2 - Introdução à Estatística

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Pontifícia Universidade Católica do Paraná 
Escola Politécnica 
Disciplina de Estatística 
Aula 2 - Introdução à probabilidade: regras em probabilidade. 
Rua Imaculada Conceição, 1155 Prado Velho CEP 80215 901 Curitiba Paraná Brasil 1 / 7 
Tel.: (41) 3271 1566 Fax.: 3271 1414 www.pucpr.br 
Técnicas de Contagem 
De acordo com o princípio fundamental da contagem, se um procedimento pode ser 
executado de m modos possíveis, e um segundo procedimento pode ser executado de n 
modos possíveis, então o número de modos pelos quais é possível executar os dois 
procedimentos é m.n. 
Exemplo: 
Seja um experimento que consiste em lançar um dado e, na sequência, uma 
moeda. 
 
Quantas placas com três letras seguidas de quatro algarismos podem ser 
confeccionadas, sabendo que nenhuma placa possui quatro algarismos iguais a zero? 
 
Fatorial 
Seja n um número inteiro positivo. O fatorial de n é dado por: 
n!= n(n −1)(n − 2)...1. 
Permutação 
A disposição dos elementos de um conjunto seguindo certa ordem é chamada 
permutação. O total de permutações que pode efetuar com n elementos é dado por 
Pn =n! 
Exemplo: 
Seja o conjunto X = {1,2,3}. As possíveis permutações com os três elementos são: 
 
Arranjo 
Sejam n elementos. Uma permutação de p, p ≤ n, destes elementos, de acordo com 
determinada ordem, é denominada arranjo. O número de arranjos de n elementos, tomados p a 
p, é dado por: 
)!(
!
A pn,
pn
n


 
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Exemplo: 
Sejam os algarismos 1 , 2 , ... , 8 , 9. Quantos números com três dígitos podem ser 
formados a partir dos algarismos dados? 
 
Combinação 
Sejam n elementos. Uma disposição de p, p ≤ n, destes elementos, sem levar em 
consideração a ordem, é denominada combinação. O número de combinações de n elementos, 
tomados p a p, é dado por: 
)!(!
!
C pn,
pnp
n
p
n








 
Exemplo: 
Quantas comissões de três pessoas podem-se formar com um grupo de nove 
pessoas? 
 
 
Num lote de 12 peças, 4 são defeituosa. Sendo duas peças retiradas 
aleatoriamente. Calcule 
(1) A probabilidade de ambas serem defeituosas. 
 
 
(2) A probabilidade de ambas não serem defeituosas. 
 
 
(3) A probabilidade de ao menos uma ser defeituosa. 
 
 
 
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Eventos Mutuamente Exclusivos 
 Sejam A e B eventos de um espaço amostral Ω. Diz-se que A e B são eventos 
mutuamente exclusivos se, e somente se, A e B são disjuntos. 
 Portanto: 
A∩B={} 
Exemplo: 
O espaço amostral associado ao lançamento de um dado é Ω = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}. Verifique 
se os eventos A = {número par} e B = {número ímpar} são mutuamente exclusivos. 
 
 
Sejam A e B dois eventos tais que P(A) = 0,4 e P(A U B) = 0,7. Seja P(B) = p. Para que 
valor de p, A e B serão mutuamente exclusivos? 
 
 
Axiomas 
A1: Para qualquer evento A de um espaço amostral Ω: 0≤P(A)≤1. 
A2: Probabilidade de certo é um, P(Ω) = 1. 
A3: Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então P(AUB) = P(A) + P(B) . 
Teoremas 
T1: Sendo ø um evento impossível, então P(ø) =0. 
T2: Se A C B, então P(A)≤P(B) 
T3: 
       BAPBPAPBAP 
 
T4: 
   AP1AP 
 
Espaços de probabilidade 
 Seja Ω um espaço amostral finito, isto é, Ω = {e1 , e2 , ... , en }. Um espaço de probabilidade é o 
conjunto P = {p1 , p2 , ... , pn } , obtido ao associar-se a cada ei  Ω um valor pi  IR, denominado probabilidade 
de ei , e tal que: 
1) 0≤ pi,i=1,2,3,...,n. 
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2) 



n
1i
i 1p
 
 
Exemplo: 
Três cavalos A, B, C estão numa corrida; A é duas vezes mais provável de ganhar que B e 
B é duas vezes mais do que C. Supondo que não haja empate: 
a) Quais as probabilidades de vitória de cada um, isto é, P(A), P(B) e P(C)? 
 
 
 
 
b) Qual seria a probabilidade de B ou C ganhar? 
 
 
 
 
 
Relações de igualdade 
Propriedade comutativa: 
P (AUB) = P (BUA) 
P (A∩B) = P (B∩A) 
Propriedade associativa: 
P[( A U B) U C]= P [A U (B U C)] 
P [( A∩B) ∩ C] = P [A ∩ (B ∩ C)] 
Propriedade distributiva: 
P [A U (B ∩ C)] = P[( AUB) ∩ ( AUC)] 
P [A ∩ (B U C)] = P[( A∩B) U ( A∩C)] 
Propriedade idempotente: 
P (A) = P (AUA) 
P (A) = P (A∩A) 
Propriedade absorção: 
P (A) = P[AU(A∩B)] 
P (A) = P[A∩(AUB)] 
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Propriedade da dualidade – Leis de Morgan: 
     BAPBAP1BAP  
 
     BAPBAP1BAP  
 
Relações de igualdade envolvendo os complementos: 
 
Relações de igualdade envolvendo os eventos Certo e Impossível: 
 
 
Relações de igualdade envolvendo eventos exclusivos: 
 
 
Outras relações de igualdade: 
 
Exemplo: 
1) Se P(A)=1/2; P(B)=1/4 e A e B mutuamente exclusivos, calcular: 
a. 
 AP
 
 
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b. 
 BP
 
 
c. 
 BAP
 
 
 
d. 
 BAP
 
 
e. 
 BAP 
 
 
 
Exercícios: 
1) Se P(A)=1/2; P(B)=1/3 e P (A∩B) =1/4, calcule: 
a. 
 BAP
 
b. 
 BAP 
 
c. 
 BAP 
 
2) Calcule a probabilidade de cada evento: 
a. Pelo menos uma cara aparecer no lançamento de 3 moedas; 
b. Pelo menos uma cara aparecer no lançamento de “n” moedas; 
3) A probabilidade de aparecer uma coroa no próximo lance de uma moeda, se, de 
um total de 100 lances, 56 foram caras. 
4) A probabilidade de uma mulher fumante com idade acima de 40 anos ter câncer 
é de aproximadamente 75,6%. Qual a probabilidade de que uma mulher fumante 
com mais de 40 anos não tenha câncer? 
5) De um lote de 14 peças, das quais 5 são defeituosas, escolhemos duas 
aleatoriamente. Determine: 
a. a probabilidade de que ambas sejam defeituosas; 
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b. a probabilidade de que ambas não sejam defeituosas; 
c. a probabilidade de que uma seja defeituosa. 
6) Considere um conjunto de 10 frutas em que 3 estão estragadas. Escolhendo 
aleatoriamente 2 frutas desse conjunto, determine a probabilidade de: 
a.ambas não estarem estragadas; 
b. pelo menos uma estar estragada. 
7) Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves. 
Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: 
a. Ela não tenha defeitos graves; 
b. Ela não tenha defeitos; 
c. Ela ou seja boa ou tenha defeitos graves. 
8) Considere o mesmo lote do problema anterior. Retiram-se duas peças ao acaso. 
Qual a probabilidade de que: 
a. ambas sejam perfeitas; 
b. pelo menos uma seja perfeita; 
c. nenhuma tenha defeito grave; 
d. nenhuma seja perfeita. 
9) Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas.Calcular 
a probabilidade de: 
a. todas pretas; 
b. exatamente uma branca; 
c. ao menos uma preta. 
 
1)a )58,3%; b)75%; 41,7%, 2)a)87,5% b) n
n
2
12 
; 3)44,0%; 4) 24,4%; 5) a) 
11,0%; b) 39,6%; 49,5%; 6)a) 46,7%; b) 53,3%; 7) a)87,5%; b)62,5%; 75%; 
8)a)37,5%; b) 87,5%; c) 75,8%; d12,5%; 9)a)12,1%; b)45,5%; c) 93,9%