Introducao 1 2s16

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Departamento de Engenharia Elétrica da EEUFMG
Prof. Wallace do Couto Boaventura
Mar- 2016
 Notas de aula do Prof. Renato Lyra
 Notas de aula do Prof. Wallace C. Boaventura
 Imagens do livro “Signal and Systems”, A. 
Oppenheim, A. Willsky, (1983 e 1997)
 Material dos cursos livres do MIT:
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 Áreas do conhecimento que fazem uso de 
processamento de sinais:
 Comunicação, Aeroespacial, Projeto de Circuitos, 
Acústica, Sismologia, Eng. Biomédica, Geração e 
Transmissão de Energia, Controle de Processos 
(químicos, etc), Processamento da fala, etc, etc….
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 Quais são os sinais mais importantes?
 O que há de tão especial com as exponenciais 
complexas?
 Qual a diferença fundamental entre as exponenciais 
complexas do DTCont e do DTDis?
 Qual a real utilidade da resposta ao impulso de um 
sistema? Vamos utilizá-la no ‘cotidiano’ de 
processamentos de sinais?
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 A integral de convolução (soma de convolução) 
‘surge’ por definição? Ou é intrínseca às 
propriedades dos sinais e sistemas?
 Vamos projetar sistemas? Quais?
 Por que precisamos do domínio da frequência?
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 SINAIS
Função de uma ou mais variáveis independentes
Contêm informação sobre a natureza/ comportamento de 
algum fenômeno.
 SISTEMAS
Respondem a sinais particulares produzindo outros sinais
Processamento de sinais “nasce” nas ferramentas 
usadas para se estudar sinais e sistemas.
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Extração de informação: predição (extrapolação), 
correção/recuperação (falhas, ruídos, etc.), aumento 
de qualidade (interpolação em imagens, eliminação 
de ruído), entre outras...
Projeto de sistemas com funções de seleção de 
frequência (filtros).
 Correção sistemas com “problemas”: projeto de 
controladores (não será abordado).
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 FILTRAGEM 
 MODULAÇÃO  CONCEITOS/
”FERRAMENTAS”
 AMOSTRAGEM  BÁSICAS DE 
PROCESSAMENTO DE
SINAIS (DTCont e DTDis)
 ANÁLISE ESPECTRAL 
 REALIMENTAÇÃO 
▪ Não será abordado. 
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-Sinais Elétricos – tensões e corrente em um 
circuito;
- Sinais acústicos – música, voz (analógicos 
ou digitais);
- Sinais de vídeo – intensidade luminosa em 
função da posição;
- Sinais biológicos – sequência de DNA
- Ruído (“problemas”);
- Unidimensionais, bidimensionais, N 
dimensionais;
- Funções de variáveis independentes;
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Fig.3 Perfil de velocidade de vento média vertical típica anual. (Adaptado de Crawford e Hudson, 
National Severe Storms Laboratory Repor, ESSA ERLTM-NSSL 48, August 1970.)
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Fig. 4 Exemplo de sinal no domínio do tempo discreto.
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Fig.5 Sinal representando a relação abundância-espécie de uma comunidade ecológica.[Adaptado de E.c.Pielou, An 
Introduction to Mathematical Ecology (New York: Wiley, 1969).] 
t → variável real
n → variável inteira
x(t) → maioria dos sinais do 
mundo “real” (físico)
x[n] → sinais “gerados” pelo 
homem (imagens digitais, 
cotações, etc.), amostragem
DTDis ? → permite a utilização 
de computadores, DSPs, 
FPGAs, etc.
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Fig.6 Representação gráfica de sinais (a) tempo contínuo e (b) tempo discreto.
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Reflexão em torno de n=0:
x[n] ↔ x[-n]
Qual a utilização ??
- Filtragem não-causal !!!
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Fig. 7 (a) Sinal no tempo discreto x[n]; (b) Reflexão em torno de n=0, x[-n]. 
Reflexão em torno de t = 0
x(t) ↔ x(-t)
-Tocar uma fita de áudio ao 
contrário.
-O conteúdo espectral é 
alterado?
- O sinal permanece inteligível ?
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Fig. 8 (a) Sinal no tempo contínuo x[t]; (b) Reflexão em torno de t=0, x[-t]. 
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Escalonamento:
-Variação da velocidade de fitas de 
áudio:
-Aumento: x(t) → x(2t)
-Diminuição: x(t) → x(t/2)
-E no DTDis ???
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x(t) → x(t - to)
x[n] → x[n – no]
Aplicações:
-sonares;
-Cancelamento de eco;
-Ultrassom.
- Identificação do 
deslocamento !!!
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Fig. 10 Sinal no domínio do tempo discreto e com um deslocamento no tempo.
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Fig.11 (a) Sinal par no tempo contínuo e (b) sinal 
ímpar no tempo contínuo.
DTCont DTDis
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Fig.12 Sinal periódico no tempo contínuo.
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 x(t) = x(t+T)  t e T>0
 Se x(t) é periódico com período T implica que
→ x(t) = x(t+nT)  t e n ∈ .
x(t) é periódico com período 2T, 3T, 4T, ...
 Período fundamental To →menor valor de T>0, tal 
que x(t) = x(t+T).
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 x(t) constante → não existe periodicidade, 
periódico para qualquer T
 x(t) não periódico → x(t) ≠ x(t+T) T>0
 Sinais discretos → x[n] = x[n +N]  n e N∈ .
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 São sinais usados frequentemente;
 São “fundamentais” para a representação de sinais 
“genéricos”
 Formam a base das ferramentas de Fourier para o 
tratamento de sinais do DTCont.
 Exponenciais complexas (sinais senoidais): 
x(t) = Ceat ; C , aC
 função impulso unitário e degrau unitário.
 Temos sinais equivalentes para o DTDis
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x(t) = Ceat ; C , a  R
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Fig. 13 Exponencial real no tempo contínuo.
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 Se 𝑤𝑜 = 0→ 𝑥1 𝑡 = 1 (constante)
 Se 𝑤𝑜 ≠ 0→ 𝑇𝑜 =
2π
𝑤𝑜
← período fundamental.
 Assim 𝑥1(𝑡)= 𝑒
𝑗𝑤𝑜𝑡 e 𝑥2(𝑡) = 𝑒
−𝑗𝑤𝑜𝑡 possuem o mesmo 
período fundamental.
Frequência NEGATIVA ???
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Fig. 14 Sinal senoidal no tempo contínuo.
Fórmula de Euler:
𝑒𝑗𝑤𝑜𝑡 = cos𝑤𝑜𝑡+ jsin𝑤𝑜𝑡
Frequência fundamental
𝑤𝑜 =
2π
𝑇𝑜
fo =
1
To
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Fig.15 Relação entre o sinal na frequência fundamental e suas componentes harmônicas. Sendo 𝒘𝟏 >
𝒘𝟐 > 𝒘𝟑. Logo 𝑻𝟏 < 𝑻𝟐 < 𝑻𝟑.
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x(t) = Ceat ; C , a  C
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Fig.16 (a) Crescimento do sinal𝒙(𝒕) = 𝑪𝒆𝒓𝒕 cos 𝑤𝑡 + 𝜃 , com 𝒓 > 𝟎 , (b) decrescimento 
do sinal 𝒙(𝒕) = 𝑪𝒆𝒓𝒕 cos 𝑤𝑡 + 𝜃 , com 𝒓 < 𝟎 .
Base de
Sinais ??
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 Exponenciais complexas harmonicamente 
relacionadas.
 𝜑𝑘 t = 𝑒
𝑗𝑤𝑘𝑡 = 𝑒𝑗𝑘𝑤𝑜𝑡 𝑘 = 0,±1,±2,…
 𝑘 = 0→ 𝜑𝑘 t é uma constante
 𝑘 ≠ 0→ 𝜑𝑘 t é periódico →𝑇𝑘 =
2𝜋
𝑘 𝑤0
 → Conjunto de exponenciais periódicas 
cujas frequências são todas múltiplas de 
uma mesma frequência positiva. 
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Fig. 17 Função degrau unitário no domínio do tempo 
contínuo.
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Fig.18 Aproximação para o degrau unitário no tempo 
contínuo. Fig.19 Derivada de 𝒖∆(𝐭)
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Fig. 20 Impulso unitário. Fig. 21 Impulso escalonado.
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Fig. 22 Sequência de degrau unitário.
Muito mais simples do que o DTCont !!! Qual a mágica ?
(também é capaz de ‘peneirar’ um sinal) 36
Fig. 22 Impulso unitário
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Fig.23 𝒙 𝒏 = 𝑪𝜶𝒏: 𝐚 𝜶 > 𝟏; 𝒃 𝟎 < 𝜶 < 𝟏; 𝒄 − 𝟏 < 𝜶 < 𝟎; 𝐝 𝜶 < 𝟏.
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Fig.24 Sinal senoidal no tempo discreto.
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Fig.25(a) Crescimento do sinal senoidal no tempo discreto, (b) decrescimento do 
sinal no tempo discreto.
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 Em tempo contínuo:
 𝑒𝑗 Ω𝑜+2𝜋 𝑛 = 𝑒𝑗Ω𝑜𝑛𝑒𝑗2𝜋𝑛 = 𝑒𝑗Ω𝑜𝑛, para qualquer Ω𝑜
 Logo a sequência 𝑥 𝑛 = 𝑒𝑗 Ω𝑜+2𝜋 𝑛 é a mesma que 
𝑥1 𝑛 = 𝑒𝑗Ω𝑜𝑛, e com isto, considerando-se apenas o 
intervalo 0 ≤Ω𝑜 < 2𝜋 ou −𝜋 ≤Ω𝑜 < 𝜋. Fora deste 
intervalo as exponenciais se repetem.
• Quanto maior 𝑤0, maior a taxa de 
oscilação.
• 𝑒𝑗𝑤𝑜𝑡 é periódica para qualquer 𝑤0
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Como sabemos se temos
altas ou baixas freq. ??
?
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Fig.26 Sequências senoidais no tempo discreto para diferentes frequências.
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 Conjunto de exponenciais periódicas com período N ou 
frequência múltipla de 
2𝜋
𝑁
.
 Ω𝑜 =
𝑚×2𝜋
𝑁
 𝜑𝑘 [𝑛] = 𝑒
𝑗𝑘
2𝜋
𝑁
𝑛
, com 𝑘 = 0,±1, ±2, …
 Tempo contínuo 𝑒
𝑗𝑘
2𝜋
𝑁
𝑡
, 𝑘 = 0,±1,±2,…→funções distintas
 Tempo discreto 𝜑𝑘+𝑁 [𝑛] = 𝑒
𝑗(𝑘+𝑁)
2𝜋
𝑁
𝑛
= 𝑒𝐽2𝜋𝑛𝑒
𝑗𝑘
2𝜋
𝑁
𝑛
=𝜑𝑘 𝑛
 Existem apenas N exponenciaisperiódicas distintas
 Existe uma frequência máxima possível de ser representada.
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Sistemas “promovem’’ 
a transformação de 
sinais deixando nestes 
a sua “impressão 
digital”
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Fig.27 conexões de sistemas : (a) conexão série, (b) conexão paralelo, (c) conexão série –paralelo.
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 Causalidade
 Sistemas que não ‘olham’ para o futuro;
não-antecipativos.
 Estabilidade
 Sistemas com ‘limites’; sem exponenciais ‘positivas’.
 Invariância com o tempo
 Não ‘alteram’ sua resposta com deslocamentos no tempo 
da entrada (somente sofrem deslocamento)
 Linearidade
 Satisfazem o princípio da superposição.
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 Para se calcular a saída do sistema em um dado instante de 
tempo são necessários somente o valor da entrada neste 
instante de tempo e valores passados da entrada/saída. 
Testar:
Causal, não-causal, não-causal, causal.
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 Se a entrada é ‘limitada’ em amplitude, a 
saída também o será (Bounded Input 
Bounded Output)
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Fig.28 (a) Exemplo de sistema instável, (b) Exemplo de sistema estável. Aqui a entrada é uma 
aceleração aplicada na bola e a saída é a posição vertical na bola.
 Se a entrada sofre um deslocamento no 
tempo, a mudança na saída é o mesmo 
deslocamento no tempo.
DTDis. DTCont.
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Entradas iguais
=>
Saídas iguais
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Se: e
então
Obs: ‘a’ e ‘b’ constantes (complexas)
Generalizando:
Propriedade: entrada nula => saída nula
(não basta a relação entrada/saída ser uma reta, tem 
que passar por zero)
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Entrada → x(t)
Saída → i(t)
Supor dois valores para entrada: 
x1(t) = 4 V e x2(t) = 8 V
Como x2(0) = 2x1(0)
Se linear: i2(0) = 2i1(0)
Supondo R = 1 : 
Se y(0) = 0 → i1(0) = 4 A, i2(0) = 8 A → i2(0) = 2i1(0) → LINEAR
Se y(0) = 4 V → i1(0) = 0 A, i2(0) = 4 A → i2(0)  2i1(0) → Não Linear
Sistema incrementalmente linear: x2(t) – x1(t) → i2(t) – i1(t)
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 Apresentam as propriedades da Linearidade e da Invariância 
no Tempo.
 São apropriados para a modelagem de diversos sistemas 
físicos.
 Permitem a utilização de “técnicas” de análise que levam a 
um conhecimento detalhado do comportamento destes 
sistemas (o que você conhece, você controla/comanda).
 Princípio da superposição: calcula-se respostas a sinais 
complexos por meio das respostas a sinais simples:
▪ → decomposição de sinais em termos de
sinais básicos!!!
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 Sinal complexo
Sinal básico 1 → Resposta 1
Sinal básico 2 → Resposta 2
.
.
.
Sinal básico 𝑁 → Resposta 𝑁
RESPOSTA A 
SINAIS 
COMPLEXOS
∑
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Coeficientes Sinais Básicos
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Supondo o sistema LINEAR e:
Saída:
Entrada:
Pelo princípio da 
SUPERPOSIÇÃO:
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A resposta ao impulso unitário e a representação por soma de convolução
dos sistemas de tempo discreto LIT
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Inv. Tempo
Linear e Inv. 
Tempo
y[n] = x[n]*h[n] : Soma de convolução
. Prop. da função Imp.
. Linearidade
. Invariância c/ desloc.
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 Como h[n] pode ser usado para calcular a resposta do 
sistema a qualquer sinal de entrada, dizemos que tal sistema 
é “completamente caracterizado por sua resposta ao 
impulso - h[n]”. E no domínio da frequência?
Comutativa:
Distributiva:
Associativa:
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 Representação de x(t) por meio de uma soma de 
pulsos deslocados e escalados:
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um sinal qualquer pode 
ser representado por 
um combinação de 
sinais básicos (impulso 
unitário)
. Propriedade da função impulso !!! 65
. Linearidade !!!
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 𝑥 𝑡 → 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 → 𝑦 𝑡
 𝑥 𝑡 = lim
∆→0
 −∞
∞ 𝑥 𝑘∆ 𝛿∆ (𝑡 − 𝑘∆)∆
 Pelo princípio da superposição 
 → 𝑦(𝑡) = lim
∆→0
 −∞
∞ 𝑥 𝑘∆ ℎ𝑘∆ (𝑡)∆
 Onde ℎ𝑘∆ é a resposta do sistema linear à entrada 
𝛿∆ (𝑡 − 𝑘∆)
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Fig.29 (a) Interpretação gráfica da resposta de um sistema linear contínuo no tempo como expresso na equação (3.25)
y(t) = x(t)*h(t) : Integral de convolução
. Invariância com o
deslocamento no
tempo !!!
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 Como h(t) pode ser usado para calcular a resposta do 
sistema a qualquer sinal de entrada, dizemos que tal sistema 
é “completamente caracterizado por sua resposta ao 
impulso – h(t)”. Como é que fica esta questão no domínio da 
frequência?
Comutativa:
Distributiva:
Associativa:
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 Se estes são completamente caracterizados por sua resposta 
ao impulso (DTDis ou DTCont), devemos ser capazes de 
inferir suas propriedades pela análise de h[n] ou h(t).
 Causalidade:
 Estabilidade:
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 Sistemas LIT podem ser analisados por meio do estudo de sua 
resposta a sinais básicos. Até agora usamos funções impulso.
 Resposta ao impulso unitário (uma curva no domínio do tempo) 
caracteriza completamente um SLIT.
Sabemos projetar um SLIT a partir da resposta ao imp.?
 Pelo princípio da superposição, podemos usar qualquer conjunto 
de sinais básicos.
 Existe algum outro sinal básico ‘comum’ aos SLIT ? 
→ exponenciais complexas
 Ferramenta para modelagem de sinais por meio de exponenciais 
complexas ? 
→ Fourier!!
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