Capitulo_15

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OSCILAÇÕES
CAPÍTULO 15 
Halliday, Resnick, Walker; 
Fundamentos de Física, 8a. edição; 
volume 2, LTC editora, 2008.
• OSCILAÇÕES.
• MOVIMENTO DE UMA PARTÍCULA LIGADA A UMA 
MOLA – MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES.
• REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DO MHS.• REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DO MHS.
• CONSIDERAÇÕES SOBRE ENERGIA NO MHS 
• O PÊNDULO SIMPLES.
É um movimento periódico linear em torno de 
uma posição de equilíbrio.
MOVIMENTO HARMÔNICO 
SIMPLES (MHS)
A0-A
A ( xm) ou -A (- xm) : Amplitude do MHS.
0 é a posição de equilíbrio.
Enquanto uma partícula descreve um 
Movimento Circular Uniforme , sua projeção 
descreve um Movimento Harmônico Simples.
y
A
A
x
=θcos
EQUAÇÃO HORÁRIA DA POSIÇÃO NO MHS:
xx
θ θcos.Ax =
ω = velocidade angular 
t.ωθ =
).cos(. φω += tAx
ω
EQUAÇÃO HORÁRIA DA POSIÇÃO NO MHS:
velocidade angular
φ
ω
fase inicial
).(.. φωω +−= tsenAv
EQUAÇÃO HORÁRIA DA VELOCIDADE NO MHS:
EQUAÇÃO HORÁRIA DA ACELERAÇÃO NO MHS:
).cos(..2 φωω +−= tAa
EQUAÇÃO HORÁRIA DA ACELERAÇÃO NO MHS:
MOVIMENTO HARMÔNICO 
SIMPLES - MHS
MHS: Movimento Periódico – repete-se no tempo, forma senoidal.
Período: tempo necessário para completar 
uma repetição ou um ciclo (símbolo: T, unidade: s).
Frequência: número de repetições por unidade de tempo –
ciclos por segundo - (simbolo: f, unidade: Hertz).
( ) ( ) cosmx t x tω φ= +O deslocamento de uma partícula no MHS é dado pela equação:
x : amplitude do movimento (máximo deslocamento 
22 f
T
pi
ω pi= =
xm: amplitude do movimento (máximo deslocamento 
possível do oscilador)
ω: frequência angular do oscilador 
(em radianos por segundo – rad/s)
)( φω +tfase do movimento (em radianos):
:φ constante de fase ou ângulo de fase (em radianos)
)cos()( φω += txtx m curva em azul, para )0( =φ
curva em vermelho, para a 
amplitude x’m > xm
curva em vermelho, para curva em vermelho, para 
período T’ < T (T’ = T/2)
curva em vermelho, para a 
constante de fase )
4
( piφ −=
( )( ) cosmx t x tω φ= +
Deslocamento no MHS:
Velocidade no MHS:
Aceleração no MHS:
No MHS, a aceleração é proporcional
ao negativo do deslocamento, e as
duas grandezas estão relacionadas
pelo quadrado da frequência angular.
Assim, quando o deslocamento está
passando pelo maior valor positivo
a aceleração possui o maior valor
negativo e vice-versa. Quando o
deslocamento é nulo, a aceleração
também é nula.










+−=
+−=
+=
).cos(..
).(..
).cos(.
2 φωω
φωω
φω
tAa
tsenAv
tAx
VALORES MÁXIMOS DE x, v e a:












−=−=
=
==
m
m
xAa
v
xAx
..
0
22 ωω











==
=
−=−=
m
m
xAa
v
xAx
22
.
0
ωω
A0-A










=
==
=
0
..
0
a
xAv
x
mωω mm
Descrição matemática (Lei) do MHS:
aceleração no MHS:
aplicando-se a 2a. 
Lei de Newton:
Força restauradora 
proporcional ao 
Compare com a Lei 
de Hooke: F = - kx
2ωmk = proporcional ao 
deslocamento
O sistema bloco-mola constitui um
oscilador harmônico simples linear.
ωmk =
Lembrando que:
f
T
pi
pi
ω 22 ==
Frequência angular do MHS:
m
k
=ω
Tem-se:
k
mT pi2=
Exercício 1 (exemplo 15-1, pág. 91, Halliday, volume 2, 8a. Edição):
Um bloco cuja massa m é 680 g está preso a uma mola cuja constante
elástica k é 65 N/m. O bloco é puxado sobre uma superfície sem atrito por
uma distância x = 11 cm a partir da posição de equilíbrio em x = 0 e liberado
a partir do repouso no instante t = 0.
a) Quais são a frequência angular, a frequência e o período do movimento
resultante?
b) Qual é a amplitude das oscilações?
c) Qual é a velocidade máxima vm do bloco e onde se encontra o bloco
quando tem essa velocidade?quando tem essa velocidade?
d) Qual é o módulo am da aceleração máxima do bloco?
e) Qual é a constante de fase do movimento?
f) Qual é a função deslocamento x(t) do sistema bloco-mola?
φ
Respostas: 
a) 9,8 rad/s; 1,56 Hz; 0,64 s.
b) 0,11 m.
c) 1,078 m/s, na origem (x = 0).
d) 10,56 m/s2 .
e) 0 rad. 
f) )8,9cos(11,0)( ttx ⋅⋅=
ENERGIA NO MHS:
Considere um sistema massa-mola, de constante elástica k.
-A 0 +A
Energia no MHS: a energia mecânica total E de um MHS é a 
soma de sua energia potencial U e de sua energia cinética K.
Energia Potencial:
Energia Cinética:
Energia Mecânica Total:














=
=
=
.
2
.
0
2
2
Ak
AkE
E
P
c














=
=
=
.
2
.
0
2
2
Ak
AkE
E
P
c
















=
=
=
2
.
0
2
.
2
2
AkE
E
vmE
M
P
c
Lembrar que A = amplitude = xm (valor máximo do deslocamento x).
A0-A






=
2
.AkEM 





=
2
.
2AkEM
 2
Exercício 2 (exemplo 15-2, pág. 93, Halliday, volume 2, 8a. edição):
Alguns edifícios muito altos utilizam dispositivos para combater
oscilações chamados “amortecedores de massa”. O edifício John
Hancock, em Boston, possui um grande bloco que oscila na
extremidade de uma mola, movendo-se em um trilho lubrificado. O
princípio é o mesmo do pêndulo: o movimento do bloco está sempre
defasado em relação ao movimento do edifício e tende a compensá-lo.
Suponha que o bloco possui uma massa m = 2,72 x 105 kg e foi
projetado para oscilar em uma frequência f = 10,0 Hz e com uma
amplitude x = 20,0 cm.amplitude xm = 20,0 cm.
a) Qual é a energia mecânica total E do sistema bloco-mola?
b) Qual é a velocidade do bloco ao passar pelo ponto de equilíbrio?
Resp.:
a) 2,14 x 107 J.
b) 12,54 m/s.
Taipei Building (Taiwan) – o oscilador tem massa de 660 toneladas.
http://fr.academic.ru/dic.nsf/frwiki/1667413
http://www.youtube.com/watch?v=NYSgd1XSZXc&feature=related
Pêndulo Simples: é definido com sendo composto
por uma partícula de massa m suspensa por uma
das extremidades de um fio inextensível, de
massa desprezível, e comprimento L, cuja outra
extremidade está fixa, como na figura (a) ao lado.
Há duas forças atuando: a força gravitacional e a
tensão no fio. A massa está livre para oscilar no
plano xy, e, quando retirada de sua posição de
equilíbrio, executa um MHS.
No pêndulo simples a força restauradora está associada à
gravitação, e não às propriedades elásticas de uma mola.
Se o ângulo θ (amplitude do pêndulo) for 
pequeno (menos de 10o), o período T de 
oscilação do pêndulo é:
g
LT pi2=
Leis do pêndulo simples:
1. O período de oscilação não depende da amplitude θ (para
pequenas amplitudes).
2. O período de oscilação não depende da massa do pêndulo.
3. O período de oscilação é diretamente proporcional à raiz
quadrada do comprimento.
4. O período de oscilação é inversamente proporcional a raiz
quadrada da aceleração da gravidade.
5. O plano de oscilação de um pêndulo simples permanece
constante, mesmo que o suporte sofra rotação.
g
LT pi2=
Principais aplicações do pêndulo simples:
1. Comprovação do movimento de rotação da Terra:
Pêndulo de Foucault 
(1851)– fio de 67 metros 
e massa de 28 kg.
2. Determinação da aceleração da gravidade:
g
LT pi2= 2
24
T
Lg pi=
Exercício 3:
Considere dois osciladores, um pêndulo simples e um sistema
massa-mola, que na superfície da Terra têm períodos iguais.
Se levados para um planeta onde a gravidade na superfície é
1/4 da gravidade da superfície da Terra, qual é a razão entre o
período do pêndulo e o período do sistemamassa-mola,
medidos na superfície do tal planeta? (Resp.: 2)
Exercício 4: (prob. 1 – cap. 15 – vol. 2 – Halliday, 8a. ed.)
Qual é a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com
uma amplitude de 2,20 cm e uma frequência de 6,60 Hz?
Resp.: 37,83 m/s2
Exercício 5: (prob. 2 – cap. 15 – vol. 2 – Halliday, 8a. ed.)
Uma partícula com uma massa de 1,00x10-20 kg descreve um
movimento harmônico simples com um período de 1,00x10-5 s e
uma velocidade máxima de 1,00x103m/s. Calcule:
a) a frequência angular,
b) o deslocamento máximo da partícula.
Resp.:
a) 6,28x105 rad/sa) 6,28x105 rad/s
b) 1,59x10-3m
Exercício 6: (prob. 3 – cap. 15 – vol. 2 – Halliday, 8a. ed.)
Em um barbeador elétrico a lâmina se move para a frente e para
trás, ao longo de uma distância de 2,0 mm, em um movimento
harmônica simples com uma frequência de 120 Hz. Determine:
a) a amplitude,
b) a velocidade máxima da lâmina,
c) o módulo da aceleração máxima da lâmina.
Resp.: Resp.: 
a) 1 mm.
b) 0,75 m/s.
c) 5,7x102m/s2.
Exercício 7: (prob. 4 – cap. 15 – vol. 2 – Halliday, 8a. ed.)
Um corpo de 0,12 kg executa um MHS de amplitude 8,5 cm e
período 0,20 s.
a) Qual é o módulo da força máxima que age sobre o corpo?
b) Se as oscilações são produzidas por uma mola, qual é a
constante elástica da mola?
Resp.: 
a) 10 N.
b) 118 N/m.
Exercício 8: (prob. 6 – cap. 15 – vol. 2 – Halliday, 8a. ed.)
Do ponto de vista das oscilações verticais, um automóvel pode ser
considerado como estando apoiado em quatro molas iguais. As
molas de um certo carro são ajustadas de tal forma que as
oscilações têm uma frequência de 3,00 Hz.
a) Qual é a constante elástica de cada mola se a massa do carro é
1450 kg e está igualmente distribuida pelas molas?
b) Qual é a frequência de oscilação se cinco passageiros
pesando, em média, 73,0 kg entrarem no carro e a distribuição depesando, em média, 73,0 kg entrarem no carro e a distribuição de
massa continuar uniforme?
Resp.: 
a) 1,28x105 N/m.
b) 2,67 Hz.
Exercício 9: (prob. 10 – cap. 15 – vol. 2 – Halliday, 8a. ed.)
Qual é a constante de fase do oscilador harmônico cuja função
posição x(t) aparece na figura abaixo se a função posição é da
forma : ?)cos( φω += txx m Resp.: 1,9 rad
Exercício 10: (prob. 27 – cap. 15 – vol. 2 – Halliday, 8a. ed.)
Determine a energia mecânica de um sistema bloco-mola
com uma constante elástica de 1,3 N/cm e uma amplitude
de oscilação de 2,4 cm.
Resp.: 3,7x10-2 J.
Exercício 11: (prob. 28 – cap. 15 – vol. 2 – Halliday, 8a. ed.)
Um sistema oscilatório bloco-mola possui uma energia mecânica
de 1,00 J, uma amplitude de 10,0 cm e uma velocidade máxima de
1,20 m/s. Determine:
a) a constante elástica,
b) a massa do bloco,
c) a frequência de oscilação.
a) 200 N/m.a) 200 N/m.
b) 1,39 kg.
c) 1,91 Hz.
Exercício 12: (prob. 31 – cap. 15 – vol. 2 – Halliday, 8a. ed.)
Um objeto de 5,00 kg que repousa em uma superfície horizontal
sem atrito está preso a uma mola com k = 1000 N/m. O objeto é
deslocado horizontalmente 50,0 cm a partir da posição de
equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de 10,0 m/s na direção
da posição de equilíbrio. Quais são:
a) a frequência do movimento,
b) a energia potencial inicial do sistema bloco-mola,
c) a energia cinética inicial
d) a amplitude do movimento.
Resp.:
a) 2,25 Hz.
b) 125 J.
c) 250 J.
d) 0,866 m.