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1 Processamento de Sinais Introdução – “Técnicas” de Fourier Departamento de Engenharia Elétrica da EEUFMG Prof. Wallace do Couto Boaventura Mar - 2013 Material utilizado na preparação desta apresentação: • Notas de aula do Prof. Renato Lyra • Notas de aula do Prof. Wallace C. Boaventura • Imagens do livro “Signal and Systems”, A. Oppenheim, A. Willsky, (1983 e 1997) • Material dos cursos livres do MIT: 2 2 Introdução • As técnicas de Fourier permitem o estabelecimento dos “blocos” funcionais básicos para o projeto de sistemas de processamento de sinal em tempo contínuo (processamento analógico) • De forma resumida, tratam-se de ferramentas usadas para a representação de sinais “quaisquer” por meio sinais básicos, fundamentais para os SLIT (as exponenciais complexas). Tais ferramentas apresentam várias propriedades que “simplificam” a análise de sinais e o tratamento de SLIT (projeto e síntese). • Tem-se uma classificação de sinais entre periódicos (Série e Transformada de Fourier, SF e TF) e aperiódicos (TF). • Ambas, SF e TF, fazem uso de um conjunto de exponenciais complexas para a representação de sinais. 3 “Utilidade” das autofunções 4 3 5 6 4 7 8 5 Cálculo dos coeficientes ak: . 9 . 10 6 Exemplos: 11 12 7 ak para diversas relações T/T1 13 14 8 15 16 9 17 18 10 Utilização de SF para cálculo da resposta de SLIT a sinais periódicos 19 Se {ak} é o conjunto de coeficientes da série de Fourier de um sinal de entrada x(t) em um SLIT, então {ak H(kw0)} é o conjunto dos coeficientes da SF do sinal de saída y(t) dehkH jk 0)()( 0 -> autovalor k tjk k ekHaty 0)()( 0 20 11 21 • Exemplo → 𝑥(𝑡) = −33 𝑎𝑘𝑒𝑗𝑘2𝜋𝑡 𝑤𝑜 = 2𝜋; 𝑎𝑜 = 1; 𝑎1 = 𝑎−1 = 1 4 ; 𝑎2 = 𝑎−2 = 1 2 ; 𝑎3 = 𝑎−3 = 1 3 → 𝑥 𝑡 = 1 + 1 4 (𝑒𝑗2𝜋𝑡+𝑒−𝑗2𝜋𝑡) + 1 2 (𝑒𝑗4𝜋𝑡+𝑒−𝑗4𝜋𝑡) + 1 3 (𝑒𝑗6𝜋𝑡+𝑒−𝑗6𝜋𝑡) 𝑥 𝑡 = 1 + 1 2 cos 2𝜋𝑡 + 1 cos 4𝜋𝑡 + 2 3 cos 6𝜋𝑡 𝐻(𝑘𝑤𝑜) = 0 ∞ 𝑒−𝜕𝑒−𝑗𝑘𝑤𝑜𝜕𝑑𝜕 = − 1 1+𝑗𝑘𝑤𝑜 𝑒−𝜕𝑒−𝑗𝑘𝑤𝑜𝜕 (0 < 𝜕 < ∞) = 1 1 +𝑗𝑘𝑤𝑜 → 𝑦 𝑡 = −3 3 𝑏𝑘𝑒 𝑗𝑘2𝜋𝑡 ; 𝑏𝐾 = 𝑎𝑘 𝐻(𝑘2𝜋) 𝑆𝐿𝐼𝑇 → ℎ 𝑡 = 𝑒−𝑡u(t) 22 12 23 Transformada de Fourier • Até agora tratamos de sinais periódicos e portanto usamos um conjunto “discreto” de exponenciais complexas cujas freqüências são múltiplas da freqüência do sinal “modelado”. As exponenciais estão separadas de múltiplos de ωo. • Para tratar de sinais aperiódicos precisaremos de um outro “tipo” de conjunto de exponenciais complexas. • Como se classificam os sinais periódicos e aperiódicos em termos da “quantidade de informação” que estes contêm? 24 13 25 26 14 27 28 15 29 . 30 16 31 32 17 33 34 18 35 36 19 37 38 20 39 40 21 41 42 22 43 44 23 45 46 24 47 48 25 Representação polar da TF 49 → X 𝑤 = X 𝑤 𝑒𝑗∠X 𝑤 𝑥 𝑡 → Soma de exponenciais complexas periódicas e frequências diferentes X 𝑤 → Amplitude de exponenciais complexas ∠X 𝑤 → Fase das exponenciais complexas => MAIS RICA EM INFORMAÇÕES !!!! Representação polar da TF 50 26 51 52 27 53 54 28 • Próximo passo: • Aplicar as “técnicas” de Fourier para o processamento de sinais no domínio do tempo contínuo: – Filtros analógicos – Modulação 55
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