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Capitulo_16_segunda_parte

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CAPÍTULO 16
ONDAS MECÂNICAS - I
(2a. Parte)
• VELOCIDADE DA ONDA EM UMA CORDA ESTICADA.
• PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO PARA ONDAS.
• INTERFERÊNCIA DE ONDAS.
• ONDAS ESTACIONÁRIAS EM UMA CORDA.
• RESSONÂNCIA.
• FREQUÊNCIA DO SOM PRODUZIDO POR UMA CORDA ESTICADA.
(Halliday, Resnick, Walker; Fundamentos de Física, 8ª. Edição; volume 2, LTC Editora, 2008)
VELOCIDADE DA ONDA EM UMA CORDA ESTICADA:
Quando ondas se propagam em uma corda ideal esticada, sua
velocidade v depende de dois fatores: da tensão, T, na corda e de
sua massa por unidade de comprimento, µ. Se m é a massa total da
corda e L é o seu comprimento, tem-se que:
T
µ
T
v =
A velocidade de uma onda em uma corda ideal esticada depende
apenas da tensão T e da massa específica linear µ da corda, e
não da frequência da onda.
Exercício 1 (prob. 14 – cap. 16 – vol 2 – Halliday – 8a. Ed.):
A tensão em um fio preso nas duas extremidades é duplicada
sem que o comprimento do fio se modifique. Qual é a razão
entre a nova e a antiga velocidade das ondas transversais que
se propagam no fio?
Resp.: 2
Exercício 2 (prob. 15 – cap. 16 – vol 2 – Halliday – 8a. Ed.):
Qual é a velocidade de uma onda transversal em uma corda de
2,00 m de comprimento e 60,0 g de massa sujeita a uma tensão
de 500 N?
Resp.: 129 m/s
Exercício 3 (prob. 16 – cap. 16 – vol 2 – Halliday – 8a. Ed.):
A corda mais pesada e a corda mais leve de um certo violino têm
uma massa específica linear de 3,0 e 0,29 g/m, respectivamente.
Qual é a razão entre o diâmetro da corda mais leve e o da corda mais
pesada, supondo que as cordas são feitas do mesmo material?
Resp.: 3,2.
Exercício 4 (prob. 17 – cap. 16 – vol 2 – Halliday – 8a. Ed.):
Uma corda esticada tem uma massa específica linear de 5,00 g/cm
e está sujeita a uma tensão de 10,0 N. Uma onda senoidal na corda
tem uma amplitude de 0,12 mm, uma frequência de 100 Hz, e está
se propagando no sentido negativo do eixo x. Se a equação da
onda é da forma: , determine:)(),( tkxsenytxy m ω±⋅=
a) ym;
b) k;
c) ω;
d) o sinal que d) o sinal que 
precede ω e a 
equação de onda.
Resp.:
a) 0,12 mm.
b) 141 rad/m.
c) 628 rad/s.
d) ])/628()/141[()12,0( tsradxmradsenmmy +⋅=
Exercício 5 (prob. 18 – cap. 16 – vol 2 – Halliday – 8a. Ed.):
A velocidade de uma onda transversal em uma corda é 170 m/s
quando a tensão na corda é de 120 N. Qual deve ser o valor da tensão
para que a velocidade da onda aumente para 180 m/s?
Resp.: 135 N.
Exercício 6 (prob. 19 – cap. 16 – vol 2 – Halliday – 8a. Ed.):
A massa específica linear de uma corda é 1,6x10-4 kg/m. Uma onda
transversal na corda é descrita pela equação:
])/30()/0,2[()021,0( tsradxmradsenmy +⋅=
Quais são (a) a velocidade da onda e (b) a tensão na corda?
Resp.:
a) 15 m/s.
b) 0,036 N.
Exercício 7 (prob. 20 – cap. 16 – vol 2 – Halliday – 8a. Ed.):
A equação de uma onda transversal em uma corda é:
])/600()/20[()0,2( tsradxmradsenmmy −⋅=
A tensão na corda é 15 N. 
(a) Qual é a velocidade da onda? 
(b) Determine a massa específica linear da corda em gramas por metro.
Resp.:
a) 30 m/s.
b) 17 g/m.
Exercício 8 (prob. 21 – cap. 16 – vol 2 – Halliday – 8a. Ed.):
Uma onda transversal senoidal se propaga em uma corda no sentido
negativo do eixo x. A figura abaixo mostra um gráfico do
deslocamento y em função da posição x no instante t = 0. A tensão na
corda é 3,6 N e a massa específica linear é 25 g/m. Determine: (a) a
amplitude, (b) o comprimento de onda, (c) a velocidade da onda, (d) o
período da onda. (e) Determine a velocidade transversal máxima de
uma partícula da corda. Se a onda é da forma: )(),( φω +±⋅= tkxsenytxy m
determine: (f) k, (g) ω, (h) , (i) o sinal de ω e a equação da onda.φ
Respostas do exercício 8:
a) 5,0 cm.
b) 0,40 m.
c) 12 m/s.
d) 0,033 s.
e) 9,4 m/s.
f) 16 rad/m.
g) 1,9x102 rad/s.
h) 0,93 rad.
i) ]93,0)/190()/16[()100,5(),( 2 ++⋅= − tsradxmradsenmxtxy
O Princípio da Superposição para ondas:
Considere que duas ondas se propagam
simultaneamente na mesma corda esticada, em
direções opostas. Sejam as funções y1(x,t) e
y2(x,t) que representam os deslocamentos que a
corda sofreria se cada onda se propagasse
sozinha. O deslocamento da corda quando as
ondas se propagam no mesmo tempo é a soma
algébrica:
1 2( , ) ( , ) ( , ) y x t y x t y x t′ = +
Ondas superpostas se somam algebricamente para produzir
uma ONDA RESULTANTE ou ONDA TOTAL.
Ondas superpostas não se afetam mutuamente. 
Cada pulso passa pelo outro como se ele não existisse.
Interferência de ondas:
Se duas ondas senoidais de
mesma amplitude e comprimento
de onda se propagam no mesmo
sentido em uma corda, elas
interferem para produzir uma
onda resultante senoidal que se
propaga nesse sentido.
Interferência construtiva:
Quando a amplitude da onda resultante é duas vezes a
amplitude das ondas individuais, as ondas estão em fase e a
interferência é totalmente construtiva.
Interferência destrutiva:
Quando as ondas individuais estão totalmente defasadas,
a amplitude da onda resultante é nula. Nesse caso a
interferência é totalmente destrutiva.
Interferência intermediária:
Quando a diferença de fase é um valor intermediário entre 0 rad e 
π rad então a onda resultante tem amplitude intermediária entre 
nula e máxima. No caso da figura acima, a diferença de fase é de 
2π/3 rad.
Ondas estacionárias:
Se duas ondas senoidais de mesma amplitude e mesmo
comprimento de onda se propagam em sentidos OPOSTOS em uma
corda, a interferência mútua produz uma ONDA ESTACIONÁRIA.
( ) [ ], 2 sin cosmy x t y kx tω′ =
No caso de uma corda com as extremidades fixas, a onda 
estacionária é dada por:
Ondas propagam-se e, se há vinculo imposto na sua parte inicial
e terminal, teremos a reflexão da onda inicial. A soma destas duas
oscilações resulta uma onda estacionária.
Onda Progressiva
nesta Direção.�
onda estacionária����
Onda Progressiva
 nesta Direção.
onda estacionária����
O seu comportamento também exibe uma freqüência 
Fundamental e os respectivos harmônicos:
λλ
Parâmetros de uma onda estacionária:
Não há vibração nos nós. (amplitude = zero)
A amplitude é máxima nos antinós.
λ (comprimento de onda) é o dobro da distância 
entre dois nós (antinós) sucessivos.
Se uma extremidade é fixa, deve ser a posição de um nó. Isso
limita as frequências possíveis para as ondas estacionárias em
uma certa corda.
RESSONÂNCIA:
Quando uma corda vibra como na figura acima, ela está
oscilando com a menor frequência entre os modos possíveis deoscilando com a menor frequência entre os modos possíveis de
vibração. Esta é a frequência fundamental ou 1o. harmônico.
Sendo λ1 o comprimento de onda correspondente a este modo
de vibração, tem-se:
L21 =λL=
2
1λ 11 λ⋅= fv L
vf
21
=
µ
T
v =mas: então: µ
T
L
f
2
1
1 =
µλλ
Tnv
nfn 22 =⋅=
Frequências de ressonância:
n = 1, 2, 3 ...
Picture of Standing Wave 
Modos de vibração das cordas:
Nome: Estrutura:
1o. 
Harmônico:
Fundamental
1 Antinó
2 Nós
2o. 
Harmônico
2 Antinós
3 Nós
L = ½λ1
f1 = v/2L
L = λ2
f = v/L Harmônico 3 Nós
3o. 
Harmônico
3 Antinós
4 Nós 
4o. 
Harmônico
4 Antinós
5 Nós 
5o. 
Harmônico
5 Antinós
6 Nós 
f2 = v/L
L = 1½λ3
f3 = 3v/2L
L = 2λ4
f4 = 2v/L
L = 2½λ5
f5 = 5v/2L
• A frequência de vibração depende:
– da massa específica linear da corda, 
– da tensão na corda, 
– do comprimento da corda.
Tf 1= frequência fundamental
µ
T
L
f
2
1
1 =
T = tensão.
µ = massa por unidade de comprimento.
L = comprimento da corda.
frequência fundamental
First Harmonic
Fundamental
Second Harmonic
First Overtone
Third Harmonic
Second Overtone
Ondas estacionárias numa corda.
Meia onda.
Ondas estacionáriasnuma corda.
Onda inteira.
Ondas estacionárias numa corda.
1½ de onda.
Exercício 9 (prob. 40 – cap. 16 – vol 2 – Halliday – 8a. Ed.):
Uma corda com 125 cm de comprimento tem uma massa de 2,00 g
e uma tensão de 7,00 N.
a) Qual é a velocidade de uma onda nessa corda?
b) Qual é a frequência de ressonância mais baixa dessa corda?
Resp.: 
a) 66,1 m/s.
b) 26,4 Hz.
Exercício 10 (prob. 41 – cap. 16 – vol 2 – Halliday – 8a. Ed.):
Quais são:
a) a menor frequência,
b) a segunda menor frequência,
c) a terceira menor frequência das ondas estacionárias em um fio com
10,0 m de comprimento, 100 g de massa e uma tensão de 250 N?
Resp.:
a) 7,91 Hz.
b) 15,8 Hz.
c) 23,7 Hz.
Exercício 11 (prob. 43 – cap. 16 – vol 2 – Halliday – 8a. Ed.):
Uma corda fixa nas duas extremidades tem 8,40 m de comprimento,
massa de 0,120 kg, e tensão de 96,0 N.
a) Qual é a velocidade das ondas na corda?
b) Qual é o maior comprimento de onda possível para uma onda
estacionária na corda?
c) Determine a frequência dessa onda.
Resp.:
a) 82,0 m/s.
b) 16,8 m.
c) 4,88 Hz.
Exercício 12 (prob. 45 – cap. 16 – vol 2 – Halliday – 8a. Ed.):
Uma corda de violão de náilon tem uma massa específica linear de
7,20 g/m e está sujeita a uma tensão de 150 N. Os suportes fixos
estão separados por uma distância D = 90,0 cm. A corda está
oscilando da forma mostrada na figura abaixo. Calcule:
a) a velocidade da onda,
b) o comprimento de onda,
c) a frequência das ondas progressivas cuja superposição produz
a onda estacionária.a onda estacionária.
Resp.:
a) 1,44 x 102 m/s.
b) 60,0 cm.
c) 241 Hz.

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