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Matemática - Pré-Vestibular Impacto - Análise Combinatória - Princípio Fundamental da Contagem

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KL:29/01/08 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução a Análise Combinatória/Princípio Fundamental da 
contagem 
Frente: 01 Aula: 01 
PROFº: BOSCO 
A Certeza de Vencer 
FAÇO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!!
Fa
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Análise Combinatória 
 
 A análise combinatória é a parte da matemática 
que se preocupa estudar o número de possibilidades da 
se realizar um fenômeno. 
 
Exemplos: 
1. De quantas maneiras diferentes podemos organizar 5 
livros em uma estante? 
 
2. Quantas comissões diferentes de 3 alunos podemos 
formar, com 8 alunos disponíveis? 
 
 Essas perguntas são respondidas com a idéia da 
análise combinatória. 
 
Princípio Fundamental da Contagem. 
Considere a seguinte situação. 
 
Quatro pessoas participam 
de uma corrida. Quantos resultados 
diferentes podemos ter para 1º, 2º 
e 3º lugares? 
 
 
Vamos considerar que os corredores são A, B, C e D. 
 
Nessa corrida podemos ter qualquer um dos 
corredores com chance de chegar em 1º lugar, após a 
chegada do primeiro, qualquer um dos três restantes 
pode ser o segundo e assim sucessivamente. 
Podemos então esquematizar a situação utilizando um 
gráfico conhecido como diagrama da árvore ou árvore 
de possibilidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Do diagrama podemos concluir que nessa corrida 
podemos ter 24 resultados diferentes. 
 
O mesmo problema poderia ter sido resolvido utilizando a 
seguinte idéia: 
 
 Como são três posições no pódio a serem 
ocupadas, podemos realizar o produto de três números, 
onde cada número representa o número de possibilidades 
para cada posição. 
 
 Desta forma, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esse processo é conhecido como princípio 
multiplicativo ou princípio fundamental da contagem. 
 
A
D
C
B
C
D
B
D
C
B
B
D
C
A
C
D
A
D
C
A
D
A
C
B
C
A
B
A
C
B
C
D
A
B
A
D
B
D
A
B
Nº de 
possibilidades 
para 1º lugar 
Nº de 
possibilidades 
para 2º lugar 
Nº de 
possibilidades 
para 3º lugar 
Total de 
resultados 
possíveis 
 
4 x 3 x 2 = 24 
 
 
 
FAÇO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!!
Fa
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EN
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Def. 
 Se um evento E é composto pelas etapas E1, E2, 
E3, ..., En. E cada etapa pode ocorrer de n1, n2, n3, ..., nn 
modos, respectivamente, então esse evento pode ocorrer 
de n1.n2.n3. ... .nn maneiras distintas. 
 
Exemplo 01. 
 
Uma moça possui 5 blusas diferentes e 4 saias diferentes. 
De quantos modos distintos ela pode se vestir? 
 
 Observe que essa moça terá que fazer duas 
escolhas diferentes. A primeira escolha é para a blusa e a 
segunda escolha é para a saia, portanto podemos dizer 
que o problema é composto de duas etapas, pois cada 
escolha diferente corresponde a uma etapa diferente, 
assim: 
5 x 4 = 20 
 
 Essa moça poderá se vestir de 20 maneiras 
diferentes. 
 
Exemplo 02 
 
Existem duas estradas que 
ligam as cidades A e B e 3 
estradas que ligam B e C. De 
quantas formas distintas é 
possível ir de A até C passando 
por B? 
 
 Considere o seguinte esquema abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que, para ir de A para B a pessoa terá 
que optar por uma das estradas que as ligam, após 
executada a primeira fase ele terá que escolher uma 
dentre as três que ligam B a C. A pessoa terá que fazer 
duas escolhas diferentes, portanto podemos dizer que o 
problema tem duas etapas, sendo assim: 
 
2 x 3 = 6 maneiras diferentes de fazer a viagem. 
 
Exercícios Propostos 
 
01. Num restaurante há 2 tipos de salada , 3 tipos de 
pratos quentes e 3 tipos de sobremesas. Quais e 
quantas possibilidades temos para fazer uma refeição 
contendo 1 salada, 1 prato quente e 1 sobremesa ? 
a) 8 b) 10 c) 12 d) 18 e) 28 
 
02. Quantos números de 3 algarismos podemos formar 
com os algarismos 1,2,3,4,5,6 ? 
a) 100 b) 120 c) 216 d) 250 e) 359 
 
03. Quantos números de 3 algarismos distintos 
podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? 
a) 20 b) 30 c) 120 d) 129 e) 180 
 
04. Quantos números de 3 algarismos podemos escrever 
cujo algarismo das centenas é múltiplo de 3 (diferente 
de zero) , o das dezenas é 4 ou 7 e o das unidades é 
múltiplo de 5 ? 
a) 5 b) 7 c) 9 d) 12 e) 15 
 
05. Existem 4 vias de locomoção de uma cidade A para 
uma idade B e 5 vias de locomoção da cidade B para a 
cidade C. De quantas maneiras pode-se ir de A a C 
passando por B? 
a) 2 b) 3 c) 20 d) 15 e) 68 
 
06. De quantas maneiras diferentes pode-se vestir uma 
pessoa que tenha 5 camisas, 3 calças, 2 pares de meias 
e 2 pares de sapatos? 
a) 60 b) 45 c) 85 d) 480 e) 598 
 
07. Ao lançarmos sucessivamente 5 moedas, quantas e 
quais são as possibilidades de resultado? 
a) 6 b) 8 c) 15 d) 10 e) 32 
 
08. A diretoria de um clube é composta por 10 membros, 
que podem ocupar a função de Presidente, Secretário e 
Tesoureiro. De quantas maneiras possíveis podemos 
formar, com os 10 membros, chapas contendo 
Presidente, Secretário e Tesoureiro? 
a) 165 b) 720 c) 580 d) 690 e) 1000 
 
09. Numa cidade, os números de telefone são formados 
por 7 algarismos sendo que os 3 primeiros correspondem 
ao prefixo de uma estação telefónica: Pergunta-se: 
Quantos telefones existem com o prefixo 258? 
a) 9999 b) 100 c) 10 000 d) 9 000 e) 5849 
 
10. No Estado Pará, as placas dos automóveis têm três 
letras seguidas de quatro algarismos, Assim sendo, 
determine o número de placas que começam por BTC e 
não tem algarismos repetidos. 
a) 1021 b) 1589 c) 2540 d) 3059 e) 5040 
 
11. (CESPE-DF) O lanche vespertino dos empregados de 
uma empresa consiste de uma xícara de café, um 
biscoito e um sanduíche. O café é servido com açúcar 
ou sem açúcar. Há três tipos de sanduíche e quatro 
tipos de biscoitos. Considerando que um empregado faça 
um lanche completo usando apenas uma de cada opção 
oferecida, o número possível de maneiras diferentes de 
ele compor a seu lanche é: 
a) menor que 13. 
b) maior que 13 e menor que 17. 
c) maior que 17 e menor que 20. 
d) maior que 20 e menor que 23. 
e) maior que 23. 
A CB

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