FÍSICA I - MOVIMENTOS (SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES - SI)

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CAPÍTULO I – MEDIÇÃO 
 
A ciência e a engenharia baseiam-se em medições e comparações. A Física foi 
descoberta à medida que se foi aprendendo a comparar medidas e grandezas como 
comprimento, tempo, massa, temperatura entre outras grandezas. Para que isso possa 
acontecer, algumas regras e padrões devem ser seguidos, esses padrões são definidos pelo 
Sistema Internacional de Unidades. 
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI). 
Em 1971, na 14ª Conferência Geral de pesos e medidas foram selecionadas sete 
grandezas como fundamentais: o comprimento, a massa, o tempo, a intensidade de corrente 
elétrica, a temperatura, a quantidade de matéria e a intensidade luminosa. Neste capítulo será 
dada ênfase apenas a três destas grandezas, que serão utilizadas nos primeiros capítulos desta 
apostila. 
Para expressar as grandezas muito grandes ou muito pequenas, frequentemente 
encontradas na física usa-se a notação científica e por conveniência são usados os prefixos da 
tabela 1. na qual cada prefixo representa uma certa potência de 10. 
Tabela 1. Prefixos das Unidades do SI 
Fator Prefixo Símbolo 
1012 tera- T 
109 giga- G 
106 mega- M 
103 quilo- k 
102 hecto- h 
101 deca- da 
10−1 deci- d 
10−2 centi- c 
10−3 mili- m 
10−6 micro- 𝜇 
10−9 nano- n 
10−12 pico- p 
Fonte: Halliday e Resnick, 2008 
Comprimento. 
O comprimento possui o metro (m) como sua unidade padrão. Por definição, o metro é 
a distância percorrida pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299792458 de 
segundo. 
Além do metro, algumas outras unidades são utilizadas em problemas, portanto, a 
transformação das unidades como quilômetro (km) e centímetro (cm) para o metro por 
exemplo, é fundamental. Isto pode ser feito usando um método conhecido como conversão 
2 
 
 
em cadeia, nesse método multiplica-se o valor origina por um fator de conversão (uma razão 
entre unidades que é igual à unidade). 
Tabela 2. Alguns comprimentos aproximados 
Descrição Comprimento em 
metros 
Distância da galáxia de 
Andrômeda 
2 𝑥 1022 
Distância da estrela mais 
próxima 
4 𝑥 1016 
Raio da Terra 6 𝑥 106 
Comprimento de um vírus 
típico 
1 𝑥 10−8 
Raio do átomo de 
hidrogênio 
5 𝑥 10−11 
Raio do próton 1 𝑥 10−15 
Fonte: Halliday e Resnick, 2008. 
Exemplo 1. Converter 2 quilômetros em metros. 
Como: 
1 𝑘𝑚
1000 𝑚
= 1 𝑒 
1000 𝑚
1 𝑘𝑚
= 1 
Portanto, para converter 2 km em metros, temos: 
2 𝑘𝑚 = 2 𝑘𝑚 . 1 = 2 𝑘𝑚 . 
1000 𝑚
1 𝑘𝑚
 = 2000 𝑚 
Obs: No método de conversão em cadeia escreve-se os fatores de conversão como 
razões para que eliminem as unidades indesejáveis. 
Exemplo 2. Converter 385 cm e 120 mm em metros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
Tempo 
O tempo possui o segundo (s) como sua unidade padrão. Por definição, um segundo é 
o intervalo de tempo que corresponde a 9 192 631 770 oscilações da luz (de uma transição 
atômica especificada) emitida por um átomo de césio-133. 
Tabela 3. Alguns intervalos de tempo aproximados. 
Descrição Intervalo de tempo 
em segundos 
Tempo de vida do próton 
(teórico) 
3 𝑥 1040 
Idade do Universo 5 𝑥 1017 
Duração de um dia 9 𝑥 104 
Intervalo entre duas batidas 
de um coração humano 
8 𝑥 10−1 
Tempo de vida do múon 2 𝑥 10−6 
Pulso mais curto obtido em 
laboratório 
1 𝑥 10−16 
Fonte: Halliday e Resnick, 2008 
Em diversas situações cotidianas os intervalos de tempo não são expressos em 
segundos, portanto, além das conversões das unidades do comprimento, é fundamental 
converter as unidades de tempo. 
Exemplo 3. Converter 2 minutos (min) em segundos. 
Como: 
1 𝑚𝑖𝑛
60 𝑠
= 1 𝑒 
60 𝑠
1 𝑚𝑖𝑛
= 1 
Portanto, para converter 2 min em segundos, temos: 
2 𝑚𝑖𝑛 = 2 𝑚𝑖𝑛 . 1 = 2 𝑚𝑖𝑛 . 
60 𝑠
1 𝑚𝑖𝑛
 = 120 𝑠 
Exemplo 4. Converter 2,5 horas em segundos. 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
Massa 
A massa possui o quilograma (kg) como sua unidade padrão. O quilograma é definido 
em termos de um padrão de massa de platina-irídio, mantido no Bureau Internacional de 
Pesos e Medidas, nas proximidades de Paris. A tabela 1.5 mostra algumas massas expressas 
em quilogramas. 
Para medições em escala atômica é comumente usada a unidade de massa atômica, 
definida em termos do átomo de carbono-12, ao qual, foi atribuída uma massa de 12 unidades 
de massa atômica (u). A relação entre as duas unidades é a seguinte: 
1 𝑢 = 1,660 538 86 𝑥 10−27𝑘𝑔 
Tabela 4. Algumas massas aproximadas. 
Descrição Massa em 
quilogramas 
Nossa galáxia 2 𝑥 1041 
Sol 5 𝑥 1030 
Lua 9 𝑥 1022 
Grão de poeira 7 𝑥 10−10 
Próton 2 𝑥 10−27 
Elétron 9 𝑥 10−31 
Fonte: Halliday e Resnick, 2008 
Exemplo 5. Converter 850 g em kg (utilizando o método da conversão em cadeia). 
 
 
 
 
A mudança de unidades da Área e do Volume. 
 
A Área é a região plana interna delimitada pelos lados de um polígono. O valor da 
área de um polígono varia de acordo com seu formato, quando se calcula a área de uma figura 
geométrica a sua unidade de medida aparece sempre ao quadrado (por exemplo, em metros 
quadrados – m²). O método da conversão em cadeia pode ser usado para a mudança de 
unidades que representam a área. 
Exemplo 6. Converter uma área de 2 km² em m². 
 
 
5 
 
 
 
O Volume de um sólido é a quantidade de espaço que esse sólido ocupa. Para o 
cálculo do volume deve-se considerar as três dimensões do sólido, observando seu formato. A 
unidade de medida do volume aparece sempre ao cubo (por exemplo, em metros cúbicos – 
m³). A exemplo da área, o método de conversão em cadeia pode ser usado para converter 
unidades de volume. 
Exemplo 7. Converter um volume de 2 m³ em cm³. 
 
 
 
Esquemas simplificando a conversão de unidades de área e volume podem ser 
utilizados: 
 
 
 
 
 
e 
 
 
 
 
Aplicando o método da conversão em cadeia. 
Exercício 1. O submarino de pesquisa ALVIN está mergulhando com uma velocidade 
de 36,5 braças por minuto. Expresse esta velocidade em metros por segundo. Uma braça 
(fath) vale exatamente 6 pés (ft), sendo que 1 metro (m) equivale a 3,28 ft. 
 
 
 
 
Figura 1. Esquema para conversão de unidades de área. 
Fonte: O autor. 
Figura 2. Esquema para conversão de unidades de volume. 
Fonte: O autor. 
 
6 
 
 
Exercício 2. João em uma maratona nas Olimpíadas correu a uma velocidade de cerca 
de 23 rides por hora (rides/h). O ride é uma antiga unidade grega para comprimento, como o 
stadium e o plethron: 1 ride valia 4 stadia, 1 stadium valia 6 plethra e, e 1 plethron equivale a 
30,8 m. Qual foi a velocidade de João em quilômetros por segundo (km/s)? 
 
 
 
 
Unidades de massa e comprimento no Sistema Britânico de unidades e no SI: 
Tabela 5. Comparação entre unidades de comprimento e massa no Sistema Britânico e no SI 
 Sistema britânico SI 
Comprimento 
1 pé 0, 304 8 m 
1 jarda 0, 914 4 m 
1 milha 1 609 m 
Massa 
1 libra (pound) 0,453 kg 
1 onça 28,35 x 10
-
³ kg 
1 tonelada 1 016,05 kg 
Fonte: O autor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
CAPÍTULO II – MOVIMENTO RETILÍNEO 
 
Neste capítulo, estuda-se a física básica do movimento nos casos em que o objeto está 
se movendo em linha reta. Este tipo de movimento é chamado de movimento unidimensional. 
Para realizar a análise do movimento unidimensional, serão impostas algumas 
restrições: 
a) O movimento se dá ao longo de uma linha reta. A trajetória pode ser vertical, 
horizontal ou inclinada, mas deve ser retilínea. 
b) Serão discutidos apenas os movimentos emsi e suas mudanças, sem a preocupação 
com as suas causas. As forças modificam o movimento, mas ainda não serão 
discutidas. 
c) Será suposto que o objeto em movimento é uma partícula, ou seja, um objeto 
pontual, ou um objeto que se move como uma partícula, isto é, todas as partes do 
objeto se movem na mesma direção e com a mesma rapidez. 
 
 
Posição e Deslocamento 
 
Localizar um objeto significa determinar sua posição em relação a um ponto de 
referência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura 3. observa-se uma mudança da posição 𝑥1 da partícula para uma posição 𝑥2. 
A essa mudança de posição é associado um deslocamento ∆𝑥, dado por 
 
∆𝑥 = 𝑥1 − 𝑥2 (1) 
 
O deslocamento é uma grandeza vetorial, possui módulo, direção e sentido. 
 
 
 
 
Figura 3. Posição inicial e final de uma partícula ao longo do eixo x. 
Fonte: Halliday e Resnick, 2008 
8 
 
 
Velocidade Média 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura 4. Algumas informações nos podem indicar com que rapidez o carro se 
moveu. Várias grandezas estão associadas à expressão “com que rapidez”, uma delas é a 
velocidade média (𝑣), que é a razão entre o deslocamento (∆𝑥) e o intervalo de tempo (∆𝑡) 
durante o qual esse deslocamento ocorre: 
 
𝑣 =
∆𝑥
∆𝑡
= 
𝑥2−𝑥1
𝑡2−𝑡1
 (2) 
 
A velocidade média também é uma grandeza vetorial, sendo definida pelo seu módulo, 
direção e sentido. 
Em um gráfico de x em função do tempo (Figura 3.), velocidade média é a inclinação 
da reta que liga dois pontos particulares da curva x (t): um dos pontos correspondentes a 𝑥2 e 
𝑡2 e o outro a 𝑥1 e 𝑡1. 
Na figura 3. Por exemplo, os dois pontos sobre a 
reta foram escolhidos em t = 1s e t = 4s, bem como a 
posição da partícula nos respectivos instantes, traçando 
uma linha reta entre os pontos e calculando a sua 
inclinação (∆𝑥 ∆𝑡 ), determina-se a velocidade média que é 
 
 
 
𝑣𝑚é𝑑 =
6 𝑚
3 𝑠
= 2 𝑚/𝑠 
 
 
 
 
A velocidade escalar média (𝑠𝑚é𝑑) é uma forma 
Figura 4. Posições e tempos de uma partícula se movimentando ao longo do eixo x 
Fonte: O autor. 
Figura 5. Gráfico que representa o 
movimento de uma partícula ao 
longo do tempo. 
Fonte: Halliday e Resnick, 2008 
9 
 
 
diferente de expressar “com que rapidez” uma partícula se move, a velocidade escalar média é 
definida em termos da distância total percorrida (independente da direção) e não pelo 
deslocamento. Assim, 
 
𝑠𝑚é𝑑 =
𝑑𝑖𝑠𝑡 â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
∆𝑡
 (3) 
 
Exemplo 6. Depois de dirigir uma van em uma estrada retilínea por 8,4 km a 70 km/h, você 
para por falta de gasolina. Nos 30 min seguintes, você caminha por mais 2,0 km ao longo da 
estrada até chegar aos posto de gasolina mais próximo. 
a) Qual é o deslocamento total, desde o início da viagem até chegar ao posto de gasolina. b) 
Qual é o intervalo de tempo entre o início da viagem e o instante em que você chega ao posto. 
c) Qual é a velocidade média do início da viagem até a chegada ao posto de gasolina? 
Determine a solução numericamente e graficamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Velocidade Instantânea 
 
A velocidade em um dado instante é obtida a partir da velocidade média reduzindo o 
intervalo de tempo ∆𝑡 até torná-lo próximo de zero. À medida que ∆𝑡 diminui, a velocidade 
média se aproxima de um valor-limite, que é a velocidade instantânea: 
 
𝑣 = lim∆𝑡→0
∆𝑥
∆𝑡
= 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑥 (4) 
 
10 
 
 
A velocidade instantânea, portanto, é a derivada de x em relação a t. A velocidade em 
qualquer instante, também é a inclinação da curva que representa a posição em função do 
tempo no instante considerado. 
 
Exemplo 7. A posição de uma partícula que se move em um eixo x é dada por 
𝑥 = 7,8 + 9,2𝑡 − 2,1𝑡3, 
com x em metros e t em segundos. Qual é a velocidade da partícula em t = 3,5 s? A 
velocidade é constante ou está variando continuamente? 
 
 
 
 
 
 
Aceleração 
 
Quando a velocidade de uma partícula varia, diz-se que a partícula sofreu uma 
aceleração. Para movimentos ao longo de um eixo, a aceleração média (𝑎𝑚é𝑑) em um 
intervalo de tempo é 
 𝑎𝑚é𝑑 =
∆𝑣
∆𝑡
= 
𝑣2−𝑣1
𝑡2−𝑡1
, (5) 
 
onde a partícula tem velocidade 𝑣1 no instante 𝑡1 e velocidade 𝑣2 no instante 𝑡2 . A aceleração 
instantânea (ou, simplesmente, aceleração) é dada por 
 
 𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑥 (6) 
 
 A aceleração de uma partícula em qualquer instante é a taxa com a qual a velocidade 
está variando nesse instante. Graficamente, a aceleração em qualquer ponto é a inclinação da 
curva de v (t) nesse ponto. 
Quando a aceleração é constante, a aceleração média e a aceleração instantâneas são 
iguais, e a equação 4 pode ser escrita na seguinte forma 
 
𝑎 = 𝑎𝑚é𝑑 = 
𝑣 − 𝑣0
𝑡 − 0
 
 
onde 𝑣0 é a velocidade no instante t = 0 e 𝑣 é a velocidade em um instante de tempo posterior 
t. Explicitando o 𝑣, tem-se 
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 (7) 
 
De maneira análoga, a equação da velocidade média também pode ser reescrita da seguinte 
forma 
 
11 
 
 
𝑣𝑚é𝑑 = 
𝑥 − 𝑥0
𝑡 − 0
 
 
resultando em 
 
 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑚é𝑑𝑡 (8) 
 
onde 𝑥0 é a posição da partícula em t = 0 e 𝑣𝑚é𝑑 é a velocidade média entre t = 0 e um 
instante de tempo posterior t. 
 Para a função velocidade linear da Eq. 7, a velocidade média em qualquer intervalo de 
tempo é a média aritmética da velocidade no início do intervalo com a velocidade no final do 
intervalo, portanto, para um intervalo t = 0 até um instante posterior t a velocidade média é 
 
 𝑣𝑚é𝑑 =
1
2
 𝑣0 + 𝑣 (9) 
 
Substituindo 𝑣 pelo seu valor, dado na Eq. 7, em seguida substituindo o resultado na Eq. 8, 
obtemos: 
𝑥 − 𝑥0 = 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡² (10) 
 
As equações 7 e 10 são as equações básicas do movimento com aceleração constante. As 
duas equações combinadas podem resultar em outras três equações que podem ser úteis em 
alguns problemas específicos. 
Em primeiro lugar pode-se eliminar o t para obter: 
 
𝑣² = 𝑣0² + 2𝑎(𝑥 − 𝑥0) (11) 
 
equação chamada de “Equação de Torricelli”. 
Em segundo lugar pode-se eliminar a aceleração a para obter: 
 
𝑥 − 𝑥0 =
1
2
(𝑣0 + 𝑣)𝑡 (12) 
 
Finalmente, pode-se eliminar a velocidade inicial 𝑣0, para obter: 
 
𝑥 − 𝑥0 = 𝑣𝑡 −
1
2
𝑎𝑡² (13) 
 
Tabela 6. Equações do movimento com aceleração constante. 
Equação Grandeza omitida 
𝑣 = 𝑣𝑜 + 𝑎𝑡 𝑥 − 𝑥𝑜 
𝑥 − 𝑥𝑜 = 𝑣𝑜𝑡 + 1 2 𝑎𝑡² 𝑣 
𝑣² = 𝑣𝑜² + 2𝑎(𝑥 − 𝑥𝑜 ) 𝑡 
𝑥 − 𝑥𝑜 = 1 2 𝑣𝑜 + 𝑣 𝑡 𝑎 
12 
 
 
𝑥 − 𝑥𝑜 = 𝑣𝑡 − 1 2 𝑎𝑡² 𝑣𝑜 
Fonte: Halliday e Resnick, 2008 
 
Aceleração em queda livre 
 
Ao arremessar um objeto para cimaou para baixo, observa-se que o mesmo sofre uma 
aceleração constante para baixo, conhecida como aceleração da gravidade, cujo módu 
lo é representado pela letra g. O valor desta aceleração não depende das características 
do objeto, o valor de g apenas varia ligeiramente com a latitude e com a altitude, no nível do 
mar e em latitudes médias, o valor é de aproximadamente 9,8 m/s². 
As equações de movimento da tabela 6. para aceleração constante também se aplicam 
à queda livre, ou seja, se aplicam a um objeto que esteja descrevendo uma trajetória vertical, 
para cima ou para baixo, contanto que os efeitos do ar possam ser desprezados. 
 
Representação Gráfica para uma partícula sofrendo uma aceleração constante 
 
 
O gráfico (a), representa a posição da partícula em função do tempo (x x t), a inclinação da 
trajetória varia pois a velocidade não é constante, ou seja, a partícula está sendo acelerada. 
O gráfico (b), representa a velocidade da partícula em função do tempo (v x t), a inclinação da 
reta que representa a velocidade ao longo do tempo permanece constante, sendo que a 
inclinação em qualquer ponto da reta fornece a aceleração da partícula, que permanece 
constante ao longo do tempo. 
O gráfico (c), representa a aceleração da partícula em função do tempo (a x t), a inclinação da 
reta que representa a aceleração ao longo do tempo é nula, pois a aceleração permanece 
constante. 
Exemplo 9. A posição de uma partícula no eixo x é dada por 
𝑥 = 4 − 27𝑡 + 𝑡³ 
Com x em metros e t em segundos. (a) Determine a função velocidade v(t) e a função 
aceleração a(t) da partícula. (b) Existe algum instante para o qual v = 0. (c) Descreva o 
movimento da partícula para t ≥ 0. 
 
Figura 6. Os gráficos (a), (b) e (c) representam o movimento de uma partícula. 
Fonte: Halliday e Resnick, 2008. 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 10. A cabeça de um pica-pau está se movendo para frente com uma 
velocidade de 7,49 m/s quando o bico faz contato com um tronco de árvore. O bico para 
depois de penetrar 1,87 mm do tronco. Determine o módulo da aceleração da cabeça do pica-
pau. 
 
 
 
Exemplo 11. João pulou de uma ponte e caiu 48 m até tocar a água. Suponha que a 
velocidade inicial era nula e despreze o efeito do ar sobre João. (a) Quanto tempo durou a 
queda do João? (b) Determine a posição de João ao final de cada segundo de queda. (c) Qual 
era a velocidade de João ao atingir a superfície da água? (d) Qual era a velocidade de João no 
final de cada segundo? Ele sentiu o aumento de velocidade? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
 
CAPÍTULO III – MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS 
DIMENSÕES 
 
Neste capítulo será analisado o movimento de uma partícula em duas e três dimensões, 
como, por exemplo, o movimento de uma bola de basquete ao ser arremessada pelo jogador 
em direção à cesta. 
 
Breve revisão sobre vetores 
 
Para facilitar uma soma vetorial, um vetor pode ser decomposto em componentes. 
Uma componente de um vetor é a projeção do vetor em um eixo. Na figura XX, por exemplo, 
ax é a componente do vetor 𝑎 em relação ao eixo x e ay é a componente em relação ao eixo y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pode-se determinar geometricamente as componentes de 𝑎 na figura XX a partir do 
triângulo retângulo mostrado na figura: 
 
𝑎𝑥 = 𝑎 cos 𝜃 𝑒 𝑎𝑦 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (14) 
 
 Se um vetor for conhecido na notação de seus componentes (𝑎𝑥 e 𝑎𝑦 ) e deseja-se 
especificá-lo na notação módulo-ângulo, pode-se usar as equações 
 
𝑎 = 𝑎𝑥² + 𝑎𝑦² 𝑒 tan 𝜃 =
𝑎𝑥
𝑎𝑦
 (15) 
 
para efetuar a transformação. No caso mais geral de três dimensões, precisa-se do módulo e 
de dois ângulos (a, 𝜃 e 𝜑, por exemplo,) ou de três componentes (𝑎𝑥 , 𝑎𝑦 e 𝑎𝑧) para 
especificar um vetor. 
Vetores Unitários: são vetores com módulo igual a 1 
 
Figura 7. Decomposição de um vetor em suas componentes. 
Fonte: Halliday e Resnick, 2008. 
15 
 
 
 
Posição e Deslocamento 
 
A localização de uma partícula pode ser especificada, de forma geral, através do vetor 
posição 𝒓 , vetor que liga um ponto de referência à partícula. Em coordenadas retangulares o 
vetor 𝑟 pode ser escrito na forma 
𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 (16) 
 
onde 𝑖 , 𝑗 e 𝑘 são as componentes vetoriais de 𝑟 e x, y e z são as componentes escalares. 
 
A figura 6., por exemplo, mostra uma 
partícula cujo vetor posição é: 
 
 
 
 
𝑟 = −3𝑚 𝑖 + 2𝑚 𝑗 + (5𝑚)𝑘 
 
 
 
Velocidade e Aceleração 
 
O vetor velocidade passa a ser escrito da seguinte maneira: 
 
𝑣 = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗 + 𝑣𝑧𝑘 (17) 
 
sendo 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 e 𝑣𝑧 as componentes escalares da velocidade. Podendo ser a velocidade média, 
bem como a velocidade instantânea, a definição de ambas está apresentada no capítulo II. 
Sendo que a velocidade instantânea de uma partícula é sempre tangente a trajetória da 
partícula na sua posição. 
 De maneira análoga a velocidade, o vetor aceleração passa a ser escrito da seguinte 
maneira: 
𝑎 = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 + 𝑎𝑧𝑘 (18) 
 
Exemplo 12. O vetor posição de uma partícula é inicialmente 𝑟1 = −3,0 𝑚 𝑖 + 2,0 𝑚 𝑗 +
 5,0 𝑚 𝑘 e depois passa a ser 𝑟2 = 9,0 𝑚 𝑖 + 2,0 𝑚 𝑗 + 8,0 𝑚 𝑘 . Qual é o deslocamento 
da partícula de 𝑟1 para 𝑟2 ? 
 
 
Figura 8. Posição de uma partícula. 
Fonte: Halliday e Resnick, 2008. 
16 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 13. Uma partícula cuja velocidade é 𝑣0 = −2,0𝑖 + 4,0𝑗 (em metros por segundo) 
em t = 0 sofre uma aceleração constante de módulo a = 3,0 m/s², que faz um ângulo 𝜃 = 130º 
com o semi-eixo x positivo. Qual é a velocidade da partícula em t = 5,0 s? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Movimento de Projéteis 
 
A seguir, será considerado um caso especial de movimento bidimensional, 
caracterizado por uma partícula que se move horizontalmente e verticalmente, sofrendo uma 
aceleração constante, igual a aceleração da gravidade 𝑔 , dirigida para baixo. O projétil pode 
ser uma bola de golfe, de basquete, de vôlei. O movimento apresentado na figura 7. será 
analisado detalhadamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 9. Movimento bidimensional de uma partícula. 
Fonte: Halliday e Resnick, 2008. 
17 
 
 
 
O movimento do projétil pode ser dividido em dois, pois o movimento horizontal e o 
movimento na vertical são independentes, ou seja, um não afeta o outro. Sendo que a única 
aceleração sofrida pelo projétil é a aceleração da gravidade, contribuindo para a variação da 
componente y (vertical) da velocidade, como não há aceleração na direção x (horizontal) a 
componente x da velocidade permanece constante desde o lançamento até tocar o solo. O 
movimento na vertical é uniformemente variado (aceleração constante), sendo que o 
movimento na horizontal permanece com a velocidade constante (aceleração nula). 
O projétil inicia sua trajetória com uma velocidade inicial 𝑣0 . As suas componentes 
𝑣0𝑥 e 𝑣0𝑦 podem ser calculadas se o ângulo 𝜃0 for conhecido, da seguinte maneira: 
 
𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃0 𝑒 𝑣0𝑦 = 𝑣0 sen 𝜃0 (19) 
 
Movimento Horizontal: Como não existe aceleração na direção horizontal. Emqualquer instante t, o deslocamento horizontal do projétil em relação à posição inicial é 
 
𝑥 − 𝑥0 = (𝑣0 cos 𝜃0)𝑡 (20) 
 
Movimento Vertical: É o movimento de um corpo em queda livre. O mais importante 
é que a aceleração é constante, portanto, as equações apresentadas na tabela XX podem ser 
usadas, desde que a seja substituído por –g e o eixo x seja substituído pelo eixo y. Assim, 
 
𝑦 − 𝑦0 = (𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃0)𝑡 −
1
2
𝑔𝑡² (21) 
e 
𝑣𝑦² = (𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃0)² − 2𝑔(𝑦 − 𝑦0) (22) 
 
A componente vertical da velocidade se comporta exatamente como a de uma bola 
lançada verticalmente para cima. Inicialmente ela está dirigida para cima e seu módulo 
diminui continuamente até se anular, o que determina a altura máxima da trajetória, em 
seguida, a componente muda de sentido e deu módulo passa a aumentar com o tempo. 
 
Equação da Trajetória: A equação do caminho percorrido pelo projétil pode ser obtida 
eliminando o tempo nas equações 15 e 16 (explicitando-o na equação 15 e o substituindo na 
equação 16) obtendo dessa forma, 
 
𝑦 = (𝑡𝑎𝑛 𝜃0)𝑥 −
𝑔𝑥²
2(𝑣0 cos 𝜃0)²
 (trajetória) (23) 
 
Como a equação e da forma 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥², onde a e b são constantes, descreve a 
equação de uma parábola, sendo assim, a trajetória do projétil é parabólica. 
 
18 
 
 
Alcance Horizontal: O alcance horizontal R de um projétil, é a distância horizontal 
percorrida pelo projétil até voltar à sua altura inicial (altura do lançamento). 
Para determinar o alcance R, considera-se 𝑥 − 𝑥0 = 𝑅 na equação 15 e 𝑦 − 𝑦0 = 0 na 
equação 16, obtendo 
 
𝑅 = (𝑣0 cos 𝜃0)𝑡 𝑒 0 = (𝑣0 sen 𝜃0)𝑡 − 
1
2
gt² (24) 
 
Eliminando o tempo nessas duas equações, tem-se 
 
𝑅 =
2𝑣0²
𝑔
 𝑠𝑒𝑛 𝜃0 𝑐𝑜𝑠𝜃0 
 
Usando a identidade 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃0 𝑐𝑜𝑠𝜃0 = 𝑠𝑒𝑛 2𝜃0 a equação para determinar R se torna 
 
𝑅 =
𝑣0²
𝑔
𝑠𝑒𝑛 2𝜃0 (25) 
 
Nota: Esta equação não fornece a distância horizontal percorrida pelo projétil quando a 
altura final é diferente da altura de lançamento. 
 
 O alcance horizontal R é máximo para um ângulo de lançamento de 45º. Pois 
𝑠𝑒𝑛 2𝜃0 = 1 (valor máximo), que corresponde a 𝜃0 = 45º. 
 
Exemplo 14. Um avião de salvamento voa a 55,0 m/s, a uma altura constante de 500 
m, rumo a um ponto diretamente acima da vítima de um naufrágio, para deixar cair um bote 
salva vidas. Despreze os efeitos causados pelo ar. (a) Qual deve ser o ângulo ∅ da linha de 
visão do piloto para a vítima no instante em que o piloto deixa cair o bote? (b) No momento 
em que o bote atinge a água, qual é a sua velocidade em termos dos vetores unitários e na 
notação módulo-ângulo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 15. Um navio pirata está situado a 560 m de um forte que protege a entrada 
de um porto. Um canhão de defesa, situado ao nível do mar, dispara balas com uma 
velocidade inicial 𝑣0 = 82 𝑚/𝑠. Despreze os efeitos causados pelo ar. (a) Com que ângulo 𝜃0 
em relação à horizontal as balas devem ser disparadas para acertar o navio? (b) Qual é o 
alcance máximo das balas de canhão?