2017825 181124 Resistência+dos+Materiais+I

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Resistência dos Materiais I
Introdução
A Resistência dos Materiais é o ramo da Mecânica dos Corpos Deformáveis que se 
propõe, basicamente, a selecionar os materiais de construção e estabelecer as proporções 
e as dimensões dos elementos para uma estrutura ou máquina, afim de capacitá-las a 
cumprir suas finalidades, com segurança, confiabilidade, durabilidade e em condições 
econômicas.
A limitação das deformações, em muitos casos, se torna necessária para atender a 
requisitos de confiabilidade (deformações exageradas podem ser confundidas com falta 
de segurança) ou precisão (caso de máquinas operatrizes ou ferramentas). 
• A capacidade de um elemento reagir às deformações é chamada de rigidez do 
elemento.
• A capacidade de um elemento, em uma estrutura ou máquina, de resistir à ruína é 
chamada de resistência do elemento e constituí o problema principal para a análise 
nesta disciplina
Pressupostos e hipóteses básicas da Resistência dos Materiais
A Resistência dos Materiais é uma ciência desenvolvida a partir de ensaios
experimentais e de análises teóricas.
Os ensaios ou testes experimentais, em laboratórios, visam determinar as
características físicas dos materiais, tais como as propriedades de resistência e
rigidez, usando corpos de prova de dimensões adequadas.
As analises teóricas determinam o comportamento mecânico das peças em
modelos matemáticos idealizados, que devem ter razoável correlação com a
realidade. Algumas hipóteses e pressupostos são admitidos nestas deduções e
são eles:
1. Continuidade Física:
A matéria apresenta uma estrutura continua, ou seja, são desconsiderados todos 
os vazios e porosidades.
2. Homogeneidade:
O material apresenta as mesmas características mecânicas, elasticidade e de 
resistência em todos os pontos.
3. Isotropia:
O material apresenta as mesmas características mecânicas elásticas em todas as 
direções. Ex: As madeiras apresentam, nas direções das fibras, características
mecânicas e resistentes distintas daquelas em direcão perpendicular e portanto 
não é considerada um material isotropo.
4. Equilíbrio:
Se uma estrutura está em equilíbrio, cada uma de suas partes também está em
equilíbrio.
5. Pequenas Deformações:
As deformações são muito pequenas quando comparadas com as dimensões 
da estrutura.
6. Seções planas:
A seção transversal, após a deformação, permanece plana e normal na linha 
média (eixo deformado).
7. Conservação das áreas:
A seção transversal, após a deformação, conserva as suas dimensões primitivas.
8. Lei de Hooke:
A força aplicada é proporcional ao deslocamento.
σ = E.ε
onde: 
σ é a tensão; 
E é o módulo de elasticidade e 
ε é a deformação específica;
09. Princípio da Superposição de efeitos:
Os efeitos causados por um sistema de forcas externas são a soma dos efeitos 
produzidos por cada força considerada agindo isoladamente e independente das 
outras.
A fim de compensar as incertezas na avaliação das cargas, na determinação das 
propriedades dos materiais, nos pressupostos ou nas simplificações, é previsto nas 
Normas Técnicas a adoção de coeficientes de segurança.
10. Saint-Venant
Sistemas de forças estaticamente equivalentes causam efeitos idênticos em
pontos suficientemente afastados da região de aplicação das cargas.
Para que um determinado corpo esteja em equilíbrio, é necessário que sejam
satisfeitas as condições:
 Resultantes de Força
A resultante do sistema de forças atuante será nula.
 Resultantes dos Momentos
A resultante dos momentos atuantes em relação a um ponto qualquer do plano 
de forças será nula.
 Equações Fundamentals da Estática
Baseados, concluímos que para forças coplanares, Σ Fx = 0, Σ Fy = 0 e ΣM = 0.
 Força Axial ou Normal F
É definida como força axial ou normal a carga que atua na direção do eixo 
longitudinal da peça. A denominação normal ocorre, em virtude de ser 
perpendicular, a secção transversal.
Podemos definir que a ESTÁTICA considera os efeitos externos das forcas que
atuam num corpo e a RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS, por sua vez, fornece
uma explicação mais satisfatória, do comportamento dos sólidos submetidos a
esforços externos, considerando o efeito interno.
Na construção mecânica, as peças componentes de uma determinada estrutura
devem ter dimensões e proporções adequadas para suportarem esforços
impostos sobre elas. Exemplos:
a) O eixo de transmissão de uma maquina deve ter dimensões adequadas para resistir ao
torque a ser aplicado; b) A asa de um avião deve suportar as cargas aerodinâmicas que aparecem
durante o vôo
As paredes de um reservatório de pressão deve ter 
resistência apropriada para suportar
a pressão interna, etc.
O comportamento de um membro submetido a forcas, não depende somente
destas, mas também das características mecânicas dos materiais de
fabricação dos membros. Estas informações provem do laboratório de
materiais onde estes são sujeitos a ação de forças conhecidas e então
observados fenômenos como ruptura, deformação, etc.
CLASSES DE SOLICITAÇÕES
Quando um sistema de forcas atua sobre um corpo, o efeito produzido e diferente segundo a direção e 
sentido e ponto de aplicação destas forcas. Os efeitos provocados neste corpo podem ser classificados em 
esforços normais ou axiais, que atuam no sentido do eixo de um corpo, e em esforços transversais, atuam 
na direção perpendicular ao eixo de um corpo. Entre os esforços axiais temos a tração, a compressão e a 
flexão, e entre os transversais, o cisalhamento e a torção.
Quando as forcas agem para fora do corpo, tendendo a alonga-lo no sentido da sua linha de aplicação, a 
solicitação e chamada de TRAÇÃO; se as forcas agem para dentro, tendendo a encurtá-lo no sentido da 
carga aplicada, a solicitação e chamada de COMPRESSÃO.
A FLEXÃO é uma solicitação transversal em que o 
corpo sofre uma deformação que tende a modificar 
seu eixo longitudinal.
A solicitação de CISALHAMENTO e aquela que ocorre 
quando um corpo tende a resistir a ação de duas forças 
agindo próxima e paralelamente, mas em sentidos 
contrários.
A TORÇÃO é um tipo de solicitação que tende a girar as 
seções de um corpo, uma em relação a outra.
Um corpo e submetido a SOLICITAÇÕES COMPOSTAS 
quando atuam sobre eles duas ou mais solicitações 
simples.
Flexão e torção
Forças
O conceito de força e introduzido na mecânica em geral. As forças mais conhecidas são os pesos, que tem
sempre sentido vertical para baixo, como por exemplo, o peso próprio de uma viga, ou o peso de uma laje
sobre esta mesma viga.
As forças podem ser classificadas em concentradas e distribuídas. Na realidade todas as forças
encontradas são distribuídas, ou seja, forças que atuam ao longo de um trecho, como em barragens,
comportas, tanques, hélices, etc. Quando um carregamento distribuído atua numa região de área
desprezível, é chamado de força concentrada. A força concentrada, tratada como um vetor, e uma
idealização, que em inúmeros casos nos traz resultados com precisão satisfatória.
No sistema internacional (SI) as forças concentradas são expressas em Newton [N]. As forças distribuídas
ao longo de um comprimento são expressas com as unidades de força pelo comprimento [N/m], [N/cm],
[N/mm],etc.
A força é uma grandeza vetorial que necessita para sua definição, além da intensidade, da direção, do
sentido e também da indicação do ponto de aplicação.
ESTÁTICA
Representação de uma força
Duas ou mais forças constituem um sistema de forças, sendo que cada uma delas e chamada de
componente. Todo sistema de forças pode ser substituído por uma única força chamada resultante, que
produz o mesmo efeito das componentes.
Quando as forças agem numa mesma linha de ação são chamadas de coincidentes. A resultante destas
forças terá a mesma linha de ação dascomponentes, com intensidade e sentido igual a soma algébrica
das componentes.
Exemplo
Calcular a resultante das forças F1 = 50N, F2 = 80 N e F3 = 70 N aplicadas no bloco da figura abaixo:
Sendo dada uma força F num plano “xy”, é possível decompô-la em duas outras forcas Fx e Fy, como no 
exemplo abaixo:
Calcular as componentes horizontal e vertical da forca de 200N aplicada na viga conforme figura abaixo.
Momento Estático
Seja F uma força constante aplicada em um corpo, d a distância entre o ponto de aplicação desta força e um
ponto qualquer P. Por definição, o momento “M” realizado pela força F em relação ao ponto P e dado pelo
seguinte produto vetorial:
Seja F uma força constante aplicada em um corpo, d a distância entre o ponto de aplicação desta força e um
ponto qualquer P. Por definição, o momento “M” realizado pela forca F em relação ao ponto P e dado pelo
seguinte produto vetorial:
Exemplo 
Calcular o momento provocado na alavanca da morsa, durante a fixação da peça 
conforme indicado na figura abaixo:
Equilíbrio
Para que um corpo esteja em equilíbrio e necessário que o somatório das
forças atuantes e o somatório dos momentos em relação a um ponto qualquer
sejam nulos.
Calcular a carga nos cabos que sustentam o peso de 4 kN, como indicado nas figuras:
Solução
TENSÕES
Tensão é ao resultado da ação de cargas externas sobre uma unidade de área da seção
analisada na peça, componente mecânico ou estrutural submetido à solicitações
mecânicas. A direção da tensão depende do tipo de solicitação, ou seja da direção das
cargas atuantes. As tensões provocadas por tração compressão e flexão ocorrem na
direção normal (perpendicular) à área de seção transversal e por isso são chamadas de
tensões normais, representadas pela letra grega sigma (σ). As tensões provocadas por
torção e cisalhamento atuam na direção tangencial a área de seção transversal, e assim
chamadas de tensões tangenciais ou cisalhantes, e representadas pela letra grega tau (τ).
Representação das direções de atuação das tensões normais
(σ) e tangenciais (τ). Observe que a tensão normal (σ) atua na
direção do eixo longitudinal, ou seja, perpendicular à secção
transversal, enquanto que a tensão de cisalhamento (τ) é
tangencial à secção transversal.
Tensão Normal σ
A carga normal F, que atua na peça, origina nesta, uma tensão normal “σ” (sigma), que é
determinada através da relação entre a intensidade da carga aplicada “F”, e a área de
seção transversal da peça “A”.
No Sistema Internacional, a força é expressa em Newtons (N), a área em metros quadrados
(m²). A tensão (σ) será expressa, então, em N/m², unidade que é denominada Pascal (Pa).
Na prática, o Pascal torna-se uma medida muito pequena para tensão, então usa-se
múltiplos desta unidade, que são o quilopascal (KPa), megapascal (MPa) e o gigapascal
(Gpa).
Unidades inglesas:
P é expressa em libras (lb);
A em polegadas quadradas (in²);
σ será em lb/in²
Exemplo
Uma barra de seção circular com 50 mm de diâmetro, é tracionada por uma carga
normal de 36 kN. Determine a tensão normal atuante na barra.
Exercícios:
1.1) Duas barras cilíndricas maciças são soldadas no ponto B, como indicado. 
Determine a tensão normal no ponto médio de cada barra.
d1 = 30mm
d2=50mm
R:
Tensão 
AB = 84,9 Mpa
BC = -96,8 Mpa
Exercícios:
1.2) Duas barras cilíndricas maciças são soldadas no ponto B, como indicado. Sabendo que a tensão normal média 
não deve exceder 150 MPa em ambos barras. Determine os menores valores admissíveis dos diâmetros de cada barra 
d1 e d2.
R: 
d1=22,6mm
d2=40,2mm
Exercícios:
1.3) Duas barras cilíndricas maciças são soldadas 
no ponto B, como indicado. Determine a tensão 
normal no ponto médio de cada barra.
d1= 1,25”
d2= 0,75”
Sistema inglês
Kilopound , às vezes usando o mesmo kip do símbolo ou 
às vezes klb
KSI = 1000 PSI
PSI, unidade de pressão básica deste sistema.
Libra por polegada quadrada (lbf/in
2)
Respostas:
σAB= 17,93 ksi
σBC= 22,6 ksi
Exercícios:
1.4) Duas barras cilíndricas maciças são soldadas no
ponto B, como indicado. Sabendo que a tensão
normal média não deve exceder 25 ksi em ambas
barras. Determine os menores valores admissíveis
dos diâmetros de cada barra d1 e d2.
Sistema inglês
Kilopound , às vezes usando o mesmo kip do símbolo ou 
às vezes klb
KSI = 1000 PSI
PSI, unidade de pressão básica deste sistema.
Libra por polegada quadrada (lbf/in
2)
Respostas: d1= 1,059 in e d2= 0,714 in
Exercícios:
1.5) A carga axial na coluna que sustenta a viga de madeira mostrada, é de P= 75 kN.
Determine o comprimento L da placa de apoio para que a tensão de esmagamento média
na madeira seja 3 Mpa.
𝜎 =
𝑃
𝐴
então A = bxL
𝜎 =
𝑃
𝑏𝑥𝐿
então L =
𝑃
σ𝑥𝑏
L= 178,6 x 10-3 m
L= 178,6 mm
1.6) Uma carga de 1000 kgf está suspensa conforme mostra a figura a baixo. Determinar 
as forças normais atuantes nas barras 1, 2 e 3 e suas respectivas tensões, sabendo que 
seus diâmetros são de 30 mm.
σ1=1,035 MPa
σ2= 1,269 MPa
σ3= 1,41 MPa
1.7) A coluna está submetida a uma força axial de 8 kN no seu topo. Supondo que a seção transversal tenha
as dimensões mostradas na figura, determinar a tensão normal média que atua sobre a seção a-a. Mostrar
essa distribuição de tensão atuando sobre a área da seção transversal.
σ=1,82 MPa
1.8) A junta está submetida à força de 6.000 lb do elemento axial. Determinar a tensão normal média que atua
nas seções AB e BC. Supor que o elemento é plano e tem 1,5 polegada de espessura.
σAB= 1630,3 PSI
σBC= 818,96 PSI
1.9) A luminária de 50 lbf é suportada por duas hastes de aço acopladas por um anel em A. Determinar qual
das hastes está sujeita à maior tensão normal média e calcular seu valor. Suponha que q = 45º. O diâmetro
de cada haste é dado na figura.
σAB= 186,4 PSI
σBC= 356,7 PSI
Resposta: Haste BC
1.10) Considerando a estrutura da fig. 1.1, que consiste em barras AB e BC , nos propomos 
a verificar se essa estrutura pode suportar com segurança a carga 30 kN, aplicada no ponto 
B.
Através de tabelas de propriedades de materiais, descobrimos que a tensão máxima admissível para 
o aço utilizado é σadm = 165MPa. 
No estudo das barras AB e BC, vamos imaginar que são constituídas de aço e possui um 
diâmetro de 20mm. Temos então:
𝐹𝐴𝐵
4𝑚
=
𝐹𝐵𝐶
5𝑚
=
30𝑘𝑁
3𝑚
FAB = 40 kN
FBC = 50 kN
P=FBC= +50 x 10
3 N
𝐴 = 𝜋𝑟2 = π 0,001𝑚 2 = 314𝑥10 − 6 𝑚2
σbc = 
𝑃
𝐴
=
50𝑥10³
314𝑥10−6
= +159 MPa
σab = 
𝑃
𝐴
=
40𝑥10³
314𝑥10−6
= +127,4 MPa
Como o valor da tensão calculado é menor 
que σadm , concluímos que as barras AB e BC 
podem suportar a carga aplicada. 
1.10A)Vamos imaginar que na estrutura da figura a barra BC deve ser de alumínio. Qual deve 
ser o diâmetro da barra para suportar com segurança a carga aplicada?
Na tabela de propriedades , encontramos para o alumínio a ser usado, o valor de tensão 
admissível igual a 100 Mpa. Sabemos que a força na barra é P=FBC= +50kN pois não houve 
mudanças no carregamento.
Da equação σ = 
𝑃
𝐴
A = 
𝑃
σ = 
50x103N
100𝑥106 𝑃𝑎
A= 500x10-6 m2
𝐴 = 𝜋𝑟2 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑟 =12,62mm
Então o diâmetro é de 25,2mm
Concluímos que uma barra de 26mm será adequada para 
a peça BC 
Cisalhamento
Exercícios:
1.1) Três parafusos de aço são usados para prender a placa mostrada à viga de madeira.
Admitindo que a tensão de cisalhamento última para o aço a ser utilizado é de 52 ksi, e
desejando um coeficiente de segurança de 3,37. Determine o menor diâmetro admissível
para os parafusos a serem usados.
Para cada parafuso: 𝑃 =
24
3
= 8 𝐾𝑖𝑝𝑠
Requerido Pcr= Fs x P = 3,37 x 8 = 26,96 kips
𝜎𝑢 =
𝑃𝑐𝑟
𝐴
assim A =
26,96
52
A =0,51846 in2
então A =
π𝑥𝑑2
4
d= 0,8125 in
1.2) A chapa AB, da largura b = 2 polegadas e espessura t = 1/4 no, é utilizado para 
suportar a extremidade de uma viga horizontal. Sabendo que a tensão normal média 
na chapa é -20 ksi e que a tensão de cisalhamento média em cada sistema operacional 
os dois pinos é de 12 ksi, determinar: 
a) o Diâmetro d dos pinos 
b) a tensão média no pino na ligação (área de contato)
1.3) Duas pranchas de madeira, cada uma com 7/8 in de espessura e 6 in de largura, são
coladas na articulação no encaixe como mostrado. Sabendo que no conjunto quando a
tensão de cisalhamento média na cola atinge 120 psi, determinar o menor comprimento
admissível dos cortes se a articulação é para suportar uma carga axial de magnitude P =
1200 lb
1.4) O tirante está apoiado em sua extremidade por um disco circular fixo como
mostrado na figura. Se a haste passa por um furo de 40 mm de diâmetro,
determinar o diâmetro mínimo requerido da haste e a espessura mínima do disco
necessários para suportar uma carga de 20 kN. A tensão normal admissível da
haste é sadm = 60 MPa, e a tensão de cisalhamento admissível do disco é tadm
= 35 MPa.
1.5) Determinar a tensão de cisalhamento que atua no plano A da figura.
1.6) O conjunto representado na figura é formado por:
1 parafuso sextavado M12.
2 garfo com haste de espessura 6mm.
3 arruela de pressão.
4 chapa de aço ABNT 1020 espessura 8mm.
5 porca M12.
a) Calcular tensão de cisalhamento no parafuso;
b) Tensão de esmagamento no parafuso pela chapa;
c) Tensão de esmagamento no parafuso pelo garfo.
1.7 Projetar a junta rebitada para que suporte uma carga de 125 kN aplicada 
conforme a figura. Ajunta deverá contar com 5 rebites. 𝜏 = 105MPa; 𝜎 = 225MPa; 
tch = 8mm
(espessura das chapas).
1.8 A junta de topo representada na figura, é composta por duas chapas com
largura ,L = 200mm e espessura t = 6mm. A tensão admissível indicada pela
SAS (Sociedade Americana de Solda) para solda de topo é 𝜎s = 90MPa.
Determinar a carga máxima que poderá ser suportada pela junta.
1.9 Dimensionar os cordões de solda L1 da junta representada na fig. A carga 
de tração que atuará na junta é 40kN, sendo que a espessura das chapas 
t=6mm. Para este caso, a SAS (Sociedade Americana de Solda) indica: 
𝜏𝑠 =70MPa.
1.10 Um edifício de altura de 60m, largura 50m e profundidade de 30m tem,
essencialmente, a configuração retangular representada na figura. Cargas de vento
horizontais atuarão sobre o edifício, exercendo pressões sobre a face vertical, que
pode ser aproximada como sendo uniforme dentro de cada uma das três camadas,
como mostrado. A partir de expressões empíricas para expressões do vento no
ponto médio de cada uma das três camadas, temos uma pressão de 781 N/m² na
camada inferior, de 1264 N/m² na camada do meio e de 1530 N/m² na camada
superior. Determine a tensão de cisalhamento que a fundação deve desenvolver
para suportar essa carga de vento.
Fator de Segurança (F.S.)
O fator de segurança (F.S.) é a relação entre a carga de ruptura Frup e a carga admissível Fadm.
O fator de segurança é um número maior que 1 a fim de evitar maior possibilidade de falha.
Valores específicos dependem dos tipos de materiais usados e da finalidade pretendida da estrutura ou
máquina.
1.5) A barra rígida mostrada na figura é suportada por uma haste de aço AC que tem diâmetro de 20 mm e
um bloco de alumínio que tem área da seção transversal de 1800 mm². Os pinos de 18 mm de diâmetro em A
e C estão submetidos a um cisalhamento simples. Se a tensão de ruptura do aço e do alumínio forem (saço)rup
= 680 MPa e (sal)rup = 70 MPa, respectivamente, e a tensão de cisalhamento de ruptura de cada pino for trup =
900 MPa, determinar a maior carga P que pode ser aplicada à barra. Aplicar F.S = 2.
1.6) Cada uma das quatro ligações verticais tem uma secção retangular transversal uniforme de 8x36 mm e 
cada um dos quatro pinos tem um diâmetro de 16 mm, determine: 
a) a tensão de cisalhamento média no pino em B, 
b) a tensão média mancal em B na ligação BD 
c) a tensão média no mancal em B na peça ABC, sabendo que este tem uma seção transversal retangular 
uniforme de 10x50 mm.
D