Buscar

Introducao 2 1s2016

Prévia do material em texto

1
Processamento de Sinais
Introdução – “Técnicas” de Fourier
Departamento de Engenharia Elétrica 
da EEUFMG
Prof. Wallace do Couto Boaventura
Mar - 2013
Material utilizado na preparação 
desta apresentação:
• Notas de aula do Prof. Renato Lyra
• Notas de aula do Prof. Wallace C. 
Boaventura
• Imagens do livro “Signal and Systems”, A. 
Oppenheim, A. Willsky, (1983 e 1997)
• Material dos cursos livres do MIT:
2
2
Introdução
• As técnicas de Fourier permitem o estabelecimento dos 
“blocos” funcionais básicos para o projeto de sistemas 
de processamento de sinal em tempo contínuo 
(processamento analógico)
• De forma resumida, tratam-se de ferramentas usadas 
para a representação de sinais “quaisquer” por meio 
sinais básicos, fundamentais para os SLIT (as 
exponenciais complexas). Tais ferramentas apresentam 
várias propriedades que “simplificam” a análise de sinais 
e o tratamento de SLIT (projeto e síntese).
• Tem-se uma classificação de sinais entre periódicos 
(Série e Transformada de Fourier, SF e TF) e 
aperiódicos (TF). 
• Ambas, SF e TF, fazem uso de um conjunto de 
exponenciais complexas para a representação de sinais.
3
“Utilidade” das autofunções
4
3
5
6
4
7
8
5
Cálculo dos coeficientes ak:
.
9
.
10
6
Exemplos:
11
12
7
ak para diversas relações T/T1
13
14
8
15
16
9
17
18
10
Utilização de SF para cálculo da 
resposta de SLIT a sinais periódicos
19
Se {ak} é o conjunto de coeficientes da série de 
Fourier de um sinal de entrada x(t) em um SLIT, 
então {ak H(kw0)} é o conjunto dos coeficientes da
SF do sinal de saída y(t)



   dehkH jk 0)()( 0
-> autovalor




k
tjk
k ekHaty
0)()( 0

20
11
21
• Exemplo → 𝑥(𝑡) = −33 𝑎𝑘𝑒𝑗𝑘2𝜋𝑡
𝑤𝑜 = 2𝜋; 𝑎𝑜 = 1; 𝑎1 = 𝑎−1 =
1
4
; 𝑎2 = 𝑎−2 =
1
2
; 𝑎3 = 𝑎−3 =
1
3
→ 𝑥 𝑡 = 1 +
1
4
(𝑒𝑗2𝜋𝑡+𝑒−𝑗2𝜋𝑡) +
1
2
(𝑒𝑗4𝜋𝑡+𝑒−𝑗4𝜋𝑡) +
1
3
(𝑒𝑗6𝜋𝑡+𝑒−𝑗6𝜋𝑡)
𝑥 𝑡 = 1 +
1
2
cos 2𝜋𝑡 + 1 cos 4𝜋𝑡 +
2
3
cos 6𝜋𝑡
𝐻(𝑘𝑤𝑜) = 0
∞
𝑒−𝜕𝑒−𝑗𝑘𝑤𝑜𝜕𝑑𝜕 = −
1
1+𝑗𝑘𝑤𝑜
𝑒−𝜕𝑒−𝑗𝑘𝑤𝑜𝜕 (0 < 𝜕 < ∞) =
1
1 +𝑗𝑘𝑤𝑜
→ 𝑦 𝑡 = −3
3 𝑏𝑘𝑒
𝑗𝑘2𝜋𝑡 ; 𝑏𝐾 = 𝑎𝑘 𝐻(𝑘2𝜋)
𝑆𝐿𝐼𝑇 → ℎ 𝑡 = 𝑒−𝑡u(t)
22
12
23
Transformada de Fourier
• Até agora tratamos de sinais periódicos e 
portanto usamos um conjunto “discreto” de 
exponenciais complexas cujas freqüências são 
múltiplas da freqüência do sinal “modelado”. As 
exponenciais estão separadas de múltiplos de 
ωo.
• Para tratar de sinais aperiódicos precisaremos 
de um outro “tipo” de conjunto de exponenciais 
complexas.
• Como se classificam os sinais periódicos e 
aperiódicos em termos da “quantidade de 
informação” que estes contêm? 
24
13
25
26
14
27
28
15
29
.
30
16
31
32
17
33
34
18
35
36
19
37
38
20
39
40
21
41
42
22
43
44
23
45
46
24
47
48
25
Representação polar da TF
49
→ X 𝑤 = X 𝑤 𝑒𝑗∠X 𝑤
𝑥 𝑡 → Soma de exponenciais complexas periódicas e frequências diferentes
X 𝑤 → Amplitude de exponenciais complexas
∠X 𝑤 → Fase das exponenciais complexas
=> MAIS RICA EM INFORMAÇÕES !!!!
Representação polar da TF
50
26
51
52
27
53
54
28
• Próximo passo:
• Aplicar as “técnicas” de Fourier para o 
processamento de sinais no domínio do 
tempo contínuo:
– Filtros analógicos
– Modulação
55

Outros materiais