ApostilaNumerosIndicesAnaMaria (1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
CENTRO DE ESTUDOS GERAIS 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
NÚMEROS ÍNDICES 
 
 
 
Ana Maria Lima de Farias 
Luiz da Costa Laurencel 
 
 
 
Com a colaboração dos monitores 
 
 
Maracajaro Mansor Silveira 
Artur Henrique da Silva Santos 
 
 
 
 
 
 
Maio 2005 
Conteúdo
PREFÁCIO iv
1 Números índices 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Critérios de avaliação da fórmula de um índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Elos de relativo e relativos em cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Índices agregativos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.1 Índice agregativo simples (Bradstreet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.2 Índice da média aritmética simples (índice de Sauerbeck) . . . . . . . . . . . 7
1.5.3 Índice da média harmônica simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.4 Índice da média geométrica simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.5 Propriedades dos índices agregativos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Índices agregativos ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.1 Índice de Laspeyres ou índice da época base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.2 Índice de Paasche ou índice da época atual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.3 Índice de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.4 Índice de Marshall-Edgeworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.5 Índice de Divisia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.6 Propriedades dos índices agregativos ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Relações entre índices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7.1 Laspeyres e Paasche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7.2 Fisher, Laspeyres e Paasche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7.3 Marshall-Edgeworth, Laspeyres e Paasche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.8 Mudança de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9 Deflacionamento e poder aquisitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.9.1 Deflator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.9.2 Poder aquisitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.10 Análise dos dados da PME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.11 O Índice Nacional de Preços ao Consumidor - INPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.11.1 Índice de Custo de Vida e Índice de Preços ao Consumidor . . . . . . . . . . 43
1.11.2 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.11.3 Metodologia de Cálculo do INPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.11.4 Fórmulas de Cálculo dos IPCs metropolitanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.11.5 Cálculo do INPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.12 Exercícios propostos do capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
ii
CONTEÚDO iii
2 Solução dos exercícios propostos 59
Bibliografia 90
CONTEÚDO iv
PREFÁCIO
.
Estas notas de aula foram preparadas pelos autores para a disciplina Introdução à Estatística
Econômica, ministrada pelo Departamento de Estatística da UFF a alunos do curso de graduação em
Ciências Econômicas. Trata-se de uma abordagem quantitativa simplificada da teoria de Números
Índices. Uma seção especial sobre a metodologia de cálculo do Índice Nacional de Preços ao Con-
sumidor foi elaborada pelo monitor da disciplina no ano de 2003, Maracajaro Mansor Silveira.
No primeiro capítulo apresenta-se a teoria que se pretende abordar, incluindo relativos ou índices
simples; índices compostos ou agregativos, simples e ponderados, dentre os quais os índices de
Laspeyres, Paasche, Fisher, Divisia e Marshall-Edgeworth. Apresenta-se também uma discussão
sobre mudança de base e deflacionamento de séries de valores. No segundo capítulo é dado o gabarito
detalhado de todos os exercícios propostos; estas soluções devem servir de guia para conferência do
aluno, que, no entanto, deverá tentar resolver os exercícios sozinho.
Niterói, maio de 2005
.
Ana Maria Lima de Farias
Luiz da Costa Laurencel
Capítulo 1
Números índices
1.1 Introdução
De uma forma simplificada, podemos dizer que o índice ou número índice é um quociente que
expressa a variação relativa entre os valores de qualquer medida. Mais especificamente, vamos lidar
com índices que medem variações verificadas em uma dada variável ao longo do tempo.
Quando lidamos com grandezas simples (um único item ou variável), o índice é chamado índice
simples; por outro lado, quando pretendemos fazer comparações de um conjunto de produtos ou
serviços, estamos lidando com o que é chamado índice sintético ou composto. É neste segundo caso
que temos a parte mais complexa do problema, uma vez que desejamos “uma expressão quantitativa
para um conjunto de mensurações individuais, para as quais não existe uma medida física comum”1.
Nestas notas de aula, nossa ênfase está nos índices econômicos, que envolvem variações de preços,
quantidades e valores ao longo do tempo.
1.2 Relativos
Os relativos (ou índices simples) fazem comparação entre duas épocas - época atual e época base -
para um único produto.
1. Relativo de preço
Denotando por p0 e pt os preços na época base e na época atual (de interesse), define-se o
relativo de preço - p0,t - como:
p0,t =
pt
p0
(1.1)
2. Relativo de quantidade
Analogamente, denotando por q0 e qt as quantidades na época base e na época atual (de
interesse), define-se o relativo de qauntidade - q0,t - como:
q0,t =
qt
q0
(1.2)
3. Relativo de valor
Vale lembrar que
1Ragnar Frisch (1936). The problem of index numbers, Econometrica.
1
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 2
Valor = Preço × Quantidade (1.3)
1. Denotando por v0 e vt os valores na época base e na época atual (de interesse), define-se o
relativo de valor - v0,t - como:
v0,t =
vt
v0
(1.4)
Atente para a notação: p0,t faz a comparação entre o preço no mês t com relação ao preço no mês
0; definições análogas para q0,t e v0,t. Então, o primeiro subscrito indica o período base e o segundo
subscrito, o período “atual”. Essas notações podem variar em diferentes livros; assim, é importante
prestar atenção nas definições apresentadas.
Das definições acima, podemos ver que:
v0,t =
vt
v0
=
ptqt
p0q0
=
pt
p0
× qt
q0
= p0,t × q0,t (1.5)
O relativo de preço nos diz quanto o preço de hoje é maior ou menor que o preço da época base.
A partir dele podemos obter a taxa de variação, que mede a variação relativa. A variação relativa
é definida como
p% =
pt − p0
p0
=
pt
p0
− 1 (1.6)
e normalmente é apresentada em forma percentual, ou seja, multiplica-se o valor por 100. No
numerador da taxa de variação temos a variação absoluta de preços: pt − p0. Definições análogas
valem para quantidade e valor.
Exemplo 1.1
Na tabela a seguir temos o preço e a quantidade de arroz consumida por uma família no último
trimestre de 2001:
Outubro Novembro Dezembro
Preço Quant. Preço Quant. Preço Quant.
Arroz (kg) 2 5 2 8 3 8
Valor 2× 5 = 10 2× 8 = 16 3× 8 = 24
Tomando Outubro como base, temos os seguintes relativos:
pO,N =
2
2
= 1, 0 qO,N =
8
5
= 1, 6
pO,D =
3
2
= 1, 5 qO,D=
8
5
= 1, 6
Não houve variação de preços entre Novembro e Outubro, isto é, o preço de Novembro é igual ao
preço de Outubro, mas o preço de Dezembro é uma vez e meia o preço de Outubro, o que corresponde
a um aumento de 50% - essa é a taxa de variação dos preços no período em questão, obtida de acordo
com a equação (1.6):
50% = (1, 5− 1)× 100%
Com relação à quantidade, tanto em novembro como em dezembro, houve um aumento de 60%
com relação a outubro.
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 3
Os relativos são, em geral, apresentados multiplicados por 100. Assim, as séries de relativos de
preço e quantidade com base Outubro = 100 são:
Relativos - Out=100 Out Nov Dez
Preço 100 100 150
Quantidade 100 160 160
Com relação ao valor, temos que
vO,N =
16
10
× 100 = 160 = 1, 0× 1, 6× 100 = pO,N × qO,N × 100
vO,D =
24
10
× 100 = 240 = 1, 5× 1, 6× 100 = pO,D × qO,D × 100
Se mudarmos a base para Dezembro, teremos:
pD,O =
pO
pD
=
2
3
= 0, 6667⇒ p% = (0, 6667− 1)× 100 = −33, 33%
pD,N =
pN
pD
=
2
3
= 0, 6667⇒ p% = (0, 6667− 1)× 100% = −33, 33%
qD,O =
qO
qD
=
5
8
= 0, 625⇒ q% = (0, 625− 1)× 100% = −37, 5%
qD,N =
qN
qD
=
8
8
= 1⇒ q% = (1− 1)× 100% = 0%
1.3 Critérios de avaliação da fórmula de um índice
Os relativos satsifazem uma série de propriedades, que são propriedades desejadas e buscadas quando
da construção de fórmulas alternativas de números índices. Vamos representar por I0,t um índice
qualquer: pode ser um relativo de preço ou um índice de preços qualquer, por exemplo (nas seções
seguintes veremos a definição de outros índices). As propriedades ideais básicas são:
1. Identidade
It,t = 1 (1.7)
Se a data-base coincidir com a data atual, o índice é sempre 1 (ou 100, no caso de se trabalhar
com base 100).
2. Reversão (ou inversão) no tempo
I0,t =
1
It,0
⇔ I0,t × It,0 = 1 (1.8)
Invertendo-se os períodos de comparação, os índices são obtidos um como o inverso do outro.
3. Circular
I0,1 × I1,2 × I2,3 × · · · × It−1,t = I0,t ⇔ I0,1 × I1,2 × I2,3 × · · · × It−1,t × It,0 = 1 (1.9)
Se o intervalo de análise é decomposto em vários subintervalos, o índice pode ser obtido como o
produto dos índices nos subintervalos. A propriedade circular é importante no seguinte sentido:
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 4
se um índice a satisfaz e se conhecemos os índices nas épocas intermediárias, o índice de todo o
período pode ser calculado sem que haja necessidade de recorrer aos valores que deram origem
aos cálculos individuais. Note que, como decorrência desta propriedade, podemos escrever:
I0,t = I0,t−1 × It−1,t (1.10)
Se o índice satisfizer também o princípio de reversibilidade, então (1.9) é equivalente a
I0,1 × I1,2 × I2,3 × · · · × It−1,t × It,0 = 1
4. Decomposição das causas (ou reversão dos fatores)
Denotando por IV , IP e IQ os índices de valor, preço e quantidade respectivamente, o critério
da decomposição das causas requer que
IV = IP × IQ (1.11)
5. Homogeneidade
Mudanças de unidade não alteram o valor do índice.
6. Proporcionalidade
Se todas as variáveis envolvidas no índice tiverem a mesma variação, então o índice resultante
terá a mesma variação.
Todas essas propriedades são satisfeitas pelos relativos. De fato:
• identidade
pt,t =
pt
pt
= 1
• reversibilidade
pt,0 =
p0
pt
=
1
pt
p0
• circular
p0,t =
pt
p0
=
pt
pt−1
× pt−1
pt−2
× · · · × p2
p1
× p1
p0
• decomposição das causas
p0,t × q0,t = ptp0 ×
qt
q0
=
pt qt
p0 q0
=
vt
v0
Mudanças de unidade envolvem multiplicação por uma constante (quilo para tonelada, reais para
milhões de reais, etc). Tais operações não alteram o valor do relativo, uma vez que numerador e
denominador são multiplicados pelo mesmo valor.
Exemplo 1.2 (continuação)
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 5
pO,N =
2
2
= 1, 0
⇒ pO,D = 1, 0× 1, 5 = 1, 5 = pDpO =
3
2
pN,D =
3
2
= 1, 5
qO,N =
8
5
= 1, 6
⇒ qO,D = 1, 6× 1, 0 = 1, 6 = qDqO =
8
5
qN,D =
8
8
= 1, 0
1.4 Elos de relativo e relativos em cadeia
Na apresentação da propriedade circular, aparecem índices envolvendo épocas adjacentes. No caso de
relativos, tais relativos são, às vezes, denominados elos relativos, ou seja, os elos relativos estabelecem
comparações binárias entre épocas adjacentes
pt
pt−1
qt
qt−1
vt
vt−1
Esta mesma propriedade envolve a multiplicação desses índices; para os relativos, tal operação
é denominada relativos em cadeia e como a propriedade circular é satisfeita pelos relativos, tal
multiplicação resulta no relativo do período.
elos relativos : p1,2; p2,3; p3,4; . . . ; pt−1,t
relativos em cadeia : p1,2 × p2,3 × p3,4 × · · · × pt−1,t = p1,t
Exemplo 1.3
Na tabela a seguir temos dados de preço para 5 anos e calculam-se os elos de relativos e os
relativos em cadeia, ano a ano.
Ano Preço Elos relativos pt/pt−1 Relativos em cadeia
1995 200
1996 250 250/200 = 1, 25 1, 25 = p95,96
1997 300 300 / 250 = 1, 20 1, 2× 1, 25 = 1, 5 = p95,97
1998 390 390 / 300 = 1, 30 1, 2× 1, 25× 1, 3 = 1, 95 = p95,98
1999 468 468 / 390 = 1, 20 1, 2× 1, 25× 1, 3× 1, 2 = 2, 34 = 995,99
o que está em concordância com:
Ano Relativo de preço
Base: 1995 = 100
1995 100
1996 100× 250 / 200 = 125⇒ 25%
1997 100× 300 / 200 = 150⇒ 50%
1998 100× 390 / 200 = 195⇒ 95%
1999 100× 468 / 200 = 234⇒ 134%
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 6
1.5 Índices agregativos simples
Consideremos agora a situação em que temos mais de um produto e estamos interessados em estudar
variações de preços ou quantidade para todos os produtos conjuntamente.
Vamos utilizar a seguinte notação:
• pit, qit, vit - preço, quantidade e valor do produto i no mês t;
• pi0,t, qi0,t, vi0,t - relativos de preço, quantidade e valor do produto i no mês t com base em t = 0.
Note que o sobrescrito i indica o produto; vamos assumir que temos n produtos.
1.5.1 Índice agregativo simples (Bradstreet)
Uma primeira tentativa para resolver o problema de agregação de produtos diferentes foi o índice
agregativo simples, que é a razão entre o preço, quantidade ou valor total na época atual e o preço,
quantidade ou valor total na época base. Mais precisamente,
PA0,t =
p1t + p
2
t + · · ·+ pnt
p10 + p
2
0 + · · ·+ pn0
=
nP
i=1
pit
nP
i=1
pi0
=
nP
i=1
pit
n
nP
i=1
pi0
n
=
pt
p0
QA0,t =
q1t + q
2
t + · · ·+ qnt
q10 + q
2
0 + · · ·+ qn0
=
nP
i=1
qit
nP
i=1
qi0
=
nP
i=1
qit
n
nP
i=1
qi0
n
=
qt
q0
V A0,t =
v1t + v
2
t + · · ·+ vnt
v10 + v
2
0 + · · ·+ vn0
=
nP
i=1
vit
nP
i=1
vi0
=
nP
i=1
vit
n
nP
i=1
vi0
n
=
vt
v0
Então, o índice de Bradstreet é um relativo das médias aritméticas simples.
O índice de Bradstreet tem sérias limitações, a principal sendo o fato de se estar somando preços
ou quantidades expressas em diferentes unidades. Note que apenas o índice de valor não apresenta
esse problema, uma vez que todos os valores estão expressos na mesma unidade monetária. Em
função disso, esse é o índice usado para comparar valores em diferentes épocas, ou seja, o índice de
valor é definido como
V0,t =
nP
i=1
pitq
i
t
nP
i=1
pi0q
i
0
(1.12)
Uma solução para resolver essa limitação do índice agregativo foi a proposta de se trabalhar com
os relativos de preço e quantidade, que são números puros, adimensionais.
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 7
1.5.2 Índice da média aritmética simples (índice de Sauerbeck)
Sauerbeck propôs que se trabalhasse com a média aritmética dos relativos, dando origem aos
seguintes índices:
• p0,t - índice de preço baseado na média aritmética simples dos relativos
p0,t =
p10,t + p
2
0,t + · · ·+ pn0,t
n
=
nP
i=1
pi0,t
n
(1.13)
• q0,t - índice de quantidade baseado na média aritmética simplesdos relativos
q0,t =
q10,t + q
2
0,t + · · ·+ qn0,t
n
=
nP
i=1
qi0,t
n
(1.14)
1.5.3 Índice da média harmônica simples
A mesma idéia se aplica, trabalhando com a média harmônica dos relativos.
• pH0,t - índice de preço baseado na média harmônica simples dos relativos
pH0,t =
n
1
p10,t
+
1
p20,t
+ · · ·+ 1
pn0,t
=
n
nP
i=1
1
pi0,t
=
n
nP
i=1
pi0
pit
=
n
nP
i=1
pit,0
(1.15)
• qH0,t - índice de quantidade baseado na média harmônica simples dos relativos
qH0,t =
n
1
q10,t
+
1
q20,t
+ · · ·+ 1
qn0,t
=
n
nP
i=1
1
qi0,t
=
n
nP
i=1
qi0
qit
=
n
nP
i=1
qit,0
(1.16)
1.5.4 Índice da média geométrica simples
Aqui considera-se a média geométrica dos relativos.
• pG0,t - índice de preço baseado na média geométrica simples dos relativos
pG0,t =
n
s
p1t
p10
× p
2
t
p20
× · · · × p
n
t
pn0
= n
s
nQ
i=1
pi0,t (1.17)
• qG0,t - índice de quantidade baseado na média geométrica simples dos relativos
qG0,t =
n
s
q1t
q10
× q
2
t
q20
× · · · × q
n
t
qn0
= n
s
nQ
i=1
qi0,t (1.18)
Exemplo 1.4
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 8
Considere os dados da tabela a seguir:
Produto 1999 2000 2001
P Q P Q P Q
Carne (kg) 8,50 10 8,50 12 9,00 15
Feijão (kg) 1,20 5 1,80 6 1,80 7
Pão (unid.) 0,10 200 0,12 220 0,14 240
Vamos calcular os índices de preço, quantidade e valor, com base em 1999, baseados nas três médias
vistas.
Os valores gastos com cada produto estão calculados na tabela abaixo.
Valor
1999 2000 2001
Carne 8, 5× 10 = 85 8, 5× 12 = 102, 0 9× 15 = 135
Feijão 1, 2× 5 = 6 1, 8× 6 = 10, 8 1, 8× 7 = 12, 6
Pão 0, 1× 200 = 20 0, 12× 220 = 26, 4 0, 14× 240 = 33, 6
Total 85 + 6 + 20 = 111 102 + 10, 8 + 26, 4 = 139, 2 135 + 12, 6 + 33, 6 = 181, 2
Como os relativos satisfazem a propriedade da identidade, no ano base todos são iguais a 1 ou
100, se estivermos trabalhando com base 100. Para os oustros anos, os relativos com base 1999=1
são:
Relativos -1999 = 1
Produto 2000 2001
P Q P Q
Arroz (kg) 8, 5/8, 5 = 1, 0 12/10 = 1, 2 9/8, 5 = 1, 0588 15/10 = 1, 5
Feijão (kg) 1, 8/1, 2 = 1, 5 6/5 = 1, 2 1, 8/1, 2 = 1, 5 7/5 = 1, 4
Pão (unid,) 0, 12/0, 10 = 1, 2 220/200 = 1, 1 0, 14/0, 10 = 1, 4 240/200 = 1, 2
e os índices, com base 1999=100, baseados nas três médias são:
p99,00 =
1, 0 + 1, 5 + 1, 2
3
× 100 = 123, 33
p99,01 =
1, 0588 + 1, 5 + 1, 4
3
× 100 = 131, 96
q99,00 =
1, 2 + 1, 2 + 1, 1
3
× 100 = 116, 67
q99,01 =
1, 5 + 1, 4 + 1, 2
3
× 100 = 136, 67
pH99,00 =
3
1
1,0 +
1
1,5 +
1
1,2
× 100 = 120, 00
pH99,01 =
3
1
1,0588 +
1
1,5 +
1
1,4
× 100 = 129, 01
qH99,00 =
3
1
1,2 +
1
1,2 +
1
1,1
× 100 = 116, 47
qH99,01 =
3
1
1,5 +
1
1,4 +
1
1,2
× 100 = 135, 48
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 9
pG99,00 =
3
p
1, 0× 1, 5× 1, 2× 100 = 121, 64
pG99,01 =
3
p
1, 0588× 1, 5× 1, 4× 100 = 130, 52
qG99,00 =
3
p
1, 2× 1, 2× 1, 1× 100 = 116, 57
qG99,01 =
3
p
1, 5× 1, 4× 1, 2× 100 = 136, 08
Já o índice agregativo de Bradstreet é:
PA99,00 =
8, 5 + 1, 8 + 0,12
8, 5 + 1, 2 + 0, 10
× 100 = 106, 33
PA99,01 =
9, 0 + 1, 8 + 0, 14
8, 5 + 1, 2 + 0, 10
× 100 = 111, 63
QA99,00 =
12 + 6 + 220
10 + 5 + 200
× 100 = 110, 698
QA99,01 =
15 + 7 + 240
10 + 5 + 200
× 100 = 121, 86
e o índice de valor é
V99,00 =
139, 2
111
× 100 = 125, 41
V99,01 =
181, 2
111
× 100 = 163, 24
Resumindo:
Preço Quantidade Valor
1999 2000 2001 1999 2000 2001 1999 2000 2001
Média aritmética 100 123, 33 131, 96 100 116, 67 136, 67
Média geométrica 100 121, 64 130, 52 100 116, 57 136, 08
Média harmônica 100 120, 00 129, 01 100 116, 47 135, 48
Agregativo 100 106, 33 111, 63 100 110, 7 121,86 100 125, 41 163, 24
Como visto na parte inicial do curso,
p ≥ pG ≥ pH
1.5.5 Propriedades dos índices agregativos simples
1. A propriedade de identidade é obviamente satisfeita por todos os índices agregativos simples.
2. Vamos mostrar com os dados do exemplo anterior que os índices das médias simples e har-
mônica não satisfazem a propriedade de reversibilidade. Vamos calcular esses índices com base
em 2000.
p00,99 =
8,5
8,5 +
1,2
1,8 +
0,1
0,12
3
× 100 = 83, 33 6= 1
p99,00
=
1
1, 2333
× 100 = 81, 08
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 10
pH00,99 =
3
8,5
8,5 +
1,8
1,2 +
0,12
0,1
× 100 = 81, 081 6= 1
pH99,00
=
100
120, 00
× 100 = 83, 33
Note que
p0,t =
p10,t + · · ·+ pn0,t
n
=
p1t
p10
+ · · ·+ p
n
t
pn0
n
pt,0 =
p1t,0 + · · ·+ pnt,0
n
=
p10
p1t
+ · · ·+ p
n
0
pnt
n
Logo,
1
p0,t
=
n
p1t
p10
+ · · ·+ p
n
t
pn0
=
n
1
p1t,0
+ · · ·+ 1
pnt,0
= pHt,0
Analogamente, obtemos que
1
pt,0
= pH0,t
Com relação à média geométrica simples, temos que
1
pG0,t
=
1
n
q
p10,t × · · · × pn0,t
=
1
n
s
p1t
p10
× · · · × p
n
t
pn0
= n
s
p10
p1t
× · · · × p
n
0
pnt
= pGt,0
ou seja, o índice baseado na média geométrica simples satisfaz a propriedade de reversibilidade.
Com relação ao índice agregativo simples de Bradstreet, temos que esse índice também satisfaz
a reversibilidade, como se mostra a seguir:
1
PA0,t
=
1
p1t + · · ·+ pnt
p10 + · · ·+ pn0
=
p10 + · · ·+ pn0
p1t + · · ·+ pnt
= PAt,0
3. Os índices da média aritmética e da média harmônica simples não satisfazem a propriedade
circular. Vamos mostrar este resultado através de um contra-exemplo, baseado nos dados do
exemplo 1.4.
p99,00 =
8,5
8,5 +
1,8
1,2 +
0,12
0,10
3
× 100 = 123, 33
p00,01 =
9
8,5 +
1,8
1,8 +
0,14
0,12
3
× 100 = 107, 52
p99,01 =
9
8,5 +
1,8
1,2 +
0,14
0,10
3
× 100 = 131, 96
p99,00 × p00,01 = 1, 2333× 1, 0752× 100 = 132, 60 6= 131, 96 = p99,01
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 11
pH00,01 =
3
8,5
9 +
1,8
1,8 +
0,12
0,14
× 100 = 107, 08
pH99,00 × pH00,01 = 1, 2000× 1, 0708× 100 = 128, 496 6= 129, 01 = pH99,01
Com relação ao índice da média geométrica, temos que:
pG0,1 × pG1,2 = n
s
p11
p10
× · · · × p
n
1
pn0
× n
s
p12
p11
× · · · × p
n
2
pn1
= n
s
p12
p10
× · · · × p
n
2
pn0
= pG0,2
Para o índice agregativo de Bradstreet, temos que:
PA0,1 × PA1,2 = p
1
1 + · · ·+ pn1
p10 + · · ·+ pn0
× p
1
2 + · · ·+ pn2
p11 + · · ·+ pn1
=
p12 + · · ·+ pn2
p10 + · · ·+ pn0
= PA0,2
Logo, o índice da média geométrica simples e o índice agregativo de Bradstreet satisfazem o
princípio da circularidade.
4. Vamos analisar agora a propriedade da decomposição das causas para esses índices. Esta
propriedade exige que o produto do índice de preço pelo índice de quantidade seja igual ao
índice simples de valor V0,t =
P
i
pitq
i
tP
i
pi0q
i
0
Usando os dados do exemplo 1.4, temos:
p99,00 × q99,00 = 1.2333× 131.96 = 162, 75 6= V99,00 = 125, 41
Logo, o índice de média aritmética simples não satisfaz o critério de decomposição das causas.
pH99,01 × qH99,01 = 129.01× 135.48 = 174, 78 6= V99,01 = 163, 24
Analogamente, concluímos que o índice de média harmônica simples também não satisfaz o
critério de decomposição das causas.
pG99,00 × qG99,00 = 1.2927× 116.57 = 150, 69 6= V99,00 = 125, 41
pG99,01 × qG99,01 = 1.3976× 136.08 = 190, 18 6= V99,01 = 163, 24
Logo, o índice de média geométrica simples não satisfaz o critério de decomposição das causas.
Para o índice de Bradstreet, temos:
PA99,00 ×QA99,00 = 1.0633× 1.107× 100 = 117, 71 6= V A99,00 = 125, 41
ou seja, este índice também não satisfaz a propriedade da decomposição das causas.
A seguir temos o resumo das propriedades dos índices:
Índice agregativo simples Critério
Identidade Reversibilidade Circularidade Decomposição das causasMédia Aritmética SIM NÃO NÃO NÃO
Média Harmônica SIM NÃO NÃO NÃO
Média Geométrica SIM SIM SIM NÃO
Bradstreet SIM SIM SIM NÃO
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 12
1.6 Índices agregativos ponderados
Uma forte limitação dos índices baseados em médias simples é o fato de se dar o mesmo peso para
todos os produtos. Surgem, então, os índices agregativos ponderados, onde cada produto tem um
peso diferente. A forma mais comum de se definir os pesos é tomar a participação de cada bem no
valor total, ou seja, os pesos são definidos como
wi =
vi
nP
j=1
vj
=
piqi
nP
j=1
pjqj
(1.19)
Como um número índice compara preços e quantidades em dois instantes de tempo, uma questão
relevante aqui é definir a que momento se referem os preços e quantidades que aparecem na definição
dos pesos. Temos, então, que especificar a base de ponderação.
1.6.1 Índice de Laspeyres ou índice da época base
O índice de Laspeyres é definido como uma média aritmética ponderada dos relativos, com os pesos
sendo definidos na época base. Então, os pesos são
wi0 =
vi0
nP
j=1
vj0
=
vi0
V0
=
pi0q
i
0
nP
j=1
pj0q
j
0
(1.20)
onde V0 =
nP
j=1
vj0 é o valor total na época base, um valor constante. Note que
nP
i=1
wi0 =
nP
i=1
vi0
nP
j=1
vj0
=
nP
i=1
vi0
V0
=
1
V0
nP
i=1
vi0 =
nP
i=1
vi0
nP
j=1
vj0
=
V0
V0
= 1 (1.21)
Índice de Laspeyres de preço
O índice de preços de Laspeyres é definido por:
LP0,t =
nP
i=1
wi0 p
i
0,t (1.22)
Essa expressão pode ser simplificada, bastando para isso substituir os termos envolvidos pelas
respectivas definições:
LP0,t =
nX
i=1


vi0
nP
j=1
vj0
× p
i
t
pi0

 =
nX
i=1
µ
vi0
V0
× p
i
t
pi0
¶
=
=
1
V0
×
nX
i=1
µ
vi0
pit
pi0
¶
=
1
V0
×
nX
i=1
µ
pi0q
i
0
pit
pi0
¶
=
1
V0
×
nX
i=1
qi0p
i
t .
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 13
Logo,
LP0,t =
nP
i=1
qi0p
i
t
nP
i=1
qi0p
i
0
(1.23)
Vamos analisar essa última expressão: no denominador temos o valor total no mês base. Já no
numerador, temos os valores das quantidades da época base aos preços atuais. Então, comparando
esses dois termos, estamos comparando a variação de preços da mesma cesta de produtos, a cesta
da época base, nos dois instantes de tempo.
Note que as quantidades ou a cesta de produtos é a cesta da época base e, portanto, fica fixa,
enquanto não houver mudança de base. Note também que o fato de os pesos serem fixados na época
base não significa que temos um sistema fixo de ponderação, o que só acontece quando os pesos
independerem da base de comparação. No caso do índice de Laspeyres, os pesos mudam quando
mudamos a base de comparação.
Índice de Laspeyres de quantidade
O índice de Laspeyres de quantidade é definido por:
LQ0,t =
nP
i=1
wi0 q
i
0,t (1.24)
Como antes, essa expressão pode ser simplificada, substituindo-se os termos envolvidos pelas
respectivas definições:
LQ0,t =
nX
i=1


vi0
nP
j=1
vj0
× q
i
t
qi0

 =
nX
i=1
vi0
V0
qit
qi0
=
1
V0
×
nX
i=1
µ
pi0q
i
0
qit
qi0
¶
=
1
V0
×
nX
i=1
pi0q
i
t
Logo,
LQ0,t =
nP
i=1
pi0q
i
t
nP
i=1
pi0q
i
0
(1.25)
Como antes, no denominador temos o valor total no mês base. Já no numerador, temos os
valores das quantidades da época atual aos preços da época base. Então, comparando esses dois
termos, estamos comparando a variação no valor gasto para se comprar as diferentes quantidades aos
mesmos preços da época base. Os preços aqui são os preços da época base, também permanecendo
fixos enquanto não houver mudança de base.
No índice de preços, a variação no valor gasto é devida à variação de preços, enquanto no índice
de quantidade, o valor total varia em função da variação nas quantidades.
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 14
1.6.2 Índice de Paasche ou índice da época atual
O índice de Paasche é uma média harmônica dos relativos, ponderada na época atual, isto é, os
pesos são definidos como
wit =
vit
nP
j=1
vjt
=
vit
Vt
=
pitq
i
t
nP
j=1
pjtq
j
t
(1.26)
onde Vt =
nP
j=1
vjt é o valor total da época atual. Como antes,
nP
i=1
wit = 1.
Índice de preços de Paasche
O índice de preços de Paasche é definido como
PP0,t =
1
nP
i=1
wit
1
pi0,t
=
1
nP
i=1
wit p
i
t,0
(1.27)
Note a inversão dos relativos, uma vez que 1
pi0,t
= pit,0. A simplificação é feita da seguinte forma:
PP0,t =
1
nX
i=1


vit
nP
j=1
vjt
× p
i
0
pit


=
1
nX
i=1
µ
vit
Vt
× p
i
0
pit
¶ =
=
1
1
Vt
nX
i=1
µ
vit
pi0
pit
¶ = VtnX
i=1
µ
qit p
i
t
pi0
pit
¶ = VtnP
i=1
qit p
i
0
ou seja,
PP0,t =
nP
i=1
qit p
i
t
nP
i=1
qit p
i
0
(1.28)
Nessa fórmula fica clara a comparação sendo feita: estamos analisando a variação de preços da
cesta atual. No numerador temos o valor gasto na época atual e no denominador temos o valor que
seria gasto para comprar a cesta atual (quantidade atual) aos preços da época base.
Uma séria limitação no emprego dos índices de Paasche é o fato de as ponderações variarem em
cada período; note que os pesos são dados pelo valor da época atual.
Índice de Paasche de quantidade
O índice de quantidades de Paasche é definido como
PQ0,t =
1
nP
i=1
wit
qi0,t
=
1
nP
i=1
wit q
i
t,0
(1.29)
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 15
A simplificação é feita da seguinte forma:
PQ0,t =
1
nX
i=1


vit
nP
j=1
vjt
× q
i
0
qit


=
1
nX
i=1
µ
vit
Vt
× q
i
0
qit
¶
=
Vt
nX
i=1
µ
vit
qi0
qit
¶ = VtnX
i=1
µ
qit p
i
t
qi0
qit
¶
ou seja,
PQ0,t =
nP
i=1
pit q
i
t
nP
i=1
pit q
i
0
(1.30)
Nesse fórmula fica clara a comparação sendo feita: estamos analisando a variação da quantidade
aos preços atuais. No numerador temos o valor gasto na época atual e no denominador temos o
valor que seria gasto para comprar a cesta da época base (quantidade da época base) aos preços
atuais. A ponderação é definida pelos valores atuais, mudando a cada período.
1.6.3 Índice de Fisher
O índice de Fisher é definido como a média geométrica dos índices de Laspeyres e Paasche.
FP0,t =
q
LP0,t × PP0,t (1.31)
FQ0,t =
q
LQ0,t × PQ0,t (1.32)
1.6.4 Índice de Marshall-Edgeworth
Com os índices de Laspeyres e Paasche de quantidades, estamos analisando a variação no valor
gasto, em função da variação das quantidades, para adquirir os produtos aos preços da época base
e da época atual, respectivamente.
O índice de Marshall-Edgeworth considera as médias desses preços e quantidades. Mais precisa-
mente, define-se o índice de preços de Marshall-Edgeworth como um índice que mede a variação no
valor gasto, em função da variação dos preços, para adquirir a quantidade definida pela quantidade
média da época base e da época atual:
qi0 + q
i
t
2
, ou seja, o índice de preços é:
MP0,t =
nP
i=1
µ
qi0 + q
i
t
2
¶
pit
nP
i=1
µ
qi0 + q
i
t
2
¶
pi0
=
nP
i=1
¡
qi0p
i
t + q
i
tp
i
t
¢
nP
i=1
¡
qi0p
i
0 + q
i
tp
i
0
¢ =
nP
i=1
¡
qi0 + q
i
t
¢
pit
nP
i=1
¡
qi0 + q
i
t
¢
pi0
(1.33)
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 16
Para o índice de quantidade, toma-se o preço médio da época base e da época atual
pi0 + p
i
t
2
.
Logo,
MQ0,t =
nP
i=1
µ
pi0 + p
i
t
2
¶
qit
nP
i=1
µ
pi0 + p
i
t
2
¶
qi0
=
nP
i=1
¡
pi0q
i
t + p
i
tq
i
t
¢
nP
i=1
¡
pi0q
i
0 + p
i
tq
i
0
¢ =
nP
i=1
¡
pi0 + p
i
t
¢
qit
nP
i=1¡
pi0 + p
i
t
¢
qi0
(1.34)
1.6.5 Índice de Divisia
Esse índice é definido como uma média geométrica ponderada dos relativos, com sistema de pesos
fixo na época base.
DP0,t =
µ
p1t
p10
¶w10
×
µ
p2t
p20
¶w20
× · · · ×
µ
pnt
pn0
¶wn0
=
nY
i=1
µ
pit
pi0
¶wi0
(1.35)
DQ0,t =
µ
q1t
q10
¶w10
×
µ
q2t
q20
¶w20
× · · · ×
µ
qnt
qn0
¶wn0
=
nY
i=1
µ
qit
qi0
¶wi0
(1.36)
Exemplo 1.5
Vamos considerar os seguintes dados:
Produto 1999 2000 2001
P Q P Q P Q
Arroz (kg) 2,50 10 3,00 12 3,25 15
Feijão (kg) 1,20 5 1,80 6 1,80 7
Pão (unid.) 0,10 200 0,12 220 0,14 240
Com base nesses dados, vamos calcular os índices de Laspeyres, Paasche, Fisher, Marshall-Edgeworth
e Divisia, tanto de preços quanto de quantidade. Vamos tomar 1999 como base. Na tabela a seguir,
temos os valores em forma absoluta e relativa (pesos).
Produto 1999 2000
Valor Peso Valor Peso
Arroz (kg) 2, 5× 10 = 25, 0 25/51 = 0, 490196 3× 12 = 36, 0 36, 0/73, 2 = 0, 491803
Feijão (kg) 1, 2× 5 = 6, 0 6/51 = 0, 117647 1, 8× 6 = 10, 8 10, 8/73, 2 = 0, 147541
Pão (unid.) 0, 10× 200 = 20, 0 20/51 = 0, 392157 0, 12× 220 = 26, 4 26, 4/73, 2 = 0, 360656
Soma 51, 0 1, 000000 73, 2 1, 000000
Produto 2001
Valor Peso
Arroz (kg) 3, 25× 15 = 48, 75 48, 75/94, 95 = 0, 513428
Feijão (kg) 1, 8× 7 = 12, 60 12, 60/94, 95 = 0, 132701
Pão (unid.) 0, 14× 240 = 33, 60 33, 60/94, 95 = 0, 353870
Soma 94, 95 1, 000000
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 17
Os relativos são:
Relativos -1999 = 100
Produto 1999
P Q
Arroz (kg) 2, 5/2, 5× 100 = 100 10/10× 100 = 100
Feijão (kg) 1, 2/1, 2× 100 = 100 5/5× 100 = 100
Pão (unid.) 0, 10/0, 10× 100 = 100 200/200× 100 = 100
Produto 2000
P Q
Arroz (kg) 3/2, 5× 100 = 120 12/10× 100 = 120
Feijão (kg) 1, 8/1, 2× 100 = 150 6/5× 100 = 120
Pão (unid.) 0, 12/0, 10× 100 = 120 220/200× 100 = 110
Produto 2001
P Q
Arroz (kg) 3, 25/2, 5× 100 = 130 15/10× 100 = 150
Feijão (kg) 1, 80/1, 2× 100 = 150 7/5× 100 = 140
Pão (unid.) 0, 14/0, 10× 100 = 140 240/200× 100 = 120
Usando ambas as fórmulas (1.22) e (1.23), temos que:
LP99,00 = 0, 490196× 120 + 0, 117647× 150 + 0, 392157× 120 = 123, 529412
=
10× 3 + 5× 1, 8 + 200× 0, 12
51
× 100 = 30 + 9 + 24
51
× 100 = 63
51
× 100
LP99,01 = 0, 490196× 130 + 0, 117647× 150 + 0, 392157× 140 = 136, 274510
=
10× 3, 25 + 5× 1, 8 + 200× 0, 14
51
× 100 = 32, 5 + 9 + 28
51
× 100 = 69, 5
51
× 100
Usando as fórmulas (1.24) e (1.25), temos que:
LQ99,00 = 0, 490196× 120 + 0, 117647× 120 + 0, 392157× 110 = 116, 078431
=
2, 5× 12 + 1, 2× 6 + 0, 1× 220
51
× 100 = 30 + 7, 2 + 22
51
× 100 = 59, 2
51
× 100
LQ99,01 = 0, 490196× 150 + 0, 117647× 140 + 0, 392157× 120 = 137, 058824
=
2, 5× 15 + 1, 2× 7 + 0, 1× 240
51
× 100 = 37, 5 + 8, 4 + 24
51
× 100 = 69, 9
51
× 100
Analogamente, usando as fórmulas (1.27), (1.28), (1.29) e (1.30), temos que:
PP99,00 =
1
0,491803
120 +
0,147541
150 +
0,360656
120
= 123, 648649 =
=
73, 2
12× 2, 5 + 6× 1, 2 + 220× 0, 1 × 100 =
73, 2
30 + 7, 2 + 22
× 100 = 73, 2
59, 2
× 100
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 18
PP99,01 =
1
0,513428
150 +
0,132701
140 +
0,353870
120
= 135, 836910 =
=
94, 95
15× 2, 5 + 7× 1, 2 + 240× 0, 1 × 100 =
94, 95
37, 5 + 8, 4 + 24
× 100 = 94, 95
69, 9
× 100
PQ99,00 =
1
0,491803
120 +
0,147541
120 +
0,360656
110
= 116, 190476 =
=
73, 2
3× 10 + 1, 8× 5 + 0, 12× 200 × 100 =
73, 2
30 + 9 + 24
× 100 = 73, 2
63
× 100
PQ99,01 =
1
0,513428
150 +
0,132701
140 +
0,353870
120
= 136, 618705 =
=
94, 95
3, 25× 10 + 1, 80× 5 + 0, 14× 200 × 100 =
94, 95
32, 5 + 9 + 28
× 100 = 94, 95
69, 5
× 100
Note que é mais fácil (e mais preciso numericamente) calcular os índices de Laspeyres e Paasche
pelas fórmulas (1.23), (1.25), (1.28) e (1.30).
FP99,00 =
p
123, 529412× 123, 648649 = 123, 589016
FP99,01 =
p
136, 274510× 135, 836910 = 136, 055534
FQ99,00 =
p
116, 078431× 116, 190476 = 116, 134440
FQ99,01 =
p
137, 058824× 136, 618705 = 136, 838588
MP99,00 =
(10 + 12)× 3 + (5 + 6)× 1, 8 + (200 + 220)× 0, 12
(10 + 12)× 2, 5 + (5 + 6)× 1, 2 + (200 + 220)× 0, 10 =
136, 2
110, 2
× 100 = 123, 593466
MP99,01 =
(10 + 15)× 3, 25 + (5 + 7)× 1, 8 + (200 + 240)× 0, 14
(10 + 15)× 2, 5 + (5 + 7)× 1, 2 + (200 + 240)× 0, 10 =
164, 45
120, 9
= 136, 021505
MQ99,00 =
(3 + 2, 5)× 12 + (1, 8 + 1, 2)× 6 + (0, 12 + 0, 10)× 220
(3 + 2, 5)× 10 + (1, 8 + 1, 2)× 5 + (0, 12 + 0, 10)× 200 =
132, 4
114
= 116, 140351
MQ99,01 =
(3, 25 + 2, 5)× 15 + (1, 8 + 1, 2)× 7 + (0, 14 + 0, 10)× 240
(3, 25 + 2, 5)× 10 + (1, 8 + 1, 2)× 5 + (0, 14 + 0, 10)× 200 =
164, 85
120, 5
= 136, 804979
DP99,00 = (120)
0,490196 × (150)0,117647 × (120)0,392157 = 123, 191977
DP99,01 = (130)
0,490196 × (150)0,117647 × (140)0,392157 = 136, 105701
DQ99,00 = (120)
0,490196 × (120)0,117647 × (110)0,392157 = 115, 974418
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 19
DQ99,01 = (150)
0,490196 × (140)0,117647 × (120)0,392157 = 136, 320 8
Como exercício, você deve calcular esses mesmos índices com base 2000 = 100; o resultado é
dado na tabela abaixo, onde se excluem os resultados para o ano base:
Índices - 2000=100
1999 2001
P Q P Q
Laspeyres LP00,99 = 80, 8743 L
Q
00,99 = 86, 0656 L
P
00,01 = 110, 109 L
Q
00,01 = 118, 033
Paasche PP00,99 = 80, 9524 P
Q
00,99 = 86, 1486 P
P
00,01 = 109, 896 P
Q
00,01 = 117, 804
Fisher FP00,99 = 80, 9133 F
Q
00,99 = 86, 1071 F
P
00,01 = 110, 003 F
Q
00,01 = 117, 918
Marshall-Edgeworth MP00,99 = 80, 9104 M
Q
00,99 = 86, 1027 M
P
00,01 = 109, 994 M
Q
00,01 = 117, 913
Divisia DP00,99 = 80, 6344 D
Q
00,99 = 85, 9899 D
P
00,01 = 109, 962 D
Q
00,01 = 117, 806
1.6.6 Propriedades dos índices agregativos ponderados
Vamos verificar agora quais critérios os índices acima satisfazem.
Identidade
É fácil verificar que todos os índices vistos satisfazem o princípio da identidade.
Reversibilidade
• Laspeyres e Paasche
Com os dados do exemplo 1.5, vamos mostrar que esses índices não satisfazem a propriedade
de reversão. De fato:
LP99,00 × LP00,99 = 1, 23529412× 0, 808743 = 99, 903 547 25 6= 1
PP99,00 × PP00,99 = 1, 23648649× 0, 809524 = 100, 096 548 9 6= 1
• Fisher
O índice de Fisher satisfaz o critério de reversibilidade, como provamos a seguir:
FP0,t × FPt,0 =
q
LP0,t × PP0,t ×
q
LPt,0 × PPt,0 =
=
vuuuuut
nP
i=1
qi0p
i
t
nP
i=1
qi0p
i
0
×
nP
i=1
qit p
i
t
nP
i=1
qit p
i
0
×
nP
i=1
qitp
i
0
nP
i=1
qitp
i
t
×
nP
i=1
qi0 p
i
0
nP
i=1
qi0 p
i
t
=
=
vuuuuuuuut
nP
i=1
qi0p
i
t
nP
i=1
qi0 p
i
t| {z }
1
×
nP
i=1
qit p
i
t
nP
i=1
qitp
i
t| {z }
1
×
nP
i=1
qitp
i
0
nP
i=1
qit p
i
0| {z }
1
×
nP
i=1
qi0 p
i
0
nP
i=1
qi0p
i
0| {z }
1
= 1
De forma análoga, prova-se para o índice de quantidade.
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 20
• Marshall-Edgeworth
O índice de Marshall-Edgeworth satisfaz o critério de reversibilidade, como provamos a seguir:
MP0,t ×MPt,0 =
nP
i=1
¡
qi0 + q
i
t
¢
pit
nP
i=1
¡
qi0 + q
i
t
¢
pi0
×
nP
i=1
¡
qi0 + q
i
t
¢
pi0
nP
i=1
¡
qi0 + q
i
t
¢
pit
=
=
nP
i=1
¡
qi0 + q
i
t
¢
pit
nP
i=1
¡
qi0 + q
i
t
¢
pit| {z }
1
×
nP
i=1
¡
qi0 + q
i
t
¢
pi0
nP
i=1
¡
qi0 + q
i
t
¢
pi0| {z }
1
= 1
• Divisia
O importante a notar aqui é que o sistema de pesos, no índice de Divisia, é fixo. Sendo assim,
o índice de Divisia satisfaz o critério de reversibilidade, como provamos a seguir:
DP0,t ×DPt,0 =
nQ
i=1
µ
pit
pi0
¶wi0
×
nQ
i=1
µ
pi0
pit¶wi0
=
nQ
i=1
µ
pit
pi0
× p
i
0
pit
¶wi0
= 1
Note que temos o mesmo peso, independente da base de comparação!
Circularidade
• Laspeyres e Paasche
Vamos usar os dados do exemplo 1.5 para mostrar que esses índices não satisfazem o princípio
da circularidade. Temos que:
LP99,00 × LP00,01 = 1, 23529412× 1, 10109× 100 = 136, 017 6= 136, 274510 = LP99,01
PP99,00 × PP00,01 = 1, 23648649× 1, 09896× 100 = 135, 88 6= 135, 836910 = PP99,01
• Fisher
Vamos usar os dados do exemplo 1.5 para mostrar que esse índice também não satisfaz o
princípio da circularidade. Temos que:
FP99,00 × FP00,01 =
p
1, 23529412× 1, 23648649×
p
1, 10109× 1, 09896× 100 =
= 135, 9509 437 6= 136, 055534 = FP99,01
• Marshall-Edgeworth
Com os dados do mesmo exemplo, temos:
MP99,00 ×MP00,01 = 1.23593466× 1.09994× 100 = 135. 945 397 6= 136, 021505 = MP99,01
• Divisia
Como na propriedade de reversão, note que os pesos são fixos, independente da época de
comparação. Assim, o índice de Divisia satisfaz o princípio da circularidade, como se mostra
a seguir:
DP0,1 ×DP1,2 =
nQ
i=1
µ
pi1
pi0
¶wi0
×
nQ
i=1
µ
pi2
pi1
¶wi0
=
nQ
i=1
µ
pi1
pi0
× p
i
2
pit
¶wi0
=
nQ
i=1
µ
pi2
pi0
¶wi0
= DP0,2
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 21
Decomposição das Causas
• Laspeyres e Paasche
Esses índices não satisfazem esse critério, conforme se mostra a seguir com os dados do exemplo:
LP00,99 × LQ00,99 =
59, 2
73, 2
× 63
73, 2
6= 51
73, 2
= V00,99
PP00,99 × PQ00,99 =
51
63
× 51
59, 2
6= 51
73, 2
= V00,99
No entanto, esses índices satisfazem a propriedade de decomposição das causas, desde que se
mescle os índices. Mais precisamente,
LP0,t × PQ0,t = LQ0,t × PP0,t = V0,t (1.37)
conforme se mostra a seguir:
LP0,t × PQ0,t =
nP
i=1
qi0p
i
t
nP
i=1
qi0p
i
0
×
nP
i=1
pit q
i
t
nP
i=1
pit q
i
0
=
nP
i=1
pit q
i
t
nP
i=1
qi0p
i
0
= V0,t
LQ0,t × PP0,t =
nP
i=1
pi0q
i
t
nP
i=1
pi0q
i
0
×
nP
i=1
qit p
i
t
nP
i=1
qit p
i
0
=
nP
i=1
pit q
i
t
nP
i=1
qi0p
i
0
= V0,t
• Fisher
Esse índice satisfaz o critério da decomposição das causas, como se mostra a seguir:
FP0,t × FQ0,t =
vuuuuut
nP
i=1
qi0p
i
t
nP
i=1
qi0p
i
0
×
nP
i=1
qit p
i
t
nP
i=1
qit p
i
0
×
nP
i=1
pi0q
i
t
nP
i=1
pi0q
i
0
×
nP
i=1
pit q
i
t
nP
i=1
pit q
i
0
=
=
vuuuuuuuut
nP
i=1
qi0p
i
t
nP
i=1
pit q
i
0| {z }
1
×
nP
i=1
pi0q
i
t
nP
i=1
qit p
i
0| {z }
1
×
nP
i=1
qit p
i
t
nP
i=1
pi0q
i
0
×
nP
i=1
qit p
i
t
nP
i=1
pi0q
i
0| {z }
iguais
=
=
vuuuuut


nP
i=1
qit p
i
t
nP
i=1
pi0q
i
0


2
=
nP
i=1
qit p
i
t
nP
i=1
pi0q
i
0
= V0,t
Uma maneira mais elegante de provar este resultado é dada a seguir, onde se usa o resultado
(1.37):
FP0,t × FQ0,t =
q
LP0,t × PP0,t ×
q
LQ0,t × PQ0,t =
q
LP0,t × PP0,t × LQ0,t × PQ0,t =
=
q
LP0,t × PQ0,t × PP0,t × LQ0,t =
p
V0,t × V0,t = V0,t
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 22
• Marshall-Edgeworth
Esse índice não satisfaz o critério da decomposição das causas, como mostra o contra-exemplo
abaixo.
MP99,00×MQ99,00 = 1, 23593466×1, 16140351×100 = 143, 541885 6=
73, 2
51
×100 = 143, 529411 = V99,00
• Divisia
Esse índice não satisfaz o critério da decomposição das causas, conforme mostra o contra-
exemplo a seguir:
DP99,00×DQ99,00 = 1, 23191977×1, 15974418×100 = 142, 871178 6=
73, 2
51
×100 = 143, 529411 = V99,00
No quadro a seguir apresentamos o resumo das propriedades dos índices:
Índice Critério
Identidade Reversibilidade Circularidade Decomposição das causas
Laspeyres SIM NÃO NÃO NÃO
Paasche SIM NÃO NÃO NÃO
Fisher SIM SIM NÃO SIM
Marshall-Edgeworth SIM SIM NÃO NÃO
Divisia SIM SIM SIM NÃO
1.7 Relações entre índices
1.7.1 Laspeyres e Paasche
Vamos, agora, analisar a relação entre os índices de Laspeyres e Paasche. Para isso, recordemos que
o estimador do coeficiente de correlação para dados agrupados é dado por
rxy =
Cov(X,Y )
σXσY
=
1
n
P
i
ni
¡
Xi −X
¢ ¡
Yi − Y
¢
sxsy
(1.38)
onde ni é a freqüência absoluta e σx e σy são, respectivamente, os desvios padrão de X e Y . Sabemos
também que a covariância pode ser reescrita como
Cov(X,Y ) =
X
i
fiXiYi −
ÃX
i
fiXi
!ÃX
i
fiYi
!
. (1.39)
onde fi = nin é a freqüência relativa (lembre-se: covariância é a média dos produtos menos o produto
das médias).
Para o caso específico dos números índices, consideremos que osX’s e Y ’s sejam, respectivamente,
os relativos de preço e quantidade e as frequências relativas sejam os pesos definidos pelos valores.
Mais precisamente,
Xi =
pit
pio
Yi =
qit
qio
fi =
pioq
i
oP
j
pjoq
j
o
. (1.40)
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 23
Substituindo (1.40) em (1.39), obtemos:
Cov(X,Y ) =
X
i
pioq
i
oP
j
pjoq
j
o
× p
i
t
pio
× q
i
t
qio
−


X
i
pioq
i
oP
j
pjoq
j
o
× p
i
t
pio




X
i
pioq
i
oP
j
pjoq
j
o
× q
i
t
qio

 =
=
P
i
pitq
i
tP
i
pioqio
−
P
i
qiop
i
tP
i
qiopio
×
P
i
pioq
i
tP
i
pioqio
= V0,t − LP0,t × LQ0,t (1.41)
Mas sabemos que
V0,t = LP0,t × PQ0,t ;
substituindo em (1.41), obtemos que
Cov(X,Y ) = σxσyrxy = L
P
0,t × PQ0,t − LP0,t × LQ0,t ⇒
σxσyrxy
LP0,t × PQ0,t
= 1−
LP0,t × LQ0,t
LP0,t × PQ0,t
= 1−
LQ0,t
PQ0,t
ou seja,
LQ0,t
PQ0,t
= 1− rxy
σxσy
V0,t
. (1.42)
Analisando essa equação, podemos ver que os índices de Laspeyres e Paasche serão idênticos
quando rxy = 0 ou σx = 0 ou σy = 0. As duas últimas condições significam que, tanto os relativos
de preço, quanto os relativos de quantidade são constantes (não têm variabilidade), uma hipótese
bastante irrealista. A condição rxy = 0 significa que os relativos de preço e de quantidade são não
correlacionados, hipótese também bastante improvável de ocorrer na prática. Assim, na prática, os
índices de Laspeyres e Paasche serão diferentes. Nesse caso, como σx > 0, σy > 0 e V0,t > 0, a relação
entre os índices dependerá de rxy. Se rxy > 0 (relativos de preço positivamente correlacionados com
os relativos de quantidade, o que acontece quando estamos analisando um problema pelo lado da
oferta, por exemplo), o índice de Laspeyres será menor que o de Paasche. Caso contrário, isto é,
relativos de preço negativamente correlacionados com os relativos de quantidade (análise pelo lado
da demanda), o índice de Laspeyres será maior que o de Paasche.
A situação mais comum, na prática, é termos rxy < 0 e, portanto, PP0,t < L
P
0,t e P
Q
0,t ≤ L
Q
0,t. Neste
caso, temos que
PP0,t ≤ LP0,t ⇒
nP
i=1
qitp
i
t
nP
i=1
qitp
i
0
≤
nP
i=1
qi0p
i
t
nP
i=1
qi0p
i
0
⇒
nP
i=1
pitq
i
t ×
nP
i=1
qitp
i
t
nP
i=1
qitp
i
0
≤
nP
i=1
pitq
i
t ×
nP
i=1
qi0p
i
t
nP
i=1
qi0p
i
0
⇒
⇒
nP
i=1
pitq
i
t
nP
i=1
pitq
i
0
×
nP
i=1
qitp
i
t
nP
i=1
qitp
i
0
≤
nP
i=1
pitq
i
t
nP
i=1
qi0p
i
0
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 24
ou
PQ0,t × PP0,t ≤ V0,t
Analogamente,
PQ0,t ≤ L
Q
0,t ⇒
nP
i=1
pitq
i
t
nP
i=1
pitq
i
0
≤
nP
i=1
pi0q
i
t
nP
i=1
pi0q
i
0
⇒
⇒ 1nP
i=1
pi0q
i
0
×
nP
i=1
pitq
i
t
nP
i=1
pitq
i
0
≤ 1nP
i=1
pi0q
i
0
×
nP
i=1
pi0q
i
t
nP
i=1
pi0q
i
0
⇒
nP
i=1
pitq
i
t
nP
i=1
pi0q
i
0
≤
nP
i=1
pitq
i
0
nP
i=1
pi0q
i
0
×
nP
i=1
pi0q
i
t
nP
i=1
pi0qi
0
ou
V0,t ≤ LP0,t × LQ0,t
Vemos, assim, que, em geral
PQ0,t × PP0,t ≤ V0,t ≤ LP0,t × LQ0,t
ou seja, o índice de Paasche tende a subestimar o valor, enquanto o índice de Laspeyres tende a
superestimar.
1.7.2 Fisher, Laspeyres e Paasche
O índice de Fisher é definido como a média geométrica dos índices de Laspeyres e Paasche. Então
F =
√
L× P .
Pelo resultado anterior, temos que, em geral, os índices de Laspeyres e Paasche são diferentes. Se
eles são iguais, obviamente temos F = L = P .
Das propriedades da função f (x) =
√
x segue que 1 >
√
x > x para 0 < x < 1.
Consideremos inicialmente que L < P. Então, como L e P são positivos, segue que 0 <
L
P
< 1.
Então
1 >
r
L
P
>
L
P
⇒ P > P
r
L
P
> P
L
P
⇒ P >
√
L× P > L
ou seja, L < F < P. Se P < L, obtemos, de forma análoga, que P < F < L. Em resumo, se os
índices de Laspeyres e Paasche são diferentes, então o índice de Fisher está compreendido entre eles:
L < P ⇒ L < F < P (1.43)
P < L ⇒ P < F < L
L = P ⇒ L = F = P
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 25
1.7.3 Marshall-Edgeworth, Laspeyres e Paasche
O índice de Marshall-Edgeworth é definido como
MP0,t =
P
i
¡
qit + q
i
o
¢
pitP
i
¡
qit + qio
¢
pio
.
Vamos provar que esse índice se encontra sempre entre os índices de Laspeyres e Paasche. Mas
para isso vamos provar que, se X1,X2, Y1 e Y2 são números positivos tais que
X1
X2
≤ Y1
Y2
então
X1
X2
≤ X1 + Y1
X2 + Y2
≤ Y1
Y2
.
De fato: como os números são positivos, temos que
X1
X2
≤ Y1
Y2
⇒ X1Y2 ≤ X2Y1 ⇒ X1Y2 +X1X2 ≤ X2Y1 +X1X2 ⇒
⇒ X1 (X2 + Y2) ≤ X2 (X1 + Y1)⇒
X1
X2
≤ X1 + Y1
X2 + Y2
.
Analogamente,
X1
X2
≤ Y1
Y2
⇒ X1Y2 ≤ X2Y1 ⇒ X1Y2 + Y1Y2 ≤ X2Y1 + Y1Y2 ⇒
⇒ Y2 (X1 + Y1) ≤ Y1 (X2 + Y2)⇒
X1 + Y1
X2 + Y2
≤ Y1
Y2
.
Note que esse resultado não vale quando algum dos números é negativo. Por exemplo, se fizermos
X1 = −2, X2 = 3, Y1 = 1 e Y2 = −2, então
X1
X2
= −2
3
<
Y1
Y2
= −1
2
mas
X1 + Y1
X2 + Y2
= −1 < X1
X2
Para provar a relação entre os índices de Laspeyres, Paasche e Marshall-Edgeworth, basta fazer
X1 =
X
i
qiop
i
t Y1 =
X
i
qitp
i
t
X2 =
X
i
qiop
i
o Y2 =
X
i
qitp
i
o
Nesse caso, os índices de Laspeyres e Paasche de preço são:
L = Lp0,t =
X1
X2
P = P p0,t =
Y1
Y2
e se L < P , então
X1
X2
<
Y1
Y2
⇒ L <
P
i
qiop
i
t +
P
i
qitp
i
tP
i
qiopio +
P
i
qitpio
=
P
i
¡
qio + q
i
t
¢
pitP
i
¡
qio + q
i
t
¢
pio
< P
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 26
ou seja, L < M < P . Se, ao contrário , temos P < L então
Y1
Y2
<
X1
X2
⇒ P <
P
i
qiop
i
t +
P
i
qitp
i
tP
i
qiopio +
P
i
qitpio
=
P
i
¡
qio + q
i
t
¢
pitP
i
¡
qio + q
i
t
¢
pio
< L
e, portanto, P < M < L. E se L = P, então L = P = M. Resumindo, o índice de Marshall-
Edegeworth está entre os índices de Laspeyres e Paasche:
L < P ⇒ L < M < P (1.44)
P < L ⇒ P < M < L
L = P ⇒ P = M = L
1.8 Mudança de base
Considere a seguinte série de relativos de preço com base em 1997:
Ano 1997 1998 1999 2000 2001
Relativo 100 110 115 116 118
Isso significa que
p98
p97
= 1, 1
p99
p97
= 1, 15
p00
p97
= 1, 16
p01
p97
= 1, 18
Suponhamos, agora, que queiramos colocar essa série com base em 2001, para atualizar o sistema
de comparação. Como proceder? Na verdade, o que queremos é
pt
p01
, t = 97, 98, 99, 00
Como os relativos satisfazem as propriedades de reversão e circular, temos que:
p97
p01
=
1
p01
p97
p98
p01
=
p98
p97
× p97
p01
=
p98
p97
p01
p97
p99
p01
=
p99
p97
× p97
p01
=
p99
p97
p01
p97
p00
p01
=
p00
p97
× p97
p01
=
p00
p97
p01
p97
Logo, a série de relativos na nova base é obtida dividindo-se a série original pelo valor do relativo
no ano da base desejada. Esse procedimento, ilustrado para relativos, será sempre válido se o índice
satisfizer as propriedades circular e de reversão.
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 27
No entanto, vários índices utilizados na prática não satisfazem tal propriedade. Os índices de
Laspeyres e Paasche são um exemplo. Para fazer a mudança de base de uma série de índices de
Laspeyres, por exemplo, é necessário mudar os pesos e isso significa trazer a antiga cesta base para a
época atual. Esse procedimento, além de caro, nem sempre é viável. Assim, na prática, a mudança
de base é feita como se o índice satisfizesse a propriedade circular, ou seja, obtém-se a série na nova
base dividindo a antiga pelo valor do índice no ano da base desejada.
Vamos ilustrar os procedimentos correto e aproximado com os dados utilizados anteriormente.
Exemplo 1.6
Produto 1999 2000 2001
P Q P Q P Q
Arroz (kg) 2,50 10 3,00 12 3,25 15
Feijão (kg) 1,20 5 1,80 6 1,80 7
Pão (unid.) 0,10 200 0,12 220 0,14 240
Anteriormente, calculamos os índices de Laspeyres com base em 1999, obtendo para os preços a
seguinte série:
Ano t 1999 2000 2001
LP99,t 100 123,529412 136,274510
Vamos calcular o índice com base em 2001 pelo método exato e pelo método aproximado.
LP01,99 =
15× 2, 50 + 7× 1, 20 + 240× 0, 10
15× 3, 25 + 7× 1, 80 + 240× 0, 14 × 100 =
69, 9
94, 95
× 100 = 73, 618
LP01,00 =
15× 3, 00 + 7× 1, 80 + 240× 0, 12
15× 3, 25 + 7× 1, 80 + 240× 0, 14 × 100 =
86, 4
94, 95
× 100 = 90, 995
Logo, pelo método exato a série de índices com base em 2001 é:
Ano t 1999 2000 2001
LP01,t 73, 618 90, 995 100
Pelo método prático, temos:
LP01,99 ≈
1
136, 274510
× 100 = 73, 381
LP01,00 ≈
123, 529412
136, 274510
× 100 = 90, 647
1.9 Deflacionamento e poder aquisitivo
Suponhamos que em 1999 um quilo de carne custasse 8,00 reais e em 2000, 10 reais. Se nos 2
anos dispuséssemos da mesma quantia de 250 reais para comprar essa carne, em 1999 poderíamos
comprar
250R$
8R$ / kg
= 31, 25 kg
e em 2000
250R$
10R$ / kg
= 25 kg
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 28
Logo, a relação entre as quantidades é
25
31, 25
= 0, 80
que corresponde a uma taxa de variação deµ
25− 31, 25
31, 25
¶
× 100 =
µ
25
31, 25
− 1
¶
× 100 = (0, 80− 1)× 100 = −20%
Então, com esse aumento de preço, mantido o mesmo valor disponível, houve uma queda de 20% na
quantidade de carne adquirida.
Consideremos, agora, uma situação mais geral, onde o salário de uma pessoa se mantém fixo em
R$2.500,00 nos anos de 1999 e 2000 mas a inflação em 2000, medida pelo INPC, foi de 5,27%. Como
avaliar a perda salarial desta pessoa? Primeiro, vamos interpretar o significado da inflação de 5,27%
em 2000. Isto significa que o preço de uma cesta de produtos e serviços aumentou 5,27% em 2000,
comparado com 1999, ou seja, o índice de preços de 2000 com base em 1999 é 1,0527. Por outro
lado, como o salário é o mesmo, o índice de valor (salário) de 2000 com base em 1999 é 1. Usando a
relação aproximada IV = IP × IQ, resulta que o índice de quantidade de 2000 com base em 1999 é
IQ =
µ
1
1, 0527
¶
= 0, 94994
ou seja, esta pessoa, com o mesmo salário em 2000, consegue comprar 0,94994 do que comprava em
1999, o que representa uma taxa de (0, 94994 − 1) × 100 = −5, 006. O índice 0,94994 é chamado
índice do salário real, já que ele representa o que a pessoa pode realmente adquirir em 2000, com
base em 1999.
Uma outra forma de olhar este mesmo problema é a seguinte: dizer que houve uma variação de
preços de 5,27% em 2000 é o mesmo que dizer que 1,0527 reais em 2000 equivalem (em poder de
compra) a 1 real em 1999. Então, para determinar quanto valem os 2500 reais de 2000 a preços de
1999, basta aplicarmos a regra de três simples:
1999 2000
1 R$ 1,0527 R$
x 2500 R$
Logo,
x =
2500
1, 0527
= 2374, 85
o que significa que o salário de 2500 reais em 2000 equivale a um salário de 2374,85 reais em1999,
o que é lido como 2374,85 reais a preços de 1999. A perda salarial pode ser obtida como
2374, 85
2500
= 0, 94994
mesmo valor obtido através do índice do salário real.
Estes exemplos ilustram o conceito de deflacionamento de uma série de valores, que permite
equiparar valores monetários de diversas épocas ao valor monetário de uma época base, ou ainda, o
deflacionamento permite eliminar uma das causas de variação de uma série de valores monetários,
qual seja, a variação de preços.
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 29
1.9.1 Deflator
Um índice de preços usado para equiparar valores monetários de diversas épocas ao valor monetário
de uma época base é chamado deflator.
Como visto acima, para obter a série de valores deflacionados ou valores a preços da época
base, basta dividir a série de valores pelo respectivo índice de preços. Os valores estarão a preços
constantes do ano base do índice de preços.
Podemos também dividir a série de índices de valores pelo respectivo índice de preço para obter
o índice do valor real (quantidade) com base no período base do deflator.
Exemplo 1.7
Considere a série do faturamento nominal de uma empresa e o índice de preço apropriado, dados
na tabela abaixo.
Ano Faturamento nominal Índice de preços
(Mil R$) 1999=100
1999 1600 100,000
2000 1800 105,272
2001 2400 115,212
2002 2800 132,194
2003 3000 145,921
2004 3200 154,870
Para obter o faturamento real a preços de 1999, basta fazer, como antes, uma regra de três,
tendo em mente a interpretação do índice de preços: 100 R$ em 1999 equivalem a 105,272 R$ em
2000, a 115,212 em 2001, etc. Por exemplo, para o ano de 2002 temos:
1999 2002
100 R$ 132,194 R$
x 2800 R$
⇒ x = 2800
132, 194
× 100 = 2118, 099
Com o mesmo procedimento para os outros anos, obtemos a série do faturamento a preços de 1975
dada por:
Ano Faturamento
(Mil R$ de 1999)
1999 (1600/100)× 100 = 1600, 0
2000 (1800/105, 272)× 100 = 1709, 9
2001 (2400/115, 212)× 100 = 2083, 1
2002 (2800/132, 194)× 100 = 2118, 1
2003 (3000/145, 921)× 100 = 2055, 9
2004 (3200/154, 870)× 100 = 2066, 2
Para obter o índice do faturamento real com base em 1999 temos que calcular o índice do
faturamento nominal e dividí-lo pelo respectivo índice de preços. Para o ano de 2002, por exemplo,
temos:
2800
1600
× 100
132.194
× 100 = 132, 38
Completando para os outros anos obtemos:
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 30
Ano Índice do faturamento real (quantidade)
1999=100
1999
1600
1600
× 100
100
× 100 = 100, 000
2000
1800
1600
× 100
105.272
× 100 = : 106. 87
2001
2400
1600
× 100
115.212
× 100 = : 130. 19
2002
2800
1600
× 100
132.194
× 100 = : 132. 38
2003
3000
1600
× 100
145.921
× 100 = : 128. 49
2004
3200
1600
× 100
154.870
× 100 = : 129. 14
Note a seguinte equivalência (ano de 2002):
2800
1600
× 100
132, 194
× 100 =
2800
132, 194
× 100
1600
× 100
O termo no numerador é o faturamento de 2002 a preços de 1999, enquanto o termo no denom-
inador é o faturamento de 1999 a preços de 1999. Ou seja, podemos obter a série de índices do
faturamento real a preços de 1999 simplesmente dividindo a série de faturamento a preços de 1999
pelo faturamento real do ano base:
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 31
Ano Índice do faturamento real
1999=100
1975
1600
100
× 100
1600
× 100 = 100, 000
1976
1800
105.272
× 100
1600
× 100 = 106, 87
1977
2400
115.212
× 100
1600
× 100 = 130, 19
1978
2800
132.194
× 100
1600
× 100 = 132, 38
1979
3000
145.921
× 100
1600
× 100 = : 128. 49
1980
3200
154.870
× 100
1600
× 100 = 129, 14
Se no exemplo tivessem sido dadas as taxas de variação do faturamento e do preço, o deflaciona-
mento seria feito, primeiro transformando as taxas em índices.
Taxa Índice
i (taxa nominal) → 1 + i Deflacionamento: 1 + i
1 + j
j (taxa de inflação) → 1 + j
Exemplo 1.8
Na tabela abaixo temos o salário de um funcionário nos meses de janeiro a maio de 2002 e as
respectivas taxas de inflação mensal medidas pelo INPC:
Mês Salário (R$) INPC (%)
dez-01 3868,81 0,74
jan-02 4060,03 1,07
fev-02 4797,79 0,31
mar-02 4540,89 0,62
abr-02 4436,14 0,68
mai-02 4436,14 0,09
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 32
Vamos calcular o salário real a preços de dezembro de 2001 e também o índice do salário real com
base em dez-01. As taxas de inflação medem a variação mês t/mês t − 1. O primeiro passo, então,
consiste em calcular a série do INPC com base em dezembro de 2001. Em janeiro de 2002 a taxa
de inflação foi de 1,07%, com relação a dezembro de 2001, ou seja,
pjan−02
pdez−01
= 1 +
1, 07
100
= 1, 0107
Em fevereiro, temos que
pfev−02
pjan−02
= 1 +
0, 31
100
= 1, 0031
e pfev−02
pdez−01
=
pfev−02
pjan−02
× pjan−02
pdez−01
= 1, 0107× 1, 0031 = 1, 01383
Para março, temos:
pmar−02
pdez−01
=
pmar−02
pfev−02
× pfev−02
pjan−02
× pjan−02
pdez−01
= 1, 0062× 1, 0107× 1, 0031 = 1, 02012
Para abril:
pabr−02
pdez−01
=
pabr−02
pmar−02
× pmar−02
pfev−02
× pfev−02
pjan−02
× pjan−02
pdez−01
=
= 1, 0068× 1, 0062× 1, 0107× 1, 0031 = 1, 027056
e para maio:
pmai−02
pdez−01
=
pmai−02
pabr−02
× pabr−02
pmar−02
× pmar−02
pfev−02
× pfev−02
pjan−02
× pjan−02
pdez−01
=
= 1, 0009× 1, 0068× 1, 0062× 1, 0107× 1, 0031 = 1, 02798
Obtida a série do INPC com base em dezembro de 2001, para obter o salário real basta dividir o
salário nominal de cada mês pelo respectivo valor do índice:
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 33
Mês Salário (R$) INPC Salário real
% dez-01=100 a preços de dez-01 dez-01=100
dez-01 3868,81 0,74 100,000
3868, 81
100
× 100 = 3868, 81 3868, 81
3868, 81
× 100 = 100, 00
jan-02 4060,03 1,07 101,070
4060, 03
101, 070
× 100 = 4017, 05 4017, 05
3868, 81
× 100 = 103, 83
fev-02 4797,79 0,31 101,383
4797, 79
101, 383
× 100 = 4732, 34 4732, 34
3868, 81
× 100 = 122, 323
mar-02 4540,89 0,62 102,012
4540, 89
102, 012
× 100 = 4451, 33 4451, 33
3868, 81
× 100 = 115, 06
abr-02 4436,14 0,68 102,706
4436, 14
102, 706
× 100 = 4319, 26 4319, 26
3868, 81
× 100 = 111, 64
mai-02 4436,14 0,09 102,798
4436, 14
102, 798
× 100 = 4315, 40 4315, 40
3868, 81
× 100 = 111, 54
Ao deflacionarmos esses salários, estamos colocando todos eles na “mesma moeda”, ou seja, eles
são comparáveis para efeitos de poder de compra. É como se tivéssemos duas pessoas em dezembro
de 2001 ganhando, por exemplo, uma R$ 3668,81 e a outra R$ 4315,40; com essa comparação fica
claro que a segunda pessoa ganha mais que a primeira, ou seja, em termos reais, o salário de maio
de 2002 é maior que o salário de dezembro de 2001.
1.9.2 Poder aquisitivo
O poder aquisitivo de um determinado volume de unidades monetárias, com relação a uma certa
época base, é o seu valor deflacionado com referência a essa época base.
Consideremos novamente o exemplo visto no início da seção: em 1999 um quilo de carne custava
8,00 reais e em 2000, 10 reais. Se nos 2 anos dispuséssemos da mesma quantia de 250 reais para
comprar essa carne, em 1999 poderíamos comprar
250 R$
8R$ / kg
= 31, 25 kg
e em 2000
250R$
10R$ / kg
= 25 kg
Logo, a relação entre as quantidades é
25
31, 25
= 0, 80
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 34
Isso significa que o poder aquisitivo (para esse único produto) caiu 20%. Note que:
25
31, 25
=
250R$
10R$ / kg
250R$
8R$ / kg
=
8
10
=
1
10
8
No denominador temos o relativo de preço da carne com base em 1999, ou seja, o poder aquisitivo
é obtido tomando-se o inverso do índice de preço escolhido.
Exemplo 1.9
Considere a série do IGP dada a seguir. Calcule o poder aquisitivo de 1Cr$ com base no cruzeiro
de 1977.
Ano IGP - 2000=100 Poder aquisitivo de 1R$ (2000=100)
2000100 (1/100)× 100 = : 1.0
2001 110 (1/110)× 100 = : 0.909 09
2002 140 (1/140)× 100 = : 0.714 29
2003 150 (1/150)× 100 = : 0.666 67
2004 168 (1/168)× 100 = : 0.595 24
Em 2002, 1R$ tem o mesmo poder aquisitivo de 0,71429 R$ de 2000, enquanto em 2004, 1R$$ tem
o poder aquisitivo de 0,59524 R$ em 1977.
Exemplo 1.10
O salário de um trabalhador foi reajustado em 80% em um dado período, enquanto a inflação
foi de 92% no mesmo período. Qual foi a perda do poder aquisitivo desse trabalhador?
Para resolver esse problema, temos que colocar ambas as taxas em forma de índice. Assim o
índice do salário real é
1, 8
1, 92
= 0, 9375
Logo, o poder aquisitivo do salário no final do período é igual a 0,9375 do poder aquisitivo no início
do período, o que equivale a uma perda de 6,25%.
1.10 Análise dos dados da PME
Nesta seção vamos analisar dois artigos publicados no jornal Folha de São Paulo, reproduzidos
mais adiante. Ambos se baseiam em resultados da Pesquisa Mensal de Emprego do IBGE e foram
publicados quando da divulgação dos resultados da PME referentes ao mês de dezembro de 2001. A
ênfase dos dois artigos é a queda do rendimento médio real do trabalhador. Vamos, então, analisar
as informações dadas nos artigos e descrever como os resultados foram obtidos a partir da PME.
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 35
.
Uma das variáveis publicadas na PME é o rendimento médio nominal do trabalho principal,
estimado como uma média dos rendimentos individuais dos informantes da amostra. Estima-se
também o rendimento nominal médio dos trabalhadores com carteira assinada. Para estimar o
salário médio real, os salários nominais são deflacionados pelo INPC.
Na tabela 1 temos os dados necessários para a análise. Na primeira coluna temos os dados
oriundos da PME, onde os salários são dados na moeda corrente. Note que no período em estudo
houve duas mudanças de moeda: uma em agosto de 93 (cruzeiro para cruzeiro real) e outra em julho
de 94 (cruzeiro real para real).
A análise é feita com base nos salários reais, dando-se ênfase ao período do Plano Real (início
em julho de 1994). Vamos, então, calcular os salários médios reais com base em julho de 1994. Para
isso, temos inicialmente que calcular o INPC com base em julho de 1994. A forma mais fácil de
fazer isso é calcular, primeiro, o índice com base dez-92=1 e depois fazer a mudança de base. Os
dados e cálculos de mudança de base estão na Tabela 2.
• INPC- base: dez-92=1
Temos que acumular as inflações mensais, ou seja, primeiro transformamos as taxas em índices
e depois acumulamos mês a mês (ver exemplo 1.8).
Dez − 92 = 1
Jan− 93 = 1×
µ
1 +
28, 77
100
¶
= 1, 2877
Fev − 93 = 1.2877× 1.2479 = 1, 606921
Mar − 93 = 1.2877× 1.2479× 1.2758 = 2, 0501096
...
Jul − 94 = 1.2877× 1.2479× 1.2758× · · · × 1, 0775 = 239, 681489
...
• INPC - base: jul-94=1
Para mudar a base, basta dividir toda a série pelo valor do índice (com base em dez-92) no
mês de julho de 1994, ou seja, temos que dividir toda a série pelo valor 239,68148900.
Podemos ver da Tabela 2 que a inflação acumulada desde o Plano Real até dezembro de 2001
é de 97,71%. Esta é a taxa correspondente ao índice do mês de dezembro, com base em julho de
1994. Este mesmo resultado pode ser obtido a partir do índice com base em dezembro de 1992,
simplesmente dividindo o índice de dezembro pelo índice de julho:
1, 9771 =
473, 8651
239, 6815
Como a série foi construída acumulando os índices mensais, esta divisão nos dá:
pdez−01
pdez−92
pjul−94
pdez−92
=
pdez−01
pjul−94
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 36
Figura 1.1: Artigos sobre a PME
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 37
Tabela 1
Rendimento médio nominal do trabalho principal das pessoas ocupadas
de 25 anos ou mais - Total das áreas - PME
Salário Salário Salário
nominal nominal nominal
Moeda (Moeda Moeda (Moeda Moeda (Moeda
corrente corrente) e corrente corrente) corrente corrente)
jan/93 Cr$ 4287933,73 jan/96 R$ 576,38 jan/99 R$ 687,15
fev Cr$ 5143301,54 frv R$ 587,91 fev R$ 678,78
mar Cr$ 6619473,88 mar R$ 587,37 mar R$ 677,90
abr Cr$ 8981479,19 abr R$ 594,71 abr R$ 676,92
mai Cr$ 11389161,90 mai R$ 609,63 mai R$ 676,78
jun Cr$ 14389468,98 jun R$ 619,36 jun R$ 683,35
jul Cr$ 18710695,94 jul R$ 639,63 jul R$ 674,76
ago CR$ 26478,71 ago R$ 644,18 ago R$ 676,05
set CR$ 36674,12 set R$ 636,43 set R$ 679,52
out CR$ 47894,50 out R$ 636,95 out R$ 688,36
nov CR$ 67997,71 nov R$ 641,44 nov R$ 707,15
dez CR$ 96592,30 dez R$ 686,66 dez R$ 757,68
jan/94 CR$ 130445,49 jan/97 R$ 641,75 jan/00 R$ 707,66
fev CR$ 187295,51 fev R$ 642,73 fev R$ 702,00
mar CR$ 288739,80 mar R$ 634,11 mar R$ 698,34
abr CR$ 401208,65 abr R$ 649,94 abr R$ 699,57
mai CR$ 558514,64 mai R$ 666,70 mai R$ 711,64
jun CR$ 726230,00 jun R$ 664,50 jun R$ 727,58
jul R$ 341,21 jul R$ 675,23 jul R$ 723,91
ago R$ 363,88 ago R$ 684,17 ago R$ 731,50
set R$ 374,09 set R$ 618,18 set R$ 733,99
out R$ 371,02 out R$ 689,63 out R$ 745,84
nov R$ 405,56 nov R$ 695,49 nov R$ 743,99
dez R$ 440,53 dez R$ 744,11 dez R$ 805,07
jan/95 R$ 420,34 jan/98 R$ 700,70 jan/01 R$ 738,50
fev R$ 435,78 fev R$ 696,29 fev R$ 742,25
mar R$ 450,71 mar R$ 685,00 mar R$ 740,08
abr R$ 467,60 abr R$ 679,52 abr R$ 746,12
mai R$ 487,02 mai R$ 675,01 mai R$ 740,40
jun R$ 499,44 jun R$ 682,89 jun R$ 750,80
jul R$ 509,48 jul R$ 678,72 jul R$ 758,05
ago R$ 521,96 ago R$ 685,74 ago R$ 749,53
set R$ 530,43 set R$ 685,86 set R$ 746,35
out R$ 537,86 out R$ 695,24 out R$ 752,82
nov R$ 561,62 nov R$ 715,28 nov R$ 750,92
dez R$ 600,62 dez R$ 758,10 dez R$ 803,45
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 38
Tabela 2
INPC - Taxas de variação e índices dez-92=1 e jul-94=1
Mês INPC INPC
% dez-92=1 jul-94=1 % dez-92=1 jul-94=1
dez/92 1,0000 0,0042
jan/93 28,77 1,2877 0,0054 jan/96 1,46 329,8291 1,3761
fev 24,79 1,6069 0,0067 fev 0,71 332,1709 1,3859
mar 27,58 2,0501 0,0086 mar 0,29 333,1342 1,3899
abr 28,37 2,6317 0,0110 abr 0,93 336,2323 1,4028
mai 26,78 3,3365 0,0139 mai 1,28 340,5361 1,4208
jun 30,37 4,3498 0,0181 jun 1,33 345,0653 1,4397
jul 31,01 5,6987 0,0238 jul 1,20 349,2060 1,4570
ago 33,34 7,5986 0,0317 ago 0,50 350,9521 1,4642
set 35,63 10,3060 0,0430 set 0,02 351,0223 1,4645
out 34,12 13,8224 0,0577 out 0,38 352,3561 1,4701
nov 36,00 18,7985 0,0784 nov 0,34 353,5542 1,4751
dez 37,73 25,8911 0,1080 dez 0,33 354,7209 1,4800
jan/94 41,32 36,5893 0,1527 jan/97 0,81 357,5941 1,4920
fev 40,57 51,4336 0,2146 fev 0,45 359,2033 1,4987
mar 43,08 73,5912 0,3070 mar 0,68 361,6459 1,5089
abr 42,86 105,1324 0,4386 abr 0,60 363,8158 1,5179
mai 42,73 150,0555 0,6261 mai 0,11 364,2160 1,5196
jun 48,24 222,4422 0,9281 jun 0,35 365,4907 1,5249
jul 7,75 239,6815 1,0000 jul 0,18 366,1486 1,5276
ago 1,85 244,1156 1,0185 ago -0,03 366,0387 1,5272
set 1,40 247,5332 1,0328 set 0,10 366,4048 1,5287
out 2,82 254,5137 1,0619 out 0,29 367,4674 1,5331
nov 2,96 262,0473 1,0933 nov 0,15 368,0186 1,5354
dez 1,70 266,5021 1,1119 dez 0,57 370,1163 1,5442
jan/95 1,44 270,3397 1,1279 jan/98 0,85 373,2623 1,5573
fev 1,01 273,0701 1,1393 fev 0,54 375,2779 1,5657
mar 1,62 277,4939 1,1578 mar 0,49 377,1167 1,5734
abr 2,49 284,4035 1,1866 abr 0,45 378,8138 1,5805
mai 2,10 290,3759 1,2115 mai 0,72 381,5412 1,5919
jun 2,18 296,7061 1,2379 jun 0,15 382,1135 1,5943
jul 2,46 304,0051 1,2684 jul -0,28 381,0436 1,5898
ago 1,02 307,1059 1,2813 ago -0,49 379,1765 1,5820
set 1,17 310,6991 1,2963 set -0,31 378,0010 1,5771
out 1,40 315,0489 1,3144 out 0,11 378,4168 1,5788
nov 1,51 319,8061 1,3343 nov -0,18 377,7357 1,5760
dez 1,65 325,0829 1,3563 dez 0,42 379,3222 1,5826
Continua...
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 39
Tabela 2 (Conclusão)
Mês INPC INPC
% dez-92=1 jul-94=1 % dez-92=1 jul-94=1
jan/99 0,65 381,7878 1,5929 jul/00 1,39 421,7458 1,7596
fev 1,29 386,7128 1,6134 ago 1,21 426,8489 1,7809
mar 1,28 391,6628 1,6341 set 0,43 428,6844 1,7886
abr 0,47 393,5036 1,6418 out 0,16 429,3703 1,7914
mai0,05 393,7003 1,6426 nov 0,29 430,6154 1,7966
jun 0,07 393,9759 1,6437 dez 0,55 432,9838 1,8065
jul 0,74 396,8913 1,6559 jan/01 0,77 436,3178 1,8204
ago 0,55 399,0742 1,6650 fev 0,49 438,4557 1,8293
set 0,39 400,6306 1,6715 mar 0,48 440,5603 1,8381
out 0,96 404,4767 1,6876 abr 0,84 444,2610 1,8535
nov 0,94 408,2788 1,7034 mai 0,57 446,7933 1,8641
dez 0,74 411,3000 1,7160 jun 0,60 449,4741 1,8753
jan/00 0,61 413,8090 1,7265 jul 1,11 454,4632 1,8961
fev 0,05 414,0159 1,7274 ago 0,79 458,0535 1,9111
mar 0,13 414,5541 1,7296 set 0,44 460,0689 1,9195
abr 0,09 414,9272 1,7312 out 0,94 464,3936 1,9375
mai -0,05 414,7197 1,7303 nov 1,29 470,3843 1,9625
jun 0,30 415,9639 1,7355 dez 0,74 473,8651 1,9771
Para obter a série dos índices do salário nominal com base em julho de 1994, vamos transformar
todos os salários para R$. Lembrando que 1CR$ = 1000 Cr$ e que 1R$ = 2750 CR$, as transfor-
mações se fazem da seguinte forma: os salários em Cr$ devem ser divididos por 1000 × 2750 e os
salários em CR$ devem ser divididos por 2750. Com todos os salários na mesma moeda, podemos
calcular os índices do salário nominal com base em julho de 1994 simplesmente dividindo todos os
salários pelo salário do mês de julho de 1994, que é igual a 341,21. Na tabela 3 temos os resultados.
Para obter a série de índices do salário real, basta dividir mês a mês a série de índices do salário
nominal pelo INPC com base em julho de 94. O resultado está na Tabela 4. Pequenas diferenças
podem ocorrer em função de arredondamentos, uma vez que os valores da tabela foram obtidos no
EXCEL, trabalhando com muitas casas decimais e depois arredondando para 6 casas decimais.
Jan− 93 : 0, 850577 = 0, 00456976
0, 00537255
Fev − 93 : 0, 817575 = 0, 005481
0, 006704
...
Jul − 94 : 1 = 1
1
Ago− 94 : 1, 047069 = 1, 066440
1, 018500
...
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 40
Tabela 3
Rendimento médio nominal do trabalho principal das pessoas ocupadas
de 25 anos ou mais - Total das áreas - PME - R$ e índice jul-94=1
Mês Salário Mês Salário Mês Salário
R$ jul-94=1 R$ jul-94=1 R$ jul-94=1
jan/93 1,559249 0,004570 jan/96 576,38 1,689224 jan/99 687,15 2,013862
fev 1,870291 0,005481 frv 587,91 1,723015 fev 678,78 1,989322
mar 2,407081 0,007055 mar 587,37 1,721433 mar 677,90 1,986753
abr 3,265992 0,009572 abr 594,71 1,742944 abr 676,92 1,983881
mai 4,141513 0,012138 mai 609,63 1,786671 mai 676,78 1,983471
jun 5,232534 0,015335 jun 619,36 1,815187 jun 683,35 2,002726
jul 6,803889 0,019940 jul 639,63 1,874593 jul 674,76 1,977550
ago 9,628622 0,028219 ago 644,18 1,887928 ago 676,05 1,981331
set 13,336044 0,039085 set 636,43 1,865215 set 679,52 1,991501
out 17,416182 0,051042 out 636,95 1,866739 out 688,36 2,017409
nov 24,726440 0,072467 nov 641,44 1,879898 nov 707,15 2,072477
dez 35,124473 0,102941 dez 686,66 2,012426 dez 757,68 2,220568
jan/94 47,434724 0,0139019 jan/97 641,75 1,880807 jan/00 707,66 2,073972
fev 68,107458 0,199606 fev 642,73 1,883679 fev 702,00 2,057384
mar 104,996291 0,307718 mar 634,11 1,858416 mar 698,34 2,046657
abr 145,894055 0,427578 abr 649,94 1,904809 abr 699,57 2,050262
mai 203,096233 0,595224 mai 666,70 1,953929 mai 711,64 2,085636
jun 264,083636 0,773962 jun 664,50 1,947481 jun 727,58 2,132353
jul 341,21 1,000000 jul 675,23 1,978928 jul 723,91 2,121597
ago 363,88 1,066440 ago 684,17 2,005129 ago 731,50 2,143841
set 374,09 1,096363 set 618,18 1,996366 set 733,99 2,151139
out 371,02 1,087366 out 689,63 2,021131 out 745,84 2,185868
nov 405,56 1,188887 nov 695,49 2,038305 nov 743,99 2,180446
dez 440,53 1,291082 dez 744,11 2,180798 dez 805,07 2,359456
jan/95 420,34 1,231910 jan/98 700,70 2,053574 jan/01 738,50 2,164356
fev 435,78 1,277161 fev 696,29 2,040649 fev 742,25 2,175347
mar 450,71 1,320917 mar 685,00 2,007561 mar 740,08 2,168987
abr 467,60 1,370417 abr 679,52 1,991501 abr 746,12 2,186689
mai 487,02 1,427332 mai 675,01 1,978283 mai 740,40 2,169925
jun 499,44 1,463732 jun 682,89 2,001377 jun 750,80 2,200404
jul 509,48 1,493157 jul 678,72 1,989156 jul 758,05 2,221652
ago 521,96 1,529732 ago 685,74 2,009730 ago 749,53 2,196682
set 530,43 1,554556 set 685,86 2,010082 set 746,35 2,187363
out 537,86 1,576331 out 695,24 2,037572 out 752,82 2,206325
nov 561,62 1,645966 nov 715,28 2,096304 nov 750,92 2,200756
dez 600,62 1,760265 dez 758,10 2,221799 dez 803,45 2,354708
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 41
Tabela 4
Rendimento Médio Real - Índice jul-94=1
Mês Salário Real Mês Salário Real Mês Salário Real Mês Salário Real
jul-94=1 jul-94=1 jul-94=1 jul-94=1
jan/93 0,850577 abr/95 1,154921 jul/97 1,295410 out/99 1,195460
fev 0,817575 mai 1,178146 ago 1,312955 nov 1,216655
mar 0,824758 jun 1,182414 set 1,305911 dez 1,294017
abr 0,871741 jul 1,177224 out 1,318287 jan/00 1,201261
mai 0,871928 ago 1,193883 nov 1,327498 fev 1,191058
jun 0,844998 set 1,199225 dez 1,412250 mar 1,183310
jul 0,838680 out 1,199234 jan/98 1,318654 abr 1,184328
ago 0,890108 nov 1,233584 fev 1,303317 mai 1,205365
set 0,908971 dez 1,297832 mar 1,275932 jun 1,228677
out 0,885080 jan/96 1,227532 abr 1,260054 jul 1,205720
nov 0,923958 fev 1,243260 mai 1,242743 ago 1,203796
dez 0,952954 mar 1,238526 jun 1,255368 set 1,202722
jan/94 0,910657 abr 1,242449 jul 1,251206 out 1,220187
fev 0,930166 mai 1,257523 ago 1,270372 nov 1,213641
mar 1,002215 jun 1,260825 set 1,274545 dez 1,306095
abr 0,974796 jul 1,286648 out 1,290557 jan/01 1,188941
mai 0,950742 ago 1,289354 nov 1,330151 fev 1,189151
jun 0,833944 set 1,273587 dez 1,403883 mar 1,180011
jul 1,000000 out 1,269803 jan/99 1,264277 abr 1,179732
ago 1,047069 nov 1,274421 fev 1,232972 mai 1,164052
set 1,061586 dez 1,359777 mar 1,215811 jun 1,173363
out 1,023998 jan/97 1,260632 abr 1,208374 jul 1,171688
nov 1,087415 fev 1,256901 mai 1,207520 ago 1,149438
dez 1,161148 mar 1,231668 jun 1,218390 set 1,139547
jan/95 1,092204 abr 1,254887 jul 1,194237 out 1,138722
fev 1,121001 mai 1,285832 ago 1,189975 nov 1,121382
mar 1,140924 jun 1,277119 set 1,191436 dez 1,191014
A partir dos dados do salário real da Tabela 4 podemos obter os vários resultados citados nos
artigos. Vamos analisar inicialmente o artigo do economista Lauro Ramos. A questão levantada por
ele tem a ver com as possibilidades de se trabalhar com a taxa média ou com a taxa ponta a ponta.
Trabalhar com a taxa anual média significa considerar a taxa de variação dos salários médios de
dois anos consecutivos, isto é, para cada ano calcula-se a média dos índices do salário real e depois
calcula-se a taxa de variação anual. Na tabela 5 temos esses resultados.
CAPÍTULO 1. NÚMEROS ÍNDICES 42
Tabela 5
Ano Média anual Variação anual %
1993 0,873444
1994 0,998645 14,3
1995 1,180883 18,3
1996 1,268642 7,4
1997 1,294946 2,07
1998 1,289732 -0,4
1999 1,219094 -5,5
2000 1,212180 -0,6
2001 1,165587 -3,8
Por exemplo, o valor 0,873444 foi obtido como
0, 873444 =
0, 850577 + 0, 817575 + · · ·+ 0, 952954
12
e a taxa de variação para 1994 é
14, 3 = 100×
µ
0, 998645
0, 873444
− 1
¶
Estas são as taxas que aparecem no gráfico superior. Há diferenças para os anos de 1994 e 1995
em função de inconsistências nos dados, provavelmente por causa da mudança de moeda.
No segundo gráfico temos as taxas ponta a ponta, que se referem a variações de cada mês com
relação ao mesmo mês do ano anterior. Para os meses de dezembro, que aparecem no gráfico, estes
valores são obtidos dividindo-se os índices do salário real de dezembro de um ano pelo de dezembro
do ano anterior, conforme ilustrado na tabela 6.
Tabela 6
Mês Taxa ponta a ponta
dez-95
µ
1, 29783176
1, 16114823
− 1
¶
× 100 = 11, 8
dez-96
µ
1, 35977715
1, 29783176
− 1
¶
× 100 = 4, 8
dez-97
µ
1, 41225043
1, 35977715
− 1
¶
× 100 = 3, 8
dez-98
µ
1, 40388326
1, 41225043
− 1
¶
× 100 = −0, 6
dez-99
µ
1, 29401651
1, 40388326
− 1
¶
× 100 = −7, 8
dez-00
µ
1, 30609488
1, 29401651
− 1
¶
× 100 = 0, 9
dez-01
µ