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CAPÍTULO 16 ONDAS MECÂNICAS - I (2a. Parte) • VELOCIDADE DA ONDA EM UMA CORDA ESTICADA. • PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO PARA ONDAS. • INTERFERÊNCIA DE ONDAS. • ONDAS ESTACIONÁRIAS EM UMA CORDA. • RESSONÂNCIA. • FREQUÊNCIA DO SOM PRODUZIDO POR UMA CORDA ESTICADA. (Halliday, Resnick, Walker; Fundamentos de Física, 8ª. Edição; volume 2, LTC Editora, 2008) VELOCIDADE DA ONDA EM UMA CORDA ESTICADA: Quando ondas se propagam em uma corda ideal esticada, sua velocidade v depende de dois fatores: da tensão, T, na corda e de sua massa por unidade de comprimento, µ. Se m é a massa total da corda e L é o seu comprimento, tem-se que: T µ T v = A velocidade de uma onda em uma corda ideal esticada depende apenas da tensão T e da massa específica linear µ da corda, e não da frequência da onda. Exercício 1 (prob. 14 – cap. 16 – vol 2 – Halliday – 8a. Ed.): A tensão em um fio preso nas duas extremidades é duplicada sem que o comprimento do fio se modifique. Qual é a razão entre a nova e a antiga velocidade das ondas transversais que se propagam no fio? Resp.: 2 Exercício 2 (prob. 15 – cap. 16 – vol 2 – Halliday – 8a. Ed.): Qual é a velocidade de uma onda transversal em uma corda de 2,00 m de comprimento e 60,0 g de massa sujeita a uma tensão de 500 N? Resp.: 129 m/s Exercício 3 (prob. 16 – cap. 16 – vol 2 – Halliday – 8a. Ed.): A corda mais pesada e a corda mais leve de um certo violino têm uma massa específica linear de 3,0 e 0,29 g/m, respectivamente. Qual é a razão entre o diâmetro da corda mais leve e o da corda mais pesada, supondo que as cordas são feitas do mesmo material? Resp.: 3,2. Exercício 4 (prob. 17 – cap. 16 – vol 2 – Halliday – 8a. Ed.): Uma corda esticada tem uma massa específica linear de 5,00 g/cm e está sujeita a uma tensão de 10,0 N. Uma onda senoidal na corda tem uma amplitude de 0,12 mm, uma frequência de 100 Hz, e está se propagando no sentido negativo do eixo x. Se a equação da onda é da forma: , determine:)(),( tkxsenytxy m ω±⋅= a) ym; b) k; c) ω; d) o sinal que d) o sinal que precede ω e a equação de onda. Resp.: a) 0,12 mm. b) 141 rad/m. c) 628 rad/s. d) ])/628()/141[()12,0( tsradxmradsenmmy +⋅= Exercício 5 (prob. 18 – cap. 16 – vol 2 – Halliday – 8a. Ed.): A velocidade de uma onda transversal em uma corda é 170 m/s quando a tensão na corda é de 120 N. Qual deve ser o valor da tensão para que a velocidade da onda aumente para 180 m/s? Resp.: 135 N. Exercício 6 (prob. 19 – cap. 16 – vol 2 – Halliday – 8a. Ed.): A massa específica linear de uma corda é 1,6x10-4 kg/m. Uma onda transversal na corda é descrita pela equação: ])/30()/0,2[()021,0( tsradxmradsenmy +⋅= Quais são (a) a velocidade da onda e (b) a tensão na corda? Resp.: a) 15 m/s. b) 0,036 N. Exercício 7 (prob. 20 – cap. 16 – vol 2 – Halliday – 8a. Ed.): A equação de uma onda transversal em uma corda é: ])/600()/20[()0,2( tsradxmradsenmmy −⋅= A tensão na corda é 15 N. (a) Qual é a velocidade da onda? (b) Determine a massa específica linear da corda em gramas por metro. Resp.: a) 30 m/s. b) 17 g/m. Exercício 8 (prob. 21 – cap. 16 – vol 2 – Halliday – 8a. Ed.): Uma onda transversal senoidal se propaga em uma corda no sentido negativo do eixo x. A figura abaixo mostra um gráfico do deslocamento y em função da posição x no instante t = 0. A tensão na corda é 3,6 N e a massa específica linear é 25 g/m. Determine: (a) a amplitude, (b) o comprimento de onda, (c) a velocidade da onda, (d) o período da onda. (e) Determine a velocidade transversal máxima de uma partícula da corda. Se a onda é da forma: )(),( φω +±⋅= tkxsenytxy m determine: (f) k, (g) ω, (h) , (i) o sinal de ω e a equação da onda.φ Respostas do exercício 8: a) 5,0 cm. b) 0,40 m. c) 12 m/s. d) 0,033 s. e) 9,4 m/s. f) 16 rad/m. g) 1,9x102 rad/s. h) 0,93 rad. i) ]93,0)/190()/16[()100,5(),( 2 ++⋅= − tsradxmradsenmxtxy O Princípio da Superposição para ondas: Considere que duas ondas se propagam simultaneamente na mesma corda esticada, em direções opostas. Sejam as funções y1(x,t) e y2(x,t) que representam os deslocamentos que a corda sofreria se cada onda se propagasse sozinha. O deslocamento da corda quando as ondas se propagam no mesmo tempo é a soma algébrica: 1 2( , ) ( , ) ( , ) y x t y x t y x t′ = + Ondas superpostas se somam algebricamente para produzir uma ONDA RESULTANTE ou ONDA TOTAL. Ondas superpostas não se afetam mutuamente. Cada pulso passa pelo outro como se ele não existisse. Interferência de ondas: Se duas ondas senoidais de mesma amplitude e comprimento de onda se propagam no mesmo sentido em uma corda, elas interferem para produzir uma onda resultante senoidal que se propaga nesse sentido. Interferência construtiva: Quando a amplitude da onda resultante é duas vezes a amplitude das ondas individuais, as ondas estão em fase e a interferência é totalmente construtiva. Interferência destrutiva: Quando as ondas individuais estão totalmente defasadas, a amplitude da onda resultante é nula. Nesse caso a interferência é totalmente destrutiva. Interferência intermediária: Quando a diferença de fase é um valor intermediário entre 0 rad e π rad então a onda resultante tem amplitude intermediária entre nula e máxima. No caso da figura acima, a diferença de fase é de 2π/3 rad. Ondas estacionárias: Se duas ondas senoidais de mesma amplitude e mesmo comprimento de onda se propagam em sentidos OPOSTOS em uma corda, a interferência mútua produz uma ONDA ESTACIONÁRIA. ( ) [ ], 2 sin cosmy x t y kx tω′ = No caso de uma corda com as extremidades fixas, a onda estacionária é dada por: Ondas propagam-se e, se há vinculo imposto na sua parte inicial e terminal, teremos a reflexão da onda inicial. A soma destas duas oscilações resulta uma onda estacionária. Onda Progressiva nesta Direção.� onda estacionária���� Onda Progressiva nesta Direção. onda estacionária���� O seu comportamento também exibe uma freqüência Fundamental e os respectivos harmônicos: λλ Parâmetros de uma onda estacionária: Não há vibração nos nós. (amplitude = zero) A amplitude é máxima nos antinós. λ (comprimento de onda) é o dobro da distância entre dois nós (antinós) sucessivos. Se uma extremidade é fixa, deve ser a posição de um nó. Isso limita as frequências possíveis para as ondas estacionárias em uma certa corda. RESSONÂNCIA: Quando uma corda vibra como na figura acima, ela está oscilando com a menor frequência entre os modos possíveis deoscilando com a menor frequência entre os modos possíveis de vibração. Esta é a frequência fundamental ou 1o. harmônico. Sendo λ1 o comprimento de onda correspondente a este modo de vibração, tem-se: L21 =λL= 2 1λ 11 λ⋅= fv L vf 21 = µ T v =mas: então: µ T L f 2 1 1 = µλλ Tnv nfn 22 =⋅= Frequências de ressonância: n = 1, 2, 3 ... Picture of Standing Wave Modos de vibração das cordas: Nome: Estrutura: 1o. Harmônico: Fundamental 1 Antinó 2 Nós 2o. Harmônico 2 Antinós 3 Nós L = ½λ1 f1 = v/2L L = λ2 f = v/L Harmônico 3 Nós 3o. Harmônico 3 Antinós 4 Nós 4o. Harmônico 4 Antinós 5 Nós 5o. Harmônico 5 Antinós 6 Nós f2 = v/L L = 1½λ3 f3 = 3v/2L L = 2λ4 f4 = 2v/L L = 2½λ5 f5 = 5v/2L • A frequência de vibração depende: – da massa específica linear da corda, – da tensão na corda, – do comprimento da corda. Tf 1= frequência fundamental µ T L f 2 1 1 = T = tensão. µ = massa por unidade de comprimento. L = comprimento da corda. frequência fundamental First Harmonic Fundamental Second Harmonic First Overtone Third Harmonic Second Overtone Ondas estacionárias numa corda. Meia onda. Ondas estacionáriasnuma corda. Onda inteira. Ondas estacionárias numa corda. 1½ de onda. Exercício 9 (prob. 40 – cap. 16 – vol 2 – Halliday – 8a. Ed.): Uma corda com 125 cm de comprimento tem uma massa de 2,00 g e uma tensão de 7,00 N. a) Qual é a velocidade de uma onda nessa corda? b) Qual é a frequência de ressonância mais baixa dessa corda? Resp.: a) 66,1 m/s. b) 26,4 Hz. Exercício 10 (prob. 41 – cap. 16 – vol 2 – Halliday – 8a. Ed.): Quais são: a) a menor frequência, b) a segunda menor frequência, c) a terceira menor frequência das ondas estacionárias em um fio com 10,0 m de comprimento, 100 g de massa e uma tensão de 250 N? Resp.: a) 7,91 Hz. b) 15,8 Hz. c) 23,7 Hz. Exercício 11 (prob. 43 – cap. 16 – vol 2 – Halliday – 8a. Ed.): Uma corda fixa nas duas extremidades tem 8,40 m de comprimento, massa de 0,120 kg, e tensão de 96,0 N. a) Qual é a velocidade das ondas na corda? b) Qual é o maior comprimento de onda possível para uma onda estacionária na corda? c) Determine a frequência dessa onda. Resp.: a) 82,0 m/s. b) 16,8 m. c) 4,88 Hz. Exercício 12 (prob. 45 – cap. 16 – vol 2 – Halliday – 8a. Ed.): Uma corda de violão de náilon tem uma massa específica linear de 7,20 g/m e está sujeita a uma tensão de 150 N. Os suportes fixos estão separados por uma distância D = 90,0 cm. A corda está oscilando da forma mostrada na figura abaixo. Calcule: a) a velocidade da onda, b) o comprimento de onda, c) a frequência das ondas progressivas cuja superposição produz a onda estacionária.a onda estacionária. Resp.: a) 1,44 x 102 m/s. b) 60,0 cm. c) 241 Hz.
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