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KL:29/01/08 Introdução a Análise Combinatória/Princípio Fundamental da contagem Frente: 01 Aula: 01 PROFº: BOSCO A Certeza de Vencer FAÇO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!! Fa le c on os co w w w .p or ta lim pa ct o. co m .b r EN SI NO M ÉD IO - 20 08 Análise Combinatória A análise combinatória é a parte da matemática que se preocupa estudar o número de possibilidades da se realizar um fenômeno. Exemplos: 1. De quantas maneiras diferentes podemos organizar 5 livros em uma estante? 2. Quantas comissões diferentes de 3 alunos podemos formar, com 8 alunos disponíveis? Essas perguntas são respondidas com a idéia da análise combinatória. Princípio Fundamental da Contagem. Considere a seguinte situação. Quatro pessoas participam de uma corrida. Quantos resultados diferentes podemos ter para 1º, 2º e 3º lugares? Vamos considerar que os corredores são A, B, C e D. Nessa corrida podemos ter qualquer um dos corredores com chance de chegar em 1º lugar, após a chegada do primeiro, qualquer um dos três restantes pode ser o segundo e assim sucessivamente. Podemos então esquematizar a situação utilizando um gráfico conhecido como diagrama da árvore ou árvore de possibilidades. Do diagrama podemos concluir que nessa corrida podemos ter 24 resultados diferentes. O mesmo problema poderia ter sido resolvido utilizando a seguinte idéia: Como são três posições no pódio a serem ocupadas, podemos realizar o produto de três números, onde cada número representa o número de possibilidades para cada posição. Desta forma, temos: Esse processo é conhecido como princípio multiplicativo ou princípio fundamental da contagem. A D C B C D B D C B B D C A C D A D C A D A C B C A B A C B C D A B A D B D A B Nº de possibilidades para 1º lugar Nº de possibilidades para 2º lugar Nº de possibilidades para 3º lugar Total de resultados possíveis 4 x 3 x 2 = 24 FAÇO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!! Fa le c on os co w w w .p or ta lim pa ct o. co m .b r EN SI NO M ÉD IO - 20 08 Def. Se um evento E é composto pelas etapas E1, E2, E3, ..., En. E cada etapa pode ocorrer de n1, n2, n3, ..., nn modos, respectivamente, então esse evento pode ocorrer de n1.n2.n3. ... .nn maneiras distintas. Exemplo 01. Uma moça possui 5 blusas diferentes e 4 saias diferentes. De quantos modos distintos ela pode se vestir? Observe que essa moça terá que fazer duas escolhas diferentes. A primeira escolha é para a blusa e a segunda escolha é para a saia, portanto podemos dizer que o problema é composto de duas etapas, pois cada escolha diferente corresponde a uma etapa diferente, assim: 5 x 4 = 20 Essa moça poderá se vestir de 20 maneiras diferentes. Exemplo 02 Existem duas estradas que ligam as cidades A e B e 3 estradas que ligam B e C. De quantas formas distintas é possível ir de A até C passando por B? Considere o seguinte esquema abaixo. Observe que, para ir de A para B a pessoa terá que optar por uma das estradas que as ligam, após executada a primeira fase ele terá que escolher uma dentre as três que ligam B a C. A pessoa terá que fazer duas escolhas diferentes, portanto podemos dizer que o problema tem duas etapas, sendo assim: 2 x 3 = 6 maneiras diferentes de fazer a viagem. Exercícios Propostos 01. Num restaurante há 2 tipos de salada , 3 tipos de pratos quentes e 3 tipos de sobremesas. Quais e quantas possibilidades temos para fazer uma refeição contendo 1 salada, 1 prato quente e 1 sobremesa ? a) 8 b) 10 c) 12 d) 18 e) 28 02. Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5,6 ? a) 100 b) 120 c) 216 d) 250 e) 359 03. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? a) 20 b) 30 c) 120 d) 129 e) 180 04. Quantos números de 3 algarismos podemos escrever cujo algarismo das centenas é múltiplo de 3 (diferente de zero) , o das dezenas é 4 ou 7 e o das unidades é múltiplo de 5 ? a) 5 b) 7 c) 9 d) 12 e) 15 05. Existem 4 vias de locomoção de uma cidade A para uma idade B e 5 vias de locomoção da cidade B para a cidade C. De quantas maneiras pode-se ir de A a C passando por B? a) 2 b) 3 c) 20 d) 15 e) 68 06. De quantas maneiras diferentes pode-se vestir uma pessoa que tenha 5 camisas, 3 calças, 2 pares de meias e 2 pares de sapatos? a) 60 b) 45 c) 85 d) 480 e) 598 07. Ao lançarmos sucessivamente 5 moedas, quantas e quais são as possibilidades de resultado? a) 6 b) 8 c) 15 d) 10 e) 32 08. A diretoria de um clube é composta por 10 membros, que podem ocupar a função de Presidente, Secretário e Tesoureiro. De quantas maneiras possíveis podemos formar, com os 10 membros, chapas contendo Presidente, Secretário e Tesoureiro? a) 165 b) 720 c) 580 d) 690 e) 1000 09. Numa cidade, os números de telefone são formados por 7 algarismos sendo que os 3 primeiros correspondem ao prefixo de uma estação telefónica: Pergunta-se: Quantos telefones existem com o prefixo 258? a) 9999 b) 100 c) 10 000 d) 9 000 e) 5849 10. No Estado Pará, as placas dos automóveis têm três letras seguidas de quatro algarismos, Assim sendo, determine o número de placas que começam por BTC e não tem algarismos repetidos. a) 1021 b) 1589 c) 2540 d) 3059 e) 5040 11. (CESPE-DF) O lanche vespertino dos empregados de uma empresa consiste de uma xícara de café, um biscoito e um sanduíche. O café é servido com açúcar ou sem açúcar. Há três tipos de sanduíche e quatro tipos de biscoitos. Considerando que um empregado faça um lanche completo usando apenas uma de cada opção oferecida, o número possível de maneiras diferentes de ele compor a seu lanche é: a) menor que 13. b) maior que 13 e menor que 17. c) maior que 17 e menor que 20. d) maior que 20 e menor que 23. e) maior que 23. A CB
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