (1, 0,−3) − (3,−1,−2) = (−2, 1,−1)
(2~a +~b) × (~b − ~a) =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
7 −2 −7
−2 1 −1
�
�
�
�
�
�
�
�
= 2~i + 14~j + 7~k − (−7~j − 7~i + 4~k)
(2~a +~b) × (~b − ~a) = 9~i + 21~j + 3~k
(2~a +~b) × (~b − ~a) = (9, 21, 3)
46. Dados os vetores ~a = (1,−1, 2),~b = (3, 4,−2) e ~c = (−5, 1,−4), mostre que ~a.(~b×~c) =
(~a ×~b).~c
Soluc¸a˜o:
~b × ~c =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
3 4 −2
−5 1 −4
�
�
�
�
�
�
�
�
= −16~i + 10~j + 3~k − (−12~j − 2~i − 20~k)
~b × ~c = −19~i + 22~j + 23~k
~a ×~b =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
1 −1 2
3 4 −2
�
�
�
�
�
�
�
�
= 2~i + 6~j + 4~k − (−2~j + 8~i − 3~k)
~a ×~b = −6~i + 8~j + 7~k
~a.(~b × ~c) = (1,−1, 2).(−14, 22, 23) = −14 + (−22) + 46 = 10
(~a ×~b).~c = (−6, 8, 7).(−5, 1,−4) = 30 + 8 − 28 = 10
~a.(~b × ~c) = (~a ×~b).~c = 10
47. Determinar o valor de m para que o vetor ~w = (1, 2,m) seja simultaneamente
ortogonal aos vetores ~v1 = (2,−1, 0) e ~v2 = (1,−3,−1).
Soluc¸a˜o:
31
Calcular o produto vetorial entre ~v1 × ~v2
~v1 × ~v2 =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
2 −1 0
1 −3 −1
�
�
�
�
�
�
�
�
=~i − 6~k − (−2~j −~k)
~v1 × ~v2 =~i + 2~j − 5~k
~w = α(~v1 × ~v2)⇒
(1, 2,m) = α(1, 2,−5)
1 = α1⇒ α = 1
logo:
m = α − 5⇒ m = 1. − 5⇒ m = −5
m = −5
48. Dados os vetores ~v =
�
a, 5b,− c
2
�
e ~w = (−3a, x, y), determinar x e y para que
~v × ~w = ~0
Soluc¸a˜o:
~v × ~w =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
a 5b − c
2
−3a x y
�
�
�
�
�
�
�
�
= 5by~i + (−3a)(− c
2
)~j + ax~k − (+ay~j + (− c
2
)x~i + 5b(−3a)~k)
~v × ~w =
�
5by +
cx
2
�
~i +
�
3ac
2
− ay
�
~j + (ax + 15ab)~k
Igualando ~v × ~w = ~0 temos:
3ac
2
− ay = 0⇒ ay = 3ac
2
⇒ y = 3c
2
ax + 15ab = 0⇒ ax = −15ab⇒ x = −15b
x = −15b e y = 3c
2
49. Determinar umvetor unita´rio simultaneamente ortogonal aos vetores ~v1 = (1, 1, 0)
e ~v2 = (2,−1, 3), Nas mesmas condic¸o˜es, determinar um vetor de modulo 5.
Soluc¸a˜o:
~v1 × ~v2 =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
1 1 0
2 −1 3
�
�
�
�
�
�
�
�
= 3~i −~k − (3~j + 2~k)
~v1 × ~v2 = 3~i − 3~j − 3~k
Calculando o Modulo:
|~v1 × ~v2| =
p
32 + (−3)2 + (−32) = 3
√
3
~u =
~v1 × ~v2
|~v1 × ~v2|
⇒
32
~u =
 
3
3
√
3
,− 3
3
√
3
,− 3
3
√
3
!
⇒
~u =
 
1
√
3
,− 1√
3
,− 1√
3
!
⇒
Onde ~u e´ o vetor unita´rio que queremos encontrar.
Para encontrar o vetor na mesma direc¸a˜o de ~u com modulo 5 basta multiplicar
pelo escalar 5, logo:
5~u =
 
5
√
3
,− 5√
3
,− 5√
3
!
~u =
 
1
√
3
,− 1√
3
,− 1√
3
!
e 5~u =
 
5
√
3
,− 5√
3
,− 5√
3
!
50. Mostrar num gra´fico um representante de cada um dos seguintes vetores:
a) ~j × 2~i
Soluc¸a˜o:
33
b) 3~i × 2~k
Soluc¸a˜o:
51. Sabendo que |~a| = 3, |~b| =
√
2 e 45o e´ o aˆngulo entre ~a e ~b, calcular |~a ×~b|.
Soluc¸a˜o:
Usando a formula do modulo do produto vetorial temos:
|~a ×~b| = |~a|.|~b|.senθ⇒
|~a ×~b| = 3.
√
2.sen45o ⇒
|~a ×~b| = 3.
√
2.
√
2
2
⇒
|~a×~b| = 3
52. Se |~u × ~v| = 3
√
3, |~u| = 3 e 60o e´ o aˆngulo entre ~u e ~v, determinar |~v|.
Soluc¸a˜o:
Usando a formula do modulo do produto vetorial temos:
|~a ×~b| = |~a|.|~b|.senθ⇒
3
√
3 = 3.|~v|.sen60⇒
3
√
3 = 3.|~v|.
√
3
2
|~v| = 3.
√
3.
2
3.
√
3
|~v| = 2
34
53. Dados os vetores ~a = (3, 4, 2) e ~b = (2, 1, 1), obter um vetor de modulo 3 que seja
ao mesmo tempo ortogonal aos vetores 2~a −~b e ~a +~b.
Soluc¸a˜o:
2~a = 2.(3, 4, 2) = (6, 8, 4)
2~a −~b = (6, 8, 4) − (2, 1, 1) = (4, 7, 3)
~a +~b = (3, 4, 2) + (2, 1, 1) = (5, 5, 3)
(2~a −~b) × (~a +~b) =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
4 7 3
5 5 3
�
�
�
�
�
�
�
�
= 21~i + 15~j + 20~k − (35~k + 15~i + 12~j)
(2~a −~b) × (~a +~b) = 6~i + 3~j − 15~k
(2~a −~b) × (~a +~b) = (6, 3,−15)
|(2~a −~b) × (~a +~b)| =
p
62 + 32 + (−15)2 =
√
36 + 9 + 225 =
√
270 = 3
√
30
(2~a −~b) × (~a +~b)
|(2~a −~b) × (~a +~b)|
=
 
6
3
√
30
,
3
3
√
30
,− 15
3
√
30
!
=
 
2
√
30
,
1
√
30
,− 5√
30
!
3.
(2~a −~b) × (~a +~b)
|(2~a −~b) × (~a +~b)|
= 3.
 
2
√
30
,
1
√
30
,− 5√
30
!
=
 
6
√
30
,
3
√
30
,− 15√
30
!
3.
(2~a −~b) × (~a +~b)
|(2~a −~b) × (~a +~b)|
=
 
6
√
30
,
3
√
30
,− 15√
30
!
54. Calcular a a´readoparalelogramodefinidopelos vetores ~u = (3, 1, 2) e~v = (4,−1, 0).
Soluc¸a˜o: ~u × ~v =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
3 1 2
4 −1 0
�
�
�
�
�
�
�
�
= 0 − 3~k + 8~j − (4~k − 2~i + 0)
~u × ~v = 2~i + 8~j − 3~k
|~u × ~v| =
p
22 + 82 + (−7)2
|~u × ~v| =
√
117
55. Mostrar que o quadrila´tero cujos ve´rtices sa˜o os pontos A(1,−2, 3), B(4, 3,−1),
C(5, 7,−3) e D(2, 2, 1) e´ um paralelogramo e calcule sua a´rea.
Soluc¸a˜o:
Para ser um paralelogramo a equac¸a˜o
−→
AB +
−−→
AD =
−−→
AC tem que ser satisfeita.
−→
AB = (4, 3,−1) − (1,−2, 3) = (3, 5,−4)
−−→
AD = (2, 2, 1) − (1,−2, 3) = (1, 4,−2)
−−→
AC = (5, 7,−3) − (1,−2, 3) = (4, 9,−6)
Substituindo os respectivos valores na equac¸a˜o:
−→
AB +
−−→
AD =
−−→
AC temos:
35
(3, 5,−4) + (1, 4,−2) = (4, 9,−6)
(4, 9,−6) = (4, 9,−6), a igualdade foi satisfeita logo e´ um paralelogramo.
Calculo da a´rea:
a´rea=
−→
AB × −−→AD
−→
AB × −−→AD =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
3 5 −4
1 4 −2
�
�
�
�
�
�
�
�
= 10~i + 4~j + 12~k − (5~k = 16~i − 6~j) = 6~i + 2~j + 7~k
|−→AB × −−→AD| =
√
62 + 22 + 72 =
√
36 + 4 + 49 =
√
89
|−→AB × −−→AD| =
√
89
56. Calcular a a´rea do paralelogramo cujos os lados sa˜o determinados pelos vetores
2~u e −~v, sendo ~u = (2,−1, 0) e ~v = (1,−3, 2).
Soluc¸a˜o:
2~u = (4,−2, 0)
−~v = (−1, 3,−2)
(2~u) × (−~v) =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
4 −2 0
−1 3 −2
�
�
�
�
�
�
�
�
= 4~i − 12~k + 0 − (2~k + 0 − 2~j) = 4~i − 8~j + 10~k
(2~u) × (−~v) = 4~i − 8~j + 10~k
|(2~u) × (−~v)| =
p
42 + (−8)2 + 102
|(2~u) × (−~v)| =
√
16 + 64 + 100
|(2~u) × (−~v)| =
√
180
|(2~u) × (−~v)| =
√
22.32.5
|(2~u) × (−~v)| = 2.3
√
5
|(2~u) × (−~v)| = 6
√
5
57. Calcule a a´rea do triaˆngulo de ve´rtices a)A(−1, 0, 2), B(−4, 1, 1) e C(0, 1, 3)
Soluc¸a˜o:
a´rea do triaˆngulo e dado pela formula:
|−→AB × −−→AC|
2
−→
AB = B − A = (−3, 1,−1)
−−→
AC = C − A = (1, 1, 1)
−→
AB × −−→AC =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
−3 1 −1
1 1 1
�
�
�
�
�
�
�
�
=~i − 3~k − ~j − (~k − 3~j −~i)
−→
AB × −−→AC = 2~i + 2~j − 4~k
36
|−→AB × −−→AC| =
p
22 + 22 + (−4)2
|−→AB × −−→AC| =
√
4 + 4 + 16
|−→AB × −−→AC| =
√
24 = 2
√
6
a´rea do triaˆngulo =
|−→AB × −−→AC|
2
=
2
√
6
2
=
√
6
a´rea do triaˆngulo=
√
6
b)A(1, 0, 1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0)
Soluc¸a˜o:
a´rea do triaˆngulo e dado pela formula:
|−→ABx−−→AC|
2
−→
AB = B − A = (3, 2, 0)
−−→
AC = C − A = (0, 2,−1)
−→
AB × −−→AC =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
3 2 0
0 2 −1
�
�
�
�
�
�
�
�
= 2~i + 6~k + 0 − (0 − 3~j + 0)
−→
AB × −−→AC = −2~i + 23vecj + 6~k
|−→AB × −−→AC| =
p
(−2)2 + 32 + 62
|−→AB × −−→AC| =
√
4 + 9 + 36
|−→AB × −−→AC| =
√
49 = 7
a´rea do triaˆngulo =
|−→AB × −−→AC|
2
=
7
2
a´rea do triaˆngulo=
7
2
c)A(2, 3,−1), B(3, 1,−2) e C(−1, 0, 2)
Soluc¸a˜o:
a´rea do triaˆngulo e dado pela formula:
|−→AB × −−→AC|
2
−→
AB = B − A = (1,−2,−1)
−−→
AC = C − A = (−3,−3, 3)
−→
AB × −−→AC =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
1 −2 −1
−3 −3 3
�
�
�
�
�
�
�
�
= −6~i − 3~k + 3~j − (6~k + 3~i + 3~j)
−→
AB × −−→AC = −9~i − 9~k
|−→AB × −−→AC| =
p
(−9)2 + (−9)2
37
|−→AB × −−→AC| =
√
81 + 81
|−→AB × −−→AC| =
√
162 = 9
√
2
a´rea do triaˆngulo =
|−→AB × −−→AC|
2
=
9
√
2
2
= 9
√
2
a´rea do triaˆngulo=
9
√
2
2
d)A(−1, 2,−2), B(2, 3,−1) e C(0, 1, 1)
Soluc¸a˜o:
a´rea do triaˆngulo e dado pela formula:
|−→AB × −−→AC|
2
−→
AB = B − A = (3, 1, 1)
−−→
AC = C − A = (1,−1, 3)
−→
AB × −−→AC =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
3 1 1
1 −1 3
�
�
�
�
�
�
�
�
= 3~i − 3~k + ~j − (~k + 9~j −~i)
−→
AB × −−→AC = 4~i − 8~j − 4~k
|−→AB × −−→AC| =
p
42 + (−8)2 + (−4)2
|−→AB × −−→AC| =
√
16 + 64 + 16
|−→AB × −−→AC| =
√
96 = 4
√
6
a´rea do triaˆngulo =
|−→AB × −−→AC|
2
=
4
√
6
2
= 2
√
6
a´rea do triaˆngulo= 2
√
6
58. Calcular a a´rea do paralelogramo que tem um ve´rtice no ponto A(3, 2, 1) e uma
diagonal de extremidade B(1, 1,−1) e C(0, 1, 2).
Soluc¸a˜o:
−−→
AC = C − A = (−3,−1, 1)
−→
BA = A − B = (2, 1, 2)
−−→
AC × −→BA =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
−3 −1 1
2 1 2
�
�
�
�
�
�
�
�
= −2~i − 3~k + 2~j − (−2~k − 6~j +~i)
−−→
AC × −→BA = −3~i + 8~j −~k
|−−→AC × −→BA| =
p
(−3)2 + 82 + (−1)2 =
√
3 + 64 + 1 =
√
74
|−−→AC × −→BA| =
√
74
38
59. Calcular x, sabendo que A(x, 1, 1), B(1,−1, 0) e C(2, 1,−1) sa˜o ve´rtices de um
triaˆngulo de a´rea
√
29
2
.
Soluc¸a˜o:
−→
AB = (1 − x,−2,−1)
−→
BC = (1, 2,−1)
−→
AB × −→BC =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
1 − x −2 −1
1 2 −1
�
�
�
�
�
�
�
�
= 4~i + (−2x + 4)~k + x~j
−→
AB × −→BC = 4~i − x~j + (−2x + 4)~k
|−→AB × −→BC| =
p
42 + x2 + (4 − 2x)2
|−→AB × −→BC| =
√
16 + x2 + 16 − 4x + 4x2
substituindo pelo valor da a´rea do triangulo temos:
√
16 + x2 + 16 − 4x + 4x2
2
=
√
29
2
⇒
Cancelando ambos os denominadores iguais a 2.
√
16 + x2 + 16 − 4x + 4x2 =
√
29⇒
Cancelando as raizes:
16 + x2 + 16 − 4x + 4x2 = 29⇒
5x2 − 16x + 32 = 29⇒
5x2 − 16x + 32 − 29 = 0⇒
5x2 − 16x + 3 = 0⇒
Resolvendo a equac¸a˜o 2o grau:
Δ = 256 − 60 = 196
x =
16 ± 14
10
x′ =
2
10
=
1
5
x′′ =
30
10
= 3
x′ =
1
5
ou x′′ = 3
60. Dado o triaˆngulo de ve´rtices A(0, 1,−1), B(−2, 0, 1) e C(1,−2, 0), calcular a medida
da altura relativa ao lado BC.
Soluc¸a˜o:
vetor
−→
AB:
−→
AB = (−2 − 0)~i + (0 − 1)~j + (1 + 1)~k
39
−→
AB = −2~i − ~j + 2~k
vetor
−−→
AC:
−−→
AC = (1 − 0)~i + (−2 − 1)~j + (0 + 1)~k
−−→
AC =~i − 3~j +~k
−→
AB × −−→AC =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
−2 −1 2
1 −3 1
�
�
�
�
�
�
�
�
= −~i + 2~j + 6~k − (−6~i − 2~j −~k)
−→
AB × −−→AC = 5~i + 4~j + 7~k
area =
|−→AB × −−→AC|
2
=
p
(52 + 42 + 72)
2
=
√
90
2
=
3.
√
10
2
|−→BC| =
p
(1 + 2)2 + (0 − 2)2 + (0 − 1)2] =
√
14
area =
−→
BC.
h
2
h = 2.
area
−→
BC
=
2.3.
√
10
2.
√
14
h = 3.√
10
√
14
h =
3.
√
10.
√
14
14
h =
3.
√
140
14
h =
3.2.
√
35
14
h =
3
√
35
7
61. Determinar ~v tal que ~v seja ortogonal ao eixo dos y e ~u = ~v× ~w, sendo ~u = (1, 1,−1)
e ~w = (2,−1, 1).
Soluc¸a˜o:
~v = (x, y, z)
Para ser ortogonal ao eixo dos y tem que satisfazer a seguinte formula ~v.~j = 0
(x, y, z) = (0, 1, 0) = 0⇒temos: y = 0
Onde temos: ~v = (x, 0, z)
Para segunda condic¸a˜o: ~u = ~v × ~w:
Calculando:~v × ~w =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
x 0 z
2 −1 1
�
�
�
�
�
�
�
�
= −x~k + 2z~j − (−z~i + x~j) = z~i + (2z − x)~j − x~k
40
Igualando os resultados temos de ~u com ~v × ~w:
(1, 1,−1) = (z, 2z − x,−x) onde temos:
z = 1 e x = 1
~v = (1, 0, 1)
62. Dados os vetores ~u = (0, 1,−1), ~v = (2,−2,−2) e ~w = (1,−1, 2), determine o vetor
~x, paralelo a ~w, que satisfaz a` condic¸a˜o: ~x × ~u = ~v.
Soluc¸a˜o:
~x//~w⇒ ~x = α~w⇒ ~x = α(1,−1, 2)⇒ ~x = (α,−α, 2α)
~x × ~u =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
α −α 2α
0 1 −1
�
�
�
�
�
�
�
�
= α~i + α~k − (2α~i − α~j) = −α~i + α~j + α~k
Temos pela formula: ~x × ~u = ~v
(−α,α,α) = (2,−2,−2)
Tiramos que: α = −2:
logo: ~x = α~w
~x = −2(1,−1, 2) = (−2, 2,−4)
~x = (−2, 2,−4)
63. Dados os vetores ~u = (2, 1, 0) e ~v = (3,−6, 9), determinar o vetor ~x que satisfaz a
relac¸a˜o ~v = ~u × ~x e que seja ortogonal ao vetor ~w = (1,−2, 3).
Soluc¸a˜o:
~v = ~u × ~x
~u × ~x =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
2 1 0
x y z
�
�
�
�
�
�
�
�
= z~i − 2z~j + (2y − x)~k = (z,−2z, 2y − x)
mas como ~v = ~u × ~x, enta˜o
(z,−2z, 2y − x) = (3,−6, 9)
pela igualdade acima
z = 3 e 2y − x = 9 (I)
foi dito que
~x ortogonal ~w = (1,−2, 3), por isso:
~x.~w = 0
(x, y, z).(1,−2, 3) = 0 e por essa igualdade
x − 2y + 3z = 0⇒ x − 2y + 9 = 0⇒ x − 2y = −9 (II)
como (I) = (II)
~x = 2y − 9
~x = (2y − 9, y, 3)
41
64. Demonstrar que ~a ×~b = ~b × ~c = ~c × ~a, sabendo que ~a +~b + ~c = ~0.
Soluc¸a˜o:
Se ~a ×~b = ~b × ~c = ~c × ~a , enta˜o ~a = ~b = ~c :
Vou usar um exemplo:
~a = ~b = ~c = (2, 2, 2)
~a ×~b = ~b × ~c = ~c × ~a
(2, 2, 2)x(2, 2, 2) = (2, 2, 2)x(2, 2, 2) = (2, 2, 2)x(2, 2, 2) = 0 Igualdade OK
mas na segunda igualdade na˜o a´ verdadeiro
~a +~b + ~c = ~a + ~a + ~a = 3~a = 3(2, 2, 2) = (6, 6, 6) � 0
So´ e´ verdadeiro quando: ~a = ~b = ~c = 0
65. Sendo ~u e ~v vetores do espac¸o, com ~v � 0:
a) determinar o nu´mero real r tal que ~u − r~v seja ortogonal a ~v;
Soluc¸a˜o:
(~u − r~v).~v = 0⇒
~u.~v − r~v.~v = 0
−r~v.~v = −~u.~v
r|~v|2 = ~u.~v
r =
~u.~v
|~v|2
b) mostrar que (~u + ~v) × (~u − ~v) = 2~v × ~u.
Soluc¸a˜o:
(~u + ~v) × (~u − ~v)⇒
~u × (~u − ~v) + ~v × (~u − ~v)⇒
~u × ~u + ~u × −~v + ~v × ~u + ~v × −~v⇒
~u × −~v + ~v × ~u⇒
−1(~u × ~v) + (~v × ~u)⇒
~v × ~u + ~v × ~u⇒
2(~v × ~u)⇒
2~v × ~u
(~u + ~v) × (~u − ~v) = 2~v × ~u
66. Demonstrar que o segmento cujos extremos sa˜o os pontos me´dios de dois lados
de um triaˆngulo e´ paralelo ao terceiro lado e igual a` sua metade.
Soluc¸a˜o:
Demonstrac¸a˜o:
42
Seja um trape´zio ABCD de bases AB e CD.
SejaM o ponto me´dio de AD e N o ponto me´dio de BC
Construamos uma reta BM.
Prolongue com o lado DC.
Seja Q o ponto de intersec¸a˜o da reta BM com a reta que passa por DC.
Prolongue tambe´m o lado AD.
Anote as congrueˆncias de aˆngulos:
aˆngulos QMD e AMB congruentes (aˆngulos opostos pelo ve´rtice) aˆngulos MDQ
e MAB congruentes (como os lados AB e CD sa˜o paralelos, temos que a reta que
passa porAD e´ uma transversal a`s bases. Portanto seus aˆngulos alternos internos
sa˜o congruentes). O segmento AM e´ congruente ao segmento MD, pois M e´ o
ponto me´dio do segmento AD.
Pelo caso ALA de congrueˆncia, temos que os triaˆngulosMQD e AMB sa˜o congru-
entes.
Disso resulta que os segmentosMQ eMB sa˜o congruentes.
Agora observe o triaˆngulo BQC. O segmentoMN e´ a base me´dia desse triaˆngulo,
pois M e´ ponto me´dio do segmento BQ e N e´ o ponto me´dio do segmento BC,
ambos lados do triaˆngulo.
Pelo teorema da base me´dia do triaˆngulo, temos que: o segmentoMN e´ paralelo
ao segmento CQ que por sua vez e´ paralelo ao lado AB. Podemos concluir que
MN e´ paralelo as duas bases do trape´zio. A medida deMN e´ metade da medida
de CQ.
Da congrueˆncia dos triaˆngulos AMB e QDM, temos que os segmentos QD e AB
sa˜o congruentes.
Em fo´rmula:
MN =
QC
2
Mas QC = QD +DC e QD e´ congruente a AB
Portanto: QC = AB +DC
MN =
(AB +DC)
2
67. Verificar se sa˜o coplanares os segmentos vetores:
a) ~u = (3,−1, 2), ~v = (1, 2, 1) e ~w = (−2, 3, 4)
Soluc¸a˜o:
Para verificar se sa˜o coplanares basta verificar se o produto misto seja igual a 0
logo (~u, ~v, ~w) = 0
(~u, ~v, ~w) = 0
43
(~u, ~v, ~w) =
�
�
�
�
�
�
�
�
3 −1 2
1 2 1
−2 3 4
�
�
�
�
�
�
�
�
= 24 + 2 + 6 + 4 − 9 + 8 = 35
(~u, ~v, ~w) � 0 logo os vetores na˜o sa˜o coplanares.
b) ~u = (2,−1, 0), ~v = (3, 1, 2) e ~w = (7,−1, 2)
Soluc¸a˜o:
Para verificar se sa˜o coplanares basta verificar se o produto misto seja igual a 0
logo (~u, ~v, ~w) = 0
(~u, ~v, ~w) = 0
(~u, ~v, ~w) =
�
�
�
�
�
�
�
�
2 −1 0
3 1 2
7 −1 2
�
�
�
�
�
�
�
�
= 4 − 14 + 0 + 6 + 4 − 0 = 0
(~u, ~v, ~w) = 0 logo os vetores sa˜o coplanares.
68. Verificar se sa˜o coplanares os pontos:
a) A(1, 1, 1), B(−2,−1,−3), C(0, 2,−2) e D(−1, 0,−2)
Soluc¸a˜o:
Calculo dos Segmentos:
−→
AB = (−2,−1,−3) − (1, 1, 1) = (−3,−2,−4)
−−→
AC = (0, 2,−2) − (1, 1, 1) = (−1, 1,−3)
−−→
AD = (−1, 0,−2) − (1, 1, 1) = (−2,−1,−3)
Calculo do produto misto dos 3 segmentos
(
−→
AB,
−−→
AC,
−−→
AD) =
�
�
�
�
�
�
�
�
−3 −2 −4
−1 1 −3
−2 −1 −3
�
�
�
�
�
�
�
�
= 9 − 4 − 12 − (8 − 9 − 6) = 9 − 4 − 12 − 8 + 9 + 6 = 0
(
−→
AB,
−−→
AC,
−−→
AD) = 0 logo, sim sa˜o coplanares.
b) A(1, 0, 2), B(−1, 0, 3), C(2, 4, 1) e D(−1,−2, 2)
Soluc¸a˜o:
Calculo dos Segmentos:
−→
AB = (−1, 0, 3) − (1, 0, 2) = (−2, 0, 1)
−−→
AC = (2, 4, 1) − (1, 0, 2) = (1, 4,−1)
−−→
AD = (−1,−2, 2) − (1, 0, 2) = (−2,−2, 0)
Calculo do produto misto dos 3 segmentos
(
−→
AB,
−−→
AC,
−−→
AD) =
�
�
�
�
�
�
�
�
−2 0 1
1 4 −1
−2 −2 0
�
�
�
�
�
�
�
�
= −2 − (−8 − 4) = −2 + 8 + 4 = 10
44
(
−→
AB,
−−→
AC,
−−→
AD) = 10 logo, na˜o sa˜o coplanares.
c) A(2, 1, 3), B(3, 2, 4), C(−1,−1,−1) e D(0, 1,−1)
Soluc¸a˜o:
Calculo dos Segmentos:
−→
AB = (3, 2, 4) − (2, 1, 3) = (1, 1, 1)
−−→
AC = (−1,−1,−1) − (2, l, 3) = (−3,−2,−4)
−−→
AD = (0, 1,−1) − (2, 1, 3) = (−2, 0,−4)
Calculo do produto misto dos 3 segmentos
(
−→
AB,
−−→
AC,
−−→
AD) =
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1 1
−3 −2 −4
−2 0 −4
�
�
�
�
�
�
�
�
= 8 + 8 − (4 + 12) = 8 + 8 − 4 − 12 = 0
(
−→
AB,
−−→
AC,
−−→
AD) = 0 logo, sim sa˜o coplanares.
69. Para que valor de m os pontos A(m, 1, 2), B(2,−2,−3), C(5,−1, 1) e D(3,−2,−2) sa˜o
coplanares?
Soluc¸a˜o:
Calculo dos segmentos:
−→
BA = (m, 1, 2) − (2,−2,−3) = (m − 2, 3, 5)
−→
BC = (5,−1, 1) − (2,−2,−3) = (3, 1, 4)
−−→
BD = (3,−2,−2) − (2,−2,−3) = (1, 0, 1)
Basta calcular o produto misto dos 3 segmentos
(
−→
BA,
−→
BC,
−−→
BD) =
�
�
�
�
�
�
�
�
m − 2 3 5
3 1 4
1 0 1
�
�
�
�
�
�
�
�
= m − 2 + 12 − (5 + 9) = m − 2 + 12 − 5 − 9 = m − 4
para ser coplanar (
−→
BA,
−→
BC,
−−→
BD) = 0 logo temos
m − 4 = 0⇒ m = 4
m = 4
70. Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares:
a)~a = (2,−1, k), ~b = (1, 0, 2) e ~c = (k, 3, k)
Soluc¸a˜o:
Para os vetores sejam coplanares tem que satisfazer a condic¸a˜o (~a,~b,~c) = 0(~a,~b,~c) =
�
�
�
�
�
�
�
�
2 −1 k
1 0 2
k 3 k
�
�
�
�
�
�
�
�
= −2k + 3k + k − 12 = 2k − 12
Logo:(~a,~b,~c) = 0 temos:
45
2k − 12 = 0
k = 6
b)~a = (2, 1, 0), ~b = (1, 1,−3) e ~c = (k, 1, k)
Soluc¸a˜o:
Para os vetores sejam coplanares tem que satisfazer a condic¸a˜o (~a,~b,~c) = 0
(~a,~b,~c) =
�
�
�
�
�
�
�
�
2 1 0
1 1 −3
k 1 −k
�
�
�
�
�
�
�
�
= −2k − 3k + k + 6 = −4k + 6
Logo:(~a,~b,~c) = 0 temos:
−4k + 6 = 0
k =
3
2
c)~a = (2, k, 1), ~b = (1, 2, k) e ~c = (3, 0,−3)
Soluc¸a˜o:
(~a,~b,~c) =
�
�
�
�
�
�
�
�
2 k 1
1 1 k
3 0 −3
�
�
�
�
�
�
�
�
= −12 + 3k2 + 3k − 6 = 3k2 + 3k − 18
Logo:(~a,~b,~c) = 0 temos:
3k2 + 3k − 18 = 0
θ = 1 − 4.1.(−6) = 25
k =
−1 ± 5
2
k′ =
−1 + 5
2
= 2
k′′ =
−1 − 5
2
= −3
k′ = 2 ou k′′ = −3
71. Sejam os vetores ~u = (1, 1, 0), ~v = (2, 0, 1), ~w1 = 3~u−2~v, ~w2 = ~u+3~v e ~w3 =~i+ ~j−2~k.
Determinar o volume do paralelepı´pedo definido por ~w1, ~w2 e ~w3.
Soluc¸a˜o:
~w1 = (3, 3, 0) − (4, 0, 2) = (−1, 3,−2)
~w2 = (1, 1, 0) − (6, 0, 3) = (7, 1, 3)
~w3 = (1, 1,−2)
Vol = ~w1.(~w2 × ~w3) =
�
�
�
�
�
�
�
�
−1 3 −2
7 1 3
1 1 −2
�
�
�
�
�
�
�
�
= 2 + 9 − 14 − (−2 − 3 − 42) = 44
Vol = 44un
46
72. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepı´pedo determinado pelos
vetores ~v1 = 2~i − ~j, ~v2 = 6~i +m~j − 2~k e ~v3 = −4~i +~k seja igual a 10.
Soluc¸a˜o:
~v1 = (2,−1, 0)
~v2 = (6,m,−2)
~v3 = (−4, 0,−1)
Vol = ~v1.(~v2 × ~v3) =
�
�
�
�
�
�
�
�
2 −1 0
6 m −2
−4 0 −1
�
�
�
�
�
�
�
�
= 2m − 8 − (−6) = 2m − 2
pela definic¸a˜o temos:Vol = |~v1.(~v2 × ~v3)| = |2m − 2|
Para Vol = 10 temos: 2m − 2 = 10 logo m = 6 ou 2m − 2 = −10 logo m = −4
m = 6 ou m = −4
73. Os vetores ~a = (2,−1,−3), ~b = (−1, 1,−4) e ~c = (m + 1,m,−1) determinam um
paralelepı´pedo de volume 42, Calcular m.
Soluc¸a˜o:
~a = (2,−1,−3)
~b = (−1, 1,−4)
~c = (m + 1,m,−1)
Vol = ~a.(~b×~c) =
�
�
�
�
�
�
�
�
2 −1 −3
−1 1 −4
m + 1 m −1
�
�
�
�
�
�
�
�
= −2+3m+4(m+1)−(−3(m+1)−8m−1) = 18m+6
pela definic¸a˜o temos:Vol = |~a.(~b × ~c)| = |18m + 6|
Para Vol = 42 temos: 18m + 6 = 42 logo m = 2 ou 18m + 6 = −42 logo m = −−8
3
m = 2 ou m = −−8
3
74. Dados os pontos A(1,−2, 3), B(2,−1,−4), C(0, 2, 0) e D(−1,m, 1), determinar o
valor de m para que seja de 20 unidades de volume o volume do paralelepı´pedo
determinado pelos vetores
−→
AB,
−−→
AC e
−−→
AD.
Soluc¸a˜o:
−→
AB = (2,−1,−4) − (1,−2, 3) = (1, 1,−7)
−−→
AC = (0, 2, 0) − ()1,−2, 3) = (−1, 4,−3)
−−→
AD = (−1,m, 1) − (1,−2, 3) = (−2,m + 1,−2)
−→
AB.(
−−→
AC×−−→AD) =
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1 −7
−1 4 −3
−2 m + 2 −2
�
�
�
�
�
�
�
�
= −8+7(m+2)+6− (56−3(m+2)+2) = 10m−40
47
pela definic¸a˜o temos:Vol = |−→AB.(−−→AC × −−→AD))| = |10m − 40|
Para Vol = 20 temos: 10m − 40 = 20 logo m = 6 ou 10m − 40 = −20 logo m = 2
m = 6 ou m = 2
75. Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados:
a)A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) e D(4, 2, 7).
Soluc¸a˜o:
Pode-se dividir o paralelepı´pedo em dois prismas triangulares e estes prismas,
por sua vez, em treˆs tetraedros, todos com base e altura correspondentes a`a base
e altura do prisma. Resoluc¸a˜o:
Tem-se que todos os tetraedros tera˜o omesmo volume, ou seja, tera˜o 1
6
do volume
do paralelepı´pedo em questa˜o, cujo volume e´ dado pelo produto misto de treˆs
vetores na˜o coplanares que formam os lados do tetraedro (a´rea da base e altura).
Escolhendo
−−→
DA,
−−→
DB e e
−−→
DC tem-se:
Vol =
1
6
|−−→DA.(−−→DB × −−→DC)| = 1
6
(3, 2, 7).[(4, 1, 7) × (4, 2, 6)] =
�
�
�
�
�
�
�
�
3 2 7
4 1 7
4 2 6
�
�
�
�
�
�
�
�
=
1
6
.[18 + 5656 −
(28 + 42 + 48)] =
12
6
= 2
Vol = 2
b)A(−1, 3, 2), B(0, 1,−1), C(−2, 0, 1) e D(1,−2, 0). Para este, calcular tambe´m a
medida da altura trac¸ada do ve´rtice A.
Soluc¸a˜o:
Vol =
1
6
|−−→DA.(−−→DB×−−→DC)| = 1
6
(−2, 5, 2).[(−1, 3,−1)×(−3, 2, 1)] =
�
�
�
�
�
�
�
�
−2 5 2
−1 3 −1
−3 2 1
�
�
�
�
�
�
�
�
=
1
6
.[−6−
4 + 15 − (−184 − 5)] =
24
6
= 4
Vol = 4
Vol = (areadabase).h⇒ h = Vol
areadabase
−→
BC × −−→BD =
�
�
�
�
�
�
�
�
~i ~j ~k
−2 −1 2
1 −3 1
�
�
�
�
�
�
�
�
= −~i + 2~j + 6~k − (−~k − 6~i − 2~j) = 5~i + 4~j + 7~k
|−→BC × −−→BD| =
√
52 + 42 + 72 =
√
90 = 3
√
10
Formula da altura: h =
|−−→DA.(−−→DB × −−→DC)|
|−→BC × −−→BD|
Substituindo pelos valores calculados temos:
h =
24
3
√
10
=
8
√
10
48
h =
8
√
10
49