Lista de Met. Mat. com Resolução

Prévia do material em texto

Met. Mat. Lista – Carolina Cotta 
1 QUESTÃO 1 
 
Considere o problema unidimensional transiente de condução de calor para uma região finita 0 ≤ x ≤ L 
modelado matematicamente pela equação diferencial parcial abaixo e suas respectivas condições inicial 
e de contorno. Construa a solução por diferenças finitas em formulação implícita empregando malha 
uniforme (∆x = cte) com 4 nós na direção espacial, ou seja N=4 tal que tenhamos os nós x0, x1, x2, x3. 
Empregue diferença centrada de ordem ∆x² na aproximação da derivada segunda espacial e nas 
derivadas espaciais das condições de contorno, e diferença finita de ordem ∆t na derivada temporal. 
Apresente discretizada para todos os nós da malha e monte o sistema matricial algébrico resultante. 
 
𝜕𝑇(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
= 𝛼
𝜕2𝑇(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥2
+
𝑔(𝑥, 𝑡)
𝑘
 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿; 𝑡 ≥ 0 
 
𝑒𝑚 𝑡 = 0: 𝑇(𝑥, 0) = 𝐹(𝑥) 0 < 𝑥 < 𝐿; 
 
𝑒𝑚 𝑥 = 0: − 𝑘
𝜕𝑇(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥
|𝑥=0 + ℎ1𝑇(0, 𝑡) = 𝑓1 𝑡 > 0 
 
𝑒𝑚 𝐿: 𝑘
𝜕𝑇(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥
|𝑥=𝐿 + ℎ2𝑇(𝐿, 𝑡) = 𝑓2 𝑡 > 0 
 
2 RESOLUÇÃO 
Classificando: 
 E.D.P.: Presença de diferencial Parcial 
 2ª ordem: Maior ordem presente (
𝜕²𝑇(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥
) 
 Linear: Os coeficientes não dependem do potencial e o potencial apresenta potência = 1. 
 Não-homogênea: termo fonte diferente de zero. 
 Parabólica: Problema dissipativo, associado a processo difusivo que carrega evolução no tempo. 
 
2.0 DISCRETIZAR O DOMÍNIO 
 
𝑇(𝑥, 𝑡) ≅ 𝑇𝑖
𝑛+1 
𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑥 
𝑡𝑛 = 𝑛∆𝑡 
Obs.: Utiliza-se 𝑇𝑖
𝑛+1 pois a questão pede uma formulação implícita. 
 
2.1 ESCREVER AS APROX. PARA AS DERIVADAS 
 
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 ≅ 
𝑇𝑖
𝑛+1 − 𝑇𝑖
𝑛
∆𝑡
 → 𝐴𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎 
 
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 ≅ 
𝑇𝑖+1
𝑛+1 − 𝑇𝑖−1
𝑛+1
2∆𝑥
 → 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 
 
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
 ≅ 
𝑇𝑖+1
𝑛+1 − 2 𝑇𝑖
𝑛+1 + 𝑇𝑖−1
𝑛+1
∆𝑥2
 → 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 
 
𝑔(𝑥, 𝑡) = 𝑔𝑖
𝑛+1 
 
2.2 SUBSTITUIR AS APROX. NA EQUAÇÃO ORIGINAL 
 
𝑇𝑖
𝑛+1 − 𝑇𝑖
𝑛
∆𝑡
= 𝛼 [
𝑇𝑖+1
𝑛+1 − 2 𝑇𝑖
𝑛+1 + 𝑇𝑖−1
𝑛+1
∆𝑥2
] + 
𝑔𝑖
𝑛+1
𝑘
 
 
𝑇𝑖−1
𝑛+1 (
−𝛼∆𝑡
∆𝑥2
) + 𝑇𝑖
𝑛+1 (1 +
2𝛼∆𝑡
∆𝑥2
 ) + 𝑇𝑖+1
𝑛+1 (
−𝛼∆𝑡
∆𝑥2
) = 
𝑔𝑖
𝑛+1∆𝑡
𝑘
+ 𝑇𝑖
𝑛 
 𝜆 = 
−𝛼∆𝑡
∆𝑥2
 
 
 𝛽 = 
∆𝑡
𝑘
 
 
(𝜆)𝑇𝑖−1
𝑛+1 + (1 − 2𝜆 )𝑇𝑖
𝑛+1 + (𝜆)𝑇𝑖+1
𝑛+1 = 𝑔𝑖
𝑛+1𝛽 + 𝑇𝑖
𝑛 
Equação do nó geral 
 
2.3 ESCREVER A EQUAÇÃO PARA TODOS OS NÓS 
 
2.3.0 Nó 0 (Contorno) 
𝑒𝑚 𝑥 = 0: − 𝑘
𝜕𝑇(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥
|𝑥=0 + ℎ1𝑇(0, 𝑡) = 𝑓1 𝑡 > 0 
Discretizando para o nó 0  i = 0 
 
−𝑘 [ 
𝑇1
𝑛+1 − 𝑇−1
𝑛+1
2∆𝑥
] + ℎ1𝑇0
𝑛+1 = 𝑓1 
𝑇−1
𝑛+1 = 𝑇1
𝑛+1 + (
−2∆𝑥
𝑘
)ℎ1𝑇0
𝑛+1 + (
2∆𝑥
𝑘
)𝑓1 ; 𝑇−1
𝑛+1 → 𝑛ó 𝑓𝑖𝑐𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜 
 
Utilizando a equação do nó geral para este nó: 
 
 
(𝜆)𝑇−1
𝑛+1 + (1 − 2𝜆 )𝑇0
𝑛+1 + (𝜆)𝑇1
𝑛+1 = 𝑔0
𝑛+1𝛽 + 𝑇0
𝑛 
Substituindo 𝑇−1
𝑛+1: 
 
𝑇0
𝑛+1 (−
2∆𝑥
𝑘
ℎ1𝜆 + 1 − 2𝜆) + (2𝜆)𝑇1
𝑛+1 = 𝑔0
𝑛+1𝛽 + 𝑇0
𝑛 − 𝜆
2∆𝑥
𝑘
𝑓1 
 
2.3.1 Nó 1 (interno) 
 
Utiliza-se apenas a equação do nó geral: 
 
(𝜆)𝑇0
𝑛+1 + (1 − 2𝜆 )𝑇1
𝑛+1 + (𝜆)𝑇2
𝑛+1 = 𝑔1
𝑛+1𝛽 + 𝑇1
𝑛 
2.3.2 Nó 2 (interno) 
 
(𝜆)𝑇1
𝑛+1 + (1 − 2𝜆 )𝑇2
𝑛+1 + (𝜆)𝑇3
𝑛+1 = 𝑔2
𝑛+1𝛽 + 𝑇2
𝑛 
2.3.3 Nó 3 (contorno) 
 
𝑒𝑚 𝐿: 𝑘
𝜕𝑇(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥
|𝑥=𝐿 + ℎ2𝑇(𝐿, 𝑡) = 𝑓2 𝑡 > 0 
Discretizando para x = L: 
𝑘 [ 
𝑇4
𝑛+1 − 𝑇2
𝑛+1
2∆𝑥
] + ℎ2𝑇3
𝑛+1 = 𝑓2 
𝑇4
𝑛+1 = (𝑓2 − ℎ2𝑇3
𝑛+1) (
2∆𝑥
𝑘
) + 𝑇2
𝑛+1 
Escrevendo a equação do nó geral para o nó 3: 
 
(𝜆)𝑇2
𝑛+1 + (1 − 2𝜆 )𝑇3
𝑛+1 + (𝜆)𝑇4
𝑛+1 = 𝑔3
𝑛+1𝛽 + 𝑇3
𝑛 
 
Observamos que aparece um nó fictício: 𝑇4
𝑛+1: Substituindo-o: 
 
(2𝜆)𝑇2
𝑛+1 + (1 − 2𝜆 − 𝜆
2∆𝑥
𝑘
ℎ2)𝑇3
𝑛+1 = 𝑔3
𝑛+1𝛽 + 𝑇3
𝑛 − 𝜆
2∆𝑥
𝑘
𝑓2 
 
2.4 ESCREVER A MATRIZ 
 
Relembrando: 
 𝜆 = 
−𝛼∆𝑡
∆𝑥2
 
 
 𝛽 = 
∆𝑡
𝑘
 
 
 
 Ax = b 
 
 
[
 
 
 
 
 (−
2∆𝑥
𝑘
ℎ1𝜆 + 1 − 2𝜆) 2𝜆 0 0
𝜆 (1 − 2𝜆) 𝜆 0
0 𝜆 (1 − 2𝜆) 𝜆
0 0 2𝜆 (1 − 2𝜆 − 𝜆
2∆𝑥
𝑘
ℎ2)]
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
𝑇0
𝑛+1
𝑇1
𝑛+1
𝑇2
𝑛+1
𝑇3
𝑛+1]
 
 
 
 
= 
[
 
 
 
 
 
 𝑔0
𝑛+1𝛽 + 𝑇0
𝑛 − 𝜆
2∆𝑥
𝑘
𝑓1
 𝑔1
𝑛+1𝛽 + 𝑇1
𝑛
𝑔2
𝑛+1 𝛽 + 𝑇2
𝑛
𝑔3
𝑛+1𝛽 + 𝑇3
𝑛 − 𝜆
2∆𝑥
𝑘
𝑓2 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 QUESTÃO 2 
 
O problema diferencial parcial abaixo governa a distribuição de velocidade transiente em um 
escoamento laminar hidro dinamicamente desenvolvido em um canal retangular, a partir da sua 
velocidade w(x, y, t), função da posição x e y e do tempo t, a partir do conhecimento das propriedades 
do fluido: viscosidade dinâmica µ, massa específica ρ, das dimensões totais do canal Lx, Ly e Lz e da 
diferença de pressão ∆p (∆p<0). Discretize o problema em questão utilizando o método de diferenças 
finitas em formulação explícita. Utilize uma malha uniforme (∆t = cte, ∆x = cte, ∆y = cte, sendo ∆x ≠ ∆y), 
com 3 nós em cada uma das direções espaciais. Empregue diferença centrada de ordem ∆x² na 
aproximação da derivada segunda espacial e nas derivadas espaciais das condições de contorno, e de 
diferença de ordem ∆t na derivada temporal. Analise a estabilidade da solução numérica proposta e 
apresente a equação discretizada para todos os nós da malha. 
 
𝜕𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑡)
𝜕𝑡
= 
𝜇
𝜌
(
𝜕2𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑡)
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑡)
𝜕𝑦2
 ) −
1
𝜌
∆𝑝
𝐿𝑧
 
 
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿𝑥; 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝐿𝑦; 𝑡 ≥ 0 
 
𝑒𝑚 𝑡 = 0: 𝑤(𝑥, 𝑦, 0) = 𝑈 0 < 𝑥 < 𝐿𝑥; 0 < 𝑦 < 𝐿𝑦; 
𝑒𝑚 𝑥 = 0: 
𝜕𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑡)
𝜕𝑥
|𝑥=0 = 0 ; 0 < 𝑦 < 𝐿𝑦; 𝑡 > 0 
 
𝑒𝑚 𝑥 = 𝐿𝑥: 𝑤(𝐿𝑥, 𝑦, 𝑡) = 0 ; 0 < 𝑦 < 𝐿𝑦; 𝑡 > 0 
 
𝑒𝑚 𝑦 = 0: 
𝜕𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑡)
𝜕𝑦
|𝑦=0 = 0 ; 0 < 𝑥 < 𝐿𝑥; 𝑡 > 0 
 
𝑒𝑚 𝑦 = 𝐿𝑦: 𝑤(𝑥, 𝐿𝑦 , 𝑡) = 0 ; 0 < 𝑥 < 𝐿𝑥; 𝑡 > 0 
 
2 RESOLUÇÃO 
 
Classificando: 
 E.D.P.: Presença de diferencial Parcial 
 2ª ordem: Maior ordem presente (
𝜕²𝑤(𝑥,𝑦,𝑡)
𝜕𝑥²
) 
 Linear: Os coeficientes não dependem do potencial e o potencial apresenta potência = 1. 
 Não-homogênea: termo fonte diferente de zero. 
 Parabólica: Problema dissipativo, associado a processo difusivo que carrega evolução no tempo. 
 
2.0 DISCRETIZAR O DOMÍNIO 
 
𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑡) ≅ 𝑤𝑖,𝑗
𝑛 
𝑥 = 𝑖∆𝑥 
𝑦 = 𝑗∆𝑦 
𝑡 = 𝑛∆𝑡 
Obs: utiliza-se 𝑤𝑖,𝑗
𝑛 pois se pede formulação explícita. 
 
2.1 ESCREVER AS APROXIMAÇÕES 
 
𝜕𝑤
𝜕𝑡
 ≅ 
𝑤𝑖,𝑗
𝑛+1 − 𝑤𝑖,𝑗
𝑛
∆𝑡
 → 𝐴𝑣𝑎𝑛ç𝑎𝑑𝑎 
𝜕𝑤
𝜕𝑥
 ≅ 
𝑤𝑖+1,𝑗
𝑛 − 𝑤𝑖−1,𝑗
𝑛
2∆𝑥
 → 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 
𝜕𝑤
𝜕𝑦
 ≅ 
𝑤𝑖,𝑗+1
𝑛 − 𝑤𝑖,𝑗−1
𝑛
2∆𝑦
 → 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 
𝜕²𝑤
𝜕𝑥²
 ≅ 
𝑤𝑖+1,𝑗
𝑛 − 2 𝑤𝑖,𝑗
𝑛 + 𝑤𝑖−1,𝑗
𝑛
∆𝑥²
 → 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 
𝜕²𝑤
𝜕𝑦²
 ≅ 
𝑤𝑖,𝑗+1
𝑛 − 2 𝑤𝑖,𝑗
𝑛 + 𝑤𝑖,𝑗−1
𝑛
∆𝑦²
 → 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 
 
2.2 SUBSTITUIR AS APROX. NA E.D.P. 
 
𝑤𝑖,𝑗
𝑛+1 − 𝑤𝑖,𝑗
𝑛
∆𝑡
= 
𝜇
𝜌
(
𝑤𝑖+1,𝑗
𝑛 − 2 𝑤𝑖,𝑗
𝑛 + 𝑤𝑖−1,𝑗
𝑛
∆𝑥²
+
𝑤𝑖,𝑗+1
𝑛 − 2 𝑤𝑖,𝑗
𝑛 + 𝑤𝑖,𝑗−1
𝑛
∆𝑦²
 ) −
1
𝜌
∆𝑝
𝐿𝑧
 
Isolando 𝑤𝑖,𝑗
𝑛+1: 
 
𝑤𝑖.𝑗
𝑛+1 = (𝜆𝑥)𝑤𝑖−1,𝑗
𝑛 + (𝜆𝑦) 𝑤𝑖,𝑗−1
𝑛 + (𝜑)𝑤𝑖,𝑗𝑛 + (𝜆𝑥)𝑤𝑖+1,𝑗
𝑛 + (𝜆𝑦) 𝑤𝑖,𝑗+1
𝑛 + 𝛼 
𝜆𝑥 = 
𝜇
𝜌
∆𝑡
∆𝑥2
 
𝜆𝑦 = 
𝜇
𝜌
∆𝑡
∆𝑦2
 
𝜑 = −2∆𝑡
𝜇
𝜌
(
1
∆𝑥2
+
1
∆𝑦2
) + 1 
𝛼 = − 
∆𝑡
𝜌
∆𝑝
𝐿𝑧
 
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑛ó 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙 
 
2.3 ESCREVER A EQUAÇÃO DO NÓ GERAL PARA TODOS OS NÓS 
 
2.3.1 Nó (0,0) (Contorno) 
 
𝑤0,0
𝑛+1 = (𝜆𝑥)𝑤−1,0
𝑛 + (𝜆𝑦) 𝑤0,−1
𝑛 + (𝜑)𝑤0,0
𝑛 + (𝜆𝑥)𝑤1,0
𝑛 + (𝜆𝑦) 𝑤0,1
𝑛 + 𝛼 
Nota-se o aparecimento de dois nós fictícios: 𝑤0,−1
𝑛 e 𝑤−1,0
𝑛 . Utilizaremos a condição de contorno para 
descobrir esses valores: 
 
𝜕𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑡)
𝜕𝑥
|𝑥=0 = 0 → 
𝜕𝑤
𝜕𝑥
 ≅ 
𝑤1,𝑗
𝑛 − 𝑤−1,𝑗
𝑛
2∆𝑥
 = 0 → 𝑤1,𝑗
𝑛 = 𝑤−1,𝑗
𝑛 
Analogamente, 
𝑤𝑖,1
𝑛 = 𝑤𝑖,−1
𝑛 
 
Substituindo na expressão do nó geral para o nó (0,0): 
 
𝑤0,0
𝑛+1 = (𝜑)𝑤0,0
𝑛 + (2𝜆𝑥)𝑤1,0
𝑛 + (2𝜆𝑦) 𝑤0,1
𝑛 + 𝛼 
 
2.3.2 Nó (0,1) (contorno) 
 
Analogamente ao caso anterior: 𝑤1,𝑗
𝑛 = 𝑤−1,𝑗
𝑛 
 
𝑤0,1
𝑛+1 = (𝜆𝑦) 𝑤0,0
𝑛 + (𝜑)𝑤0,1
𝑛 + (2𝜆𝑥)𝑤1,1
𝑛 + (𝜆𝑦) 𝑤0,2
𝑛 + 𝛼 
Mas pela condição de contorno: 
𝑒𝑚 𝑦 = 𝐿𝑦: 𝑤(𝑥, 𝐿𝑦 , 𝑡) = 0 ; 0 < 𝑥 < 𝐿𝑥; 𝑡 > 0 
Concluímos que: 𝑤𝑖,2
𝑛 = 0. Logo: 
𝑤0,1
𝑛+1 = (𝜆𝑦) 𝑤0,0
𝑛 + (𝜑)𝑤0,1
𝑛 + (2𝜆𝑥)𝑤1,1
𝑛 + 𝛼 
 
2.3.3 Nó (0,2)(contorno) 
 
Pela condição de contorno de tipo 1: 
𝑒𝑚 𝑦 = 𝐿𝑦: 𝑤(𝑥, 𝐿𝑦 , 𝑡) = 0 ; 0 < 𝑥 < 𝐿𝑥; 𝑡 > 0 
𝑤𝑖,2
𝑛 = 0 
Logo: 
𝑤0,2
𝑛 = 𝑤0,2
𝑛+1 = 0. 
 
2.3.4 Nó (1,0)(Contorno) 
 
Pela condição citada anteriormente: 
𝑤𝑖,1
𝑛 = 𝑤𝑖,−1
𝑛 
 
Utilizando a equação do nó geral: 
 
𝑤1,0
𝑛+1 = (𝜆𝑥)𝑤0,0
𝑛 + (𝜑)𝑤1,0
𝑛 + (𝜆𝑥)𝑤2,0
𝑛 + (2𝜆𝑦) 𝑤1,1
𝑛 + 𝛼 
 
Analogamente ao nó (0,2): 
𝑤2,𝑗
𝑛 = 0 
 
Logo: 
𝑤1,0
𝑛+1 = (𝜆𝑥)𝑤0,0
𝑛 + (𝜑)𝑤1,0
𝑛 + (2𝜆𝑦) 𝑤1,1
𝑛 + 𝛼 
 
2.3.5 Nó (1,1) (interno) 
 
Como é um nó interno, apenas se utiliza a equação do nó geral 
 
𝑤1,1
𝑛+1 = (𝜆𝑥)𝑤0,1
𝑛 + (𝜆𝑦) 𝑤1,0
𝑛 + (𝜑)𝑤1,1
𝑛 + (𝜆𝑥)𝑤2,1
𝑛 + (𝜆𝑦) 𝑤1,2
𝑛 + 𝛼 
Utilizando a cond. de contorno: 
𝑤2,𝑗
𝑛 = 0 𝑒 𝑤𝑖,2
𝑛 = 0 
Tem-se: 
𝑤1,1
𝑛+1 = (𝜆𝑥)𝑤0,1
𝑛 + (𝜆𝑦) 𝑤1,0
𝑛 + (𝜑)𝑤1,1
𝑛 + 𝛼 
 
2.3.6 Nó (1,2)(contorno) 
 
Utilizando a cond. de contorno: 
𝑤1,2
𝑛 = 𝑤1,2
𝑛+1 = 0 
 
2.3.7 Nó (2,0)(contorno) 
 
Utilizando a cond. de contorno: 
𝑤2,0
𝑛 = 𝑤2,0
𝑛+1 = 0 
2.3.8 Nó (2,1)(contorno) 
Utilizando a cond. de contorno: 
𝑤2,1
𝑛 = 𝑤2,1
𝑛+1 = 0 
2.3.9 Nó (2,2)(contorno) 
Utilizando a cond. de contorno: 
𝑤2,2
𝑛 = 𝑤2,2
𝑛+1 = 0 
 
2.4 ANÁLISE DE ESTABILIDADE 
 
Para que não haja perda de significância (assunto discutido na Aula 2 – 21/09/2014) devemos analisar o 
sinal da equação de nó geral: 
 
𝑤𝑖.𝑗
𝑛+1 = (𝜆𝑥)𝑤𝑖−1,𝑗
𝑛 + (𝜆𝑦) 𝑤𝑖,𝑗−1
𝑛 + (𝜑)𝑤𝑖,𝑗
𝑛 + (𝜆𝑥)𝑤𝑖+1,𝑗
𝑛 + (𝜆𝑦) 𝑤𝑖,𝑗+1
𝑛 + 𝛼 
𝜆𝑦 = 
𝜇
𝜌
∆𝑡
∆𝑦2
> 0 
𝜆𝑥 = 
𝜇
𝜌
∆𝑡
∆𝑥2
> 0 
𝜑 = −2∆𝑡
𝜇
𝜌
(
1
∆𝑥2
+
1
∆𝑦2
) + 1 > 0 (? ? ) 
𝛼 = − 
∆𝑡
𝜌
∆𝑝
𝐿𝑧
> 0 
Para ter estabilidade precisamos garantir essa igualdade: 
𝜑 = −2∆𝑡
𝜇
𝜌
(
1
∆𝑥2
+
1
∆𝑦2
) + 1 > 0 
∆𝑡 < 
𝜌∆𝑥2∆𝑦2
2𝜇(∆𝑥2 + ∆𝑦2)
 
1 QUESTÃO 3 
Considere a condução de calor unidimensional em regime permanente em um cilindro maciço com 
geração interna de energia. A equação ordinária que descreve matematicamente este problema físico é 
dado abaixo, com suas respectivas condições de contorno. Construa a solução por diferenças finitas 
empregando uma malha uniforme (∆r = 
1
4
) com 5 nós na malha r0, r1 , r2 , r3 e r4. Empregue diferença 
centrada nas aproximações de todas as derivadas espaciais. Apresente a equação discretizada para 
todos os nós da malha e monte o sistema matricial algébrico resultante. 
 
𝑑2𝑇(𝑟)
𝑑𝑟
+ 
1
𝑟
𝑑𝑇(𝑟)
𝑑𝑟
+ 
𝑔(𝑟)
𝑘
= 0 0 < 𝑟 < 1 (1) 
𝑒𝑚 𝑟 = 0: 
𝑑𝑇(𝑟)
𝑑𝑟
|𝑟=0 = 0 (2) 
𝑒𝑚 𝑟 = 1: 𝑇(𝑟 = 1) = 𝑇∞ (3) 
Lembrando que a coordenada (r) é representada por r = i∆r logo, T(r) = T(i∆r) = Ti 
No centro r = 0, temos pela regra de L’Hopital que: 
 
lim
𝑟→0
(
1
𝑟
 
𝑑𝑇(𝑟)
𝑑𝑟
) = 
𝑑²𝑇(𝑟)
𝑑𝑟²
 (4) 
Logo a equação (1) em r = 0 é dada por: 
 
2
𝑑2𝑇(𝑟)
𝑑𝑟2
+ 
𝑔(𝑟)
𝑘
= 0 𝑒𝑚 𝑟 = 0 (5) 
2 RESOLUÇÃO 
 
r0 = 0 ;r1 = 0.25; r2 = 0.5; r3 = 0.75; r4 = 1. Classificando: E.D.O., 2ª Ordem, Linear, Não-homogênea. 
 
 
2.1 PASSO 0 
 
Discretizar o domínio: 
 
𝑇(𝑟) ≅ 𝑇𝑖 
𝑟 = 𝑖∆𝑟 
 
2.2 PASSO 1 
 
Escrever as aprox. para derivadas. 
 
𝑑²𝑇
𝑑𝑟²
 ≅
𝑇𝑖+1 − 2𝑇𝑖 + 𝑇𝑖−1
∆𝑟2
 , 𝑜(∆𝑟²) 
 
𝑑𝑇
𝑑𝑟
 ≅
𝑇𝑖+1 − 𝑇𝑖−1
2∆𝑟
 , 𝑜(∆𝑟2) 
 
2.3 PASSO 2 
 
Substituir as aprox. na E.D.O.: 
 
𝑇𝑖+1 − 2𝑇𝑖 + 𝑇𝑖−1
∆𝑟2
 + 
1
𝑟
(
𝑇𝑖+1 − 𝑇𝑖−1
2∆𝑟
) = −
𝑔𝑖
𝑘
 
 
(
1
∆𝑟2
− 
1
2𝑟∆𝑟
)𝑇𝑖−1 + (
−2
∆𝑟2
)𝑇𝑖 + (
1
∆𝑟2
+ 
1
2𝑟∆𝑟
)𝑇𝑖+1 = 
−𝑔𝑖
𝑘
 
 
𝜆 = 
1
Δ𝑟²
 ; 𝛽 = 
1
2Δ𝑟
 ; 𝛼 = 
−𝑔𝑖
𝑘
 
 
(𝜆 − 
𝛽
𝑟𝑖
) 𝑇𝑖−1 + (−2𝜆)𝑇𝑖 + (𝜆 + 
𝛽
𝑟𝑖
)𝑇𝑖+1 = 𝛼 
 Equação do nó geral 
 
2.4 PASSO 3 
 
Escrever a eq. Discretizada p/ todos os nós. 
 
 
 Nó 0 – (r = 0)(Contorno 2º Tipo) 
 
 
2𝑑2𝑇
𝑑𝑟2
+ 
𝑔(𝑟)
𝑘
= 0 
Discretizando: 
 
2 [
𝑇𝑖+1 − 2𝑇𝑖 + 𝑇𝑖+1
Δ𝑟2
] = 𝛼 
 
𝑇𝑖−1 − 2𝑇𝑖 + 𝑇𝑖+1 = 
𝛼Δ𝑟²
2
 
Utilizando a eq. Geral para o nó 0: 
 
𝑇−1 − 2𝑇0 + 𝑇1 = 
𝛼Δ𝑟²
2
 
 
Como aparece um T-1 (nó fictício) utilizamos a condição de contorno: 
 
𝑑𝑇
𝑑𝑟
|𝑟=0 = 0 
 
𝑇𝑖+1 − 𝑇𝑖−1
2Δ𝑟
= 0 
 
𝑇𝑖+1 = 𝑇𝑖−1 
 
Para r = 0 
 
𝑇1 = 𝑇−1 
 
Substituindo na eq. Para o nó 0: 
 
−2𝑇0 + 2𝑇1 = 
𝛼Δ𝑟²
2
 
 
 
−𝑇0 + 𝑇1 = 
𝛼Δ𝑟²
4
 
 
 Nó 1: (r = 0.25)(interno) (aplica-se somente a eq. Do nó geral) 
 
(𝜆 − 4𝛽)𝑇0 + (−2𝜆)𝑇1 + (𝜆 + 4𝛽)𝑇2 = 𝛼 
 
 Nó 2: (r = 0.5)(interno) (aplica-se somente a eq. Do nó geral) 
 
(𝜆 − 2𝛽)𝑇1 + (−2𝜆)𝑇2 + (𝜆 + 2𝛽)𝑇3 = 𝛼 
 
 Nó 3: (r = 0.75) (interno) (aplica-se somente a eq. Do nó geral) 
 
(𝜆 − 
4
3
𝛽)𝑇2 + (−2𝜆)𝑇3 + (𝜆 + 
4
3
𝛽)𝑇4 = 𝛼 
 
 Nó 4: (r = 1)(contorno de 1º tipo) 
 
𝑇4 = 𝑇∞ 
 
 
2.5 PASSO 4 
 
Escrever a matriz: 
 
𝐴𝑥 = 𝑏 
 
[
 
 
 
 
 
−1 1 0 0 0
(𝜆 − 4𝛽) (−2𝜆) (𝜆 + 4𝛽) 0 0
0 (𝜆 − 2𝛽) (−2𝜆) (𝜆 + 2𝛽) 0
0 0 (𝜆 −
4
3
𝛽) (−2𝜆) (𝜆 +
4
3
𝛽)
0 0 0 0 1 ]
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
𝑇0
𝑇1
𝑇2
𝑇3
𝑇4]
 
 
 
 
= 
[
 
 
 
 
 
𝛼Δ𝑟²
4
𝛼
𝛼
𝛼
𝑇∞ ]
 
 
 
 
 
 
 
1 QUESTÃO 4 
 
Considere a equação diferencial parcial (eq. de Burguers) abaixo. Discretize o problema em questão 
utilizando o método de diferenças finitas em formulação explícita. Utilize uma malha uniforme ∆x = ¼, o 
que resulta em 5 nós na malha de x0 a x4. Empregar diferença centrada na aproximação da derivada 
espacial de 2ª ordem e diferença atrasada na derivada espacial de 1ª ordem. 
 
𝜕𝑇(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
+ 𝑢(𝑇)
𝜕𝑇(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥
= 𝜈
𝜕2𝑇(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥2
, 0 < 𝑥 < 1, 𝑡 > 0 
 
Com condições iniciais e de contorno dadas por, 
 
𝑒𝑚 𝑡 = 0 𝑇(𝑥, 0) = 1, 0 ≤ 𝑥≤ 1 
𝑒𝑚 𝑥 = 0 
𝜕𝑇(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥
|𝑥=0 = 0; 
𝑒𝑚 𝑥 = 1 𝑇(1, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0 
 
E com a função não-linear u(T) expressa por: 
 
𝑢(𝑇) = 𝑢0 + 𝑏𝑇 
 
Onde ν, u0 e b são constantes conhecidas. 
 Pede-se encontrar as equações algébricas para cada nó onde o potencial não é conhecido, e 
especificar o critério de estabilidade dessa aproximação para o caso de b = 0. 
 
2 RESOLUÇÃO 
 
Classificando: 
 E.D.P.: Presença de uma diferencial parcial 
 2ª ordem: Maior ordem de diferenciação presente na equação 
 Não-linear: Um dos termos que acompanha a diferencial do potencial, depende do próprio 
potencial (u(T)) 
 Homogênea: Termo fonte = 0. 
 E.D.P. Parabólica-Hiperbólica: possui termo transiente, termo de advecção e termo de difusão. 
2.0 DISCRETIZAR O DOMÍNIO 
 
𝑇(𝑥, 𝑡) ≅ 𝑇𝑖
𝑛 
𝑥 = 𝑖∆𝑥 
𝑡 = 𝑛∆𝑡 
𝑢(𝑇) = 𝑢0 + 𝑏𝑇𝑖
𝑛 
2.1 ESCREVER AS APROX. 
 
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
≅
𝑇𝑖+1
𝑛 − 2𝑇𝑖
𝑛 + 𝑇𝑖−1
𝑛
∆𝑥2
 
 
𝜕𝑇
𝜕𝑥
≅ 
𝑇𝑖
𝑛 − 𝑇𝑖−1
𝑛
∆𝑥
 
 
𝜕𝑇
𝜕𝑡
≅
𝑇𝑖
𝑛+1 − 𝑇𝑖
𝑛
∆𝑡
 
Condições de contorno: 
 
𝑒𝑚 𝑡 = 0 𝑇(𝑥, 0) = 1, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 
𝑇𝑖
0 = 1 
 
𝑒𝑚 𝑥 = 0 
𝜕𝑇(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥
|𝑥=0 = 0; 
 
𝜕𝑇
𝜕𝑥
≅ 
𝑇0
𝑛 − 𝑇−1
𝑛
∆𝑥
= 0 
 
𝑇0
𝑛 = 𝑇−1
𝑛 
 
𝑒𝑚 𝑥 = 1 𝑇(1, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0 
 
𝑇4
𝑛 = 0 
2.2 SUBSTITUIR AS APROX. NA EQUAÇÃO ORIGINAL 
 
𝑇𝑖
𝑛+1 − 𝑇𝑖
𝑛
∆𝑡
+ (𝑢0 + 𝑏𝑇𝑖
𝑛) [
𝑇𝑖
𝑛 − 𝑇𝑖−1
𝑛
∆𝑥
] = 𝜈 [
𝑇𝑖+1
𝑛 − 2𝑇𝑖
𝑛 + 𝑇𝑖−1
𝑛
∆𝑥2
] 
 
Isolando 𝑇𝑖
𝑛+1: 
𝑇𝑖
𝑛+1 = (𝜆 + 𝛼)𝑇𝑖−1
𝑛 + (−2𝛼 − 𝜆 + 1)𝑇𝑖
𝑛 + (𝛼)𝑇𝑖+1
𝑛 + 𝛽(𝑇𝑖−1
𝑛 − (𝑇𝑖
𝑛)2) 
𝜆 = 
𝑢0 ∆𝑡
∆𝑥
 
𝛼 = 
𝜈∆𝑡
∆𝑥2
 
𝛽 =
𝑏∆𝑡
∆𝑥
 
Equação (explícita) do nó geral 
 
2.3 RESOLVER PARA TODOS OS NÓS 
 
2.3.0 i = 0 (contorno) 
 
𝑇0
𝑛+1 = (𝜆 + 𝛼)𝑇−1
𝑛 + (−2𝛼 − 𝜆 + 1)𝑇0
𝑛 + (𝛼)𝑇1
𝑛 + 𝛽(𝑇−1
𝑛 − (𝑇0
𝑛)2) 
 
Observa-se o aparecimento do nó fictício 𝑇−1
𝑛 . Utilizando a cond. De contorno: 𝑇0
𝑛 = 𝑇−1
𝑛 
 
𝑇0
𝑛+1 = (−𝛼 + 1)𝑇0
𝑛 + (𝛼)𝑇1
𝑛 + 𝛽(𝑇0
𝑛 − (𝑇0
𝑛)2) 
 
2.3.1 i = 1 (interno) 
 
𝑇1
𝑛+1 = (𝜆 + 𝛼)𝑇0
𝑛 + (−2𝛼 − 𝜆 + 1)𝑇1
𝑛 + (𝛼)𝑇2
𝑛 + 𝛽(𝑇0
𝑛 − (𝑇1
𝑛)2) 
 
2.3.2 i = 2 (interno) 
 
𝑇2
𝑛+1 = (𝜆 + 𝛼)𝑇1
𝑛 + (−2𝛼 − 𝜆 + 1)𝑇2
𝑛 + (𝛼)𝑇3
𝑛 + 𝛽(𝑇1
𝑛 − (𝑇2
𝑛)2) 
 
2.3.3 i = 3 (interno) 
 
𝑇3
𝑛+1 = (𝜆 + 𝛼)𝑇2
𝑛 + (−2𝛼 − 𝜆 + 1)𝑇3
𝑛 + (𝛼)𝑇4
𝑛 + 𝛽(𝑇2
𝑛 − (𝑇3
𝑛)2) 
De acordo com umas das condições de contorno: 𝑇4
𝑛 = 0, então: 
 
𝑇3
𝑛+1 = (𝜆 + 𝛼)𝑇2
𝑛 + (−2𝛼 − 𝜆 + 1)𝑇3
𝑛 + 𝛽(𝑇2
𝑛 − (𝑇3
𝑛)2) 
2.3.4 i = 4 (contorno) 
 
Utilizando a cond. De contorno: 
𝑇4
𝑛+1 = 𝑇4
𝑛 = 0 
 
2.4 ANÁLISE DE ESTABILIDADE 
 
Relembrando: 
𝜆 = 
𝑢0 ∆𝑡
∆𝑥
 
𝛽 =
𝑏∆𝑡
∆𝑥
 
𝛼 = 
𝜈∆𝑡
∆𝑥²
 
 
 
Na questão é dito para considerar no momento da análise de estabilidade 𝑢𝑖
𝑛 = 𝑢0 (b = 0), então: 
 
𝜆 = 
𝑢0 ∆𝑡
∆𝑥
> 0 
𝛼 = 
𝜈∆𝑡
∆𝑥2
> 0 
𝛽 =
𝑏∆𝑡
∆𝑥
= 0 
 
Analisando os coeficientes encontrados na equação do nó geral, precisamos evitar que ocorra perda de 
significância dessa forma procura-se os coeficientes que venham gerar subtrações: 
 
𝑇𝑖
𝑛+1 = (𝜆 + 𝛼)𝑇𝑖−1
𝑛 + (−2𝛼 − 𝜆 + 1)𝑇𝑖
𝑛 + (𝛼)𝑇𝑖+1
𝑛 
 
(𝜆 + 𝛼) > 0 
(𝛼) > 0 
(−2𝛼 − 𝜆 + 1) > 0 ? ? 
Manipulando a ultima desigualdade: 
 
(−2
𝜈∆𝑡
∆𝑥²
− 
𝑢0 ∆𝑡
∆𝑥
+ 1) > 0 
∆𝑡 < 
∆𝑥²
2𝜈 + 𝑢0 ∆𝑥 
 
 
1 QUESTÃO 5 
Considere a função f(x) = 2ex. Usando um espaçamento de ∆x = 0.1 determine f’(x) em x = 2 usando 
a fórmula de diferença avançada de ordem de erro O(∆x) e a formula de diferença centrada de 
ordem de erro O(∆x²) e compare o erro percentual das duas aproximações. 
 
2 RESOLUÇÃO 
 
𝑓′𝑖 = 
𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖
∆𝑥
 , 𝑂(∆𝑥) → 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑎𝑣𝑎𝑛ç𝑎𝑑𝑎 
𝑓′𝑖 = 
𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖−1 
2∆𝑥
 , 𝑂(∆𝑥2) → 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 
 
Aplicando para i = 2: 
 
𝑓′2 = 
𝑓2,1 − 𝑓2
0.1
 = 
2𝑒2,1 − 2𝑒2 
0.1
= 15.5422762 
𝑓′2 = 
𝑓2,1 − 𝑓1,9 
2(0.1)
= 
2𝑒2,1 − 2𝑒1,9
2(0.1)
= 14.8027547 
 
Como 𝑓′(𝑥) = 2𝑒𝑥, calculamos o valor real: 
𝑓′(2) = 2𝑒2 = 14.7781122 
 
Calculando os erros percentuais: 
 
|
15.5422762 − 14.7781122
14.7781122
| = 0,051709 = 5,1709% → 𝐴𝑣𝑎𝑛ç𝑎𝑑𝑎 
|
14.8027547 − 14.7781122
14.7781122
| = 0,0001667 = 0,1667% → 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 
 
A partir dos erros observa-se como a aproximação centrada se aproxima muito mais do valor real que a 
aproximação avançada. 
 
1 QUESTÃO 6 
 
Classifique a equação diferencial abaixo quanto ao tipo, ordem e linearidade e em seguida discretize o 
problema em questão utilizando o método de diferenças finitas em formulação explícita. Utilize uma 
malha uniforme com espaçamento uniforme ∆x, o que resulta em 5 nós na malha de x0 a x4. Empregue 
diferença centrada na aproximação da derivada espacial de 2ª ordem e diferença atrasada na derivada 
espacial de 1ª ordem na equação diferencial para a derivada espacial de 1ª ordem da condição de 
contorno empregue a aproximação de diferença centrada. 
 
𝜕𝑇(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑇(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥
= 𝜈
𝜕2𝑇(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥2
, 0 < 𝑥 < 1, 𝑡 > 0 
 
Com as condições iniciais e de contorno dadas por, 
𝑇(𝑥, 0) = 𝑇𝑖𝑛, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 
 
−
𝜕𝑇(0, 𝑡)
𝜕𝑥
+ ℎ𝑇(0, 𝑡) = 0; 𝑇(1, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0 
 
Considere 𝜈, u e h como constantes conhecidas. 
 Pede-se para encontrar as equações algébricas para cada nó onde o potencial não é conhecido, 
e especificar o critério de estabilidade dessa aproximação. Rederivar a discretização da equação 
diferencial acima, agora utilizando diferença centrada para a 1ª derivada, e observar o que acontece 
com o critério de estabilidade para o nó geral, comparativamente ao caso anterior. 
 
2 RESOLUÇÃO 
 
Classificando: 
 E.D.P. 
 2ª ordem 
 Linear 
 Homogênea 
 Parabólica - Hiperbólica 
 
2.0 DISCRETIZAR O DOMÍNIO 
 
𝑇(𝑥, 𝑡) = 𝑇𝑖
𝑛 
𝑥 = 𝑖∆𝑥 
𝑡 = 𝑛∆𝑡 
 
2.1 ESCREVER AS APROXIMAÇÕES 
 
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
≅
𝑇𝑖+1
𝑛 − 2𝑇𝑖
𝑛 + 𝑇𝑖−1
𝑛
∆𝑥2
 
𝜕𝑇
𝜕𝑥
≅ 
𝑇𝑖
𝑛 − 𝑇𝑖−1
𝑛
∆𝑥
 
𝜕𝑇
𝜕𝑡
≅
𝑇𝑖
𝑛+1 − 𝑇𝑖
𝑛
∆𝑡
 
 
2.2 SUBSTITUIR AS APROX. NA E.D.P. 
 
𝑇𝑖
𝑛+1 − 𝑇𝑖
𝑛
∆𝑡
+ 𝑢 [
𝑇𝑖
𝑛 − 𝑇𝑖−1
𝑛
∆𝑥
] = 𝜈 [
𝑇𝑖+1
𝑛 − 2𝑇𝑖
𝑛 + 𝑇𝑖−1
𝑛
∆𝑥2
] 
 
Isolando 𝑇𝑖
𝑛+1: 
 
𝑇𝑖
𝑛+1 = (𝜆 + 𝛼)𝑇𝑖−1
𝑛 + (−2𝜆 − 𝛼 + 1)𝑇𝑖
𝑛 + (𝜆)𝑇𝑖+1
𝑛 
 
𝛼 =
𝑢∆𝑡
∆𝑥
 
𝜆 =
𝜈∆𝑡
∆𝑥2
 
 
 
2.3 ESCREVER PARA OS NÓS 
 
2.3.0 I = 0 (contorno) 
 
𝑇0
𝑛+1 = (𝜆 + 𝛼)𝑇−1
𝑛 + (−2𝜆 − 𝛼 + 1)𝑇0
𝑛 + (𝜆)𝑇1
𝑛 
Nota-se que aparece um nó fictício 𝑇−1
𝑛 , vamos utilizar a condição de contorno para resolver: 
 
−
𝜕𝑇(0, 𝑡)
𝜕𝑥
+ ℎ𝑇(0, 𝑡) = 0 
Utilizando aprox. centrada: 
−[
𝑇1
𝑛 − 𝑇−1
𝑛
2∆𝑥
] + ℎ𝑇0
𝑛 = 0 
𝑇−1
𝑛 = −2∆𝑥ℎ𝑇0
𝑛 − 𝑇1
𝑛 
Substituindo: 
 
𝑇0
𝑛+1 = (−2𝜆 − 𝛼 + 1 − 2∆𝑥ℎ(𝜆 + 𝛼) )𝑇0
𝑛 + (−𝛼)𝑇1
𝑛 
 
2.3.1 I = 1(interno) 
 
𝑇1
𝑛+1 = (𝜆 + 𝛼)𝑇0
𝑛 + (−2𝜆 − 𝛼 + 1)𝑇1
𝑛 + (𝜆)𝑇2
𝑛 
 
2.3.2 I=2(interno) 
 
𝑇2
𝑛+1 = (𝜆 + 𝛼)𝑇1
𝑛 + (−2𝜆 − 𝛼 + 1)𝑇2
𝑛 + (𝜆)𝑇3
𝑛 
2.3.3 I= 3(interno) 
 
𝑇3
𝑛+1 = (𝜆 + 𝛼)𝑇2
𝑛 + (−2𝜆 − 𝛼 + 1)𝑇3
𝑛 + (𝜆)𝑇4
𝑛 
Mas pela cond. De contorno: 𝑇(1, 𝑡) = 0 logo 𝑇4
𝑛 = 0. 
 
𝑇3
𝑛+1 = (𝜆 + 𝛼)𝑇2
𝑛 + (−2𝜆 − 𝛼 + 1)𝑇3
𝑛 
2.3.4 I = 4(contorno) 
 
𝑇4
𝑛+1 = 0. 
 
2.4 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE 
 
𝛼 =
𝑢∆𝑡
∆𝑥
> 0 
𝜆 =
𝜈∆𝑡
∆𝑥2
> 0 
Analisando os coeficientes da equação do nó geral: 
 
(𝛼 + 𝜆) > 0 
(−2𝜆 − 𝛼 + 1) > 0(? ? ) 
para se ter estabilidade deve se satisfazer a última desigualdade: 
 
(−2𝜆 − 𝛼 + 1) > 0 
 
∆𝑡 <
∆𝑥²
(2𝜈 + 𝑢∆𝑥)
 
 
Agora rederivando utilizando a diferença centrada ao invés da atrasada: 
 
𝑇𝑖
𝑛+1 − 𝑇𝑖
𝑛
∆𝑡
+ 𝑢 [
𝑇𝑖+1
𝑛 − 𝑇𝑖−1
𝑛
2∆𝑥
] = 𝜈 [
𝑇𝑖+1
𝑛 − 2𝑇𝑖
𝑛 + 𝑇𝑖−1
𝑛
∆𝑥2
] 
 
𝑇𝑖
𝑛+1 = (𝜆 + 𝛽)𝑇𝑖−1
𝑛 + (−2𝜆 + 1)𝑇𝑖
𝑛 + (𝜆 − 𝛽)𝑇𝑖+1
𝑛 
𝛽 =
𝑢∆𝑡
2∆𝑥
 
Fazendo análise dos coef. 
(𝜆 + 𝛽) > 0 
(−2𝜆 + 1) > 0 (? ) → (1) 
 
(𝜆 − 𝛽) > 0(? ) → (2) 
 
Resolvendo as desigualdades: 
(1) → ∆𝑡 <
∆𝑥²
2𝜈
 
(2) → ∆𝑡 > 0 
 
Logo, 
 
0 < ∆𝑡 <
∆𝑥2
2𝜈
 
Comparando os dois critérios, observa que utilizando a atrasada o ∆t deve ser menor: 
∆𝑥2
2𝜈
>
∆𝑥²
(2𝜈 + 𝑢∆𝑥)
 
 
 
 
3 CRÉDITOS 
Resolução por Alexandre Teixeira – Eng. Mecânica. Da lista da professora Carolina Cotta de Met. Mat. 
Aplicados a Eng. Mecânica. Revisão – Gabriel Weiss – Monitor de Met. Mat. 2014.2.