Lista1

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PONTIFI´CIA UNIVERSIDADE CATO´LICA
DO PARANA´
Ca´lculo II
Profa Karla Arsie
Lista I
1. Represente as curvas parame´tricas por meio de um gra´fico:
(a) x = a cos t, y = asent, 0 6 t 6 2pi
(b) x = t, y = |t|, t ∈ R
(c) x = t, y = 2t+ 1, t ∈ R
(d) x =
√
t, y = t, t ∈ R
(e) x = t, y = t2, t ∈ R
(f) x = 2t− 5, y = 4t− 7, t ∈ R
(g) x = t+ 1
t
, y = 1 − 1
t
, t > 0
2. Encontre uma equac¸a˜o para a reta tangente a` curva no ponto definido pelo valor dado t. Encontre tambe´m o
valor de d
2y
dx2
nesse ponto.
(a) x = 2 cos t, y = 2sent, t = pi4
(b) x = sen2pit, y = cos 2pit, t = − 16
(c) x = 2t2 + 3, y = t4, t = −1
(d) x = t, y =
√
t, t = 14
(e) x = 1
t+1 , y =
t
t−1 , t = 2
(f) x = t+ et, y = 1 − et, t = 0
3. Encontre os comprimentos das curvas:
(a) x = cos t, y = t+ sent, 0 6 t 6 pi
(b) x = t3, y = 3t
2
2 , 0 6 t 6
√
3
(c) x = (2t+3)
3/2
3 , y = t+ t
2/2, 0 6 t 6 3
(d) x = 8 cos t+ 8tsent, y = 8sent− 8t cos t, 0 6 t 6 pi2
4. Encontre a velocidade, o mo´dulo da velocidade e a acelerac¸a˜o da partı´cula cujo o movimento seja dado pelo
vetor posic¸a˜o r(t) no valor determinado de t.
(a) r(t) = (t+ 1, t2 − 1, 2t); t = 1
(b) r(t) = (1 + t, t
2√
2
, t
3
3 ); t = 1
(c) r(t) = (2 cos t, 3sent, 4t); t = pi2
(d) r(t) = (sec t, tan t, 43t); t =
pi
6
(e) r(t) = (e−t, 2 cos 3t, 2sen3t); t = 0
5. Determine e represente graficamente o domı´nio das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x,y) =
√
y− 2x2
(b) f(x,y) =
√
9 − y2 − x2
(c) f(x,y) = 4 − x2 − y2
(d) f(x,y) =
√
2x+ y− 1
(e) f(x,y) = x+4
x2−y
(f) f(x,y) =
√
y+ x+
√
3 − y
6. Determine algumas curvas de nı´vel e esboce o gra´fico de:
(a) f(x,y) = 1 − x2 − y2
(b) f(x,y) = x+ 3y
(c) f(x,y) = x2 + 9y2
(d) f(x,y) = 1 + x2 + y2
(e) f(x,y) =
√
x2 + y2
(f) f(x,y) = x, x > 0
(g) f(x,y) =
√
x2 + y2 + 4
2